新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題訓(xùn)練專題23 離散型隨機(jī)變量的概率（解析版）

專題23離散型隨機(jī)變量的概率1、（2023年全國甲卷數(shù)學(xué)（理））有50人報(bào)名足球俱樂部，60人報(bào)名乒乓球俱樂部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報(bào)足球俱樂部，則其報(bào)乒乓球俱樂部的概率為（

）A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1【答案】A【詳解】報(bào)名兩個(gè)俱樂部的人數(shù)為SKIPIF1<0，記“某人報(bào)足球俱樂部”為事件SKIPIF1<0,記“某人報(bào)兵乓球俱樂部”為事件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選:SKIPIF1<0.2、（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為SKIPIF1<0，收到0的概率為SKIPIF1<0；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為SKIPIF1<0，收到1的概率為SKIPIF1<0.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為SKIPIF1<0B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為SKIPIF1<0C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為SKIPIF1<0，A正確；對(duì)于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為SKIPIF1<0，B正確；對(duì)于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為SKIPIF1<0，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率SKIPIF1<0，單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，D正確.故選：ABD3、（2023年新高考天津卷）甲乙丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為SKIPIF1<0．這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為SKIPIF1<0．現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為_________；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為_________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)分別為SKIPIF1<0，所以總數(shù)為SKIPIF1<0，所以甲盒中黑球個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，白球個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0；甲盒中黑球個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，白球個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0；甲盒中黑球個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，白球個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0；記“從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的球都是黑球”為事件SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0；記“將三個(gè)盒子混合后取出一個(gè)球，是白球”為事件SKIPIF1<0，黑球總共有SKIPIF1<0個(gè)，白球共有SKIPIF1<0個(gè)，所以，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．4、（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第SKIPIF1<0次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從兩點(diǎn)分布，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．記前SKIPIF1<0次（即從第1次到第SKIPIF1<0次投籃）中甲投籃的次數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）記“第SKIPIF1<0次投籃的人是甲”為事件SKIPIF1<0，“第SKIPIF1<0次投籃的人是乙”為事件SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）設(shè)SKIPIF1<0，依題可知，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，構(gòu)造等比數(shù)列SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，即SKIPIF1<0．（3）因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．5、（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為SKIPIF1<0；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為SKIPIF1<0．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當(dāng)漏診率SKIPIF1<0％時(shí)，求臨界值c和誤診率SKIPIF1<0；(2)設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的解析式，并求SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0．【詳解】（1）依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．6、【2022年全國乙卷】某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大【答案】D【解析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，記該棋手在第二盤與甲比賽，且連勝兩盤的概率為p則p記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為p則p記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為p則p則pp即p甲<p則該棋手在第二盤與丙比賽，p最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；p與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.故選：D7、（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記SKIPIF1<0為小明的累計(jì)得分，求SKIPIF1<0的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【解析】（1）由題可知，SKIPIF1<0的所有可能取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）由（1）知，SKIPIF1<0．若小明先回答SKIPIF1<0問題，記SKIPIF1<0為小明的累計(jì)得分，則SKIPIF1<0的所有可能取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以小明應(yīng)選擇先回答SKIPIF1<0類問題．題組一、正態(tài)分布1-1、（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知隨機(jī)變量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】由已知可得，SKIPIF1<0，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.1-2、（2023·浙江·校聯(lián)考三模）已知隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.1-3、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃ǘ噙x題）已知隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．隨機(jī)變量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】根據(jù)正態(tài)分布的定義求數(shù)學(xué)期望和方差求解A，再根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可求解相應(yīng)的概率求解B,C，再根據(jù)變量關(guān)系的期望公式可求解D.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，B正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,D錯(cuò)誤，故選：ABC.題組二、二項(xiàng)分布2-1、（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）（多選題）若隨機(jī)變量SKIPIF1<0，下列說法中正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．期望SKIPIF1<0C．期望SKIPIF1<0 D．方差SKIPIF1<0【答案】BCD【詳解】A選項(xiàng)：因SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤.B選項(xiàng)：SKIPIF1<0，故B正確.C選項(xiàng)：SKIPIF1<0，故C正確.D選項(xiàng)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故D正確.故選：BCD.2-2、（2021·山東濱州市·高三二模）為落實(shí)中央“堅(jiān)持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強(qiáng)化體育鍛煉”的精神，某高中學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生自發(fā)組織各項(xiàng)體育比賽活動(dòng)，甲?乙兩名同學(xué)利用課余時(shí)間進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定：每一局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局，首先獲得5分者獲勝，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是.（1）求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率；（2）若甲以3：1的比分領(lǐng)先時(shí)，記X表示到結(jié)束比賽時(shí)還需要比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及期望.【解析】（1）比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局，甲獲勝的概率為，恰好打了6局，乙獲勝的概率為，所以比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率為.（2）X的可能取值為2，3，4，5，，，，.所以X的分布列如下：2345故.2-3、（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某車間購置了三臺(tái)機(jī)器，這種機(jī)器每年需要一定次數(shù)的維修，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了100臺(tái)這種機(jī)器一年內(nèi)維修的次數(shù)，其中每年維修2次的有40臺(tái)，每年維修3次的有60臺(tái)，用SKIPIF1<0代表這三臺(tái)機(jī)器每年共需要維修的次數(shù).(1)以頻率估計(jì)概率，求SKIPIF1<0的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)維修廠家有SKIPIF1<0兩家，假設(shè)每次僅維修一臺(tái)機(jī)器，其中SKIPIF1<0廠家單次維修費(fèi)用是550元，SKIPIF1<0廠家對(duì)同一車間的維修情況進(jìn)行記錄，前5次維修費(fèi)用是每次600元，后續(xù)維修費(fèi)用每次遞減100元，從每年的維修費(fèi)用的期望角度來看，選擇哪家廠家維修更加節(jié)??？【答案】(1)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：SKIPIF1<0(2)選擇SKIPIF1<0廠家更加節(jié)省【詳解】（1）以頻率估計(jì)概率，一臺(tái)機(jī)器每年需要維修2次的概率為SKIPIF1<0，需要維修3次的概率為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為這三臺(tái)機(jī)器每年單個(gè)需要維修三次的臺(tái)數(shù)，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<06789SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0.（2）選擇SKIPIF1<0廠家每年維修費(fèi)用的期望為SKIPIF1<0（元），選擇SKIPIF1<0廠家每年維修費(fèi)用的期望為SKIPIF1<0（元），因?yàn)镾KIPIF1<0，所以選擇SKIPIF1<0廠家更加節(jié)省.題組三、條件概率3-1、（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運(yùn)會(huì)跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項(xiàng)比賽，每項(xiàng)比賽至少一位同學(xué)參加，事件SKIPIF1<0“甲參加跳高比賽”，事件SKIPIF1<0“乙參加跳高比賽”，事件SKIPIF1<0“乙參加跳遠(yuǎn)比賽”，則（

）A．事件A與B相互獨(dú)立 B．事件A與C為互斥事件C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】對(duì)于A，每項(xiàng)比賽至少一位同學(xué)參加，則有SKIPIF1<0不同的安排方法，事件SKIPIF1<0“甲參加跳高比賽”，若跳高比賽安排2人，則有SKIPIF1<0種方法；若跳高比賽安排1人，則有SKIPIF1<0種方法，所以安排甲參加跳高比賽的不同安排方法共有SKIPIF1<0種，則SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，若安排甲、乙同時(shí)參加跳高比賽，則跳高比賽安排2人為甲和乙，跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽各安排1人，有SKIPIF1<0種不同的安排方法，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，事件A與B不相互獨(dú)立故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在一次試驗(yàn)中，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件，事件A與C可以同時(shí)發(fā)生，故事件A與C不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在安排甲參加跳高比賽的同時(shí)安排乙參加跳遠(yuǎn)比賽的不同安排方法有SKIPIF1<0種，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正確；對(duì)于D，SKIPIF1<0，故D錯(cuò)誤.故選：C3-2、（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）2022年卡塔爾世界杯上，32支球隊(duì)分成8個(gè)小組，每個(gè)小組的前兩名才能出線，晉級(jí)到SKIPIF1<0決賽．某參賽隊(duì)在開賽前預(yù)測：本隊(duì)獲得小組第一的概率為0.6，獲得小組第二的概率為0.3；若獲得小組第一，則SKIPIF1<0決賽獲勝的概率為0.9，若獲得小組第二，則SKIPIF1<0決賽獲勝的概率為0.3．那么在已知該隊(duì)小組出線的條件下，其SKIPIF1<0決賽獲勝的概率為（

）A．0.54 B．0.63 C．0.7 D．0.9【答案】C【詳解】設(shè)該隊(duì)小組出線為事件A，該隊(duì)SKIPIF1<0決賽獲勝為事件B，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C.3-3、（2023·山東德州·三模）某校高二學(xué)生的一次數(shù)學(xué)診斷考試成績（單位：分）服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，從中抽取一個(gè)同學(xué)的數(shù)學(xué)成績SKIPIF1<0，記該同學(xué)的成績SKIPIF1<0為事件SKIPIF1<0，記該同學(xué)的成績SKIPIF1<0為事件SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0事件發(fā)生的條件下SKIPIF1<0事件發(fā)生的概率SKIPIF1<0_________．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）附參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題知，事件SKIPIF1<0為“記該同學(xué)的成績SKIPIF1<0”，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<03-4、（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知甲箱、乙箱均有6件產(chǎn)品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品．(1)現(xiàn)從甲箱中隨機(jī)抽取兩件產(chǎn)品放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，求從乙箱中抽取的這件產(chǎn)品恰好是次品的概率；(2)現(xiàn)需要通過檢測將甲箱中的次品找出來，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到能將次品全部找出時(shí)檢測結(jié)束，已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用15元，設(shè)SKIPIF1<0表示能找出甲箱中的所有次品時(shí)所需要的檢測費(fèi)用（單位：元），求SKIPIF1<0的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0“從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品均為正品”，SKIPIF1<0“從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品為一件正品，一件次品”，SKIPIF1<0“從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品均為次品”，SKIPIF1<0“從乙箱中抽取的一件產(chǎn)品為次品”，由全概率公式，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0的所有可能取值為30，45，60，75．則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<030456075SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0（元）題組四、離散型隨機(jī)變量的均值與方差4-1、（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）某校舉行“學(xué)習(xí)二十大，奮進(jìn)新征程”知識(shí)競賽，知識(shí)競賽包含預(yù)賽和決賽.(1)下表為某10位同學(xué)預(yù)賽成績：得分939495969798人數(shù)223111求該10位同學(xué)預(yù)賽成績的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）和平均數(shù)；(2)決賽共有編號(hào)為SKIPIF1<0的5道題，學(xué)生甲按照SKIPIF1<0的順序依次作答，答對(duì)的概率依次為SKIPIF1<0，各題作答互不影響，若累計(jì)答錯(cuò)兩道題或五道題全部答完則比賽結(jié)束，記SKIPIF1<0為比賽結(jié)束時(shí)學(xué)生甲已作答的題數(shù)，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)上四分位數(shù)：96，平均數(shù)：SKIPIF1<0(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：SKIPIF1<0【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以上四分位數(shù)為第八個(gè)成績，為96；平均數(shù)為SKIPIF1<0.（2）由題意可知SKIPIF1<0的取值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<02345SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.4-2、（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）某校承接了2023年某大型考試的筆試工作，考試前，學(xué)校將高二年級(jí)的201~205五個(gè)班級(jí)內(nèi)部的墻壁裝飾畫取下后打包，統(tǒng)一放置，考試結(jié)束后再恢復(fù)原位.學(xué)校安排了三位校工甲、乙、丙進(jìn)行該項(xiàng)工作，每位校工至少負(fù)責(zé)一個(gè)班級(jí)的裝飾畫復(fù)原工作.已知每位校工能夠完全還原一個(gè)班級(jí)裝飾畫的概率均為SKIPIF1<0，并且他們之間的工作相互獨(dú)立.(1)求校工甲將自己負(fù)責(zé)的所有班級(jí)的裝飾畫完全還原的概率；(2)設(shè)校工乙能夠完全還原的班級(jí)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0【詳解】（1）設(shè)事件SKIPIF1<0：甲分的班級(jí)數(shù)為SKIPIF1<0個(gè)（SKIPIF1<0，2，3），事件SKIPIF1<0：甲完成班級(jí)的裝飾畫復(fù)原.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）又題意可知SKIPIF1<0的可能取值為0，1，2，3SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.4-3、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）為了豐富在校學(xué)生的課余生活，某校舉辦了一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)活動(dòng)，學(xué)校設(shè)置項(xiàng)目A“毛毛蟲旱地龍舟”和項(xiàng)目B“袋鼠接力跳”．甲、乙兩班每班分成兩組，每組參加一個(gè)項(xiàng)目，進(jìn)行班級(jí)對(duì)抗賽．每一個(gè)比賽項(xiàng)目均采取五局三勝制（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)在項(xiàng)目A中甲班每一局獲勝的概率為SKIPIF1<0，在項(xiàng)目B中甲班每一局獲勝的概率為SKIPIF1<0，且每一局之間沒有影響．(1)求甲班在項(xiàng)目A中獲勝的概率；(2)設(shè)甲班獲勝的項(xiàng)目個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)分布列見解析，SKIPIF1<0【分析】（1）記“甲班在項(xiàng)目A中獲勝”為事件A，利用獨(dú)立事件的乘法公式求解即可；（2）先算出“甲班在項(xiàng)目B中獲勝”的概率，然后利用獨(dú)立事件的乘法公式得到X的分布列，即可算出期望【詳解】（1）記“甲班在項(xiàng)目A中獲勝”為事件A，則SKIPIF1<0，所以甲班在項(xiàng)目A中獲勝的概率為SKIPIF1<0（2）記“甲班在項(xiàng)目B中獲勝”為事件B，則SKIPIF1<0，X的可能取值為0，1，2，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以X的分布列為X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以甲班獲勝的項(xiàng)目個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0.題組五、概率中的最值問題5-1、（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┘?、乙兩選手進(jìn)行一場體育競技比賽，采用SKIPIF1<0局SKIPIF1<0勝制SKIPIF1<0的比賽規(guī)則，即先贏下SKIPIF1<0局比賽者最終獲勝.已知每局比賽甲獲勝的概率為SKIPIF1<0，乙獲勝的概率為SKIPIF1<0，比賽結(jié)束時(shí)，甲最終獲勝的概率為SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，結(jié)束比賽時(shí)，比賽的局?jǐn)?shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若采用5局3勝制比采用3局2勝制對(duì)甲更有利，即SKIPIF1<0.(i)求SKIPIF1<0的取值范圍；(ii)證明數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增，并根據(jù)你的理解說明該結(jié)論的實(shí)際含義.【答案】(1)分布列見解析，SKIPIF1<0(2)（i）SKIPIF1<0；（ii）證明見解析，比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者越有利【詳解】（1）SKIPIF1<0，即采用3局2勝制，SKIPIF1<0所有可能取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的分布列如下表：SKIPIF1<023SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0.（2）采用3局2勝制：不妨設(shè)賽滿3局，用SKIPIF1<0表示3局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則SKIPIF1<0，甲最終獲勝的概率為：SKIPIF1<0，采用5局3勝制：不妨設(shè)賽滿5局，用SKIPIF1<0表示5局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則SKIPIF1<0，甲最終獲勝的概率為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.（ii）由（i）知SKIPIF1<0.SKIPIF1<0局比賽中恰好甲贏了SKIPIF1<0局的概率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0局比賽中恰好甲贏了SKIPIF1<0局的概率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0局比賽中甲至少贏SKIPIF1<0局的概率為SKIPIF1<0.考慮SKIPIF1<0局比賽的前SKIPIF1<0局：如果這SKIPIF1<0局比賽甲至少贏SKIPIF1<0局，則無論后面結(jié)果如何都勝利，其概率為SKIPIF1<0，如果這SKIPIF1<0局比賽甲贏了SKIPIF1<0局，則需要后兩場至少贏一局，其概率為SKIPIF1<0，如果這SKIPIF1<0局比賽甲贏了SKIPIF1<0局，則需要后兩場都贏，其概率為SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0局里甲最終獲勝的概率為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增.該結(jié)論的實(shí)際意義是：比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者越有利.5-2、（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）某校開展“學(xué)習(xí)二十大，永遠(yuǎn)跟黨走”網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競賽.每人可參加多輪答題活動(dòng)，每輪答題情況互不影響.每輪比賽共有兩組題，每組都有兩道題，只有第一組的兩道題均答對(duì)，方可進(jìn)行第二組答題，否則本輪答題結(jié)束.已知甲同學(xué)第一組每道題答對(duì)的概率均為SKIPIF1<0，第二組每道題答對(duì)的概率均為SKIPIF1<0，兩組題至少答對(duì)3題才可獲得一枚紀(jì)念章.(1)記甲同學(xué)在一輪比賽答對(duì)的題目數(shù)為SKIPIF1<0，請(qǐng)寫出SKIPIF1<0的分布列，并求SKIPIF1<0；(2)若甲同學(xué)進(jìn)行了10輪答題，試問獲得多少枚紀(jì)念章的概率最大.【答案】(1)分布列見解析，SKIPIF1<0(2)4【詳解】（1）由題意，SKIPIF1<0可取0，1，2，3，4.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<001234SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）每一輪獲得紀(jì)念章的概率為SKIPIF1<0，每一輪相互獨(dú)立，則每一輪比賽可視為二項(xiàng)分布，設(shè)10輪答題獲得紀(jì)念章的數(shù)量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則獲得4枚紀(jì)念章的概率最大.1、（2022·山東萊西·高三期末）設(shè)隨機(jī)變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故選：D2、（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）已知參加2020年某省夏季高考的53萬名考生的成績SKIPIF1<0近似地服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，估計(jì)這些考生成績落在SKIPIF1<0的人數(shù)約為（）(附：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)A．36014 B．72027 C．108041 D．168222【答案】B【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，這些考生成績落在SKIPIF1<0的人數(shù)約為SKIPIF1<0.故選：B.3、（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考三模）（多選）已知某校高二男生的身高X（單位：cm）服從正態(tài)分布N（175，16），且SKIPIF1<0，則（

）A．該校高二男生的平均身高是175cmB．該校高二男生身高的方差為4C．該校高二男生中身高超過183cm的人數(shù)超過總數(shù)的3%D．從該校高二男生中任選一人，身高超過180cm的概率與身高不超過170cm的概率相等【答案】AD【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為平均數(shù)，正確；對(duì)選項(xiàng)B：方差為SKIPIF1<0，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：SKIPIF1<0，則身高超過SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：正態(tài)曲線關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，所以身高超過180cm的概率與身高不超過170cm的概率相等，正確；故選：AD4、（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知隨機(jī)變量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.5、（2023·江蘇南通·三模）隨機(jī)變量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以標(biāo)準(zhǔn)差SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.6、（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）設(shè)隨機(jī)變量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0____________．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.7、（2023·廣東深圳·深圳市高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為8%，第2臺(tái)加工的次品率為3%，第3臺(tái)加工的次品率為2%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%，40%，50%，從混放的零件中任取一個(gè)零件，如果該零件是次品，那么它是第3臺(tái)車床加工出來的概率為____________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】記事件SKIPIF1<0：車床加工的零件為次品，記事件SKIPIF1<0：第SKIPIF1<0臺(tái)車床加工的零件，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，任取一個(gè)零件是次品的概率為SKIPIF1<0如果該零件是次品，那么它是第3臺(tái)車床加工出來的概率為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.8、（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)是高考招生制度改革的內(nèi)容之一．某高中采用多維評(píng)分的方式進(jìn)行綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)．下圖是該校高三學(xué)生“運(yùn)動(dòng)與建康”評(píng)價(jià)結(jié)果的頻率直方圖，評(píng)分在區(qū)間[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分別對(duì)應(yīng)為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)．為了進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)運(yùn)動(dòng)與健康的重視，初評(píng)獲A等級(jí)的學(xué)生不參加復(fù)評(píng)，等級(jí)不變，對(duì)其余學(xué)生學(xué)校