高一數(shù)學下學期考點精講+精練(人教A版2019必修第二冊)第05講事件的相互獨立性(原卷版+解析)

第5講事件的相互獨立性知識點11．事件的相互獨立性(1)定義：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立．簡稱為獨立．(2)性質(zhì)：如果事件A與B相互獨立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨立．(3)公式的推廣①n個事件相互獨立對于n個事件A1，A2，…，An，如果其中任一個事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立．②n個相互獨立事件的概率公式如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件都發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，并且上式中任意多個事件Ai換成其對立事件后等式仍成立．(4)兩個事件獨立與互斥的區(qū)別兩個事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生；兩個事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響．一般地，兩個事件不可能既互斥又相互獨立，因為互斥事件不可能同時發(fā)生，而相互獨立事件是以它們能夠同時發(fā)生為前提．2．相互獨立事件與互斥事件的概率計算概率A，B互斥A，B相互獨立P(A∪B)P(A)＋P(B)1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(AB)0P(A)P(B)P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))1－[P(A)＋P(B)]P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B)P(A)＋P(B)P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)[說明]①(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)，表示的是Aeq\x\to(B)與eq\x\to(A)B的和，實際意義是：A發(fā)生且B不發(fā)生，或者A不發(fā)生且B發(fā)生，換句話說就是A與B中恰有一個發(fā)生．②同數(shù)的加、減、乘、除混合運算一樣，事件的混合運算也有優(yōu)先級，我們規(guī)定：求積運算的優(yōu)先級高于求和運算，因此(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)可簡寫為Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B.考點一事件獨立性的判斷解題方略：兩個事件是否相互獨立的判斷(1)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響．(2)定義法：如果事件A，B同時發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率的積，則事件A，B為相互獨立事件．【例1】判斷下列各對事件是不是相互獨立事件：(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；(2)容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”；(3)擲一枚骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點”與“出現(xiàn)3點或6點”．變式1：下列事件中，A，B是相互獨立事件的是()A．一枚硬幣擲兩次，A＝“第一次為正面”，B＝“第二次為反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．擲一枚骰子，A＝“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，B＝“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”D．A＝“人能活到20歲”，B＝“人能活到50歲”變式2：從52張撲克牌(不含大小王)中任抽一張，記事件A為“抽得K”，記事件B為“抽得紅牌”，記事件C為“抽到J”．判斷下列每對事件是否相互獨立？為什么？(1)A與B；(2)C與A.變式3：袋內(nèi)有3個白球和2個黑球，從中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，則A與B是()A．互斥事件 B．相互獨立事件C．對立事件 D．不相互獨立事件變式4：若P(AB)＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,3)，則事件A與B的關系是()A．事件A與B互斥 B．事件A與B對立C．事件A與B相互獨立 D．事件A與B既互斥又獨立考點二求相互獨立事件的概率解題方略：1．求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟：(1)首先確定各事件之間是相互獨立的；(2)確定這些事件可以同時發(fā)生；(3)求出每個事件的概率，再求積．2．使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的，而且它們同時發(fā)生．【例2】周老師上數(shù)學課時，給班里同學出了兩道選擇題，她預估做對第一道題的概率為0.80，做對兩道題的概率為0.60，則預估做對第二道題的概率是()A．0.80 B．0.75C．0.60 D．0.48變式1：有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9，在兩批種子中各取一粒，則恰有一粒種子能發(fā)芽的概率是________．變式2：甲、乙同時炮擊一架敵機，已知甲擊中敵機的概率為0.3，乙擊中敵機的概率為0.5，敵機被擊中的概率為________．變式3：有一道數(shù)學難題，學生A解出的概率為eq\f(1,2)，學生B解出的概率為eq\f(1,3)，學生C解出的概率為eq\f(1,4).若A，B，C三人獨立去解答此題，則恰有一人解出的概率為()A．1 B．eq\f(6,24)C.eq\f(11,24) D.eq\f(17,24)變式4：設每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設備的概率分別為0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用設備相互獨立，則同一工作日至少3人需使用設備的概率為()A．0.25 B．0.30C．0.31 D．0.35變式5：國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為eq\f(1,3)，乙、丙去北京旅游的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,5).假定3人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為()A.eq\f(59,60) B．eq\f(3,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,60)變式6：甲騎自行車從A地到B地，途中要經(jīng)過4個十字路口，已知甲在每個十字路口遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，且在每個路口是否遇到紅燈相互獨立，那么甲在前兩個十字路口都沒有遇到紅燈，直到第三個路口才首次遇到紅燈的概率是()A.eq\f(1,3) B．eq\f(4,27)C.eq\f(4,9) D.eq\f(1,27)變式7：甲、乙、丙3位大學生同時應聘某個用人單位的職位，3人能被選中的概率分別為eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，且各自能否被選中互不影響．(1)求3人同時被選中的概率；(2)求三人均未被選中的概率；(3)求3人中至少有1人被選中的概率．變式8：甲、乙、丙3位大學生同時應聘某個用人單位的職位，甲、乙兩人只有一人被選中的概率為eq\f(11,20)，兩人都被選中的概率為eq\f(3,10)，丙被選中的概率為eq\f(1,3)，且各自能否被選中互不影響．求恰好有2人被選中的概率．變式9：在奧運知識有獎問答競賽中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關奧運知識的問題，已知甲答對這道題的概率是eq\f(3,4)，甲、乙兩人都回答錯誤的概率是eq\f(1,12)，乙、丙兩人都回答正確的概率是eq\f(1,4).設每人回答問題正確與否相互獨立的．(1)求乙答對這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答對這道題的概率．考點三相互獨立事件的實際應用解題方略：求較為復雜事件的概率的方法(1)列出題中涉及的各事件，并且用適當?shù)姆柋硎荆?2)理清事件之間的關系(兩事件是互斥還是對立，或者是相互獨立)，列出關系式；(3)根據(jù)事件之間的關系準確選取概率公式進行計算；(4)當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時，可先間接地計算對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率．【例3】三個元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，將它們中的某兩個元件并聯(lián)后再和第三個元件串聯(lián)接入電路，如圖所示，求電路不發(fā)生故障的概率．變式1：某項選拔共有三輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪問題的概率分別為eq\f(4,5)，eq\f(3,5)，eq\f(2,5)，且各輪問題能否正確回答互不影響．求該選手被淘汰的概率．變式2：如圖，A，B，C表示3個開關，若在某段時間內(nèi)它們正常工作的概率分別為0.9，0.8，0.7，那么系統(tǒng)的可靠性為()A．0.054 B．0.994C．0.496 D．0.06練習一事件獨立性的判斷1、一袋中裝有100只球，其中有20只白球，在有放回地摸球中，記A1＝“第一次摸得白球”，A2＝“第二次摸得白球”，則事件A1與是()A．相互獨立事件 B．對立事件C．互斥事件 D．無法判斷2、甲、乙兩名射手同時向一目標射擊，設事件A＝“甲擊中目標”，事件B＝“乙擊中目標”，則事件A與事件B()A．相互獨立但不互斥 B．互斥但不相互獨立C．相互獨立且互斥 D．既不相互獨立也不互斥練習二求相互獨立事件的概率1、在某道路A，B，C三處設有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為________．2、某天上午，李明要參加“青年文明號”活動．為了準時起床，他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己．假設甲鬧鐘準時響的概率是0.80，乙鬧鐘準時響的概率是0.90，則兩個鬧鐘至少有一個準時響的概率是________．3、甲盒中有200個螺桿，其中有160個A型的，乙盒中有240個螺母，其中有180個A型的．今從甲、乙兩盒中各任取一個，則恰好可配成A型螺栓的概率為()A．eq\f(1,20)B．eq\f(15,16)C．eq\f(3,5)D．eq\f(19,20)4、兩名射手射擊同一目標，命中的概率分別為0.8和0.7，若各射擊一次，目標被擊中的概率是()A．0.56 B．0.92C．0.94 D．0.965、某地區(qū)為女農(nóng)民工免費提供家政和醫(yī)院陪護工培訓，每人可選擇參加一項、兩項培訓或不參加培訓，已知參加過家政培訓的有60%，參加過醫(yī)院陪護工培訓的有75%，假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且每個人的選擇相互之間沒有影響．任選1名女農(nóng)民工，則她參加過培訓的概率是________．6、在同一時間內(nèi)，甲、乙兩個氣象臺獨立預報天氣準確的概率分別為eq\f(4,5)和eq\f(3,4).求：(1)甲、乙兩個氣象臺同時預報天氣準確的概率；(2)至少有一個氣象臺預報準確的概率．7、某同學語文、數(shù)學、英語三科的考試成績在一次考試中排名全班第一的概率：語文為0.9，數(shù)學為0.8，英語為0.85，求：(1)三科成績均未獲得第一名的概率是多少？(2)恰有一科成績未獲得第一名的概率是多少？8、某大學開設甲、乙、丙三門選修課，學生選修哪門課互不影響．已知學生小張只選甲的概率為0.08，只選甲和乙的概率為0.12，至少選一門課的概率為0.88，用ξ表示小張選修的課程門數(shù)和沒有選修的課程門數(shù)的乘積．(1)求學生小張選修甲的概率；(2)記“函數(shù)f(x)＝x2＋ξx為R上的偶函數(shù)”為事件A，求事件A的概率．練習三相互獨立事件的實際應用1、如圖，已知電路中4個開關閉合的概率都是eq\f(1,2)，且是互相獨立的，則燈亮的概率為()A.eq\f(3,16) B．eq\f(3,4)C.eq\f(13,16) D.eq\f(1,4)2、一個電路如圖所示，A，B，C，D，E，F(xiàn)為6個開關，其閉合的概率為eq\f(1,2)，且是相互獨立的，則燈亮的概率是()A.eq\f(1,64) B.eq\f(55,64)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,16)3、某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案．方案一：考三門課程，至少有兩門及格為考試通過．方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過．假設某應聘者對三門指定課程考試及格的概率分別為0.5,0.6,0.9，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響．求：(1)該應聘者用方案一考試通過的概率；(2)該應聘者用方案二考試通過的概率．第5講事件的相互獨立性知識點11．事件的相互獨立性(1)定義：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立．簡稱為獨立．(2)性質(zhì)：如果事件A與B相互獨立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨立．(3)公式的推廣①n個事件相互獨立對于n個事件A1，A2，…，An，如果其中任一個事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立．②n個相互獨立事件的概率公式如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件都發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，并且上式中任意多個事件Ai換成其對立事件后等式仍成立．(4)兩個事件獨立與互斥的區(qū)別兩個事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生；兩個事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響．一般地，兩個事件不可能既互斥又相互獨立，因為互斥事件不可能同時發(fā)生，而相互獨立事件是以它們能夠同時發(fā)生為前提．2．相互獨立事件與互斥事件的概率計算概率A，B互斥A，B相互獨立P(A∪B)P(A)＋P(B)1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(AB)0P(A)P(B)P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))1－[P(A)＋P(B)]P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B)P(A)＋P(B)P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)[說明]①(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)，表示的是Aeq\x\to(B)與eq\x\to(A)B的和，實際意義是：A發(fā)生且B不發(fā)生，或者A不發(fā)生且B發(fā)生，換句話說就是A與B中恰有一個發(fā)生．②同數(shù)的加、減、乘、除混合運算一樣，事件的混合運算也有優(yōu)先級，我們規(guī)定：求積運算的優(yōu)先級高于求和運算，因此(Aeq\x\to(B))＋(eq\x\to(A)B)可簡寫為Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B.考點一事件獨立性的判斷解題方略：兩個事件是否相互獨立的判斷(1)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響．(2)定義法：如果事件A，B同時發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率的積，則事件A，B為相互獨立事件．【例1】判斷下列各對事件是不是相互獨立事件：(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；(2)容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”；(3)擲一枚骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點”與“出現(xiàn)3點或6點”．【解析】(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響，所以它們是相互獨立事件．(2)“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”的概率為eq\f(5,8)，若這一事件發(fā)生了，則“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的仍是白球”的概率為eq\f(4,7)，若前一事件沒有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為eq\f(5,7).可見，前一事件是否發(fā)生，對后一事件發(fā)生的概率有影響，所以兩者不是相互獨立事件．(3)記A＝“出現(xiàn)偶數(shù)點”，B＝“出現(xiàn)3點或6點”，則A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，所以P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6)，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A與B相互獨立．變式1：下列事件中，A，B是相互獨立事件的是()A．一枚硬幣擲兩次，A＝“第一次為正面”，B＝“第二次為反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．擲一枚骰子，A＝“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，B＝“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”D．A＝“人能活到20歲”，B＝“人能活到50歲”【解析】把一枚硬幣擲兩次，對于每次而言是相互獨立的，其結果不受先后影響，故A是獨立事件；B中是不放回地摸球，顯然A事件與B事件不相互獨立；對于C，A，B應為互斥事件，不相互獨立；D是條件概率，事件B受事件A的影響．故選A．變式2：從52張撲克牌(不含大小王)中任抽一張，記事件A為“抽得K”，記事件B為“抽得紅牌”，記事件C為“抽到J”．判斷下列每對事件是否相互獨立？為什么？(1)A與B；(2)C與A.【解析】(1)P(A)＝eq\f(4,52)＝eq\f(1,13)，P(B)＝eq\f(26,52)＝eq\f(1,2)，事件AB即為“既抽得K又抽得紅牌”，亦即“抽得紅桃K或方塊K”，故P(AB)＝eq\f(2,52)＝eq\f(1,26)，從而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A與B相互獨立．(2)事件A與事件C是互斥的，因此事件A與C不是相互獨立事件．變式3：袋內(nèi)有3個白球和2個黑球，從中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，則A與B是()A．互斥事件 B．相互獨立事件C．對立事件 D．不相互獨立事件【解析】根據(jù)互斥事件、對立事件和相互獨立事件的定義可知，A與B不是相互獨立事件．故選D.變式4：若P(AB)＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,3)，則事件A與B的關系是()A．事件A與B互斥 B．事件A與B對立C．事件A與B相互獨立 D．事件A與B既互斥又獨立【解析】因為P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，所以P(A)＝eq\f(1,3)，又P(B)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,9)，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A與B相互獨立但不一定互斥．故選C.考點二求相互獨立事件的概率解題方略：1．求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟：(1)首先確定各事件之間是相互獨立的；(2)確定這些事件可以同時發(fā)生；(3)求出每個事件的概率，再求積．2．使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的，而且它們同時發(fā)生．【例2】周老師上數(shù)學課時，給班里同學出了兩道選擇題，她預估做對第一道題的概率為0.80，做對兩道題的概率為0.60，則預估做對第二道題的概率是()A．0.80 B．0.75C．0.60 D．0.48【解析】設“做對第一道題”為事件A，“做對第二道題”為事件B，則P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×P(B)＝0.6，故P(B)＝0.75.故選B.變式1：有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9，在兩批種子中各取一粒，則恰有一粒種子能發(fā)芽的概率是________．【解析】所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.答案：0.26變式2：甲、乙同時炮擊一架敵機，已知甲擊中敵機的概率為0.3，乙擊中敵機的概率為0.5，敵機被擊中的概率為________．【解析】由題意知P＝1－(1－0.3)×(1－0.5)＝0.65.答案：0.65變式3：有一道數(shù)學難題，學生A解出的概率為eq\f(1,2)，學生B解出的概率為eq\f(1,3)，學生C解出的概率為eq\f(1,4).若A，B，C三人獨立去解答此題，則恰有一人解出的概率為()A．1 B．eq\f(6,24)C.eq\f(11,24) D.eq\f(17,24)【解析】一道數(shù)學難題，恰有一人解出，包括：①A解出，B，C解不出，概率為eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)；②B解出，A，C解不出，概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,8)；③C解出，A，B解不出，概率為eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,12).所以恰有1人解出的概率為eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,12)＝eq\f(11,24).故選C.變式4：設每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設備的概率分別為0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用設備相互獨立，則同一工作日至少3人需使用設備的概率為()A．0.25 B．0.30C．0.31 D．0.35【解析】設甲、乙、丙、丁需使用設備分別為事件A，B，C，D，則P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好3人使用設備的概率P1＝P(eq\x\to(A)BCD∪Aeq\x\to(B)CD∪ABeq\x\to(C)D∪ABCeq\x\to(D))＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，4人使用設備的概率P2＝P(ABCD)＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求概率P＝P1＋P2＝0.25＋0.06＝0.31.故選C.變式5：國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為eq\f(1,3)，乙、丙去北京旅游的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,5).假定3人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為()A.eq\f(59,60) B．eq\f(3,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,60)【解析】因為甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5)，所以他們不去北京旅游的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，故至少有1人去北京旅游的概率為1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(3,5).故選B.變式6：甲騎自行車從A地到B地，途中要經(jīng)過4個十字路口，已知甲在每個十字路口遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，且在每個路口是否遇到紅燈相互獨立，那么甲在前兩個十字路口都沒有遇到紅燈，直到第三個路口才首次遇到紅燈的概率是()A.eq\f(1,3) B．eq\f(4,27)C.eq\f(4,9) D.eq\f(1,27)【解析】由題意知，甲在前兩個十字路口沒有遇到紅燈，直到第三個路口才首次遇到紅燈的概率為eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).故選B.變式7：甲、乙、丙3位大學生同時應聘某個用人單位的職位，3人能被選中的概率分別為eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，且各自能否被選中互不影響．(1)求3人同時被選中的概率；(2)求三人均未被選中的概率；(3)求3人中至少有1人被選中的概率．【解析】設甲、乙、丙能被選中的事件分別為A，B，C，則P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3).(1)3人同時被選中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10).(2)法一：三人均未被選中的概率P＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,10).法二：三人至少有1人被選中的概率為eq\f(9,10)，∴P＝1－eq\f(9,10)＝eq\f(1,10).(3)3人中有2人被選中的概率P2＝P(ABeq\x\to(C)∪Aeq\x\to(B)C∪eq\x\to(A)BC)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(23,60).3人中只有1人被選中的概率P3＝P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C)∪eq\x\to(A)Beq\x\to(C)∪eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＝eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(1,3)＝eq\f(5,12).故3人中至少有1人被選中的概率為P1＋P2＋P3＝eq\f(1,10)＋eq\f(23,60)＋eq\f(5,12)＝eq\f(9,10).變式8：甲、乙、丙3位大學生同時應聘某個用人單位的職位，甲、乙兩人只有一人被選中的概率為eq\f(11,20)，兩人都被選中的概率為eq\f(3,10)，丙被選中的概率為eq\f(1,3)，且各自能否被選中互不影響．求恰好有2人被選中的概率．【解析】設甲被選中的概率為P(A)，乙被選中的概率為P(B)，則P(A)[1－P(B)]＋P(B)[1－P(A)]＝eq\f(11,20)，①P(A)P(B)＝eq\f(3,10)，②由①②知P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或PA＝\f(3,4)，PB＝\f(2,5)))故恰有2人被選中的概率P＝P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＝eq\f(23,60).變式9：在奧運知識有獎問答競賽中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關奧運知識的問題，已知甲答對這道題的概率是eq\f(3,4)，甲、乙兩人都回答錯誤的概率是eq\f(1,12)，乙、丙兩人都回答正確的概率是eq\f(1,4).設每人回答問題正確與否相互獨立的．(1)求乙答對這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答對這道題的概率．【解析】(1)記甲、乙、丙3人獨自答對這道題分別為事件A，B，C，設乙答對這道題的概率P(B)＝x，由于每人回答問題正確與否是相互獨立的，因此A，B，C是相互獨立事件．由題意，并根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式，得P()＝P()P()＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×(1－x)＝eq\f(1,12)，解得x＝eq\f(2,3)，所以，乙對這道題的概率為P(B)＝eq\f(2,3).(2)設“甲、乙、丙、三人中，至少有一人答對這道題”為事件M，丙答對這道題的概率P(C)＝y(tǒng).由(1)，并根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式，得P(BC)＝P(B)P(C)＝eq\f(2,3)×y＝eq\f(1,4)，解得y＝eq\f(3,8).甲、乙、丙三人都回答錯誤的概率為P()＝P()P()P()＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,8)))＝eq\f(5,96).因為事件“甲、乙、丙三人都回答錯誤”與事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答對這道題”是對立事件，所以，所求事件概率為P(M)＝1－eq\f(5,96)＝eq\f(91,96).考點三相互獨立事件的實際應用解題方略：求較為復雜事件的概率的方法(1)列出題中涉及的各事件，并且用適當?shù)姆柋硎荆?2)理清事件之間的關系(兩事件是互斥還是對立，或者是相互獨立)，列出關系式；(3)根據(jù)事件之間的關系準確選取概率公式進行計算；(4)當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時，可先間接地計算對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率．【例3】三個元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，將它們中的某兩個元件并聯(lián)后再和第三個元件串聯(lián)接入電路，如圖所示，求電路不發(fā)生故障的概率．【解析】記“三個元件T1，T2，T3正常工作”分別為事件A1，A2，A3，則P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(3,4)，P(A3)＝eq\f(3,4).不發(fā)生故障的事件為(A2∪A3)A1，則不發(fā)生故障的概率為P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1)＝[1－P(eq\x\to(A)2)·P(eq\x\to(A)3)]·P(A1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)×\f(1,4)))×eq\f(1,2)＝eq\f(15,32).變式1：某項選拔共有三輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪問題的概率分別為eq\f(4,5)，eq\f(3,5)，eq\f(2,5)，且各輪問題能否正確回答互不影響．求該選手被淘汰的概率．【解析】記事件“該選手能正確回答第i輪的問題”為Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝eq\f(4,5)，P(A2)＝eq\f(3,5)，P(A3)＝eq\f(2,5).法一：該選手被淘汰的概率為P(eq\x\to(A)1)＋P(A1eq\x\to(A)2)＋P(A1A2eq\x\to(A)3)＝P(eq\x\to(A)1)＋P(A1)P(eq\x\to(A)2)＋P(A1)P(A2)P(eq\x\to(A)3)＝eq\f(1,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(101,125).法二：該選手被淘汰的概率為1－P(A1A2A3)＝1－eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(101,125).變式2：如圖，A，B，C表示3個開關，若在某段時間內(nèi)它們正常工作的概率分別為0.9，0.8，0.7，那么系統(tǒng)的可靠性為()A．0.054 B．0.994C．0.496 D．0.06【解析】記三個開關都正常工作分別為事件A，B，C，則P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.7.三個開關同時出現(xiàn)故障的事件為eq\x\to(A)∩eq\x\to(B)∩eq\x\to(C)，則此系統(tǒng)正常工作的概率為P＝1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.故選B.練習一事件獨立性的判斷1、一袋中裝有100只球，其中有20只白球，在有放回地摸球中，記A1＝“第一次摸得白球”，A2＝“第二次摸得白球”，則事件A1與是()A．相互獨立事件 B．對立事件C．互斥事件 D．無法判斷【解析】由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球，對下次摸球結果沒有影響，故事件A1，是相互獨立事件．故選A2、甲、乙兩名射手同時向一目標射擊，設事件A＝“甲擊中目標”，事件B＝“乙擊中目標”，則事件A與事件B()A．相互獨立但不互斥 B．互斥但不相互獨立C．相互獨立且互斥 D．既不相互獨立也不互斥【解析】對同一目標射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標是互不影響的，所以事件A與B相互獨立；對同一目標射擊，甲、乙兩射手可能同時擊中目標，也就是說事件A與B可能同時發(fā)生，所以事件A與B不是互斥事件．故選A.練習二求相互獨立事件的概率1、在某道路A，B，C三處設有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為________．【解析】由題意可知，每個交通燈開放綠燈的概率分別為eq\f(5,12)，eq\f(7,12)，eq\f(3,4).在這個道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為eq\f(5,12)×eq\f(7,12)×eq\f(3,4)＝eq\f(35,192).答案：eq\f(35,192)2、某天上午，李明要參加“青年文明號”活動．為了準時起床，他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己．假設甲鬧鐘準時響的概率是0.80，乙鬧鐘準時響的概率是0.90，則兩個鬧鐘至少有一個準時響的概率是________．【解析】至少有一個準時響的概率為1－(1－0.90)·(1－0.80)＝1－0.10×0.20＝0.98.答案：0.983、甲盒中有200個螺桿，其中有160個A型的，乙盒中有240個螺母，其中有180個A型的．今從甲、乙兩盒中各任取一個，則恰好可配成A型螺栓的概率為()A．eq\f(1,20)B．eq\f(15,16)C．eq\f(3,5)D．eq\f(19,20)【解析】設“從甲盒中取一螺桿為A型螺桿”為事件A，“從乙盒中取一螺母為A型螺母”為事件B，則A與B相互獨立，P(A)＝eq\f(160,200)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(180,240)＝eq\f(3,4)，則從甲、乙兩盒中各任取一個，恰好可配成A型螺栓的概率為P＝P(A)P(B)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,5).故選C4、兩名射手射擊同一目標，命中的概率分別為0.8和0.7，若各射擊一次，目標被擊中的概率是()A．0.56 B．0.92C．0.94 D．0.96【解析】∵兩人都沒有擊中的概率為0.2×0.3＝0.06，∴目標被擊中的概率為1－0.06＝0.94.故選C5、某地區(qū)為女農(nóng)民工免費提供家政和醫(yī)院陪護工培訓，每人可選擇參加一項、兩項培訓或不參加培訓，已知參加過家政培訓的有60%，參加過醫(yī)院陪護工培訓的有75%，假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且每個人的選擇相互之間沒有影響．任選1名女農(nóng)民工，則她參加過培訓的概率是________．【解析】設事件A表示“女農(nóng)民工參加家政培訓”，事件B表示“女農(nóng)民工參加醫(yī)院陪護工培訓”，則P(A)＝0.6，P(B)＝0.75，任選1名女農(nóng)民工，她兩項培訓都沒參加的概率為P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝(1－0.6)×(1－0.75)＝0.1，則她參加過培訓的概率是1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝1－0.1＝0.9.答案：0.96、在同一時間內(nèi)，甲、乙兩個氣象臺獨立預報天氣準確的概率分別為eq\f(4,5)和eq\f(3,4).求：(1)甲、乙兩個氣象臺同時預報天氣準確的概率；(2)至少有一個氣象臺預報準確的概率．【解析】記“甲氣象臺預報天氣準確”為事件A，“乙氣象臺預報天氣準確”為事件B.顯然事件A，B相互獨立，且P(A)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(3,4).(1)甲、乙兩個氣象臺同時預報天氣準確的概率P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,5).(2)至少有一個氣象臺預報準確的概率為P＝1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝1－P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(1,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(19,20).7、某同學語文、數(shù)學、英語三科的考試成績在一次考試中排名全班第一的概率：語文為0.9，數(shù)學為0.8，英語為0.85，求：(1)三科成績均未獲得第一名的概率是多少？(2)恰有一科成績未獲得第一名的概率是多少？【解析】分別記該生語文、數(shù)學、英語考試成績排名全班第一的事件為A，B，C，則A，B，C兩兩相互獨立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.(1)“三科成績均未獲得第一名”可以用eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C)表示，所求的概率為P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，即三科成績均未獲得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成績未獲得第一名”可以用(eq\x\to(A)BC)∪(Aeq\x\to(B)C)∪(ABeq\x\to(C))表示．由于事件eq\x\to(A)BC，Aeq\x\to(B)C和ABeq\x\to(C)兩兩互斥，根據(jù)概率的加法公式和事件獨立性定義，所求的概率為P(eq\x\to(A)BC)＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(ABeq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(B)P(C)＋P(A)P(eq\x\to(B))P(