北師大新版七年級下學期《5.2探索軸對稱的性質(zhì)》同步練習卷

北師大新版七年級下學期《5.2探索軸對稱的性質(zhì)》

同步練習卷

填空題（共50小題）

1.如圖，矩形中，A2=2,BC=3,點E為AD上一點，且/ABE=30°,將△ABE

沿BE翻折，得到BE,連接CA'并延長，與AD相交于點F,則DF的長為.

2.如圖，已知RtZXABC中，ZB=90°,ZA=60°,AC=2心4,點M、N分別在線段

AC,AB±,將△AMI沿直線MV折疊，使點A的對應點。恰好落在線段3c上，"

OCM為直角三角形時，折痕MN的長為.

3.如圖，已知正方形A2C。的邊長是4,點E是AB邊上一動點，連接CE,過點8作BG

LCE于點G,點P是A2邊上另一動點，則尸。+PG的最小值為.

4.如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,BC=2如,AC=2,點。是BC的中點，點￡是邊

AB上一動點，沿。E所在直線把△2OE翻折到△4OE的位置，B'。交A2于點?若

△AB'尸為直角三角形，則AE的長為

5.如圖，將面積為32我的矩形ABC。沿對角線8。折疊，點A的對應點為點P,連接AP

交BC于點、E.若BE=啦,則AP的長為.

6.如圖，在菱形ABCD中，ZABC=120°,將菱形折疊，使點A恰好落在對角線2。上的

點G處（不與8、。重合），折痕為EF,若DG=2,BG=6,則BE的長為.

7.如圖，等腰△A8C的底邊BC=20,面積為120,點尸在邊8c上，MBF=3FC,EG是

腰AC的垂直平分線，若點。在EG上運動，則△CDF周長的最小值為.

'E

8.如圖，在菱形ABC。中，tanA=_l,M,N分別在邊AD,BC上,將四邊形AMN2沿MN

3

翻折，使AB的對應線段所經(jīng)過頂點。，當跖，時，型的值為

CN

9.如圖，在RtaABC中，ZACB=90°，BC=6,CD是斜邊48上的中線，將△BCD沿

直線C。翻折至的位置，連接AE.DE//AC,計算AE的長度等于.

10.如圖，在等邊三角形ABC中，42=2/&根，點M為邊BC的中點，點N為邊AB上的

任意一點（不與點A,B重合），若點B關于直線MN的對稱點B恰好落在等邊三角形ABC

的邊上，則BN的長為cm.

11.在△ABC中，ZC=90°,8c=3,AB=5,點。在△ABC的邊上，且AZ）=1,WAABC

折疊，使點8落在點。處，折痕交邊A8于點E,交另一邊于點尸，則.

12.如圖，在矩形紙片ABC。中，AB=2,AO=3,點E1是AB的中點，點廠是A。邊上的

一個動點，將△入￡尸沿EF所在直線翻折，得到EF,則A'C的長的最小值

13.在矩形紙片ABC。中，AD=S,AB=6,E是邊8c上的點，將紙片沿AE折疊，使點8

落在點尸處，連接尸C,當△￡人?為直角三角形時，BE的長為.

14.如圖，將nABCO沿EF對折，使點A落在點C處，若NA=60°,AD=4,AB=6,則

AE的長為

D'

15.如圖所示，正方形ABC。的邊長為6,ZVIBE是等邊三角形，點E在正方形A8CZ）內(nèi)，

在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小，則這個最小值為.

5

16.如圖，在RtZxABC中，ZA=90°,AB=AC,8C=J^1,點M,N分別是邊8C,AB

上的動點，沿MN所在的直線折疊48,使點B的對應點B'始終落在邊AC上，若

C為直角三角形，則8M的長為.

17.如圖，已知AO〃BC,AB±BC,AB=3,點E為射線2C上一個動點，連接AE,將4

ABE沿AE折疊，點2落在點正處，過點3'作的垂線，分別交A。，BC于點M,

N.當點2,為線段MN的三等分點時，BE的長為.

18.如圖，矩形ABC。中，AB=6,8C=8,點E是BC邊上一點，連接AE,把沿AE

折疊，使點B落在點次處，當ACEB'為直角三角形時，BE的長為.

19.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,45=10,AC=8,E、尸分別為AB、AC上的點,

沿直線跖將N2折疊，使點2恰好落在AC上的。處，當△AZ3E恰好為直角三角形時,

BE的長為

20.如圖，在△A8C中，ZACB=90°,AC=2,8C=4,E為邊A8的中點，點D是BC

邊上的動點，把△AC。沿AD翻折，點C落在C'處，若△AC'E是直角三角形，則CD

的長為.

21.如圖，矩形A8C。中，AD=4,AB=7,點、E為DC上一動點、,△ADE沿AE折疊，點

。落在矩形A8CD內(nèi)一點。'處，若ABCD'為等腰三角形，則。E的長為.

22.如圖，在菱形ABC。中，ZDAB=45°,AB=4,點尸為線段AB上一動點，過點尸作

PE1AB交AD于點E,沿PE將/A折疊，點A的對稱點為點F,連接EF、DF、CF,

當△C。尸為等腰三角形時，AP的長為.

23.如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,ZB=90°,AB=2,BC=4.尸為線段8C上的

一動點，且和點2,C不重合，連接B4,過點P作外交所在直線于點E,

將△PEC沿PE翻折至△PEG的位置，連接AG,若N3AG=90°,則線段BP的長

為.

24.如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,48=5,AC=3,點。是BC上一動點，連結(jié)

AD,將△AC。沿AQ折疊，點C落在點C',連結(jié)C'D交AB于點E,連結(jié)8C'.當

ABC'。是直角三角形時，的長為.

25.如圖，矩形ABC。中，AB=6,BC=8,點尸為BC邊上的一個動點，把△AB歹沿AF

折疊.當點B的對應點次落在矩形A2C。的對稱軸上時，則8尸的長為.

26.如圖，已知△A8C中，ZB=90°,BC=3,AB=4,。是邊A8上一點，DE//BC交

AC于點E,將△&￡)￡沿。E翻折得到DE,若封EC是直角三角形，則A。長

為.

27.如圖，矩形A8CD中，AB=2,4。=4,點E在邊3c上，把△OEC沿。E翻折后，點

C落在C'處.若△ABC'恰為等腰三角形，則CE的長為

28.已知在矩形ABC。中，AB=6,BC=10,沿著過矩形頂點的一條直線將折疊，使點

8的對應點夕落在矩形的邊上，則折痕長為.

29.如圖，在矩形ABC。中，42=6,2C=8,點E在邊上（E不與2,C重合），連接

AE,把△ABE沿直線AE折疊，點3落在點9處，當為直角三角形時，則△CE8'

的周長為.

30.如圖，在矩形中，AB：8c=3：5,點E是對角線3。上一動點（不與點8,D

重合），將矩形沿過點E的直線MN折疊，使得點A,B的對應點G,F分別在直線AD

與2C上，當△￡）斯為直角三角形時，CN：BN的值為.

31.如圖，等邊三角形ABC中，A8=8,8O_LAC于點。，點E、尸分別是BC、ZJC上的動

點，沿所所在直線折疊△（?￡/,使點C落在3。上的點C'處，當△BEC'是直角三角

形時，8C'的值為.

32.已知△ABC中，AC=2,NC=30°,點加為邊AC中點，把△2CM沿中線3M對折后

與重疊部分的面積為原△ABC面積的工，則原△ABC的面積是.

4

33.如圖，在RZXABC中，ZACB=90°,ZABC=6Q°,AB=4,點。是BC上一動點，

以為邊在BC的右側(cè)作等邊△瓦汨，尸是。E的中點，連結(jié)AF,CF,則AP+CF的最

小值是_______

34.如圖，將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點C落在8。邊上的點E處.若BC=10,BE

=2,則AB2-AC2的值為.

35.如圖，在銳角△ABC中，AB=5圾,ZBAC=45°,N84C的平分線交2C于點。，M,

N分別是A。，A8上的動點，則8M+MN的最小值是.

36.如圖，點尸在平行四邊形ABCD的邊BC上，將沿直線AP翻折，點2恰好落在

邊A。的垂直平分線上，如果AB=5,AD=8,tanB=_l,那么3P的長為.

37.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,8C=4,點。是邊BC的中點，點E是

邊AB上的任意一點（點E不與點3重合），沿。E翻折△OBE使點B落在點尸處，連接

AF,則線段AF長的最小值為

38.如圖，矩形ABC。中，A3=4,AD=6,點E為AD中點，點尸為線段AB上一個動點,

連接EP,將沿PE折疊得到△■FPE,連接CE,CF,當△￡（手為直角三角形時，

AP的長為.

39.如圖，在矩形4BCD中，AB=5,8c=3,點E為射線BC上一動點，將△ABE沿AE

折疊，得到△AB'E.若V恰好落在射線CD上，則BE的長為

40.如圖，在RtZXABC中，NC=90°,ZB=30°,AC=3,點。是BC的中點，點E是

邊AB上一動點，沿QE所在直線把△BDE翻折到△夕的位置，B'。交A8于點R

若△A"尸為直角三角形，則AE的長為.

41.在RtZ\ABC中，BC=3,AC=4,點。，E是線段AB,AC上的兩個動點（不與A,B,

C重合）沿DE翻折使得點A的對應點廠恰好落在直線BC上,當DF與RTAABC

的一條邊垂直的時候，線段的長為

A

42.如圖，正方形ABC。中，AB=4,點E是8c的四等分點，連接AE,將AABE沿AE

折疊，點B落在點尸處,則sinZC￡F=.

43.如圖，在矩形A2CZ）中，AB=5,A￡>=9,點P為邊上點，沿BP折疊△A8P,點A

的對應點為￡,若點E到矩形兩條較長邊的距離之比為1：4,則AP的長為.

AD

B'--------1

44.如圖，矩形ABC。中，A￡>=5,AB=4,點E為。C上一動點，把△AOE沿AE折疊,

點。的對應點為。'，連接。，當C是直角三角形時，的長為.

45.如圖，已知矩形紙片ABCD,4B=4,BC=10,M是的中點，點P沿折線84-A。

運動，以MP為折痕將矩形紙片向右翻折，使點B落在矩形的邊上，則折痕MP的

46.如圖，正方形48C。的邊長是2,點E是C￡>邊的中點，點廠是邊2C上不與點2,C

重合的一個動點，把NC沿直線所折疊，使點C落在點。處.當△AOC'為等腰三角

形時，PC的長為.

47.在平面直角坐標系xOy中，已知點A(7,0),B(0,4),C(7,4),連接AC,8C得

到矩形A08C,點。在邊上，將邊沿。。折疊，點B的對應點為8',若點B'

到矩形較長兩對邊的距離之比為1：3,則.

48.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,點E,尸分別為48,AC上一個

動點，連接EF,以為軸將△AEE折疊得到△￡>￡/,使點。落在8C上，當ABDE為

直角三角形時，8E的值為.

49.如圖，在A8C中，AB=AC=642>ZBAC=90°,點。、E為8C邊上的兩點，分別

沿A。、AE折疊，B、C兩點重合于點R若。E=5,則A。的長為.

50.已知，在中，ZC=90°,AC=15,8c=8,。為A8的中點，E點在邊AC

上，將△BZ5E沿。E折疊得到△B1DE,若△SOE與△AZJE重疊部分面積為△ADE面積

的一半，則CE=

北師大新版七年級下學期《5.2探索軸對稱的性質(zhì)》2019

年同步練習卷

參考答案與試題解析

填空題（共50小題）

1.如圖，矩形ABCD中，AB=2,BC=3,點E為上一點，且NABE=30°,將△ABE

沿BE翻折，得到△&'BE,連接CA'并延長，與相交于點R則￡＞尸的長為6-

2A/3_.

【分析】如圖作A'”_LBC于H.由△CJDPSZ\A'HC,可得"■=一旦”延長構(gòu)建方

CHA'H

程即可解決問題；

【解答】解：如圖作A'H_L8C于H.

A豆FED

B項c

VZABC=90°,ZABE^ZEBA'=30°,

.'./A'BH=30°,

.?.A7H=1-BA'=1,BH=Jy['H=yf3,

2

:.CH=3-、后,

■:XCDfsXNHC,

?DF=CD

"CHh'H'

?DF=2

.'W丁

:卅=6-2如,

故答案為6-2M.

【點評】本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形30度角性質(zhì)、相似三

角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問

題，屬于中考常考題型.

2.如圖，已知RtZkABC中，ZB=90°,NA=60°,4。=2/5+4,點、M、N分別在線段

AC、AB上，將沿直線MN折疊，使點A的對應點。恰好落在線段BC上，當A

0cM為直角三角形時，折痕MN的長為__組|正近_.

3

【分析】依據(jù)△OCM為直角三角形，需要分兩種情況進行討論：當NCZMf=90°時，△

COM是直角三角形；當/CMC=90°時，△CZJM是直角三角形，分別依據(jù)含30°角的

直角三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到折痕MN的長.

【解答】解：分兩種情況：

①如圖，當NCZ)M=90°時，△CNW是直角三角形，

:在RtZXABC中，ZB=90°,ZA=60°,AC=2后4,

.?.NC=30°,AB=Lc=我+2,

2

由折疊可得，ZMDN=ZA=60°,

:.NBDN=30°,

:.BN=lj)N=l~AN,

22

:.BN=UB=M+2,

33

/.AN=2BN=2'J3+4,

3

?：/DNB=60°,

：.ZANM=ZDNM=60°,

/.ZAMN^60°,

:.AN=MN=2?+4；

3

②如圖，當/。0。=90°時，△CAM是直角三角形,

由題可得，ZCDM^60°,ZA=ZMDN^60°,

：.ZBDN=6Q°,NBND=3Q°,

又?.,48=北+2,

：.AN=2,BN=北,

過N作NHL4M于H,則/ANH=30°,

：.AH=1AN=1,HN=yJs，

2

由折疊可得，/AMN=/DMN=45°,

4MNH是等腰直角三角形，

:.HM=HN=M，

:.MN=K

故答案為：2獨+4或泥.

3

【點評】本題考查了翻折變換-折疊問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是

解題的關鍵.折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對應邊和對應角相等.

3.如圖，已知正方形ABC。的邊長是4,點￡是AB邊上一動點，連接CE,過點2作BG

LCE于點G,點尸是邊上另一動點，則PD+PG的最小值為」舊-2_

【分析】作OC關于A8的對稱點。'C,以8C中的O為圓心作半圓。，連。'。分

別交48及半圓。于P、G.將PD+PG轉(zhuǎn)化為G找到最小值.

取點。關于直線4B的對稱點.以8C中點。為圓心，。8為半徑畫半圓.

連接0。'交AB于點P,交半圓。于點G,連BG.連CG并延長交AB于點E.

由以上作圖可知，8G_LEC于G.

PD+PG=PD'+PG=D'G

由兩點之間線段最短可知，此時PD+PG最小.

,:D'C=4,0C=6

:'D0=V42+62=2A/13

：.D'G=2A/13-2

：.PD+PG的最小值為2Ji互-2

故答案為：2標-2

【點評】本題考查線段和的最小值問題，通常思想是將線段之和轉(zhuǎn)化為固定兩點之間的

線段和最短.

4.如圖，在中，NC=90°,8C=2?,AC=2,點。是BC的中點，點E是邊

A3上一動點，沿DE所在直線把△瓦汨翻折到AB'OE的位置，B'D交AB于點F.若

AAB'歹為直角三角形，則AE的長為3或兇.

5—

【分析】利用三角函數(shù)的定義得到乙8=30°,AB=4,再利用折疊的性質(zhì)得。B=OC=

如,EB'=EB,ZDB'E=/B=30°,設AE=尤，則2E=4-x,EB'=4-x,討論：

當/AFB'=90°時，貝1]，8/=必0$30°=3,則EF=W-(4-x)=x-反，于是在

222

RtABzEF中利用EB'=2EP得到4-尤=2(x-3),解方程求出x得到此時AE的長；

2

若B'不落在C點處，作EH_LAB'于H,連接A。，如圖，證明Rt^AZJB'^RtAADC

得到AB=AC=2,再計算出NEB'H=60：則4H=±(4-x),E7/=1(4-x),

22

接著利用勾股定理得到工(4-x)2+[1(4-尤)+2/=，，方程求出》得到此時AE的長.

42

【解答】解：VZC=90°,BC=2yf3,AC=2,

.'.tanB=也=—^—=2^,

BC2V33

；./8=30°,

：.AB=2AC=4,

?/點D是BC的中點，沿DE所在直線把翻折到AB'DE的位置，B'D交AB于

點、F

:.DB=DC=如,EB'=EB,ZDB'E=ZB=30°,

設AE=x,貝ij8E=4-x,EB'=4-x,

當NAF夕=90°時，

在RtZXB。尸中，cosB=里，

BD

.*.BF=A/3COS30°=-5-,

'.EF—--(4-x)=x-且

22

在RtZ\B'EE中，'：ZEB'F=30°,

：.EB'=2EF,

即4-x=2(x-旦)，解得x=3,此時AE為3；

2

若夕不落在C點處，作于H,連接A。，如圖，

,:DC=DB',AD=AD,

J.RtAADB'^RtAADC,

：.AB'=AC=2,

VZAB'E=NAB'F+ZEB'尸=90°+30°=120°,

：.ZEB'H=60°,

在RtzXE/ffi'中，B'H=XB,￡=工(4-尤)，EH^JSB'(4-x),

222

在RtAAEH中，,/EH2+AH2=AE1,

(4-x)2+[l-(4-x)+2]2=X2,解得X=JA,此時AE為更.

4255

綜上所述，AE的長為3或旦.

5

故答案為3或兇.

【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形

的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.也考查了含30度的直角三角形三

邊的關系和勾股定理.

5.如圖，將面積為32、歷的矩形488沿對角線BD折疊，點A的對應點為點P,連接AP

交BC于點、E.若BE=?,則AP的長為_上回

3-

【分析】設AB=Q,AD=b,則次?=32構(gòu)建方程組求出〃、匕即可解決問題;

【解答】解：設AD=b,貝6=32加,

由△ABE's△DAB可得：巫=酗,

ABAD

2

/.cP—64,

.,.a=4,Z?=8A/2>

設外交8D于。.

5D22=12>

在RtZvlB。中，=^AB+AD

...QP=QA=AB"AD=竺工,

BD3

3

故答案為使企.

【點評】本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基

本知識，屬于中考?？碱}型.

6.如圖，在菱形ABC。中，ZABC=120°,將菱形折疊，使點A恰好落在對角線2。上的

點G處（不與8、。重合），折痕為ER若DG=2,BG=6,則BE的長為2.8.

【分析】作于〃，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EG=EA,根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角

形的判定定理得到△ABO為等邊三角形，得到A8=8。，根據(jù)勾股定理列出方程，解方

程即可.

【解答】解：作EHA.BD于H,

由折疊的性質(zhì)可知，EG=EA,

由題意得，BD=DG+BG=8,

:四邊形ABC。是菱形,

：.AD=AB,ZABD^XCBD^LZABC^60°,

2

△AB。為等邊三角形，

：.AB^BD^S,

設BE=x,貝ljEG=AE=S-x,

在RtZ^EHB中，BH=hc,EH=^ix,

22_

在RtZ\EHG中，EG2=EH1+GH2,即(8-x)2=(2^)2+(6-Xc)2

22

解得，尤=2.8,即BE=2.8,

【點評】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形，掌握

翻轉(zhuǎn)變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應

角相等是解題的關鍵.

7.如圖，等腰△ABC的底邊8C=20,面積為120,點尸在邊2C上，且3尸=3%,EG是

腰AC的垂直平分線，若點。在EG上運動，則△CDC周長的最小值為點.

'E

【分析】如圖作AH_LBC于H,連接AD由EG垂直平分線段AC,推出D4=DC,推

出。F+OC=AO+Z)E可得當A、D、尸共線時，。尸+OC的值最小，最小值就是線段AF

的長；

【解答】解：如圖作AXL2C于〃，連接AD

4

TEG垂直平分線段AC,

：.DA=DC,

：.DF+DC=AD+DF,

???當A、D、b共線時，。回+OC的值最小，最小值就是線段Ab的長，

???L?3C?AH=120,

2

：.AH=12,

9

：AB=AC,AH±BCf

:?BH=CH=10,

?:BF=3FC,

:?CF=FH=5,

,AF=VAH2+HF2=V122+52=13,

.?.Z)F+nC的最小值為13.

...△CO/周長的最小值為13+5=18；

故答案為18.

【點評】本題考查軸對稱-最短問題、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等

知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱，解決最短問題，屬于中考?？碱}型.

8.如圖，在菱形ABC。中，tanA=_l,M,N分別在邊ADBC上,將四邊形AMN2沿MN

3

翻折，使AB的對應線段￡廠經(jīng)過頂點。，當EBLA。時，現(xiàn)的值為2.

CN一「

【分析】首先延長NF與。C交于點”，進而利用翻折變換的性質(zhì)得出NH_LZ)C,再利用

邊角關系得出BN,CN的長進而得出答案.

【解答】解：延長NF與。C交于點反，

VZADF=90°,

：.ZA+ZFDH=9Q°,

VZDFN+ZDFH^180°,ZA+ZB=180°,NB=NDFN,

NA=/DFH,

：.ZFDH+ZDFH=90°,

：.NH±DC,

設。M=4左，DE=3k,EM=5k,

：.AD=9k^DC,DF=6k,

tanA=tanZDFH=

3

則sin/DFH=a,

5

：.DH=i-DF=2iji,

55

:.CH=9k-0=0,

55

*/cosC=cosA=^1=—,

NC5

：.CN=^-CH=lk,

3

【點評】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及解直角三角形，正確表示出CN的長是解

題關鍵.

9.如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,BC=6,CD是斜邊A2上的中線，將△BCD沿

直線C。翻折至△EC。的位置，連接AE.DE//AC,計算AE的長度等于—2如_.

【分析】根據(jù)題意、解直角三角形、菱形的性質(zhì)、翻折變化可以求得AE的長.

【解答】解：由題意可得,

DE=DB=CD=1AB,

2

ZDEC=ZDCE=ZDCB,

'：DE//AC,ZDCE^ZDCB,90°,

:./DEC=ZACE,

：.NDCE=ZACE^NDCB=30°,

ZACD=60°,ZCAD=60°,

△AC。是等邊三角形，

：.AC^CD,

J.AC^DE,

'：AC//DE,AC=CD,

四邊形ACDE是菱形，

?.?在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=6,ZB=30°,

*'"AC=2,^3，

：.AE=2M.

【點評】本題考查翻折變化、平行線的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關

鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

10.如圖，在等邊三角形ABC中，A8=2小機，點M為邊8c的中點，點N為邊上的

任意一點（不與點A,B重合），若點B關于直線MN的對稱點g恰好落在等邊三角形ABC

的邊上，則BN的長為—空或爽」

【分析】如圖1,當點8關于直線MN的對稱點8恰好落在等邊三角形ABC的邊AB上

時，于是得到MNLAB,,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到=AC=BC,ZABC^

60°,根據(jù)線段中點的定義得到如圖2,當點3關于直線MN的對稱

22

點8’恰好落在等邊三角形A8C的邊A,C上時，則MN_LB8',四邊形8MN是菱形,

根據(jù)線段中點的定義即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖1,當點8關于直線MN的對稱點8恰好落在等邊三角形ABC的邊

上時，

貝!|MN_LAB,BN=BN',

,/AABC是等邊三角形，

：.AB=AC^BC,NA3C=60°,

?..點M為邊BC的中點，

BM=1-BC=IAB=-Js，

22

:.BN=LBM=^-,

22

如圖2,當點8關于直線MN的對稱點⑶恰好落在等邊三角形ABC的邊A,C上時，

則MN_L88'，四邊形8MB'N是菱形，

?.?/A8C=60°,點〃為邊8C的中點，

/.BN=BM=1_2C=工48=J5，

22

故答案為：亨或立.

【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，分類討論

是解題的關鍵.

11.在△ABC中，NC=90°,BC=3,AB=5,點。在△ABC的邊上，且AD=1,將△ABC

折疊，使點B落在點D處，折痕交邊AB于點E,交另一邊于點F,則BE=2或型.

7-

【分析】分兩種情況：①。在A8邊上，易得BE=DE=LBD=2；②。在AC邊上，根

2

據(jù)角平分線的性質(zhì)可求

【解答】解：分兩種情況：

①。在AB邊上，如圖1.

?..將△ABC折疊，使點8落在點。處，折痕交邊AB于點E,交另一邊于點F,

;.BE=DE=LBD,

2

VAB=5,AD=1,

；.BD=AB-AD=5-1=4,

：.BE=2；

②。在AC邊上，如圖2.

?.?在△ABC中，ZC=90°,BC=3,AB=5,

AAC=VAB2-BC2=4,

VA￡>=1,

；。=3,

：.BC=CD=3,

?.?將△ABC折疊，使點8落在點。處，折痕交邊AB于點E,交另一邊于點尸,

；.C與"重合,

/BCE=ZDCE,

?BE=BC；

"AE而‘

?BE=3

5-BE丁

解得BE=1^-.

7

故答案為2或逝.

7

【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形

的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.也考查了勾股定理以及角平分線

的性質(zhì).進行分類討論是解題的關鍵.

12.如圖，在矩形紙片A2CZ）中，AB=2,AD=3,點E是AB的中點，點尸是A。邊上的

一個動點，將斯沿斯所在直線翻折，得到△&'跖,則A'C的長的最小值是_近5

-1

【分析】以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE,當點A'在線段CE上時，A'

C的長取最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知A'E=l,在Rt^BCE中利用勾股定理可求出CE

的長度，用CE-A'E即可求出結(jié)論.

【解答】解：以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE,當點A'在線段CE上時，

A'C的長取最小值，如圖所示.

根據(jù)折疊可知：A'E=AE=LAB=\.

2

在Rt/XBCE中，BE=LAB=\,8C=3,ZB=90°,

2

,C￡=VBE2+BC2=

.?.A'C的最小值=。￡-1￡=V10-1.

故答案為：1.

【點評】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，利用作圓，找出A'C取最

小值時點4的位置是解題的關鍵.

13.在矩形紙片ABCD中，AD=8,AB=6,E是邊8C上的點，將紙片沿AE折疊，使點B

落在點F處，連接尸C,當△EFC為直角三角形時，8E的長為3或6.

【分析】由AD=8、A2=6結(jié)合矩形的性質(zhì)可得出AC=10,△斯C為直角三角形分兩種

情況：①當NEPC=90°時，可得出AE平分NBAC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出理=

6

8-BE,解之即可得出BE的長度；②當NFEC=90°時，可得出四邊形為正方形,

10

根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得出BE的長度.

【解答】解：；AO=8,AB=6,四邊形ABC。為矩形，

.?.BC=AD=8,ZB=90°,

?■-AC=VAB2+BC2=1°-

△EFC為直角三角形分兩種情況：

①當/￡7(=90°時，如圖1所示.

VZAFE=ZB=90°,/EFC=9Q°,

點尸在對角線AC上，

平分/BAC,

?BE_ECpnBE—8-BE

ABAC610

：.BE=3；

②當NFEC=90°時，如圖2所示.

VZFEC=90°,

：.ZFEB=90°,

ZAEF=ZBEA=45°,

???四邊形ABE尸為正方形，

:?BE=AB=6.

綜上所述：BE的長為3或6.

【點評】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)以

及勾股定理，分NEPC=90°和/FEC=90°兩種情況尋找BE的長度是解題的關鍵.

14.如圖，將口48。沿EF對折，使點A落在點C處，若NA=60°,AD=4,AB=6,則

AE的長為11.

—4―

【分析】過點C作CGLAB的延長線于點G,易證△?CF^^ECB(ASA),從而可知

D'F=EB,CF=CE,設AE=x,在ACEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值.

【解答】解：過點C作CGUB的延長線于點G,

^ABCD中，

ZD=ZEBC,AD=BC,NA=NDCB,

由于口ABC。沿EF對折，

/.ZD'=/D=/EBC,ND'CE=NA=NDCB,

D'C=AD=BC,

：.AD'CF+ZFCE=ZFCE+ZECB,

AZD'CF=/ECB,

在△?C尸與△ECB中，

'NX=ZEBC

，D'C=BC

,/D‘CF=ZECB

：./\D'CF/AECB(ASA)

：,D'F=EB,CF=CE,

?：DF=D'F,

：.DF=EB,AE=CF

設AE=x,

貝I]￡B=6-x,CF=x,

：BC=4,ZCBG=60°,

.?.26=n。=2,

2

由勾股定理可知：CG=2日，

；.EG=EB+BG=6-x+2=8-x

在△CEG中，

由勾股定理可知：（8-x）2+2=，，

解得：

4

故答案為：11

4

D'

【點評】本題考查平行四邊形的綜合問題，解題的關鍵是證明△￡>'CF咨4ECB,然后

利用勾股定理列出方程，本題屬于中等題型.

15.如圖所示，正方形A2CD的邊長為6,△回￡是等邊三角形，點E在正方形ABC。內(nèi)，

在對角線AC上有一點尸，使PD+PE的和最小，則這個最小值為6.

【分析】由于點8與。關于AC對稱，所以連接8。，交AC于尸點.此時PD+PE的最

小值=BE,而BE是等邊△ABE的邊，BE=AB,由正方形48CD的邊長為6,可求出A8

的長，從而得出結(jié)果.

【解答】解：設3E與AC交于點P,連接8。，

:點B與D關于AC對稱，

：.PD=PB,

：.PD+PE=PB+PE=BE最〃、.

即尸在AC與BE的交點上時，PD+PE最小,為BE的長度;

,/正方形ABCD的邊長為6,

.'.AB=6.

又???△A8E是等邊三角形，

；.BE=AB=6.

故所求最小值為6.

故答案為：6.

【點評】此題主要考查軸對稱--最短路線問題，要靈活運用對稱性解決此類問題.

16.如圖，在Rt^ABC中，ZA=90°，AB=AC,BC=y[^l,點、M,N分別是邊8C,AB

上的動點，沿所在的直線折疊使點B的對應點B'始終落在邊AC上，若△MB'

C為直角三角形，則BM的長為—1叵與1

_2

，B'與A重合，M是的中點，于是得到結(jié)論;

②如圖2,當/MB'C=90°,推出△CM夕是等腰直角三角形，得到,

列方程即可得到結(jié)論.

【解答】解：①如圖1,

當/B'MC=90°,B'與A重合，〃是BC的中點,

BM=LBC=kJo+L；

222

②如圖2,當NMB'C=90°,

VZA=90°,AB=AC,

AZC=45°,

：.^CMB'是等腰直角三角形，

：.CM=y/2MB',

:沿MN所在的直線折疊N8,使點B的對應點夕，

：.BM=B'M,

"：BC=yp2+1,

：.CM+BM=y[2BM+BM=1，

綜上所述，若△MBC為直角三角形，則的長為上正+2?或1,

22

【點評】本題考查了翻折變換-折疊問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是

解題的關鍵.

17.如圖，已知A￡)〃8C,ABLBC,A8=3,點E為射線BC上一個動點，連接AE,將4

ABE沿AE折疊，點B落在點B'處，過點作的垂線，分別交A。，BC于點

N.當點次為線段MN的三等分點時，8E的長為_之畫或必區(qū)_.

【分析】根據(jù)勾股定理，可得EB',根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得EN的長，根據(jù)勾股

定理，可得答案.

由翻折的性質(zhì)，得

AB=AB',BE=B'E.

①當MB'=2,B'N=1時，設EN=x,得

B'"G+r

△B'ENsAAB'M,

EN=B'E即x_=4x2+l

PTAB，，7-3~

△2'ENsAAB'M,

EN=B'E即壬=夕+4

B'MAB，，T-3一，

解得/=/BE=B'E=^L+4=^1