新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題訓(xùn)練專題13 運用空間向量研究立體幾何問題（2）（原卷版）

專題13運用空間向量研究立體幾何問題（2）1、（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知直三棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點，D為棱SKIPIF1<0上的點．SKIPIF1<0（1）證明：SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0為何值時，面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成的二面角的正弦值最小?題組一、運用向量解決幾何體中的距離問題1-1、（2023·黑龍江牡丹江·牡丹江市第三高級中學(xué)?？既＃┤鐖D，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，D，E分別為AC，SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0平面BDE；(2)求直線DE與平面ABE所成角的正弦值；(3)求點D到平面ABE的距離．1-2、（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）如圖，在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，對角線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上一動點（不含端點）(1)當(dāng)點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點時，證明：SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0成SKIPIF1<0角，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．1-3、（2023·四川成都·四川省成都列五中學(xué)校考三模）如圖，四棱柱SKIPIF1<0的側(cè)棱SKIPIF1<0⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點.

(1)證明：SKIPIF1<0四點共面；(2)若SKIPIF1<0，求點A到平面SKIPIF1<0的距離.題組二、最值問題2-1、（2022·江蘇揚州·高三期末）如圖，在三棱臺ABC－A1B1C1中，底面△ABC是等腰三角形，且BC＝8，AB＝AC＝5，O為BC的中點．側(cè)面BCC1B1為等腰梯形，且B1C1＝CC1＝4，M為B1C1中點．（1）證明：平面ABC⊥平面AOM；（2）記二面角A－BC－B1的大小為θ，當(dāng)θ∈[SKIPIF1<0，SKIPIF1<0]時，求直線BB1平面AA1C1C所成角的正弦的最大值．2-2、（南京師大附中2022—2023學(xué)年度高三第一學(xué)期10月檢測）（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD是邊長為2等邊三角形，SKIPIF1<0，點E為CD的中點，點M為PE上一點（與點P，E不重合）．（1）證明：AM⊥BD；（2）當(dāng)AM為何值時，直線AM與平面BDM所成的角最大？2-3、（南京市2023屆高三年級學(xué)情調(diào)研）（本小題滿分12分）如圖，P為圓錐的頂點，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，M是PB的中點，四邊形OBCH為正方形.（1）設(shè)平面平面，證明：；（2）設(shè)D為OH的中點，N是線段CD上的一個點，當(dāng)MN與平面PAB所成角最大時，求MN的長.題組三、探索性問題3-1、（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分別是線段AB，PC的中點．(1)求證：MNSKIPIF1<0平面PAD；(2)在線段CD上是否存在一點Q，使得直線NQ與平面DMN所成角的正弦值為SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由．3-2、（2023·山西·統(tǒng)考一模）如圖所示，在四棱錐SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，底面SKIPIF1<0為直角梯形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離；(2)線段SKIPIF1<0上是否存在一點SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由.3-3、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，三棱柱SKIPIF1<0的側(cè)棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是棱SKIPIF1<0上的動點，F(xiàn)是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點時，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）在棱SKIPIF1<0上是否存在點SKIPIF1<0，使得二面角SKIPIF1<0的余弦值是SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的長；若不存在，請說明理由．3-4、（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖SKIPIF1<0，菱形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0向上翻折，得到如圖SKIPIF1<0所示得三棱錐SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，在線段SKIPIF1<0上是否存在點SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0；若不存在，請說明理由.1、（2021·山東濟寧市·高三二模）（多選題）如圖，直四棱柱中，底面為平行四邊形，，，點是半圓弧上的動點（不包括端點），點是半圓弧上的動點（不包括端點），則下列說法止確的是（）A．四面體的體積是定值B．的取值范圍是C．若與平面所成的角為，則D．若三棱錐的外接球表面積為，則2、（2021·山東濱州市·高三二模）在正方體中，M是棱的中點，P是底面ABCD內(nèi)(包括邊界)的一個動點，若平面，則異面直線MP與所成角的取值范圍是（）A． B． C． D．3、（2022·山東青島·高三期末）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長為2的菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0.（1）求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求點A到平面SKIPIF1<0的距離.4、（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點D為BC中點．(1)求二面角SKIPIF1<0的余弦值；(2)在直線AB上是否存在點M，使得PM與平面PAD所成角的正弦值為SKIPIF1<0，若存在，求出點M的位置；若不存在，說明理由．5、（2023·吉林·統(tǒng)考三模）如圖，在多面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0和四邊形SKIPIF1<0均是等腰梯形，底面SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，S