高考數(shù)學大一輪復習精講精練(新高考地區(qū))5.2平面向量的數(shù)量積及應用(精講)(原卷版+解析)

5.2平面向量的數(shù)量積及應用【題型解讀】【知識必備】1．兩個向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a與b的夾角，記作<a，b>．當θ＝0°時，a與b同向；當θ＝180°時，a與b反向；當θ＝90°時，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b.2．平面向量的數(shù)量積已知兩個向量a和b，它們的夾角為θ，我們把|a||b|cosθ叫作a與b的數(shù)量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.3．平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a方向上的射影|b|cosθ的乘積或b的長度|b|與a在b方向上的射影|a|cosθ的乘積．注意：b在a方向上的投影為|b|cosθ＝eq\f(a·b,|a|)，而a在b方向上的投影為|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)，投影是一個數(shù)量，它可以為正，可以為負，也可以為0.4．平面向量數(shù)量積的重要性質(1)a⊥b?a·b＝0；(2)當a和b同向時，a·b＝|a||b|；當a和b反向時，a·b＝﹣|a||b|；特別地，a·a＝|a|2，|a|＝eq\r(a·a)；(3)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；5．平面向量數(shù)量積的坐標運算設兩個非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)a·b＝x1x2＋y1y2，(2)|a|2＝x12＋y12或|a|＝eq\r(x12＋y12).(3)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.(4)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,eq\r(x12＋y12)·eq\r(x22＋y22))【題型精講】【題型一平面向量數(shù)量積的計算】必備技巧求平面向量數(shù)量積的方法（1）沒有向量坐標時，計算數(shù)量積的關鍵是正確確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的始點必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件.（2）有坐標時，a·b＝x1x2＋y1y2，.例1(2023·河南高三月考）（1）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，點E和F分別在線段BC和DC上，且eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值為________．（2）．已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值為__________；eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值為________．例2（2023·北京高考真題），，，則_______；_______．【跟蹤精練】1.(2023·陜西·交大附中模擬預測）已知在平行四邊形中，，則值為__________．2.(2023·云南玉溪·高三月考）已知中，，，點是線段的中點，則______．【題型二利用數(shù)量積求模長】必備技巧利用數(shù)量積求模長(1)沒有向量坐標時，求解向量模的問題就是要靈活應用a2＝|a|2，即|a|＝eq\r(a2)，勿忘記開方.．(2)有向量坐標時，|a|2＝x12＋y12或|a|＝eq\r(x12＋y12)．例3(2023·江蘇·南京市天印高級中學模擬預測）已知平面向量，滿足，，且與的夾角為，則（

）A． B． C． D．3例4(2023·福建泉州·模擬預測）已知向量,，若的夾角為，則=___________.【跟蹤精練】1.(2023·全國·高三課時練習）已知，則（）A． B． C．13 D．212.(2023·江蘇姑蘇·蘇州中學高三月考）已知非零向量，的夾角為，且，，則（）A． B．1 C． D．2【題型三利用數(shù)量積求夾角】方法技巧利用數(shù)量積求夾角(1)向量有沒有坐標時，主要是利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求出夾角的余弦值，從而求得夾角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以尋找|a|，|b|，a·b三者之間的關系，然后代入求解.(2)向量有坐標時，cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,eq\r(x12＋y12)·eq\r(x22＋y22))例5(2023·甘肅·高臺縣第一中學模擬預測）已知非零向量，滿足，，則與夾角為______．例6(2023·山東日照市·高三二模）已知，當時，向量與的夾角為（）A． B． C． D．【題型精練】1．(2023·河北武強中學高三月考）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為___________.2.(2023·全國福建省漳州市高三期末)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|；(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面積．【題型四利用數(shù)量積求解垂直問題】方法技巧利用向量數(shù)量積求解垂直問題解決有關垂直問題時利用a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)例7(2023·全國高三專題練習）已知，若，則x等于（）A．8 B．10 C．11 D．12例8(2023·海南?？凇ざ＃┮阎蛄?，的夾角為45°，，且a?b=2，若，則______．【題型精練】1.(2023?南通期末）在中，，，若是直角三角形，則的值可以是A． B． C． D．2.(2023·河南開封·模擬預測）已知兩個單位向量與的夾角為，若，，且，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【題型五利用數(shù)量積求投影】例9(2023·江西鷹潭·二模）已知向量，則在方向上的投影為_________例10(湖北高考)已知點A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，則向量在方向上的投影為()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(3\r(15),2)C.－eq\f(3\r(2),2)D.－eq\f(3\r(15),2)【題型精練】1.(2022·莆田第十五中學高三月考)已知，，，則在方向上的投影等于_______.2．(2023·新疆克拉瑪依·三模）設，是兩個非零向量，，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，則叫做向量在向量上的投影向量.如下圖，已知扇形的半徑為1，以為坐標原點建立平面直角坐標系，，，則弧的中點的坐標為________；向量在上的投影向量為________.5.2平面向量的數(shù)量積及應用【題型解讀】【知識必備】1．兩個向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a與b的夾角，記作<a，b>．當θ＝0°時，a與b同向；當θ＝180°時，a與b反向；當θ＝90°時，則稱向量a與b垂直，記作a⊥b.2．平面向量的數(shù)量積已知兩個向量a和b，它們的夾角為θ，我們把|a||b|cosθ叫作a與b的數(shù)量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.3．平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a方向上的射影|b|cosθ的乘積或b的長度|b|與a在b方向上的射影|a|cosθ的乘積．注意：b在a方向上的投影為|b|cosθ＝eq\f(a·b,|a|)，而a在b方向上的投影為|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)，投影是一個數(shù)量，它可以為正，可以為負，也可以為0.4．平面向量數(shù)量積的重要性質(1)a⊥b?a·b＝0；(2)當a和b同向時，a·b＝|a||b|；當a和b反向時，a·b＝﹣|a||b|；特別地，a·a＝|a|2，|a|＝eq\r(a·a)；(3)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；5．平面向量數(shù)量積的坐標運算設兩個非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)a·b＝x1x2＋y1y2，(2)|a|2＝x12＋y12或|a|＝eq\r(x12＋y12).(3)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.(4)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,eq\r(x12＋y12)·eq\r(x22＋y22))【題型精講】【題型一平面向量數(shù)量積的計算】必備技巧求平面向量數(shù)量積的方法（1）沒有向量坐標時，計算數(shù)量積的關鍵是正確確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的始點必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件.（2）有坐標時，a·b＝x1x2＋y1y2，.例1(2023·河南高三月考）（1）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，點E和F分別在線段BC和DC上，且eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值為________．（2）．已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值為__________；eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值為________．答案：：1．eq\f(29,18)2．11【解析】：1．法一取eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))為一組基底，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(5,12)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(7,12)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝＝eq\f(7,12)||－eq\f(25,18)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝eq\f(7,12)×4－eq\f(25,18)×2×1×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＝eq\f(29,18)．法二CO⊥AB于O，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A，B，C，D，所以E，F(xiàn)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝＝eq\f(10,9)＋eq\f(1,2)＝eq\f(29,18)．2．法一如圖，eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))2＝1，eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝|eq\o(AE,\s\up6(→))|·|eq\o(DC,\s\up6(→))|≤|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＝1．法二以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，設E(t，0)，t∈[0，1]，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝(t，－1)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0，－1)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(t，－1)·(0，－1)＝1．因為eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1，0)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，故eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))的最大值為1．法三由圖知，無論E點在哪個位置，eq\o(DE,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影都是CB＝1，∴eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|·1＝1．當E運動到B點時，eq\o(DE,\s\up6(→))在eq\o(DC,\s\up6(→))方向上的投影最大即為DC＝1，∴(eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→)))max＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|·1＝1．例2（2023·北京高考真題），，，則_______；_______．答案：03【解析】，，，.故答案為：0；3.【跟蹤精練】1.(2023·陜西·交大附中模擬預測）已知在平行四邊形中，，則值為__________．答案：【解析】由題設可得如下圖：，而，所以，又，所以，則，故，可得，即.故答案為：2.(2023·云南玉溪·高三月考）已知中，，，點是線段的中點，則______．答案：【解析】以底邊的中點為坐標原點，建立平面直角坐標系，如下圖：由已知條件和圖可知，，，，故，又因為點是線段的中點，所以，所以，從而，故答案為：.【題型二利用數(shù)量積求模長】必備技巧利用數(shù)量積求模長(1)沒有向量坐標時，求解向量模的問題就是要靈活應用a2＝|a|2，即|a|＝eq\r(a2)，勿忘記開方.．(2)有向量坐標時，|a|2＝x12＋y12或|a|＝eq\r(x12＋y12)．例3(2023·江蘇·南京市天印高級中學模擬預測）已知平面向量，滿足，，且與的夾角為，則（

）A． B． C． D．3答案：C【解析】解：因為，，且與的夾角為，所以，，故選：C例4(2023·福建泉州·模擬預測）已知向量,，若的夾角為，則=___________.答案：【解析】由,得,得.故答案為：.【跟蹤精練】1.(2023·全國·高三課時練習）已知，則（）A． B． C．13 D．21答案：A【解析】依題意，，.所以.故選：A2.(2023·江蘇姑蘇·蘇州中學高三月考）已知非零向量，的夾角為，且，，則（）A． B．1 C． D．2答案：A【解析】因為非零向量，的夾角為，且，所以，又因為，所以，即，所以整理可得：，因為，解得：，故選：A.【題型三利用數(shù)量積求夾角】方法技巧利用數(shù)量積求夾角(1)向量有沒有坐標時，主要是利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求出夾角的余弦值，從而求得夾角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以尋找|a|，|b|，a·b三者之間的關系，然后代入求解.(2)向量有坐標時，cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,eq\r(x12＋y12)·eq\r(x22＋y22))例5(2023·甘肅·高臺縣第一中學模擬預測）已知非零向量，滿足，，則與夾角為______．答案：【解析】因為，所以.因為，所以，所以.設與夾角為，所以.因為，所以.例6(2023·山東日照市·高三二模）已知，當時，向量與的夾角為（）A． B． C． D．答案：B【解析】，，，即，，，所以向量與的夾角為，故選：B.【題型精練】1．(2023·河北武強中學高三月考）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為___________.答案：【解析】由題意，設，又，設與的夾角為，所以，所以.故答案為：.2.(2023·全國福建省漳州市高三期末)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|；(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，求△ABC的面積．【解析】：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61．又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6．∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2)．又0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3)．(2)可先平方轉化為向量的數(shù)量積．|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝eq\r(13)．(3)∵eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角θ＝eq\f(2π,3)，∴∠ABC＝π－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,3)．又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|a|＝4，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|b|＝3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|sin∠ABC＝eq\f(1,2)×4×3×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)．【題型四利用數(shù)量積求解垂直問題】方法技巧利用向量數(shù)量積求解垂直問題解決有關垂直問題時利用a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)例7(2023·全國高三專題練習）已知，若，則x等于（）A．8 B．10 C．11 D．12答案：D【解析】∵，∴，又，∴，可得x=12.故選：D例8(2023·海南?？凇ざ＃┮阎蛄?，的夾角為45°，，且a?b=2，若，則______．答案：-2【解析】因為得，又因為，所以，所以．故答案為：-2.【題型精練】1.(2023?南通期末）在中，，，若是直角三角形，則的值可以是A． B． C． D．答案：．【解析】中，，，①當時，，即，解得；②當時，，且；即，解得；③當時，，即，整理得，解得或；綜上知，的取值為或或．2.(2023·河南開封·模擬預測）已知兩個單位向量與的夾角為，若，，且，