高考數(shù)學大一輪復(fù)習精講精練(新高考地區(qū))9.10統(tǒng)計概率和其他專題綜合(精講)(原卷版+解析)

9.10統(tǒng)計概率和其他專題綜合【題型解讀】【題型精講】【題型一統(tǒng)計概率和函數(shù)綜合】例1(2023·華師大二附中高三練習）體檢時，為了確定體檢人是否患有某種疾病，需要對其血液采樣進行化驗，若結(jié)果呈陽性，則患有該疾病;若結(jié)果呈陰性，則未患有該疾?。畬τ诜菅簶颖?，有以下兩種檢驗方式:一是逐份檢驗，則需檢驗次.二是混合檢驗，將份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗結(jié)果為陰性，那么這份血液全為陰性，因而檢驗一次就夠了﹔如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪些為陽性，就需要對它們再次取樣逐份檢驗，則份血液檢驗的次數(shù)共為次.已知每位體檢人未患有該疾病的概率為，而且各體檢人是否患該疾病相互獨立.（1）若，求3位體檢人的血液樣本混合檢驗結(jié)果為陽性的概率;（2）某定點醫(yī)院現(xiàn)取得6位體檢人的血液樣本，考慮以下兩種檢驗方案:方案一:采用混合檢驗;方案二:平均分成兩組，每組3位體檢人血液樣本采用混合檢驗.若檢驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.試問方案一、二哪個更“優(yōu)”?請說明理由.例2為降低工廠廢氣排放量，某廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號的減排器，現(xiàn)分別從甲、乙兩種減排器中各自抽取100件進行性能質(zhì)量評估檢測，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖所示：減排器等級及利潤率如下表，其中．綜合得分的范圍減排器等級減排器利潤率一級品二級品三級品（1）若從這100件甲型號減排器中按等級分層抽樣的方法抽取10件，再從這10件產(chǎn)品中隨機抽取4件，求至少有2件一級品的概率；（2）將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計總體，則：①若從乙型號減排器中隨機抽取3件，求二級品數(shù)的分布列及數(shù)學期望；②從長期來看，投資哪種型號的減排器平均利潤率較大？【題型精練】1.(2023·貴州省思南中學高三月考）黨中央，國務(wù)院高度重視新冠病毒核酸檢測工作，中央應(yīng)對新型冠狀病毒感染肺炎疫情工作領(lǐng)導(dǎo)小組會議作出部署，要求盡力擴大核酸檢測范圍，著力提升檢測能力.根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為.現(xiàn)有6例疑似病例，分別對其取樣?檢測，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗，混合樣本中只要有病毒，則化驗結(jié)果呈陽性.若混合樣本呈陽性，則需將該組中備用的樣本再逐個化驗；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個樣本均為陰性，無需再化驗.現(xiàn)有以下三種方案：方案一：6個樣本逐個化驗；方案二：6個樣本混合在一起化驗；方案三：6個樣本均分為兩組，分別混合在一起化驗.在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢測能力不足，化驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.（1）若，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈陽性的概率；（2）若，現(xiàn)將該6例疑似病例樣本進行化驗，當方案三比方案二更“優(yōu)”時，求的取值范圍.2．(2023·全國高三課時練習）象棋屬于二人對抗性游戲的一種，在中國有著悠久的歷史，由于用具簡單，趣味性強，成為流行極為廣泛的棋藝活動.馬在象棋中是至關(guān)重要的棋子，“馬起盤格勢，折沖千里余.江河不可障，颯沓入敵虛”將矩形棋盤視作坐標系，棋盤的左下角為坐標原點，馬每一步從移動到或.（1）若棋盤的右上角為，馬從處出發(fā)，等概率地向各個能到達（不離開棋盤）的方向移動，求其4步以內(nèi)到達右上角的概率.（2）若棋盤的右上角為，馬從處出發(fā)，每一步僅向方向移動，最終到達棋盤右上角，若選擇每一條可行的道路是等概率的，求馬停留在線段上次數(shù)的數(shù)學期望.【題型二統(tǒng)計概率和導(dǎo)數(shù)綜合】例3(2023·四川模擬）甲、乙兩隊進行一輪籃球比賽，比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）．在每一局比賽中，都不會出現(xiàn)平局，甲每局獲勝的概率都為．（1）若，比賽結(jié)束時，設(shè)甲獲勝局數(shù)為X，求其分布列和期望；（2）若整輪比賽下來，甲隊只勝一場的概率為，求的最大值．例4(2023·武昌模擬）中國國家統(tǒng)計局2019年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2019年9月中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)為49.8%，反映出中國制造業(yè)擴張步伐有所加快.以新能源汽車?機器人?增材制造?醫(yī)療設(shè)備?高鐵?電力裝備?船舶?無人機等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進，則進一步體現(xiàn)了中國制造目前的跨越式發(fā)展.已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量差服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（1）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，記質(zhì)量差，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)（2）假如企業(yè)包裝時要求把2件優(yōu)等品和(，且)件一等品裝在同一個箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進行檢驗，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級相同則該箱產(chǎn)品記為，否則該箱產(chǎn)品記為B.①試用含的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率；②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為的概率為，求當為何值時，取得最大值，并求出最大值.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則：，，.【題型精練】1．(2023·石家莊模擬）某種疾病可分為、兩種類型.為了解該疾病類型與性別的關(guān)系，在某地區(qū)隨機抽取了患該疾病的病人進行調(diào)查，其中女性是男性的倍，男性患型病的人數(shù)占男性病人的，女性患型病的人數(shù)占女性病人的.（1）若在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，求男性患者至少有多少人？（2）某藥品研發(fā)公司欲安排甲乙兩個研發(fā)團隊來研發(fā)此疾病的治療藥物.兩個團隊各至多安排個接種周期進行試驗.甲團隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，每人每次接種花費元，每個周期至多接種3次，第一個周期連續(xù)次出現(xiàn)抗體則終止本接種周期進入第二個接種周期，否則需依次接種至第一周期結(jié)束，再進入第二周期：第二接種周期連續(xù)2次出現(xiàn)抗體則終止試驗，否則需依次接種至至試驗結(jié)束：乙團隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，每人每次花費元，每個周期接種次，每個周期必須完成次接種，若一個周期內(nèi)至少出現(xiàn)次抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗，否則進入第二個接種周期，假設(shè)兩個研發(fā)團隊每次接種后產(chǎn)生抗體與否均相互獨立.當，時，從兩個團隊試驗的平均花費考慮，試證明該公司選擇乙團隊進行藥品研發(fā)的決策是正確的.附：，0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8282.(2023·臨沂二模）某醫(yī)療研究所新研發(fā)了一款醫(yī)療儀器，為保障該儀器的可靠性，研究所外聘了一批專家檢測儀器的可靠性，已知每位專家評估過程相互獨立．（1）若安排兩位專家進行評估，專家甲評定為“可靠”的概率為，專家乙評定為“可靠”的概率為，只有當兩位專家均評定為“可靠”時，可以確定該儀器可靠，否則確定為“不可靠”．現(xiàn)隨機抽取4臺儀器，由兩位專家進行評估，記評定結(jié)果不可靠的儀器臺數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；（2）為進一步提高該醫(yī)療儀器的可靠性，研究所決定每臺儀器都由三位專家進行評估，若每臺儀器被每位專家評定為“可靠”的概率均為p（），且每臺儀器是否可靠相互獨立．只有三位專家都評定儀器可靠，則儀器通過評估．若三位專家評定結(jié)果都為不可靠，則儀器報廢．其余情況，儀器需要回研究所返修，擬定每臺儀器評估費用為100元，若回研究所返修，每臺儀器還需要額外花費300元的維修費．現(xiàn)以此方案實施，且抽檢儀器為100臺，研究所用于評估和維修的預(yù)算是3.3萬元，你認為該預(yù)算是否合理？并說明理由．【題型三統(tǒng)計概率和數(shù)列綜合】例5(2023·唐山二模）足球是一項大眾喜愛的運動.2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進行，全程為期28天.(1)為了解喜愛足球運動是否與性別有關(guān)，隨機抽取了男性和女性各100名觀眾進行調(diào)查，得到22列聯(lián)表如下：喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男性6040100女性2080100合計80120200依據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，能否認為喜愛足球運動與性別有關(guān)?(2)校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．（i）求（直接寫出結(jié)果即可）；（ii）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大?。?(2023·山東·臨沂市蘭山區(qū)教學研究室高三開學考試）為落實《關(guān)于全面加強和改進新時代學校體育工作的意見》，完善學校體育“健康知識＋基本運動技能＋專項運動技能”教學模式，建立“校內(nèi)競賽－校級聯(lián)賽－選拔性競賽－國際交流比賽”為一體的競賽體系，構(gòu)建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國家五級學校體育競賽制度．某校開展“陽光體育節(jié)”活動，其中傳統(tǒng)項目“定點踢足球”深受同學們喜愛．其間甲、乙兩人輪流進行足球定點踢球比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，且各次踢球互不影響．（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為，求的數(shù)學期望；（2）若經(jīng)過輪踢球，用表示經(jīng)過第輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的概率．①求，，；②規(guī)定，且有，請根據(jù)①中，，的值求出、，并求出數(shù)列的通項公式．【題型精練】1．(2023·高三課時練習）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學期望E(Xn)(用n表示)．2.(2023·廣東高三模擬）《山東省高考改革試點方案》規(guī)定：從年高考開始，高考物理、化學等六門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為八個等級.參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為.選考科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則分別轉(zhuǎn)換到八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績.某校級學生共人，以期末考試成績?yōu)樵汲煽冝D(zhuǎn)換了本校的等級成績，為學生合理選科提供依據(jù)，其中物理成績獲得等級的學生原始成績統(tǒng)計如下成績93919088878685848382人數(shù)1142433327（1）從物理成績獲得等級的學生中任取名，求恰好有名同學的等級分數(shù)不小于的概率;（2）待到本級學生高考結(jié)束后，從全省考生中不放回的隨機抽取學生，直到抽到名同學的物理高考成績等級為或結(jié)束(最多抽取人)，設(shè)抽取的學生個數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學期望(注:).9.10統(tǒng)計概率和其他專題綜合【題型解讀】【題型精講】【題型一統(tǒng)計概率和函數(shù)綜合】例1(2023·華師大二附中高三練習）體檢時，為了確定體檢人是否患有某種疾病，需要對其血液采樣進行化驗，若結(jié)果呈陽性，則患有該疾病;若結(jié)果呈陰性，則未患有該疾病．對于份血液樣本，有以下兩種檢驗方式:一是逐份檢驗，則需檢驗次.二是混合檢驗，將份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗結(jié)果為陰性，那么這份血液全為陰性，因而檢驗一次就夠了﹔如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪些為陽性，就需要對它們再次取樣逐份檢驗，則份血液檢驗的次數(shù)共為次.已知每位體檢人未患有該疾病的概率為，而且各體檢人是否患該疾病相互獨立.（1）若，求3位體檢人的血液樣本混合檢驗結(jié)果為陽性的概率;（2）某定點醫(yī)院現(xiàn)取得6位體檢人的血液樣本，考慮以下兩種檢驗方案:方案一:采用混合檢驗;方案二:平均分成兩組，每組3位體檢人血液樣本采用混合檢驗.若檢驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.試問方案一、二哪個更“優(yōu)”?請說明理由.答案：見解析【解析】（1）解：該混合樣本陰性的概率是，根據(jù)對立事件可得，陽性的概率為（2）解：方案一:混在一起檢驗，方案一的檢驗次數(shù)記為，則的可能取值為，其分布列為:17則，方案二:由題意分析可知，每組3份樣本混合檢驗時，若陰性則檢測次數(shù)為1，概率為，若陽性，則檢測次數(shù),4，概率為，方案二的檢驗次數(shù)記為，則的可能取值為，;其分布列為:258則，，當或時，可得，所以方案一更“優(yōu)”當或時，可得，所以方案一、二一樣“優(yōu)”當時，可得，所以方案二更“優(yōu)”.例2為降低工廠廢氣排放量，某廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號的減排器，現(xiàn)分別從甲、乙兩種減排器中各自抽取100件進行性能質(zhì)量評估檢測，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖所示：減排器等級及利潤率如下表，其中．綜合得分的范圍減排器等級減排器利潤率一級品二級品三級品（1）若從這100件甲型號減排器中按等級分層抽樣的方法抽取10件，再從這10件產(chǎn)品中隨機抽取4件，求至少有2件一級品的概率；（2）將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計總體，則：①若從乙型號減排器中隨機抽取3件，求二級品數(shù)的分布列及數(shù)學期望；②從長期來看，投資哪種型號的減排器平均利潤率較大？答案：（1）；（2）①二級品數(shù)的分布列見詳解，；②投資乙型號減排器的平均利潤率較大.【解析】（1）由已知及頻率分布直方圖中的信息知，甲型號減排器中的一級品的概率為，分層抽樣的方法抽取10件，則抽取一級品為（件）則至少有2件一級品的概率，；（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號減排器中的一級品的概率為，二級品的概率，三級品的概率為，若從乙型號減排器隨機抽取3件，則二級品數(shù)所有可能的取值為，且，所以，，，，所以的分布列為0123所以數(shù)學期望：；②由題意知，甲型號減排器的利潤的平均值：；乙型號減排器的利潤的平均值：；，又，則，所以投資乙型號減排器的平均利潤率較大.【題型精練】1.(2023·貴州省思南中學高三月考）黨中央，國務(wù)院高度重視新冠病毒核酸檢測工作，中央應(yīng)對新型冠狀病毒感染肺炎疫情工作領(lǐng)導(dǎo)小組會議作出部署，要求盡力擴大核酸檢測范圍，著力提升檢測能力.根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為.現(xiàn)有6例疑似病例，分別對其取樣?檢測，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗，混合樣本中只要有病毒，則化驗結(jié)果呈陽性.若混合樣本呈陽性，則需將該組中備用的樣本再逐個化驗；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個樣本均為陰性，無需再化驗.現(xiàn)有以下三種方案：方案一：6個樣本逐個化驗；方案二：6個樣本混合在一起化驗；方案三：6個樣本均分為兩組，分別混合在一起化驗.在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢測能力不足，化驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.（1）若，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈陽性的概率；（2）若，現(xiàn)將該6例疑似病例樣本進行化驗，當方案三比方案二更“優(yōu)”時，求的取值范圍.答案：（1）；（2）.【解析】（1）用表示6例疑似病例中化驗呈陽性的人數(shù)，則隨機變量，由題意可知：.答：6例疑似病例中至少有1例呈陽性的概率為.（2）方案二：混合一起檢驗，記檢驗次數(shù)為，則.∴，，∴.方案三：每組的三個樣本混合在一起化驗，記檢驗次數(shù)為，則.∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的取值范圍.2．(2023·全國高三課時練習）象棋屬于二人對抗性游戲的一種，在中國有著悠久的歷史，由于用具簡單，趣味性強，成為流行極為廣泛的棋藝活動.馬在象棋中是至關(guān)重要的棋子，“馬起盤格勢，折沖千里余.江河不可障，颯沓入敵虛”將矩形棋盤視作坐標系，棋盤的左下角為坐標原點，馬每一步從移動到或.（1）若棋盤的右上角為，馬從處出發(fā)，等概率地向各個能到達（不離開棋盤）的方向移動，求其4步以內(nèi)到達右上角的概率.（2）若棋盤的右上角為，馬從處出發(fā)，每一步僅向方向移動，最終到達棋盤右上角，若選擇每一條可行的道路是等概率的，求馬停留在線段上次數(shù)的數(shù)學期望.答案：見解析【解析】（1）解：從出發(fā)4步以內(nèi)到達且不出棋盤的走法共有8種，其中種為：另外4種與以上4種關(guān)于直線對稱.對于以上4種，記第種路線的概率為，則：，，，.因此總概率為.（2）解：設(shè)馬有步從走到，步走到.則，解得.即馬共走了步，總路徑數(shù)為路徑上經(jīng)過的點可能在線段上的有，共5個.因此.因此，，，，.所以馬停留在線段上次數(shù)的分布列為：12345因此的數(shù)學期望.【題型二統(tǒng)計概率和導(dǎo)數(shù)綜合】例3(2023·四川模擬）甲、乙兩隊進行一輪籃球比賽，比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）．在每一局比賽中，都不會出現(xiàn)平局，甲每局獲勝的概率都為．（1）若，比賽結(jié)束時，設(shè)甲獲勝局數(shù)為X，求其分布列和期望；（2）若整輪比賽下來，甲隊只勝一場的概率為，求的最大值．答案：見解析【解析】（1）解：由題意可知，隨機變量X的可能取值為0、1、2、3，則，，，隨機變量X的分布列如下：X0123P則（2）解：甲隊只勝一場的概率為，則．故當時，，遞增；當時，，遞增；則例4(2023·武昌模擬）中國國家統(tǒng)計局2019年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2019年9月中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)為49.8%，反映出中國制造業(yè)擴張步伐有所加快.以新能源汽車?機器人?增材制造?醫(yī)療設(shè)備?高鐵?電力裝備?船舶?無人機等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進，則進一步體現(xiàn)了中國制造目前的跨越式發(fā)展.已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量差服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（1）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，記質(zhì)量差，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)（2）假如企業(yè)包裝時要求把2件優(yōu)等品和(，且)件一等品裝在同一個箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進行檢驗，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級相同則該箱產(chǎn)品記為，否則該箱產(chǎn)品記為B.①試用含的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率；②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為的概率為，求當為何值時，取得最大值，并求出最大值.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則：，，.答案：見解析【解析】（1）解：由題意，估計從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件的平均數(shù)為：，即，樣本方差，故，所以，則優(yōu)等品為質(zhì)量差在內(nèi)，即，一等品為質(zhì)量差在內(nèi)，即，所以正品為質(zhì)量差在和內(nèi)，即，所以該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率：.（2）解：①從件正品中任選兩個，有種選法，其中等級相同有種選法，∴某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率為：.②由題意，一箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率為，則5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率為，所以，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，最大值為.此時，解得：，∴時，5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率最大，最大值為.【題型精練】1．(2023·石家莊模擬）某種疾病可分為、兩種類型.為了解該疾病類型與性別的關(guān)系，在某地區(qū)隨機抽取了患該疾病的病人進行調(diào)查，其中女性是男性的倍，男性患型病的人數(shù)占男性病人的，女性患型病的人數(shù)占女性病人的.（1）若在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，求男性患者至少有多少人？（2）某藥品研發(fā)公司欲安排甲乙兩個研發(fā)團隊來研發(fā)此疾病的治療藥物.兩個團隊各至多安排個接種周期進行試驗.甲團隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，每人每次接種花費元，每個周期至多接種3次，第一個周期連續(xù)次出現(xiàn)抗體則終止本接種周期進入第二個接種周期，否則需依次接種至第一周期結(jié)束，再進入第二周期：第二接種周期連續(xù)2次出現(xiàn)抗體則終止試驗，否則需依次接種至至試驗結(jié)束：乙團隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，每人每次花費元，每個周期接種次，每個周期必須完成次接種，若一個周期內(nèi)至少出現(xiàn)次抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗，否則進入第二個接種周期，假設(shè)兩個研發(fā)團隊每次接種后產(chǎn)生抗體與否均相互獨立.當，時，從兩個團隊試驗的平均花費考慮，試證明該公司選擇乙團隊進行藥品研發(fā)的決策是正確的.附：，0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）；（2）該公司選擇乙團隊進行藥品研發(fā)的決策是正確的.【解析】（1）設(shè)男性患者有人，則女性患者有人，列聯(lián)表如下：Ⅰ型?、蛐筒『嫌嬆衵女合計要使在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，則，解得，∵，，的最小整數(shù)值為，因此，男性患者至少有人；（2）設(shè)甲研發(fā)團隊試驗總花費為元，則的可能取值為、、，，，，，在遞減，，設(shè)乙研發(fā)團隊試驗總花費為元，則的可能取值為、，，，，設(shè)，，函數(shù)在遞減，，恒成立，所以，該公司選擇乙團隊進行藥品研發(fā)的決策是正確的.2.(2023·臨沂二模）某醫(yī)療研究所新研發(fā)了一款醫(yī)療儀器，為保障該儀器的可靠性，研究所外聘了一批專家檢測儀器的可靠性，已知每位專家評估過程相互獨立．（1）若安排兩位專家進行評估，專家甲評定為“可靠”的概率為，專家乙評定為“可靠”的概率為，只有當兩位專家均評定為“可靠”時，可以確定該儀器可靠，否則確定為“不可靠”．現(xiàn)隨機抽取4臺儀器，由兩位專家進行評估，記評定結(jié)果不可靠的儀器臺數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；（2）為進一步提高該醫(yī)療儀器的可靠性，研究所決定每臺儀器都由三位專家進行評估，若每臺儀器被每位專家評定為“可靠”的概率均為p（），且每臺儀器是否可靠相互獨立．只有三位專家都評定儀器可靠，則儀器通過評估．若三位專家評定結(jié)果都為不可靠，則儀器報廢．其余情況，儀器需要回研究所返修，擬定每臺儀器評估費用為100元，若回研究所返修，每臺儀器還需要額外花費300元的維修費．現(xiàn)以此方案實施，且抽檢儀器為100臺，研究所用于評估和維修的預(yù)算是3.3萬元，你認為該預(yù)算是否合理？并說明理由．答案：（1）分布列見解析，；（2）該預(yù)算合理，理由見解析.【解析】（1）記事件A：一臺機器被評定為不合格，則，題意知X的所有可能取值為0，1，2，3，4．由題意得：，所以，，，，，．故隨機變量X的分布列為：X01234P從而．（2）該預(yù)算合理．理由如下：設(shè)每臺儀器用于評估和維修的費用為元，則的可能取值為，．，．所以，化簡得，令，，令解得，當，，在單調(diào)遞增，當，，在單調(diào)遞減，所以當時，的最大值為．實施此方案，100臺抽檢儀器的費用期望值最高為元元，因此該預(yù)算合理．【題型三統(tǒng)計概率和數(shù)列綜合】例5(2023·唐山二模）足球是一項大眾喜愛的運動.2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進行，全程為期28天.(1)為了解喜愛足球運動是否與性別有關(guān)，隨機抽取了男性和女性各100名觀眾進行調(diào)查，得到22列聯(lián)表如下：喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男性6040100女性2080100合計80120200依據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，能否認為喜愛足球運動與性別有關(guān)?(2)校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．（i）求（直接寫出結(jié)果即可）；（ii）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大?。鸢福?1)喜愛足球運動與性別有關(guān)(2)（i）；（ii）證明見解析，甲的概率大【解析】（1）假設(shè)：喜愛足球運動與性別獨立，即喜愛足球運動與性別無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為喜愛足球運動與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.001．（2）（i）由題意得：第二次觸球者為乙，丙，丁中的一個，第二次觸球者傳給包括甲的三人中的一人，故傳給甲的概率為，故．（ii）第次觸球者是甲的概率記為，則當時，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，則，從而，又，是以為首項，公比為的等比數(shù)列．則，∴，，，故第19次觸球者是甲的概率大例6(2023·山東·臨沂市蘭山區(qū)教學研究室高三開學考試）為落實《關(guān)于全面加強和改進新時代學校體育工作的意見》，完善學校體育“健康知識＋基本運動技能＋專項運動技能”教學模式，建立“校內(nèi)競賽－校級聯(lián)賽－選拔性競賽－國際交流比賽”為一體的競賽體系，構(gòu)建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國家五級學校體育競賽制度．某校開展“陽光體育節(jié)”活動，其中傳統(tǒng)項目“定點踢足球”深受同學們喜愛．其間甲、乙兩人輪流進行足球定點踢球比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，且各次踢球互不影響．（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為，求