高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))9.6事件、概率、古典概型(精講)(原卷版+解析)

9.6事件、概率、古典概型【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】1．樣本空間和隨機(jī)事件(1)樣本點(diǎn)和有限樣本空間①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，常用ω表示．全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，常用Ω表示．②有限樣本空間：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．(2)隨機(jī)事件①定義：將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件．②表示：大寫字母A，B，C，….③隨機(jī)事件的極端情形：必然事件、不可能事件．2．兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號(hào)表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B相等關(guān)系B?A且A?BA＝B并事件(和事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B＝?互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω3.頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．(2)頻率穩(wěn)定性的作用：可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)．4．古典概型(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．5．古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．6．概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．【題型精講】【題型一事件與事件的關(guān)系與運(yùn)算】例1(2023·華師大二附中高三練習(xí)）在1,2,3，…，10這十個(gè)數(shù)字中，任取三個(gè)不同的數(shù)字，那么“這三個(gè)數(shù)字的和大于5”這一事件是()A．必然事件 B．不可能事件C．隨機(jī)事件 D．以上選項(xiàng)均有可能例2口袋中裝有3個(gè)紅球和4個(gè)黑球，每個(gè)球編有不同的號(hào)碼，現(xiàn)從中取出3個(gè)球，則互斥而不對(duì)立的事件是()A．至少有1個(gè)紅球與至少有1個(gè)黑球B．至少有1個(gè)紅球與都是黑球C．至少有1個(gè)紅球與至多有1個(gè)黑球D．恰有1個(gè)紅球與恰有2個(gè)紅球例3(2023·浙江省桐廬中學(xué)高三階段練習(xí)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，若事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為或”，則有（

）A． B． C． D．【題型精練】1.(2023·河南高三月考）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：Ai＝“向上的點(diǎn)數(shù)為i”，其中i＝1,2,3,4,5,6，B＝“向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是()A.eq\x\to(A)1?B B．A2＋B＝ΩC．A3與B互斥 D．A4與eq\x\to(B)對(duì)立2．(2023·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）（多選題）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝“兩次都擊中飛機(jī)”，B＝“兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，下列關(guān)系正確的是（

）A．A?D B．B∩D＝C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D3．(2023·棗莊模擬）（多選題）一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，給出以下四個(gè)事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．是必然事件C． D．【題型二頻率與概率】必備技巧概率和頻率的關(guān)系概率和頻率的關(guān)系：概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學(xué)抽象，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí)頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率．例4(2023·四川模擬）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1423石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得268粒內(nèi)夾谷32粒.則這批米內(nèi)夾谷約為（

）A．157石 B．164石 C．170石 D．280石例5(2023·武昌模擬）某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求P(A)的估計(jì)值；(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”，求P(B)的估計(jì)值；(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值．【題型精練】1．(2023·石家莊模擬）．（多選題）支氣管炎患者會(huì)咳嗽失眠，給患者日常生活帶來(lái)嚴(yán)重的影響.某醫(yī)院老年患者治愈率為20%，中年患者治愈率為30%，青年患者治愈率為40%.該醫(yī)院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，則（

）A．若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為30的樣本，老年患者應(yīng)抽取12人B．該醫(yī)院青年患者所占的頻率為C．該醫(yī)院的平均治愈率為28.7%D．該醫(yī)院的平均治愈率為31.3%2.(2023·臨沂二模）某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y(單位：萬(wàn)千瓦時(shí))與該河上游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關(guān)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X＝70時(shí)，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的頻率分布表：近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率eq\f(1,20)eq\f(4,20)eq\f(2,20)(2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬(wàn)千瓦時(shí))或超過(guò)530(萬(wàn)千瓦時(shí))的概率．【題型三古典概型】例6(2023·唐山二模）2021年，云南省人民政府發(fā)布《關(guān)于命名“云南省美麗縣城”“云南省特色小鎮(zhèn)”的通知》，命名16個(gè)“云南省美麗縣城”和6個(gè)“云南省特色小鎮(zhèn)”，其中這6個(gè)云南省特色小鎮(zhèn)分別是安寧溫泉小鎮(zhèn)、騰沖銀杏小鎮(zhèn)、祿豐黑井古鎮(zhèn)、劍川沙溪古鎮(zhèn)、瑞麗畹町小鎮(zhèn)、德欽梅里雪山小鎮(zhèn)．某人計(jì)劃在今年暑假期間從這6個(gè)云南特色小鎮(zhèn)中任意選兩個(gè)去旅游，則其中一個(gè)是安寧溫泉小鎮(zhèn)的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)例7在某種信息傳輸過(guò)程中，用6個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，例如001100就是一個(gè)信息．在所有信息中隨機(jī)取一信息，則該信息恰有2個(gè)1的概率是（

）A． B． C． D．【題型精練】1．(2023·高三課時(shí)練習(xí)）“博餅”是閩南地區(qū)中秋佳節(jié)的傳統(tǒng)民俗游戲，也是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的代表性項(xiàng)目．“博餅”的游戲規(guī)則是：參與者輪流把6顆骰子同時(shí)投進(jìn)一個(gè)大瓷碗里，而后根據(jù)骰子的向上一面點(diǎn)數(shù)組合情況，來(lái)決定獲獎(jiǎng)等次，獲獎(jiǎng)等次分為6類，分別用中國(guó)古代科舉的排名名稱命名，獲獎(jiǎng)?wù)咄冻龅镊蛔咏M合如圖所示，根據(jù)你所學(xué)的概率知識(shí)，投出“六杯紅”的概率為_(kāi)_____；投出“狀元插金花”的概率為_(kāi)_____．(不需得出具體數(shù)值)2.(2023·廣東高三模擬））甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都沒(méi)有獲得冠軍.”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”若在此對(duì)話的基礎(chǔ)上5人名次的情況是等可能的，則最終丙和丁獲得前兩名的概率為（

）A． B． C． D．【題型四概率的基本性質(zhì)】必備技巧求復(fù)雜互斥事件的概率的兩種方法(1)直接法(2)間接法(正難則反，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解簡(jiǎn)單)．例8(2023·福建泉州科技中學(xué)月考）采購(gòu)員要購(gòu)買某種電器元件一包（10個(gè)）．他的采購(gòu)方法是：從一包中隨機(jī)抽查3個(gè)，如果這3個(gè)元件都是好的，他才買下這一包．假定含有4個(gè)次品的包數(shù)占30%，其余包中各含1個(gè)次品，則采購(gòu)員隨機(jī)挑選一包拒絕購(gòu)買的概率為（

）A．0.46 B．0.49 C．0.51 D．0.54【題型精練】1．(2023·常州市新橋高級(jí)中學(xué)高三模擬）五聲音階是中國(guó)古樂(lè)的基本音階，故有成語(yǔ)“五音不全”，中國(guó)古樂(lè)中的五聲音階依次為宮、商、角、徵、羽．如果從這五個(gè)音階中任取兩個(gè)音階，排成一個(gè)兩個(gè)音階的音序，則這個(gè)音序中宮和羽至少有一個(gè)的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(7,10)C.eq\f(9,20) D.eq\f(11,20)2.(2023·濟(jì)北中學(xué)高三月考）一個(gè)電路如圖所示，，，，，，，為7個(gè)開(kāi)關(guān)，其閉合的概率均為，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是（

）A．

B．

C．

D．【題型五概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題】例9(2023福建省部分名校高三聯(lián)合測(cè)評(píng)）2022年9月30日至10月9日，第56屆國(guó)際乒聯(lián)世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽在成都市高新區(qū)體育中心舉行．某學(xué)校統(tǒng)計(jì)了全校學(xué)生在國(guó)慶期間觀看世乒賽中國(guó)隊(duì)比賽直播的時(shí)長(zhǎng)情況（單位：分鐘），并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(2)采用以樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣方式，從觀看時(shí)長(zhǎng)在的學(xué)生中抽取6人．現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取3人在全校交流觀看體會(huì)，記“抽取的3人中恰有2人的觀賽時(shí)長(zhǎng)在”為事件，求．【題型精練】1.(2023·四川·高三開(kāi)學(xué)考試）致敬百年，讀書筑夢(mèng)，某學(xué)校組織全校學(xué)生參加“學(xué)黨史頌黨恩，黨史網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，并從中抽取100位學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．規(guī)定：成績(jī)?cè)趦?nèi)為優(yōu)秀，成績(jī)低于60分為不及格．(1)求a的值，并用樣本估算總體，能否認(rèn)為該校參加本活動(dòng)的學(xué)生成績(jī)符合“不及格的人數(shù)低于20％”的要求；(2)若樣本中成績(jī)優(yōu)秀的男生為5人，現(xiàn)從樣本的優(yōu)秀答卷中隨機(jī)選取3份作進(jìn)一步分析，求其中至少有1份是男生的概率．2.(2023·陜西·安康市教學(xué)研究室高三階段練習(xí)）“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái)．該平臺(tái)首次實(shí)現(xiàn)了“有組織，有管理，有指導(dǎo)，有服務(wù)”的學(xué)習(xí)，極大地滿足了廣大黨員干部和人民群眾多樣化、自主化、便捷化的學(xué)習(xí)需求，日益成為老百姓了解國(guó)家動(dòng)態(tài)，緊跟時(shí)代脈搏的熱門APP．某市宣傳部門為了解市民利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)國(guó)家政策的情況，從全市抽取1000人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的時(shí)長(zhǎng)，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖．(1)估計(jì)該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”時(shí)長(zhǎng)在區(qū)間內(nèi)的概率；(2)估計(jì)該市市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的平均時(shí)長(zhǎng)；(3)若宣傳部為了解市民每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從和組中抽取7人了解情況，從這7人中隨機(jī)選取2人參加座談會(huì)，求所選取的2人來(lái)自不同的組的概率．9.6事件、概率、古典概型【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】1．樣本空間和隨機(jī)事件(1)樣本點(diǎn)和有限樣本空間①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，常用ω表示．全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，常用Ω表示．②有限樣本空間：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．(2)隨機(jī)事件①定義：將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件．②表示：大寫字母A，B，C，….③隨機(jī)事件的極端情形：必然事件、不可能事件．2．兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號(hào)表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B相等關(guān)系B?A且A?BA＝B并事件(和事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B＝?互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω3.頻率與概率(1)頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．(2)頻率穩(wěn)定性的作用：可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)．4．古典概型(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．5．古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．6．概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．【題型精講】【題型一事件與事件的關(guān)系與運(yùn)算】例1(2023·華師大二附中高三練習(xí)）在1,2,3，…，10這十個(gè)數(shù)字中，任取三個(gè)不同的數(shù)字，那么“這三個(gè)數(shù)字的和大于5”這一事件是()A．必然事件 B．不可能事件C．隨機(jī)事件 D．以上選項(xiàng)均有可能答案：A【解析】從1,2,3，…，10這十個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字，那么這三個(gè)數(shù)字和的最小值為1＋2＋3＝6，∴事件“這三個(gè)數(shù)字的和大于5”一定會(huì)發(fā)生，∴由必然事件的定義可以得知該事件是必然事件．例2口袋中裝有3個(gè)紅球和4個(gè)黑球，每個(gè)球編有不同的號(hào)碼，現(xiàn)從中取出3個(gè)球，則互斥而不對(duì)立的事件是()A．至少有1個(gè)紅球與至少有1個(gè)黑球B．至少有1個(gè)紅球與都是黑球C．至少有1個(gè)紅球與至多有1個(gè)黑球D．恰有1個(gè)紅球與恰有2個(gè)紅球答案：D【解析】對(duì)于A，不互斥，如取出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球，與至少有1個(gè)黑球不是互斥事件，所以A不符合題意；對(duì)于B，至少有1個(gè)紅球與都是黑球不能同時(shí)發(fā)生，且必有其中1個(gè)發(fā)生．所以為互斥事件，且為對(duì)立事件，所以B不符合題意；對(duì)于C，不互斥．如取出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球，與至多有1個(gè)黑球不是互斥事件，所以C不符合題意；對(duì)于D，恰有1個(gè)紅球與恰有2個(gè)紅球不能同時(shí)發(fā)生，所以為互斥事件，但不對(duì)立，如還有3個(gè)紅球．例3(2023·浙江省桐廬中學(xué)高三階段練習(xí)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，若事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為或”，則有（

）A． B． C． D．答案：D【解析】對(duì)于A：事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”發(fā)生，事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”一定不發(fā)生，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：事件“向上的點(diǎn)數(shù)為或”發(fā)生，事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”不一定發(fā)生，但事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”發(fā)生，事件“向上的點(diǎn)數(shù)為或”一定發(fā)生，所以，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”或事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”發(fā)生，則事件“向上的點(diǎn)數(shù)為或”發(fā)生，故選項(xiàng)D正確；故選：D【題型精練】1.(2023·河南高三月考）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：Ai＝“向上的點(diǎn)數(shù)為i”，其中i＝1,2,3,4,5,6，B＝“向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是()A.eq\x\to(A)1?B B．A2＋B＝ΩC．A3與B互斥 D．A4與eq\x\to(B)對(duì)立答案：C【解析】對(duì)于A，eq\x\to(A)1＝{2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}，∴B?eq\x\to(A)1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，A2＋B＝{2}∪{2,4,6}＝{2,4,6}≠Ω，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，A3與B不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故C正確；對(duì)于D，A4＝{4}，eq\x\to(B)＝{1,3,5}，A4與eq\x\to(B)是互斥但不對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤．2．(2023·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）（多選題）對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝“兩次都擊中飛機(jī)”，B＝“兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機(jī)”，下列關(guān)系正確的是（

）A．A?D B．B∩D＝C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D答案：ABC【解析】“恰有一枚炮彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒(méi)中或第一枚沒(méi)中第二枚擊中，“至少有一枚炮彈擊中”包含兩種情況：恰有一枚炮彈擊中，兩枚炮彈都擊中．故A?D，A∪C＝D.故A、C正確；因?yàn)槭录﨎，D為互斥事件，所以B∩D＝.故B正確；對(duì)于D：A∪B＝“兩個(gè)飛機(jī)都擊中或者都沒(méi)擊中”，B∪D為必然事件，這兩者不相等.故D錯(cuò)誤.故選：ABC.3．(2023·棗莊模擬）（多選題）一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，給出以下四個(gè)事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．是必然事件C． D．答案：AB【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，事件指至少有一件次品，即事件C，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，事件指至少有兩件次品或至多有一件次品，次品件數(shù)包含0到5，即代表了所有情況，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，事件A和B不可能同時(shí)發(fā)生，即事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，事件指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D錯(cuò)誤．故選：AB．【題型二頻率與概率】必備技巧概率和頻率的關(guān)系概率和頻率的關(guān)系：概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學(xué)抽象，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí)頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率．例4(2023·四川模擬）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1423石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得268粒內(nèi)夾谷32粒.則這批米內(nèi)夾谷約為（

）A．157石 B．164石 C．170石 D．280石答案：C【解析】樣本中夾谷的比例為，用樣本估計(jì)總體，可得這批谷內(nèi)夾谷約為（石）.故選：C.例5(2023·武昌模擬）某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求P(A)的估計(jì)值；(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”，求P(B)的估計(jì)值；(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值．【解析】(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估計(jì)值為0.55.(2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估計(jì)值為0.3.(3)由所給數(shù)據(jù)得保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.1925a.【題型精練】1．(2023·石家莊模擬）．（多選題）支氣管炎患者會(huì)咳嗽失眠，給患者日常生活帶來(lái)嚴(yán)重的影響.某醫(yī)院老年患者治愈率為20%，中年患者治愈率為30%，青年患者治愈率為40%.該醫(yī)院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，則（

）A．若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為30的樣本，老年患者應(yīng)抽取12人B．該醫(yī)院青年患者所占的頻率為C．該醫(yī)院的平均治愈率為28.7%D．該醫(yī)院的平均治愈率為31.3%答案：ABC【解析】對(duì)于A，由分層抽樣可得，老年患者應(yīng)抽取人，正確；對(duì)于B，青年患者所占的頻率為，正確；對(duì)于C，平均治愈率為，正確；對(duì)于D，由C知錯(cuò)誤.故選：ABC.2.(2023·臨沂二模）某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y(單位：萬(wàn)千瓦時(shí))與該河上游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關(guān)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X＝70時(shí)，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的頻率分布表：近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率eq\f(1,20)eq\f(4,20)eq\f(2,20)(2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬(wàn)千瓦時(shí))或超過(guò)530(萬(wàn)千瓦時(shí))的概率．【解析】(1)在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個(gè)，為160毫米的有7個(gè)，為200毫米的有3個(gè)．故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率eq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(4,20)eq\f(7,20)eq\f(3,20)eq\f(2,20)(2)根據(jù)題意，Y＝460＋eq\f(X－70,10)×5＝eq\f(X,2)＋425，故P(“發(fā)電量低于490萬(wàn)千瓦時(shí)或超過(guò)530萬(wàn)千瓦時(shí)”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝eq\f(1,20)＋eq\f(3,20)＋eq\f(2,20)＝eq\f(3,10).故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬(wàn)千瓦時(shí))或超過(guò)530(萬(wàn)千瓦時(shí))的概率為eq\f(3,10).【題型三古典概型】例6(2023·唐山二模）2021年，云南省人民政府發(fā)布《關(guān)于命名“云南省美麗縣城”“云南省特色小鎮(zhèn)”的通知》，命名16個(gè)“云南省美麗縣城”和6個(gè)“云南省特色小鎮(zhèn)”，其中這6個(gè)云南省特色小鎮(zhèn)分別是安寧溫泉小鎮(zhèn)、騰沖銀杏小鎮(zhèn)、祿豐黑井古鎮(zhèn)、劍川沙溪古鎮(zhèn)、瑞麗畹町小鎮(zhèn)、德欽梅里雪山小鎮(zhèn)．某人計(jì)劃在今年暑假期間從這6個(gè)云南特色小鎮(zhèn)中任意選兩個(gè)去旅游，則其中一個(gè)是安寧溫泉小鎮(zhèn)的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)答案：A【解析】6個(gè)云南省特色小鎮(zhèn)分別為a，b，c，d，e，f，其中a為安寧溫泉小鎮(zhèn)，則6個(gè)云南特色小鎮(zhèn)中任意選兩個(gè)的樣本點(diǎn)有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共15個(gè)，其中一個(gè)是安寧溫泉小鎮(zhèn)有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)共5個(gè)，所以要求的概率為P＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).例7在某種信息傳輸過(guò)程中，用6個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，例如001100就是一個(gè)信息．在所有信息中隨機(jī)取一信息，則該信息恰有2個(gè)1的概率是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】每個(gè)位置可排0或1，故有2種排法，因此用6個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列的總個(gè)數(shù)為，恰好有2個(gè)1的排列的個(gè)數(shù)共有，故概率為：，故選：D【題型精練】1．(2023·高三課時(shí)練習(xí)）“博餅”是閩南地區(qū)中秋佳節(jié)的傳統(tǒng)民俗游戲，也是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的代表性項(xiàng)目．“博餅”的游戲規(guī)則是：參與者輪流把6顆骰子同時(shí)投進(jìn)一個(gè)大瓷碗里，而后根據(jù)骰子的向上一面點(diǎn)數(shù)組合情況，來(lái)決定獲獎(jiǎng)等次，獲獎(jiǎng)等次分為6類，分別用中國(guó)古代科舉的排名名稱命名，獲獎(jiǎng)?wù)咄冻龅镊蛔咏M合如圖所示，根據(jù)你所學(xué)的概率知識(shí)，投出“六杯紅”的概率為_(kāi)_____；投出“狀元插金花”的概率為_(kāi)_____．(不需得出具體數(shù)值)答案：eq\f(1,66)eq\f(5,2×65)【解析】依題意，6個(gè)骰子同時(shí)投擲一次，樣本點(diǎn)總數(shù)為66.其中，投出“六杯紅”的樣本點(diǎn)數(shù)為1；投出“狀元插金花”的樣本點(diǎn)數(shù)為Ceq\o\al(2,6)＝15.故投出“六杯紅”的概率為eq\f(1,66)；投出“狀元插金花”的概率為eq\f(15,66)＝eq\f(5,2×65).2.(2023·廣東高三模擬））甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都沒(méi)有獲得冠軍.”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”若在此對(duì)話的基礎(chǔ)上5人名次的情況是等可能的，則最終丙和丁獲得前兩名的概率為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】根據(jù)題意，當(dāng)甲同學(xué)為第5名時(shí)，乙同學(xué)可能是第2，3，4名，故有種，當(dāng)甲同學(xué)不是第5名時(shí)，甲、乙同學(xué)可能是第2，3，4名，故有種，故滿足回答者的所有情況共種.其中，最終丙和丁獲得前兩名的情況有兩類，當(dāng)甲同學(xué)為第5名，丙和丁獲得前兩名時(shí)有種；當(dāng)甲同學(xué)不是第5名，丙和丁獲得前兩名時(shí)，有種，所以，最終丙和丁獲得前兩名的情況有種，所以，最終丙和丁獲得前兩名的概率為故選：A【題型四概率的基本性質(zhì)】必備技巧求復(fù)雜互斥事件的概率的兩種方法(1)直接法(2)間接法(正難則反，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解簡(jiǎn)單)．例8(2023·福建泉州科技中學(xué)月考）采購(gòu)員要購(gòu)買某種電器元件一包（10個(gè)）．他的采購(gòu)方法是：從一包中隨機(jī)抽查3個(gè)，如果這3個(gè)元件都是好的，他才買下這一包．假定含有4個(gè)次品的包數(shù)占30%，其余包中各含1個(gè)次品，則采購(gòu)員隨機(jī)挑選一包拒絕購(gòu)買的概率為（

）A．0.46 B．0.49 C．0.51 D．0.54答案：A【解析】抽到含有1個(gè)次品，且抽到的3個(gè)元件中含有這一個(gè)次品的概率為，抽到含有4個(gè)次品，且隨機(jī)抽查的3個(gè)元件中含有次品，則拒絕購(gòu)買，故概率為，所以采購(gòu)員隨機(jī)挑選一包拒絕購(gòu)買的概率為.故選：A【題型精練】1．(2023·常州市新橋高級(jí)中學(xué)高三模擬）五聲音階是中國(guó)古樂(lè)的基本音階，故有成語(yǔ)“五音不全”，中國(guó)古樂(lè)中的五聲音階依次為宮、商、角、徵、羽．如果從這五個(gè)音階中任取兩個(gè)音階，排成一個(gè)兩個(gè)音階的音序，則這個(gè)音序中宮和羽至少有一個(gè)的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(7,10)C.eq\f(9,20) D.eq\f(11,20)答案：B【解析】設(shè)從這五個(gè)音階中任取兩個(gè)音階，排成一個(gè)兩個(gè)音階的音序，這個(gè)音序中宮和羽至少有一個(gè)為事件A，則eq\x\to(A)表示這個(gè)音序中不含宮和羽這兩個(gè)音序，∴P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(A\o\al(2,3),A\o\al(2,5))＝1－eq\f(3×2,5×4)＝eq\f(7,10).2.(2023·濟(jì)北中學(xué)高三月考）一個(gè)電路如圖所示，，，，，，，為7個(gè)開(kāi)關(guān)，其閉合的概率均為，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是（

）A．

B．

C．

D．答案：A【解析】電路由上到下有3個(gè)分支并聯(lián)，開(kāi)關(guān)所在的分支不通的概率為，開(kāi)關(guān)所在的分支不通的概率為，開(kāi)關(guān)，，所在的分支不通的概率為，所以燈亮的概率是.故選：A.【題型五概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題】例9(2023福建省部分名校高三聯(lián)合測(cè)評(píng)）2022年9月30日至10月9日，第56屆國(guó)際乒聯(lián)世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽在成都市高新區(qū)體育中心舉行．某學(xué)校統(tǒng)計(jì)了全校學(xué)生在國(guó)慶期間觀看世乒賽中國(guó)隊(duì)比賽直播的時(shí)長(zhǎng)情況（單位：分鐘），并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(2)采用以樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣方式，從觀看時(shí)長(zhǎng)在的學(xué)生中抽取6人．現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取3人在全校交流觀看體會(huì)，記“抽取的3人中恰有2人的觀賽時(shí)長(zhǎng)在”為事件，求．【解析】（1）由題意得,解得，由頻率分布直方