高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)精講+精練(人教A版2019必修第二冊(cè))第02講用樣本估計(jì)總體(原卷版+解析)

第2講用樣本估計(jì)總體知識(shí)點(diǎn)1頻率分布表與頻率分布直方圖1、頻率與頻數(shù)將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個(gè)小組，各個(gè)小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，叫做該組的頻數(shù)；每組數(shù)據(jù)的頻數(shù)除以全體數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的商，叫做該組數(shù)據(jù)的頻率.頻率反映各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本量中所占比例的大小.2、樣本的頻率分布及頻率分布表根據(jù)隨機(jī)抽取的樣本量的大小，分別計(jì)算某一事件出現(xiàn)的頻率，這些頻率的分布規(guī)律(取值狀況)，就叫做樣本的頻率分布.為了能直觀的顯示樣本的頻率分布情況，通常將樣本量、樣本中出現(xiàn)該事件的頻數(shù)以及計(jì)算所得的相應(yīng)頻率列在一張表中，這張表叫做頻率分布表.分組、頻數(shù)、頻率是頻率分布表中最基本也是必要的三列.在實(shí)際操作中，每組的頻數(shù)是通過類似統(tǒng)計(jì)選票時(shí)的“唱票”的方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的，所以通常頻率分布表中還會(huì)有“頻數(shù)累計(jì)”一列.注：①對(duì)頻率分布表的理解：頻率分布表給出了各個(gè)區(qū)間的頻數(shù)和頻率。由此可以估計(jì)這組數(shù)的分布情況，樣本頻率分布是總體分布的一種近似情況.②樣本的抽取必須是隨機(jī)的：用樣本頻率分布來估計(jì)總體分布時(shí)，要使樣本很好地反映總體的特征，必須隨機(jī)抽取樣本.如果隨機(jī)抽取另外一個(gè)樣本量相同的樣本，所形成的樣本頻率分布一般會(huì)與前一個(gè)樣本頻率分布有所不同，但是他們都可以近似的估計(jì)總體的分布.3、頻率分布直方圖為了將頻率分布表中的結(jié)果直觀形象地表現(xiàn)出來，常畫出頻率分布直方圖.畫圖時(shí)應(yīng)以橫軸表示分組，縱軸表示各組頻率與組距的比值，以各個(gè)組距為底，以各頻率除以組距的商為高，畫成小長(zhǎng)方形，這樣得到的直方圖就是頻率分布直方圖.①繪制頻率分布直方圖的步驟(1)計(jì)算極差，需要找出這組數(shù)的最大值和最小值，當(dāng)數(shù)據(jù)很多時(shí)，可選一個(gè)數(shù)當(dāng)參照．(2)將一批數(shù)據(jù)分組，目的是要描述數(shù)據(jù)分布規(guī)律，要根據(jù)數(shù)據(jù)多少來確定分組數(shù)目，一般來說，數(shù)據(jù)越多，分組越多．(3)將數(shù)據(jù)分組，決定分點(diǎn)時(shí)，一般使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第一組的起點(diǎn)稍微減小一點(diǎn)．(4)列頻率分布表時(shí)，可通過逐一判斷各個(gè)數(shù)據(jù)落在哪個(gè)小組內(nèi)，以“正”字確定各個(gè)小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)．(5)畫頻率分布直方圖時(shí)，縱坐標(biāo)表示頻率與組距的比值，一定不能標(biāo)成頻率．注：①頻數(shù)分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻數(shù)，每一組數(shù)對(duì)應(yīng)的矩形的高度與頻數(shù)成正比；頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是eq\f(頻率,組距)，每一組數(shù)對(duì)應(yīng)的矩形高度與頻率成正比，而且每個(gè)矩形的面積等于這一組數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率，所有矩形的面積之和為1.②樣本組數(shù)、組距與分點(diǎn)的確定：（1）對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，組距的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，組數(shù)太多或太少都會(huì)影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況.數(shù)據(jù)分組的組數(shù)與樣本量有關(guān)，一般樣本量越大，所分組數(shù)越多，當(dāng)樣本量不超過100時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少，通常分成5~12組，且根據(jù)組數(shù)=極差/組距來大致確定組數(shù)（2）為了實(shí)際操作方便，組距的選擇應(yīng)結(jié)合極差盡量“取整”，例如極差約為1，組距可以選擇0.1的整數(shù)倍，比如以0.1或0.2為組距；極差約為10，組距可以選擇1的整數(shù)倍，比如以1或2為組距；極差約為100，組距可以選擇10的整數(shù)倍，比如以10或20為組距.如果極差不利于分組，不能被組距整除，可以適當(dāng)增加極差，如在左右兩端各增加適當(dāng)范圍，并盡量使兩端增加量相同（3）分點(diǎn)的確定：若數(shù)據(jù)為整數(shù)，則分點(diǎn)數(shù)據(jù)減去0.5；若數(shù)據(jù)是小數(shù)點(diǎn)后有一位數(shù)字的數(shù)，則分點(diǎn)數(shù)據(jù)減去0.05，以此類推.分組時(shí)，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在的區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間.知識(shí)點(diǎn)2統(tǒng)計(jì)圖表?xiàng)l形圖、折線圖及扇形圖(1)條形圖：建立直角坐標(biāo)系，用橫軸(橫軸上的數(shù)字)表示樣本數(shù)據(jù)類型，用縱軸上的單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)每個(gè)樣本(或某個(gè)范圍內(nèi)的樣本)的數(shù)量多少畫出長(zhǎng)短不同的等寬矩形，然后把這些矩形按照一定的順序排列起來，這樣一種表達(dá)和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為條形圖．優(yōu)點(diǎn)：條形統(tǒng)計(jì)圖不但可以直觀的反映數(shù)據(jù)分布的大致情況，還可以清晰地表示出各個(gè)區(qū)間的具體數(shù)目，易于比較數(shù)據(jù)間的差別.缺點(diǎn)：會(huì)損失數(shù)據(jù)的部分信息，且不能明確顯示部分與整體的關(guān)系.(2)折線圖：建立直角坐標(biāo)系，用橫軸上的數(shù)字表示樣本值，用縱軸上的單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)樣本值和數(shù)量的多少描出相應(yīng)各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接，得到一條折線，用這種折線表示出樣本數(shù)據(jù)的情況，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為折線圖．優(yōu)點(diǎn)：折線統(tǒng)計(jì)圖不但可以表示數(shù)量的多少，還可以通過折線的起伏清楚直觀地表示數(shù)量的增減變化情況.缺點(diǎn)：折線統(tǒng)計(jì)圖不能直觀反映數(shù)據(jù)的分布情況，且不適合總體分布較多的情況(3)扇形圖：用一個(gè)圓表示總體，圓中各扇形分別代表總體中的不同部分，每個(gè)扇形的大小反映所表示的那部分占總體的百分比的大小，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為扇形圖．優(yōu)點(diǎn)：扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚的表示各部分與總體之間的關(guān)系，即扇形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比缺點(diǎn)：會(huì)損失數(shù)據(jù)的部分信息，且不能明確顯示部分與整體的關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)3百分位數(shù)(1)一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．(2)計(jì)算一組幾個(gè)數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．第2步，計(jì)算i＝n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．(3)四分位數(shù)即把所有數(shù)值由小到大排列并分成四等份，處于三個(gè)分割點(diǎn)位置的數(shù)值就是四分位數(shù)．其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等．知識(shí)點(diǎn)4總體集中趨勢(shì)的估計(jì)1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的理解(1)一組數(shù)據(jù)中，某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為這個(gè)數(shù)據(jù)的頻數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．注：如果有幾個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同，并且比其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都多，那么這幾個(gè)數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中，每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則認(rèn)為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)．(2)如果一組數(shù)有奇數(shù)個(gè)數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n＋1，則稱xn＋1為這組數(shù)的中位數(shù)；如果一組數(shù)有偶數(shù)個(gè)數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n，則稱eq\f(xn＋xn＋1,2)為這組數(shù)的中位數(shù)．(3)如果給定的一組數(shù)是x1，x2，…，xn，則這組數(shù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．2．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的比較名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)眾數(shù)①體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)；②容易計(jì)算①它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息；②無法客觀地反映總體的特征中位數(shù)①不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響；②容易計(jì)算，便于利用中間數(shù)據(jù)的信息對(duì)極端值不敏感平均數(shù)代表性較好，是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量．一般情況下，可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變．?dāng)?shù)據(jù)越“離群”，對(duì)平均數(shù)的影響越大知識(shí)點(diǎn)5總體離散程度的估計(jì)1、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，用eq\x\to(x)表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為＝（－），方差可用s2表示，標(biāo)準(zhǔn)差為.如果a，b為常數(shù)，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為s2a2.2、總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的定義如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為，則稱S2＝eq\f(1,N)為總體方差，S＝eq\r(S2)為總體標(biāo)準(zhǔn)差．如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(k≤N)個(gè)，記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\f(1,N).3、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為，則稱為樣本方差，s＝eq\r(s2)為樣本標(biāo)準(zhǔn)差．4、方差、標(biāo)準(zhǔn)差特征(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。?2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍：[0，＋∞)．標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí)，樣本各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性．(3)標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2稱為方差，有時(shí)用方差代替標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量樣本數(shù)據(jù)的離散程度．方差與標(biāo)準(zhǔn)差的測(cè)量效果是一致的，在實(shí)際應(yīng)用中一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差．(4)標(biāo)準(zhǔn)差的單位與樣本數(shù)據(jù)一致．考點(diǎn)一繪制頻率分布直方圖解題方略：繪制頻率分布直方圖應(yīng)注意的2個(gè)問題(1)在繪制出頻率分布表后，畫頻率分布直方圖的關(guān)鍵就是確定小矩形的高．一般地，頻率分布直方圖中兩坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度是不一致的，合理的定高方法是“以一個(gè)恰當(dāng)?shù)膯挝婚L(zhǎng)度”(沒有統(tǒng)一規(guī)定)，然后以各組的“頻率/組距”所占的比例來定高．如我們預(yù)先設(shè)定以“”為一個(gè)單位長(zhǎng)度，代表“0.1”，則若一個(gè)組的eq\f(頻率,組距)為0.2，則該小矩形的高就是“”(占兩個(gè)單位長(zhǎng)度)，如此類推．(2)數(shù)據(jù)要合理分組，組距要選取恰當(dāng)，一般盡量取整，數(shù)據(jù)為30～100個(gè)左右時(shí)，應(yīng)分成5～12組，在頻率分布直方圖中，各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于各組的頻率，小長(zhǎng)方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和為1.【例1】從一群學(xué)生中抽取一個(gè)一定容量的樣本對(duì)他們的學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行分析，已知不超過70分的人數(shù)為8，其累計(jì)頻率為0.4，則這個(gè)樣本的容量是()A．20 B．40C．70 D．80變式1：將容量為100的樣本數(shù)據(jù)，按由小到大排列分成8個(gè)小組，如下表所示：組號(hào)12345678頻數(shù)101314141513129第3組的頻率和累積頻率為()A．0.14和0.37B.eq\f(1,14)和eq\f(1,27)C．0.03和0.06 D.eq\f(3,14)和eq\f(6,37)變式2：一個(gè)容量為80的樣本中，數(shù)據(jù)的最大值為152，最小值為60，組距為10，應(yīng)將樣本數(shù)據(jù)分為()A．10組 B．9組C．8組 D．7組變式3：某校高三(1)班共有40名學(xué)生，他們每天自主學(xué)習(xí)的時(shí)間全部在180分鐘到330分鐘之間，按他們學(xué)習(xí)時(shí)間的長(zhǎng)短分5個(gè)組統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布表：第一組[180,210)40.10第二組[210,240)8s第三組[240,270)120.30第四組[270,300)100.25第五組[300,330]6t則分布表中s，t的值分別為________，________.變式4：一個(gè)農(nóng)技站為了考察某種大麥穗生長(zhǎng)的分布情況，在一塊試驗(yàn)田里抽取了100株麥穗，量得長(zhǎng)度如下(單位：cm)：6．56.46.75.85.95.95.24.05.44.65．85.56.06.55.16.55.35.95.55.86．25.45.05.06.86.05.05.76.05.56．86.06.35.55.06.35.26.07.06.46．45.85.95.76.86.66.06.45.77.46．05.46.56.06.85.86.36.06.35.65．36.45.76.76.25.66.06.76.76.05．66.26.15.36.26.86.64.75.75.75．85.37.06.06.05.95.46.05.26.06．35.76.86.14.55.66.36.05.86.3根據(jù)上面的數(shù)據(jù)列出頻率分布表，繪制出頻率分布直方圖，并估計(jì)在這塊試驗(yàn)田里長(zhǎng)度在5.75～6.35cm之間的麥穗所占的百分比．變式5：某中學(xué)從高一年級(jí)隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行智力測(cè)驗(yàn)，其得分如下(單位：分)：4864528671486441867971688284686462688157905274735678476655645688694073976856675970527944556962583258根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，回答下列問題：(1)這次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的最高分和最低分分別是多少？(2)將區(qū)間[30,100]平均分成7個(gè)小區(qū)間，試列出這50名學(xué)生智力測(cè)驗(yàn)成績(jī)的頻率分布表，進(jìn)而畫出頻率分布直方圖．考點(diǎn)二頻率分布直方圖的應(yīng)用解題方略：頻率分布直方圖的性質(zhì)(1)每個(gè)小矩形的面積表示樣本數(shù)據(jù)落在該組內(nèi)的頻率．(2)所有小矩形的面積和等于1.(3)利用一組的頻數(shù)和頻率，可以求樣本量．【例2】如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖，則由圖中的數(shù)據(jù)可知，樣本落在[15,20]內(nèi)的頻數(shù)為()A．20 B．30C．40 D．50變式1：某廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，如圖是抽檢產(chǎn)品凈重(單位：克)的頻率分布直方圖，樣本數(shù)據(jù)分組為[76,78)，[78,80)，…，[84,86]．若這批產(chǎn)品有120個(gè)，估計(jì)其中凈重大于或等于78克且小于84克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是()A．12 B．18C．25 D．90變式2：如圖是某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖，其中成績(jī)分組區(qū)間是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，則圖中x的值等于()A．0.120 B．0.180C．0.012 D．0.018變式3：某工廠對(duì)一批元件進(jìn)行抽樣檢測(cè)．經(jīng)檢測(cè)，抽出的元件的長(zhǎng)度(單位：mm)全部介于93至105之間．將抽出的元件的長(zhǎng)度以2為組距分成6組：[93,95)，[95,97)，[97,99)，[99,101)，[101,103)，[103,105]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．若長(zhǎng)度在[97,103)內(nèi)的元件為合格品，根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這批元件的合格率是()A．80% B．90%C．20% D．85.5%變式4：在樣本的頻率分布直方圖中，某個(gè)小長(zhǎng)方形的面積是其他小長(zhǎng)方形面積之和的eq\f(1,4)，已知樣本量是80，則該組的頻數(shù)為()A．20 B．16C．30 D．35變式5：從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：組號(hào)分組頻數(shù)1[0,2)62[2,4)83[4,6)174[6,8)225[8,10)256[10,12)127[12,14)68[14,16)29[16,18]2合計(jì)100(1)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率；(2)求頻率分布直方圖中的a，b的值；(3)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組．變式6：某電子商務(wù)公司對(duì)10000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者2019年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)直方圖中的a＝________；(2)在這些購(gòu)物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為________人．考點(diǎn)三統(tǒng)計(jì)圖【例3】某地農(nóng)村2004年到2019年間人均居住面積的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則增長(zhǎng)最多的5年為()A．2004年～2009年 B．2009年～2014年C．2014年～2019年 D．無法從圖中看出變式1：甲、乙兩個(gè)城市2019年4月中旬，每天的最高氣溫統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，這9天里，氣溫比較穩(wěn)定的城市是________．變式2：觀察下圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，下列結(jié)論正確的是()A．甲校女生比乙校女生多B．乙校男生比甲校男生少C．乙校女生比甲校男生少D．甲、乙兩校女生人數(shù)無法比較變式3：如圖是根據(jù)某中學(xué)為地震災(zāi)區(qū)捐款的情況而制作的統(tǒng)計(jì)圖．已知該校在校學(xué)生3000人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算該校共捐款________元．考點(diǎn)四總體百分位數(shù)的估計(jì)解題方略：總體百分位數(shù)估計(jì)需要注意的兩個(gè)問題(1)總體百分位估計(jì)的基礎(chǔ)是樣本百分位數(shù)的計(jì)算，因此計(jì)算準(zhǔn)確是關(guān)鍵；(2)由于樣本量比較少，因此對(duì)總體的估計(jì)可能存在誤差，因此對(duì)總體百分位數(shù)的估計(jì)一般是估計(jì)值而非精確值．【例4】900,920,920,930,930的20%分位數(shù)是________．變式1：5,6,7,8,9,10,11,12,13,14的25%分位數(shù)為________，75%分位數(shù)為________，90%分位數(shù)為________．變式2：為了解畢業(yè)生工作情況，某高校對(duì)12名應(yīng)屆畢業(yè)生起始月薪作了統(tǒng)計(jì)如下：畢業(yè)生起始月薪畢業(yè)生起始月薪123456285029503050288027552710789101112289031302940332529202880則第85百分位數(shù)是________．變式3：考察某校高二年級(jí)男生的身高，隨機(jī)抽取40名高二男生，實(shí)測(cè)身高數(shù)據(jù)(單位：cm)如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170160168174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161請(qǐng)估計(jì)該校高二年級(jí)男生身高的第25,50,75百分位數(shù)．考點(diǎn)五眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算解題方略：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法平均數(shù)一般是根據(jù)公式來計(jì)算的；計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)時(shí)，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，再根據(jù)各自的定義計(jì)算．【例5】下列說法中，不正確的是()A．?dāng)?shù)據(jù)2,4,6,8的中位數(shù)是4,6B．?dāng)?shù)據(jù)1,2,2,3,4,4的眾數(shù)是2,4C．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)有可能是同一個(gè)數(shù)據(jù)D．8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，另3個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，則這11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\f(8×5＋7×3,11)變式1：抽樣調(diào)查了某班30位女生所穿鞋子的尺碼，數(shù)據(jù)如下(單位：碼)．在這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中，鞋廠最感興趣的是()碼號(hào)3334353637人數(shù)761511A．平均數(shù) B．中位數(shù)C．眾數(shù) D．無法確定變式2：有13位同學(xué)參加學(xué)校組織的才藝表演比賽，已知他們所得的分?jǐn)?shù)互不相同，共設(shè)7個(gè)獲獎(jiǎng)名額，某同學(xué)知道自己的比賽分?jǐn)?shù)后，要判斷自己能否獲獎(jiǎng)，在這13名同學(xué)成績(jī)的統(tǒng)計(jì)量中只需知道一個(gè)量，它是__________(填“眾數(shù)”“中位數(shù)”或“平均數(shù)”)．【例6】某班50名學(xué)生的一次安全知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)分布如表所示：(滿分10分)成績(jī)(分)012345678910人數(shù)(人)0001013561915這次安全知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)是()A．5分 B．6分C．9分 D．10分變式1：某校舉行“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”演講比賽，學(xué)校對(duì)30名參賽選手的成績(jī)進(jìn)行了分組統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：分?jǐn)?shù)x(分)4≤x＜55≤x＜66≤x＜77≤x＜88≤x＜99≤x＜10頻數(shù)268554由上可知，參賽選手分?jǐn)?shù)的中位數(shù)所在的分?jǐn)?shù)段為()A．5≤x＜6 B．6≤x＜7C．7≤x＜8 D．8≤x＜9變式2：假期里小菲和小琳結(jié)伴去超市買水果，三次購(gòu)買的草莓價(jià)格和數(shù)量如下表，從平均價(jià)格看，買得比較劃算的是()價(jià)格/(元/kg)12108合計(jì)/kg小菲購(gòu)買的數(shù)量/kg2226小琳購(gòu)買的數(shù)量/kg1236A．一樣劃算 B．小菲劃算C．小琳劃算 D．無法比較變式3：某市4月份日平均氣溫統(tǒng)計(jì)圖情況如圖所示，則在日平均氣溫這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是()A．13,13 B．13,13.5C．13,14 D．16,13變式4：某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，則該小組成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()A．85分，85分，85分 B．87分，85分，86分C．87分，85分，85分 D．87分，85分，90分變式5：統(tǒng)計(jì)學(xué)校排球隊(duì)員的年齡，發(fā)現(xiàn)有12、13、14、15等四種年齡，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：年齡(歲)12131415人數(shù)(個(gè))2468根據(jù)表中信息可以判斷該排球隊(duì)員年齡的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別為()A．13,15,14 B．14,15,14C．13.5,15,14 D．15,15,15變式6：某小區(qū)廣場(chǎng)上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練，兩群市民的年齡如下(單位：歲)：甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群：54,3,4,4,5,6,6,6,6,56.(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映甲群市民的年齡特征？(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映乙群市民的年齡特征？變式6：如果5個(gè)數(shù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是7，那么x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)是()A．5 B．6C．7 D．8變式7：某企業(yè)三個(gè)分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，三個(gè)分廠的產(chǎn)量分布如圖所示．現(xiàn)在用分層抽樣方法從三個(gè)分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中共抽取100件進(jìn)行使用壽命的測(cè)試，則第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為________件；測(cè)試結(jié)果為第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的平均使用壽命分別為1020小時(shí)，980小時(shí)，1030小時(shí)，估計(jì)這個(gè)企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均使用壽命為________小時(shí)．考點(diǎn)六總體集中趨勢(shì)的估計(jì)解題方略：用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(1)眾數(shù)：取最高小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為眾數(shù)．(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個(gè)面積相等的部分的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為中位數(shù)．(3)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．【例7】某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均分；(2)估計(jì)該校參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．變式1：為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量得到頻率分布直方圖如圖，則：(1)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量在[55,75)的人數(shù)是________；(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量的中位數(shù)為________；(3)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量的平均數(shù)為________．變式2：某學(xué)校對(duì)100間學(xué)生公寓的衛(wèi)生情況進(jìn)行綜合評(píng)比，考核分?jǐn)?shù)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，其中分?jǐn)?shù)在[60,70)內(nèi)為D等級(jí)，分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)為C等級(jí)，分?jǐn)?shù)在[80,90)內(nèi)為B等級(jí)，分?jǐn)?shù)在[90,100]內(nèi)為A等級(jí)．考核評(píng)估后，得其頻率分布折線圖如圖所示，估計(jì)這100間學(xué)生公寓評(píng)估得分的平均數(shù)是()A．80.25 B．80.45C．80.5 D．80.65考點(diǎn)七標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差的計(jì)算解題方略：計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的5步驟(1)求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\x\to(x).(2)求出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi－eq\x\to(x)(i＝1,2，…，n)．(3)求出xi－eq\x\to(x)(i＝1,2，…，n)的平方值．(4)求出上一步中n個(gè)平方值的平均數(shù)，即為樣本方差．(5)求出上一步中平均數(shù)的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差．【例8】甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則()A．甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù)B．甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù)C．甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差D．甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差變式1：某高三學(xué)生在連續(xù)五次月考中的數(shù)學(xué)成績(jī)(單位：分)為：90,90,93,94,93，則該學(xué)生在這五次月考中數(shù)學(xué)成績(jī)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為()A．92,2.8 B．92,2C．93,2 D．93,2.8變式2：一農(nóng)場(chǎng)在同一塊稻田中種植一種水稻，其連續(xù)8年的產(chǎn)量(單位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，則該組數(shù)據(jù)的方差為________．變式3：某班20位女同學(xué)平均分為甲、乙兩組，她們的勞動(dòng)技術(shù)課考試成績(jī)?nèi)缦?單位：分)：甲組：60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；乙組：85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.試分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差．【例9】樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均數(shù)為1，則樣本方差為()A.eq\r(\f(6,5))B.eq\f(6,5)C.eq\r(2)D．2變式1：一組樣本數(shù)據(jù)a,3,5,7的平均數(shù)是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的兩根，則這個(gè)樣本的方差是()A．3 B．4C．5 D．6變式2：小明5次上學(xué)途中所花的時(shí)間(單位：分鐘)分別為x，y,10，11,9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x－y|的值為________．變式3：已知一組正數(shù)x1，x2，x3，x4的方差s2＝eq\f(1,4)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)－16)，則數(shù)據(jù)x1＋2，x2＋2，x3＋2，x4＋2的平均數(shù)為________．變式4：已知總體的各個(gè)個(gè)體的值由小到大依次為2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,21，且總體的中位數(shù)為10，若要使該總體的方差最小，則ab＝________.考點(diǎn)八總體離散程度的估計(jì)解題方略：研究?jī)蓚€(gè)樣本的波動(dòng)情況或比較它們的穩(wěn)定性、可靠性等性能好壞的這類題，先求平均數(shù)，比較一下哪一個(gè)更接近標(biāo)準(zhǔn)，若平均數(shù)相等，則再比較兩個(gè)樣本方差的大小來作出判斷．【例10】為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數(shù)B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)變式1：北京市2017年12個(gè)月的PM2.5平均濃度指數(shù)如圖所示．由圖判斷，四個(gè)季度中PM2.5的平均濃度指數(shù)方差最小的是()A．第一季度 B．第二季度C．第三季度 D．第四季度【例11】研究?jī)蓚€(gè)樣本的波動(dòng)情況或比較它們的穩(wěn)定性、可靠性等性能好壞的這類題，先求平均數(shù)，比較一下哪一個(gè)更接近標(biāo)準(zhǔn)，若平均數(shù)相等，則再比較兩個(gè)樣本方差的大小來作出判斷．甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各打靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分別計(jì)算以上兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；(2)分別求出兩組數(shù)據(jù)的方差；(3)根據(jù)計(jì)算結(jié)果，估計(jì)兩名戰(zhàn)士的射擊情況．若要從這兩人中選一人參加射擊比賽，選誰去合適？變式1：甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，從中抽取6件，測(cè)量數(shù)據(jù)為：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計(jì)算說明哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．練習(xí)一繪制頻率分布直方圖1、一個(gè)容量為32的樣本，已知某組樣本的頻率為0.125，則該組樣本的頻數(shù)為()A．2 B．4C．6 D．82、某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中各分?jǐn)?shù)段以及人數(shù)的成績(jī)分布為：[0,80)，2人；[80,90)，6人；[90,100)，4人；[100,110)，10人；[110,120)，12人；[120,130)，5人；[130,140)，4人；[140,150]，2人．那么分?jǐn)?shù)在[100,130)中的頻數(shù)以及頻率分別為()A．27,0.56 B．20,0.56C．27,0.60 D．13,0.293、某班50名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，成績(jī)的分組及各組的頻數(shù)如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖．4、為了了解某片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)測(cè)量其中的100棵樹的底部周長(zhǎng)，得到如下數(shù)據(jù)(單位：cm)：135981021109912111096100103125971171131109210210910411210912487131971021231041041281051231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108(1)列出頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖及頻率折線圖；(3)估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中底部周長(zhǎng)小于100cm的樹占多少，底部周長(zhǎng)不小于120cm的樹占多少．練習(xí)二頻率分布直方圖的應(yīng)用1、200輛汽車通過某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，時(shí)速在[50,60)內(nèi)的汽車有()A．30輛B．40輛C．60輛D．80輛2、某車站在春運(yùn)期間為了了解旅客購(gòu)票情況，隨機(jī)抽樣調(diào)查了100名旅客從開始在售票窗口排隊(duì)到購(gòu)到車票所用的時(shí)間t(以下簡(jiǎn)稱為購(gòu)票用時(shí)，單位為min)，下面是這次調(diào)查統(tǒng)計(jì)分析得到的頻率分布表和頻率分布直方圖(如圖所示).分組頻數(shù)頻率一組0≤t<500二組5≤t<10100.10三組10≤t<1510②四組15≤t<20①0.50五組20≤t≤25300.30合計(jì)1001.00解答下列問題：(1)這次抽樣的樣本量是多少？(2)在表中填寫出缺失的數(shù)據(jù)并補(bǔ)全頻率分布直方圖；(3)旅客購(gòu)票用時(shí)的平均數(shù)可能落在哪一組？練習(xí)三統(tǒng)計(jì)圖1、【多選】比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項(xiàng)能力指標(biāo)值(滿分為5分，分值高者為優(yōu))，繪制了如圖所示的六維能力雷達(dá)圖，例如圖中甲的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為4，乙的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為5，則下面敘述正確的是()A．甲的邏輯推理能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的邏輯推理能力指標(biāo)值B．甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的直觀想象能力指標(biāo)值C．乙的六維能力指標(biāo)值整體水平優(yōu)于甲的六維能力指標(biāo)值整體水平D．甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值優(yōu)于甲的直觀想象能力指標(biāo)值2、【多選】2018年11月～2019年11月某工廠工業(yè)原油產(chǎn)量的月度走勢(shì)圖如圖所示，則以下說法錯(cuò)誤的是()A．2019年11月份原油產(chǎn)量約為51.8萬噸B．2019年11月份原油產(chǎn)量相對(duì)2018年11月增加1.0%C．2019年11月份原油產(chǎn)量比上月減少54.9萬噸D．2019年1～11月份原油的總產(chǎn)量不足15000萬噸練習(xí)四總體百分位數(shù)的估計(jì)1、某中學(xué)甲、乙兩名同學(xué)最近幾次的數(shù)學(xué)考試成績(jī)情況如下：甲的得分：95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107；乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.則甲得分的第50百分位數(shù)為________；乙得分的第75百分位數(shù)為_______．2、某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A，將其種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：421,399,445,359,415,443,367,454,368,375,392,400,423,405,412,427,414,423,430,388,430,357,434,445,451試估計(jì)該品種小麥畝產(chǎn)的第80,95百分位數(shù)．3、調(diào)查某校高三年級(jí)男生的身高，隨機(jī)抽取40名高三男生，實(shí)測(cè)身高數(shù)據(jù)(單位：cm)如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170168160174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161試估計(jì)該校高三年級(jí)男生的身高數(shù)據(jù)的30%分位數(shù)．練習(xí)五眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算1、某醫(yī)院急救中心隨機(jī)抽取20位病人等待急診的時(shí)間記錄如下表：等待時(shí)間(分鐘)[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]頻數(shù)48521用上述分組資料計(jì)算出病人平均等待時(shí)間的估計(jì)值eq\x\to(x)＝________.2、若有一個(gè)企業(yè)，70%的員工年收入1萬元，25%的員工年收入3萬元，5%的員工年收入11萬元，則該企業(yè)員工的年收入的平均數(shù)是________萬元，中位數(shù)是________萬元，眾數(shù)是________萬元．3、10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．c＞b＞a4、甲、乙、丙三個(gè)家電廠家在廣告中都聲稱，他們的某品牌節(jié)能燈在正確使用的情況下，使用壽命都不低于8年．后來質(zhì)量檢測(cè)部門對(duì)他們的產(chǎn)品進(jìn)行抽查，抽查的各8個(gè)產(chǎn)品使用壽命的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下(單位：年)：甲廠：6,6,6,8,8,9,9,12；乙廠：6,7,7,7,9,10,10,12；丙廠：6,8,8,8,9,9,10,10.(1)把以上三組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)填入下表：平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)甲廠乙廠丙廠(2)估計(jì)這三個(gè)廠家的推銷廣告分別利用了哪一種統(tǒng)計(jì)量；(3)如果你是顧客，應(yīng)該選哪個(gè)廠家的節(jié)能燈？為什么？5、某中學(xué)開展演講比賽活動(dòng)，高一(1)、高一(2)班根據(jù)初賽成績(jī)各選出5名選手參加復(fù)賽，兩個(gè)班各選出的5名選手的復(fù)賽成績(jī)(滿分為100分)如下圖所示．(1)根據(jù)上圖填寫下表：平均分(分)中位數(shù)(分)眾數(shù)(分)高一(1)班8585高一(2)班8580(2)結(jié)合兩班復(fù)賽成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)，分析哪個(gè)班級(jí)的復(fù)賽成績(jī)較好；(3)如果在每班參加復(fù)賽的選手中分別選出2人參加決賽，你認(rèn)為哪個(gè)班的實(shí)力更強(qiáng)一些？說明理由．6、在喜迎“中華人民共和國(guó)成立70周年”之際，某校舉辦校園唱紅歌比賽，選出10名同學(xué)擔(dān)任評(píng)委，并事先擬定從如下四種方案中選擇合理方案來確定演唱者的最后得分(每個(gè)評(píng)委打分最高10分)．方案1：所有評(píng)委給分的平均分；方案2：在所有評(píng)委中，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，再計(jì)算剩余評(píng)委的平均分；方案3：所有評(píng)委給分的中位數(shù)；方案4：所有評(píng)委給分的眾數(shù)．為了探究上述方案的合理性，先對(duì)某個(gè)同學(xué)的演唱成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，下圖是這個(gè)同學(xué)的得分統(tǒng)計(jì)圖：(1)分別按上述四種方案計(jì)算這個(gè)同學(xué)演唱的最后得分；(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果，請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)說明哪些方案不適合作為這個(gè)同學(xué)演唱的最后得分？練習(xí)六總體集中趨勢(shì)的估計(jì)1、某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：(1)高一參賽學(xué)生的成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)；(2)高一參賽學(xué)生的平均成績(jī)．練習(xí)七標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差的計(jì)算1、某班有48名學(xué)生，在一次考試中統(tǒng)計(jì)出平均分為70分，方差為75，后來發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)登記錯(cuò)了，甲實(shí)得80分，卻記了50分，乙實(shí)得70分，卻記了100分，更正后平均分和方差分別是________，________.2、若一個(gè)樣本量為8的樣本的平均數(shù)為5，方差為2.現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)樣本量為9，平均數(shù)為eq\x\to(x)，方差為s2，則()A.eq\x\to(x)＝5，s2＜2 B．eq\x\to(x)＝5，s2＞2C.eq\x\to(x)＞5，s2＜2 D.eq\x\to(x)＞5，s2＞23、某公司10位員工的月工資(單位：元)為x1，x2，…，x10，其平均數(shù)和方差分別為eq\x\to(x)和s2，若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的平均數(shù)和方差分別為()A.eq\x\to(x)，s2＋1002 B．eq\x\to(x)＋100，s2＋1002C.eq\x\to(x)，s2 D.eq\x\to(x)＋100，s24、某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表：工人編號(hào)年齡工人編號(hào)年齡工人編號(hào)年齡工人編號(hào)年齡140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用隨機(jī)數(shù)法抽取一個(gè)容量為9的樣本，并且第一次隨機(jī)抽到的年齡數(shù)據(jù)為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)；(2)計(jì)算(1)中樣本的均值eq\x\to(x)和方差s2；(3)36名工人中年齡在eq\x\to(x)－s與eq\x\to(x)＋s之間有多少人？所占的百分比是多少(精確到0.01%)?練習(xí)八總體離散程度的估計(jì)1、甲、乙兩名同學(xué)6次考試的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖所示，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為eq\x\to(x)甲，eq\x\to(x)乙，標(biāo)準(zhǔn)差分別為s甲，s乙，則()A.eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，s甲<s乙 B．eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，s甲>s乙C.eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，s甲<s乙 D.eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，s甲>s乙2、對(duì)甲、乙兩名同學(xué)的學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行抽樣分析，各抽5門功課，得到的觀測(cè)值如下：甲6080709070乙8060708075(1)甲、乙的平均成績(jī)誰最好？(2)誰的各門功課發(fā)展較平衡？3、從甲、乙兩種玉米的苗中各抽10株，分別測(cè)它們的株高如下(單位：cm)：甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.問：(1)哪種玉米的苗長(zhǎng)得高？(2)哪種玉米的苗長(zhǎng)得齊？4、甲、乙兩人參加某體育項(xiàng)目訓(xùn)練，近期的五次測(cè)試成績(jī)(單位：分)如圖所示：(1)分別求出甲、乙兩人成績(jī)的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，對(duì)兩人的成績(jī)作出評(píng)價(jià)．5、甲、乙兩人在相同的條件下各射靶10次，每次射靶成績(jī)(單位：環(huán))如圖所示：(1)填寫下表：平均數(shù)中位數(shù)命中9環(huán)以上甲7________1乙________________3(2)請(qǐng)從四個(gè)不同的角度對(duì)這次測(cè)試進(jìn)行分析：①結(jié)合平均數(shù)和方差，分析偏離程度；②結(jié)合平均數(shù)和中位數(shù)，分析誰的成績(jī)好些；③結(jié)合平均數(shù)和命中9環(huán)以上的次數(shù)，看誰的成績(jī)好些；④結(jié)合折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)及走勢(shì)，分析誰更有潛力．第2講用樣本估計(jì)總體知識(shí)點(diǎn)1頻率分布表與頻率分布直方圖1、頻率與頻數(shù)將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個(gè)小組，各個(gè)小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，叫做該組的頻數(shù)；每組數(shù)據(jù)的頻數(shù)除以全體數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的商，叫做該組數(shù)據(jù)的頻率.頻率反映各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本量中所占比例的大小.2、樣本的頻率分布及頻率分布表根據(jù)隨機(jī)抽取的樣本量的大小，分別計(jì)算某一事件出現(xiàn)的頻率，這些頻率的分布規(guī)律(取值狀況)，就叫做樣本的頻率分布.為了能直觀的顯示樣本的頻率分布情況，通常將樣本量、樣本中出現(xiàn)該事件的頻數(shù)以及計(jì)算所得的相應(yīng)頻率列在一張表中，這張表叫做頻率分布表.分組、頻數(shù)、頻率是頻率分布表中最基本也是必要的三列.在實(shí)際操作中，每組的頻數(shù)是通過類似統(tǒng)計(jì)選票時(shí)的“唱票”的方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的，所以通常頻率分布表中還會(huì)有“頻數(shù)累計(jì)”一列.注：①對(duì)頻率分布表的理解：頻率分布表給出了各個(gè)區(qū)間的頻數(shù)和頻率。由此可以估計(jì)這組數(shù)的分布情況，樣本頻率分布是總體分布的一種近似情況.②樣本的抽取必須是隨機(jī)的：用樣本頻率分布來估計(jì)總體分布時(shí)，要使樣本很好地反映總體的特征，必須隨機(jī)抽取樣本.如果隨機(jī)抽取另外一個(gè)樣本量相同的樣本，所形成的樣本頻率分布一般會(huì)與前一個(gè)樣本頻率分布有所不同，但是他們都可以近似的估計(jì)總體的分布.3、頻率分布直方圖為了將頻率分布表中的結(jié)果直觀形象地表現(xiàn)出來，常畫出頻率分布直方圖.畫圖時(shí)應(yīng)以橫軸表示分組，縱軸表示各組頻率與組距的比值，以各個(gè)組距為底，以各頻率除以組距的商為高，畫成小長(zhǎng)方形，這樣得到的直方圖就是頻率分布直方圖.①繪制頻率分布直方圖的步驟(1)計(jì)算極差，需要找出這組數(shù)的最大值和最小值，當(dāng)數(shù)據(jù)很多時(shí)，可選一個(gè)數(shù)當(dāng)參照．(2)將一批數(shù)據(jù)分組，目的是要描述數(shù)據(jù)分布規(guī)律，要根據(jù)數(shù)據(jù)多少來確定分組數(shù)目，一般來說，數(shù)據(jù)越多，分組越多．(3)將數(shù)據(jù)分組，決定分點(diǎn)時(shí)，一般使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第一組的起點(diǎn)稍微減小一點(diǎn)．(4)列頻率分布表時(shí)，可通過逐一判斷各個(gè)數(shù)據(jù)落在哪個(gè)小組內(nèi)，以“正”字確定各個(gè)小組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)．(5)畫頻率分布直方圖時(shí)，縱坐標(biāo)表示頻率與組距的比值，一定不能標(biāo)成頻率．注：①頻數(shù)分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻數(shù)，每一組數(shù)對(duì)應(yīng)的矩形的高度與頻數(shù)成正比；頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是eq\f(頻率,組距)，每一組數(shù)對(duì)應(yīng)的矩形高度與頻率成正比，而且每個(gè)矩形的面積等于這一組數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率，所有矩形的面積之和為1.②樣本組數(shù)、組距與分點(diǎn)的確定：（1）對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，組距的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，組數(shù)太多或太少都會(huì)影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況.數(shù)據(jù)分組的組數(shù)與樣本量有關(guān)，一般樣本量越大，所分組數(shù)越多，當(dāng)樣本量不超過100時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少，通常分成5~12組，且根據(jù)組數(shù)=極差/組距來大致確定組數(shù)（2）為了實(shí)際操作方便，組距的選擇應(yīng)結(jié)合極差盡量“取整”，例如極差約為1，組距可以選擇0.1的整數(shù)倍，比如以0.1或0.2為組距；極差約為10，組距可以選擇1的整數(shù)倍，比如以1或2為組距；極差約為100，組距可以選擇10的整數(shù)倍，比如以10或20為組距.如果極差不利于分組，不能被組距整除，可以適當(dāng)增加極差，如在左右兩端各增加適當(dāng)范圍，并盡量使兩端增加量相同（3）分點(diǎn)的確定：若數(shù)據(jù)為整數(shù)，則分點(diǎn)數(shù)據(jù)減去0.5；若數(shù)據(jù)是小數(shù)點(diǎn)后有一位數(shù)字的數(shù)，則分點(diǎn)數(shù)據(jù)減去0.05，以此類推.分組時(shí)，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在的區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間.知識(shí)點(diǎn)2統(tǒng)計(jì)圖表?xiàng)l形圖、折線圖及扇形圖(1)條形圖：建立直角坐標(biāo)系，用橫軸(橫軸上的數(shù)字)表示樣本數(shù)據(jù)類型，用縱軸上的單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)每個(gè)樣本(或某個(gè)范圍內(nèi)的樣本)的數(shù)量多少畫出長(zhǎng)短不同的等寬矩形，然后把這些矩形按照一定的順序排列起來，這樣一種表達(dá)和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為條形圖．優(yōu)點(diǎn)：條形統(tǒng)計(jì)圖不但可以直觀的反映數(shù)據(jù)分布的大致情況，還可以清晰地表示出各個(gè)區(qū)間的具體數(shù)目，易于比較數(shù)據(jù)間的差別.缺點(diǎn)：會(huì)損失數(shù)據(jù)的部分信息，且不能明確顯示部分與整體的關(guān)系.(2)折線圖：建立直角坐標(biāo)系，用橫軸上的數(shù)字表示樣本值，用縱軸上的單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)樣本值和數(shù)量的多少描出相應(yīng)各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接，得到一條折線，用這種折線表示出樣本數(shù)據(jù)的情況，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為折線圖．優(yōu)點(diǎn)：折線統(tǒng)計(jì)圖不但可以表示數(shù)量的多少，還可以通過折線的起伏清楚直觀地表示數(shù)量的增減變化情況.缺點(diǎn)：折線統(tǒng)計(jì)圖不能直觀反映數(shù)據(jù)的分布情況，且不適合總體分布較多的情況(3)扇形圖：用一個(gè)圓表示總體，圓中各扇形分別代表總體中的不同部分，每個(gè)扇形的大小反映所表示的那部分占總體的百分比的大小，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為扇形圖．優(yōu)點(diǎn)：扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚的表示各部分與總體之間的關(guān)系，即扇形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比缺點(diǎn)：會(huì)損失數(shù)據(jù)的部分信息，且不能明確顯示部分與整體的關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)3百分位數(shù)(1)一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．(2)計(jì)算一組幾個(gè)數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．第2步，計(jì)算i＝n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．(3)四分位數(shù)即把所有數(shù)值由小到大排列并分成四等份，處于三個(gè)分割點(diǎn)位置的數(shù)值就是四分位數(shù)．其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等．知識(shí)點(diǎn)4總體集中趨勢(shì)的估計(jì)1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的理解(1)一組數(shù)據(jù)中，某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為這個(gè)數(shù)據(jù)的頻數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．注：如果有幾個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同，并且比其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都多，那么這幾個(gè)數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中，每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則認(rèn)為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)．(2)如果一組數(shù)有奇數(shù)個(gè)數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n＋1，則稱xn＋1為這組數(shù)的中位數(shù)；如果一組數(shù)有偶數(shù)個(gè)數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n，則稱eq\f(xn＋xn＋1,2)為這組數(shù)的中位數(shù)．(3)如果給定的一組數(shù)是x1，x2，…，xn，則這組數(shù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．2．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的比較名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)眾數(shù)①體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)；②容易計(jì)算①它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息；②無法客觀地反映總體的特征中位數(shù)①不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響；②容易計(jì)算，便于利用中間數(shù)據(jù)的信息對(duì)極端值不敏感平均數(shù)代表性較好，是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量．一般情況下，可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變．?dāng)?shù)據(jù)越“離群”，對(duì)平均數(shù)的影響越大知識(shí)點(diǎn)5總體離散程度的估計(jì)1、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，用eq\x\to(x)表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為＝（－），方差可用s2表示，標(biāo)準(zhǔn)差為.如果a，b為常數(shù)，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為s2a2.2、總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的定義如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為，則稱S2＝eq\f(1,N)為總體方差，S＝eq\r(S2)為總體標(biāo)準(zhǔn)差．如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(k≤N)個(gè)，記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\f(1,N).3、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的定義如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為，則稱為樣本方差，s＝eq\r(s2)為樣本標(biāo)準(zhǔn)差．4、方差、標(biāo)準(zhǔn)差特征(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。?2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍：[0，＋∞)．標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí)，樣本各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性．(3)標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2稱為方差，有時(shí)用方差代替標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量樣本數(shù)據(jù)的離散程度．方差與標(biāo)準(zhǔn)差的測(cè)量效果是一致的，在實(shí)際應(yīng)用中一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差．(4)標(biāo)準(zhǔn)差的單位與樣本數(shù)據(jù)一致．考點(diǎn)一繪制頻率分布直方圖解題方略：繪制頻率分布直方圖應(yīng)注意的2個(gè)問題(1)在繪制出頻率分布表后，畫頻率分布直方圖的關(guān)鍵就是確定小矩形的高．一般地，頻率分布直方圖中兩坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度是不一致的，合理的定高方法是“以一個(gè)恰當(dāng)?shù)膯挝婚L(zhǎng)度”(沒有統(tǒng)一規(guī)定)，然后以各組的“頻率/組距”所占的比例來定高．如我們預(yù)先設(shè)定以“”為一個(gè)單位長(zhǎng)度，代表“0.1”，則若一個(gè)組的eq\f(頻率,組距)為0.2，則該小矩形的高就是“”(占兩個(gè)單位長(zhǎng)度)，如此類推．(2)數(shù)據(jù)要合理分組，組距要選取恰當(dāng)，一般盡量取整，數(shù)據(jù)為30～100個(gè)左右時(shí)，應(yīng)分成5～12組，在頻率分布直方圖中，各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于各組的頻率，小長(zhǎng)方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和為1.【例1】從一群學(xué)生中抽取一個(gè)一定容量的樣本對(duì)他們的學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)行分析，已知不超過70分的人數(shù)為8，其累計(jì)頻率為0.4，則這個(gè)樣本的容量是()A．20 B．40C．70 D．80【解析】由已知不超過70分的人數(shù)為8，累計(jì)頻率為0.4，則這個(gè)樣本量n＝eq\f(8,0.4)＝20.故選A.變式1：將容量為100的樣本數(shù)據(jù)，按由小到大排列分成8個(gè)小組，如下表所示：組號(hào)12345678頻數(shù)101314141513129第3組的頻率和累積頻率為()A．0.14和0.37B.eq\f(1,14)和eq\f(1,27)C．0.03和0.06 D.eq\f(3,14)和eq\f(6,37)【解析】由表可知，第三小組的頻率為eq\f(14,100)＝0.14，累積頻率為eq\f(10＋13＋14,100)＝0.37.故選A.變式2：一個(gè)容量為80的樣本中，數(shù)據(jù)的最大值為152，最小值為60，組距為10，應(yīng)將樣本數(shù)據(jù)分為()A．10組 B．9組C．8組 D．7組【解析】由題意知，eq\f(152－60,10)＝9.2，故應(yīng)分成10組．變式3：某校高三(1)班共有40名學(xué)生，他們每天自主學(xué)習(xí)的時(shí)間全部在180分鐘到330分鐘之間，按他們學(xué)習(xí)時(shí)間的長(zhǎng)短分5個(gè)組統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布表：第一組[180,210)40.10第二組[210,240)8s第三組[240,270)120.30第四組[270,300)100.25第五組[300,330]6t則分布表中s，t的值分別為________，________.【解析】s＝eq\f(8,40)＝0.2，t＝1－0.1－s－0.3－0.25＝0.15.答案：0.200.15變式4：一個(gè)農(nóng)技站為了考察某種大麥穗生長(zhǎng)的分布情況，在一塊試驗(yàn)田里抽取了100株麥穗，量得長(zhǎng)度如下(單位：cm)：6．56.46.75.85.95.95.24.05.44.65．85.56.06.55.16.55.35.95.55.86．25.45.05.06.86.05.05.76.05.56．86.06.35.55.06.35.26.07.06.46．45.85.95.76.86.66.06.45.77.46．05.46.56.06.85.86.36.06.35.65．36.45.76.76.25.66.06.76.76.05．66.26.15.36.26.86.64.75.75.75．85.37.06.06.05.95.46.05.26.06．35.76.86.14.55.66.36.05.86.3根據(jù)上面的數(shù)據(jù)列出頻率分布表，繪制出頻率分布直方圖，并估計(jì)在這塊試驗(yàn)田里長(zhǎng)度在5.75～6.35cm之間的麥穗所占的百分比．【解析】(1)計(jì)算極差：7.4－4.0＝3.4.(2)決定組距與組數(shù)：若取組距為0.3，因?yàn)閑q\f(3.4,0.3)≈11.3，需分為12組，組數(shù)合適，所以取組距為0.3，組數(shù)為12.(3)決定分點(diǎn)：使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第1小組的起點(diǎn)稍微減小一點(diǎn)，那么所分的12個(gè)小組可以是3.95～4.25,4.25～4.55,4.55～4.85，…，7.25～7.55.(4)列頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[3.95,4.25)10.01[4.25,4.55)10.01[4.55,4.85)20.02[4.85,5.15)50.05[5.15,5.45)110.11[5.45,5.75)150.15[5.75,6.05)280.28[6.05,6.35)130.13[6.35,6.65)110.11[6.65,6.95)100.10[6.95,7.25)20.02[7.25,7.55]10.01合計(jì)1001.00(5)繪制頻率分布直方圖如圖．從表中看到，樣本數(shù)據(jù)落在5.75～6.35之間的頻率是0.28＋0.13＝0.41，于是可以估計(jì)，在這塊試驗(yàn)田里長(zhǎng)度在5.75～6.35cm之間的麥穗約占41%.變式5：某中學(xué)從高一年級(jí)隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行智力測(cè)驗(yàn)，其得分如下(單位：分)：4864528671486441867971688284686462688157905274735678476655645688694073976856675970527944556962583258根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，回答下列問題：(1)這次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的最高分和最低分分別是多少？(2)將區(qū)間[30,100]平均分成7個(gè)小區(qū)間，試列出這50名學(xué)生智力測(cè)驗(yàn)成績(jī)的頻率分布表，進(jìn)而畫出頻率分布直方圖．【解析】(1)這次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的最低分是32分，最高分是97分．(2)根據(jù)題意，列出樣本的頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[30,40)10.02[40,50)60.12[50,60)120.24[60,70)140.28[70,80)90.18[80,90)60.12[90,100]20.04合計(jì)501.00頻率分布直方圖如圖所示．考點(diǎn)二頻率分布直方圖的應(yīng)用解題方略：頻率分布直方圖的性質(zhì)(1)每個(gè)小矩形的面積表示樣本數(shù)據(jù)落在該組內(nèi)的頻率．(2)所有小矩形的面積和等于1.(3)利用一組的頻數(shù)和頻率，可以求樣本量．【例2】如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖，則由圖中的數(shù)據(jù)可知，樣本落在[15,20]內(nèi)的頻數(shù)為()A．20 B．30C．40 D．50【解析】樣本數(shù)據(jù)落在[15,20]內(nèi)的頻數(shù)為100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30.故選B.變式1：某廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，如圖是抽檢產(chǎn)品凈重(單位：克)的頻率分布直方圖，樣本數(shù)據(jù)分組為[76,78)，[78,80)，…，[84,86]．若這批產(chǎn)品有120個(gè)，估計(jì)其中凈重大于或等于78克且小于84克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是()A．12 B．18C．25 D．90【解析】?jī)糁卮笥诨虻扔?8克且小于84克的頻率為(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以在該范圍內(nèi)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為120×0.75＝90.故選D.變式2：如圖是某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖，其中成績(jī)分組區(qū)間是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，則圖中x的值等于()A．0.120 B．0.180C．0.012 D．0.018【解析】由圖可知縱坐標(biāo)表示頻率/組距，故x＝0.1－0.054－0.010－0.006×3＝0.018.故選D.變式3：某工廠對(duì)一批元件進(jìn)行抽樣檢測(cè)．經(jīng)檢測(cè)，抽出的元件的長(zhǎng)度(單位：mm)全部介于93至105之間．將抽出的元件的長(zhǎng)度以2為組距分成6組：[93,95)，[95,97)，[97,99)，[99,101)，[101,103)，[103,105]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．若長(zhǎng)度在[97,103)內(nèi)的元件為合格品，根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這批元件的合格率是()A．80% B．90%C．20% D．85.5%【解析】由頻率分布直方圖可知元件長(zhǎng)度在[97,103)內(nèi)的頻率為1－(0.0275＋0.0275＋0.0450)×2＝0.8，故這批元件的合格率為80%.故選A.變式4：在樣本的頻率分布直方圖中，某個(gè)小長(zhǎng)方形的面積是其他小長(zhǎng)方形面積之和的eq\f(1,4)，已知樣本量是80，則該組的頻數(shù)為()A．20 B．16C．30 D．35【解析】設(shè)該組的頻數(shù)為x，則其他組的頻數(shù)之和為4x，由樣本量是80，得x＋4x＝80，解得x＝16，即該組的頻數(shù)為16.故選B.變式5：從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：組號(hào)分組頻數(shù)1[0,2)62[2,4)83[4,6)174[6,8)225[8,10)256[10,12)127[12,14)68[14,16)29[16,18]2合計(jì)100(1)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率；(2)求頻率分布直方圖中的a，b的值；(3)假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組．【解析】(1)根據(jù)頻數(shù)分布表知，100名學(xué)生中一周課外閱讀時(shí)間不少于12小時(shí)的學(xué)生共有6＋2＋2＝10(名)，所以樣本中的學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻率是1－eq\f(10,100)＝0.9.故從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計(jì)其該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率為0.9.(2)課外閱讀時(shí)間落在[4,6)組內(nèi)的有17人，頻率為0.17，所以a＝eq\f(頻率,組距)＝eq\f(0.17,2)＝0.085.課外閱讀時(shí)間落在[8,10)組內(nèi)的有25人，頻率為0.25，所以b＝eq\f(頻率,組距)＝eq\f(0.25,2)＝0.125.(3)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：1×0.06＋3×0.08＋5×0.17＋7×0.22＋9×0.25＋11×0.12＋13×0.06＋15×0.02＋17×0.02＝7.68(小時(shí))所以樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第4組．變式6：某電子商務(wù)公司對(duì)10000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者2019年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)直方圖中的a＝________；(2)在這些購(gòu)物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為________人．【解析】(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.(2)區(qū)間[0.3,0.5)內(nèi)的頻率為0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]內(nèi)的頻率為1－0.4＝0.6.因此，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為0.6×10000＝6000(人)．答案：(1)3(2)6000考點(diǎn)三統(tǒng)計(jì)圖【例3】某地農(nóng)村2004年到2019年間人均居住面積的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則增長(zhǎng)最多的5年為()A．2004年～2009年 B．2009年～2014年C．2014年～2019年 D．無法從圖中看出【解析】2004年～2009年的增長(zhǎng)量為3.1,2009年～2014年的增長(zhǎng)量為3.2,2014年～2019年的增長(zhǎng)量為3.8.故選C.變式1：甲、乙兩個(gè)城市2019年4月中旬，每天的最高氣溫統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，這9天里，氣溫比較穩(wěn)定的城市是________．【解析】從折線統(tǒng)計(jì)圖中可以很清楚的看到乙城市的氣溫變化較大，而甲城市氣溫相對(duì)來說較穩(wěn)定，變化基本不大．答案：甲變式2：觀察下圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，下列結(jié)論正確的是()A．甲校女生比乙校女生多B．乙校男生比甲校男生少C．乙校女生比甲校男生少D．甲、乙兩校女生人數(shù)無法比較【解析】圖中數(shù)據(jù)只是百分比，甲、乙兩個(gè)學(xué)校的學(xué)生人數(shù)不知道，因此男生、女生的具體人數(shù)也無法得知．故選D.變式3：如圖是根據(jù)某中學(xué)為地震災(zāi)區(qū)捐款的情況而制作的統(tǒng)計(jì)圖．已知該校在校學(xué)生3000人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算該校共捐款________元．【解析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，得高一人數(shù)為3000×32%＝960(人)，捐款960×15＝14400(元)；高二人數(shù)為3000×33%＝990(人)，捐款990×13＝12870(元)；高三人數(shù)為3000×35%＝1050(人)，捐款1050×10＝10500(元)．所以該校學(xué)生共捐款14400＋12870＋10500＝37770(元)．答案：37770考點(diǎn)四總體百分位數(shù)的估計(jì)解題方略：總體百分位數(shù)估計(jì)需要注意的兩個(gè)問題(1)總體百分位估計(jì)的基礎(chǔ)是樣本百分位數(shù)的計(jì)算，因此計(jì)算準(zhǔn)確是關(guān)鍵；(2)由于樣本量比較少，因此對(duì)總體的估計(jì)可能存在誤差，因此對(duì)總體百分位數(shù)的估計(jì)一般是估計(jì)值而非精確值．【例4】900,920,920,930,930的20%分位數(shù)是________．【解析】因?yàn)?×20%＝1，所以該組數(shù)據(jù)的20%分位數(shù)是eq\f(900＋920,2)＝910.變式1：5,6,7,8,9,10,11,12,13,14的25%分位數(shù)為________，75%分位數(shù)為________，90%分位數(shù)為________．【解析】由于共有10個(gè)數(shù)字，則10×25%＝2.5,10×75%＝7.5,10×90%＝9.故25%分位數(shù)為7,75%分位數(shù)為12,90%分位數(shù)為eq\f(13＋14,2)＝13.5.答案：71213.5變式2：為了解畢業(yè)生工作情況，某高校對(duì)12名應(yīng)屆畢業(yè)生起始月薪作了統(tǒng)計(jì)如下：畢業(yè)生起始月薪畢業(yè)生起始月薪123456285029503050288027552710789101112289031302940332529202880則第85百分位數(shù)是________．【解析】首先對(duì)數(shù)據(jù)排序：271027552850288028802890292029402950305031303325所以i＝12×85%＝10.2.即第85百分位數(shù)是3130.變式3：考察某校高二年級(jí)男生的身高，隨機(jī)抽取40名高二男生，實(shí)測(cè)身高數(shù)據(jù)(單位：cm)如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170160168174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161請(qǐng)估計(jì)該校高二年級(jí)男生身高的第25,50,75百分位數(shù)．【解析】把這40名男生的身高數(shù)據(jù)按從小到大排序，可得151156157157158159160160161161162163163163163164164165165166166167167167168168168168168168169169169170171171174174176180由25%×40＝10,50%×40＝20,57%×40＝30，可知樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為161.5，第50百分位數(shù)為166，第75百分位數(shù)為168.5.據(jù)此可估計(jì)該校高二男生身高的第25,50,75百分位數(shù)分別約為161.5,166和168.5.考點(diǎn)五眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算解題方略：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法平均數(shù)一般是根據(jù)公式來計(jì)算的；計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)時(shí)，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，再根據(jù)各自的定義計(jì)算．【例5】下列說法中，不正確的是()A．?dāng)?shù)據(jù)2,4,6,8的中位數(shù)是4,6B．?dāng)?shù)據(jù)1,2,2,3,4,4的眾數(shù)是2,4C．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)有可能是同一個(gè)數(shù)據(jù)D．8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，另3個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，則這11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\f(8×5＋7×3,11)【解析】數(shù)據(jù)2,4,6,8的中位數(shù)為eq\f(4＋6,2)＝5，顯然A是錯(cuò)誤的，B、C、D都是正確的．故選A.變式1：抽樣調(diào)查了某班30位女生所穿鞋子的尺碼，數(shù)據(jù)如下(單位：碼)．在這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中，鞋廠最感興趣的是()碼號(hào)3334353637人數(shù)761511A．平均數(shù) B．中位數(shù)C．眾數(shù) D．無法確定【解析】由于眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多的數(shù)，故鞋廠最感興趣的是銷售量最多的鞋號(hào)即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．故選C.變式2：有13位同學(xué)參加學(xué)校組織的才藝表演比賽，已知他們所得的分?jǐn)?shù)互不相同，共設(shè)7個(gè)獲獎(jiǎng)名額，某同學(xué)知道自己的比賽分?jǐn)?shù)后，要判斷自己能否獲獎(jiǎng)，在這13名同學(xué)成績(jī)的統(tǒng)計(jì)量中只需知道一個(gè)量，它是__________(填“眾數(shù)”“中位數(shù)”或“平均數(shù)”)．【解析】因?yàn)?位獲獎(jiǎng)?wù)叩姆謹(jǐn)?shù)肯定是13名參賽選手中最高的，所以把13個(gè)不同的分?jǐn)?shù)按從小到大排序，只要知道自己的分?jǐn)?shù)和中位數(shù)就可以知道是否獲獎(jiǎng)了．答案：中位數(shù)【例6】某班50名學(xué)生的一