高一數(shù)學下學期考點精講+精練(人教A版2019必修第二冊)第03練簡單幾何體的表面積與體積(原卷版+解析)

第3練簡單幾何體的表面積與體積eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一．選擇題1．已知一個直三棱柱的高為2，如圖，其底面水平放置的直觀圖（斜二測畫法）為，其中，則此三棱柱的表面積為A． B． C． D．2．已知球的半徑為，，，三點在球的球面上，球心到平面的距離為，，，則球的表面積為A． B． C． D．3．高一學生小李在課間玩耍時不慎將一個籃球投擲到一個圓臺狀垃圾簍中，恰好被上底口（半徑較大的圓）卡住，球心到垃圾簍底部的距離為，垃圾簍上底面直徑為，下底面直徑為，母線長為，則該籃球的表面積為A． B． C． D．4．已知三棱錐的三條側(cè)棱長均為2，側(cè)面有兩個是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為，則這個三棱錐的表面積為A． B． C． D．5．在《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．已知四棱錐為陽馬，底面是邊長為2的正方形，有兩條側(cè)棱長為3，則該陽馬的表面積為A． B． C． D．6．在我國瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見，因為六、八是中國人的吉利數(shù)字，所以許多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形筆筒，其余的六棱形都不是六棱柱形．如圖為一個正六棱柱形狀的瓷器筆筒，高為，底面邊長為（數(shù)據(jù)為筆筒的外觀數(shù)據(jù)），用一層絨布將其側(cè)面包裹住，忽略絨布的厚度，則至少需要絨布的面積為A． B． C． D．7．已知圓錐的底面半徑為1，若其底面上存在兩點，，使得，則該圓錐側(cè)面積的最大值為A． B． C． D．8．如圖，，分別是圓柱上，下底面圓的直徑，且，若圓柱的軸截面為正方形，且三棱錐的體積為，則該圓柱的側(cè)面積為A． B． C． D．9．棱長均為1的正四面體的表面積是A． B． C． D．10．正四棱臺的上、下底面邊長分別是2和6，側(cè)棱長是，則它側(cè)面積為A．32 B． C． D．3611．已知圓錐的底面半徑為，高為，在它的所有內(nèi)接圓柱中，表面積的最大值是A． B． C． D．12．若圓錐的軸截面為等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值為A． B． C． D．213．已知圓臺下底面的半徑為2，高為2，母線長為，則這個圓臺的體積為A． B． C． D．14．一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個面積為的正方形，則這個圓柱的體積為A． B． C． D．15．《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．若一個直角圓錐的側(cè)面積為，則它的體積為A． B． C． D．16．三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，長分別為，，，則這個三棱錐的體積為A． B． C． D．17．已知高為4的圓錐外接球的體積為，則圓錐的體積為A． B． C． D．18．如圖，圓錐的底面恰是圓柱的一個底面，圓柱的兩個底面分別為同一個球的兩個截面，且圓錐的頂點也在該球的球面上．若球的體積為，圓柱的高為2，則圓錐的體積為A． B． C． D．19．如圖，在直三棱柱中，，是等邊三角形，點為該三棱柱外接球的球心，則三棱柱外接球表面積與四棱錐體積之比為是A． B． C． D．20．已知，為球的球面上兩點，過弦的平面截球所得截面面積的最小值為，且為等邊三角形，則球的表面積為A． B． C． D．二．多選題21．等腰直角三角形直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為A． B． C． D．22．如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，，則A．當時， B．四棱錐體積的最大值為 C．當平面截直四棱柱所得截面面積為時， D．四面體的體積為定值三．填空題23．已知正三棱錐的底面邊長為4，高為2，則三棱錐的表面積是．24．如圖，一個正六棱柱的茶葉盒，底面邊長為，高為，則這個茶葉盒的表面積約為．（精確到0.1，25．若圓柱的高、底面半徑均為1，則其表面積為．26．已知直棱柱的底面周長為12，高為4，則這個棱柱的側(cè)面積等于．27．已知一個正四面體的頂點是一個正方體的頂點，那么正方體的表面積是正四面體的表面積的倍．28．已知一個直四棱柱的底面是菱形，一個底面的面積為4，兩個對角面（過相對側(cè)棱的截面）面積分別為5和6，那么它的表面積為．29．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左、右兩端均為半球形，若圖中，，則該組合體的表面積為．30．已知正三棱錐的底面是邊長為的等邊三角形，若一個半徑為的球與此三棱錐所有面都相切，則該三棱錐的側(cè)面積為．31．已知在正四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，棱錐的高為，則該四棱錐的側(cè)面積等于．32．某圓柱的側(cè)面展開圖是面積為的正方形，則該圓柱一個底面的面積為．33．一個正四棱柱底面邊長為1，高為2，則它的表面積是．34．一個圓柱的底面半徑為，高為，則它的側(cè)面積為．35．如圖，圓錐的母線長為4，點為母線的中點，從點處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達到點，這條繩子的長度最短值為，則此圓錐的表面積為36．已知正三棱錐的高為1，底面邊長為，則該三棱錐的表面積為．37．某公園供游人休息的石凳如圖所示，它可以看作是一個正方體截去八個一樣的四面體得到的，如果被截正方體的棱長為，則石凳所對應幾何體的表面積為．38．已知圓錐頂點為，底面的中心為，過直線的平面截該圓錐所得的截面是面積為的正三角形，則該圓錐的體積為．39．如圖1，一個正三棱柱容器，底面邊長為1，高為2，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個側(cè)面作為底面，如圖2，這時水面恰好為中截面，則圖1中容器內(nèi)水面的高度是．40．如圖，某糧倉（糧倉的底部位于地面上）是由圓柱和圓錐構(gòu)成的，若圓柱的高是圓錐高的2倍，且圓錐的母線長是4，側(cè)面積是，則這樣一個糧倉的容積為．四．解答題41．已知某圓柱底面半徑和母線長都是3．（1）求出該圓柱的表面積和體積；（2）若圓錐與該圓柱底面半徑、高都相等，求圓錐的側(cè)面積．42．圓錐的底邊半徑為3，母線長為5．（1）求它的表面積；（2）求它的體積．43．要設(shè)計一種圓柱形、容積為的一體化易拉罐金屬包裝，如何設(shè)計才能使得總成本最低？44．如圖是棱長為1的正方體，、、分別是棱、、的中點，現(xiàn)在沿三角形所在平面鋸掉正方體的一個角，問鋸掉的這塊的體積是原正方體的幾分之幾？45．如圖，把長為6，寬為3的矩形折成正三棱柱，三棱柱的高度為3，矩形的對角線和三棱柱的側(cè)棱、的交點記為、．（1）在三棱柱中，若過、、三點做一平面，求截得的幾何體的表面積；（2）求三棱錐的體積．

第3練簡單幾何體的表面積與體積eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一．選擇題1．已知一個直三棱柱的高為2，如圖，其底面水平放置的直觀圖（斜二測畫法）為，其中，則此三棱柱的表面積為A． B． C． D．【解析】斜二測法的“三變”“三不變”得到直三棱柱的底面平面圖，如圖，其中，，此三棱柱的表面積為．故選：．2．已知球的半徑為，，，三點在球的球面上，球心到平面的距離為，，，則球的表面積為A． B． C． D．【解析】由余弦定理，得：，設(shè)三角形外接圓半徑為，由正弦定理：，得，又，，球的表面積為．故選：．3．高一學生小李在課間玩耍時不慎將一個籃球投擲到一個圓臺狀垃圾簍中，恰好被上底口（半徑較大的圓）卡住，球心到垃圾簍底部的距離為，垃圾簍上底面直徑為，下底面直徑為，母線長為，則該籃球的表面積為A． B． C． D．【解析】球與垃圾簍組合體的軸截面圖如圖所示，根據(jù)題意，得垃圾簍的高為．所以球心到上底面的距離為，設(shè)籃球的半徑為，則，故籃球的表面積為，故選：．4．已知三棱錐的三條側(cè)棱長均為2，側(cè)面有兩個是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為，則這個三棱錐的表面積為A． B． C． D．【解析】結(jié)合題目邊長關(guān)系，三棱錐如圖所示，，由題意，是等腰直角三角形，則，則表面積為．故選：．5．在《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．已知四棱錐為陽馬，底面是邊長為2的正方形，有兩條側(cè)棱長為3，則該陽馬的表面積為A． B． C． D．【解析】如圖，由題意知，，，平面，因為，所以，故選：．6．在我國瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見，因為六、八是中國人的吉利數(shù)字，所以許多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形筆筒，其余的六棱形都不是六棱柱形．如圖為一個正六棱柱形狀的瓷器筆筒，高為，底面邊長為（數(shù)據(jù)為筆筒的外觀數(shù)據(jù)），用一層絨布將其側(cè)面包裹住，忽略絨布的厚度，則至少需要絨布的面積為A． B． C． D．【解析】根據(jù)正六棱柱的底面邊長為，得正六棱柱的側(cè)面積為，所以至少需要絨布的面積為，故選：．7．已知圓錐的底面半徑為1，若其底面上存在兩點，，使得，則該圓錐側(cè)面積的最大值為A． B． C． D．【解析】因為圓錐的軸截面是等腰三角形，其底面上存在兩點，，使得，可知母線，所以圓錐的側(cè)面積為：，當且僅當圓錐的軸截面是等腰直角三角形時，側(cè)面積取得最大值．故選：．8．如圖，，分別是圓柱上，下底面圓的直徑，且，若圓柱的軸截面為正方形，且三棱錐的體積為，則該圓柱的側(cè)面積為A． B． C． D．【解析】分別取上下底面的圓心為，，連接，，，則，因為，，所以，，且，所以平面，設(shè)圓柱上底面圓的半徑為，則，三棱錐的體積為，解得，該圓柱的側(cè)面積為，故選：．9．棱長均為1的正四面體的表面積是A． B． C． D．【解析】正四面體的棱長均為1正四面體每一個面均為邊長等于1的等邊三角形，其面積因此正四面體的表面積是故選：．10．正四棱臺的上、下底面邊長分別是2和6，側(cè)棱長是，則它側(cè)面積為A．32 B． C． D．36【解析】畫出一個側(cè)面，如圖所示，則，，，作于點，于點，，，正四棱臺的側(cè)面積為，故選：．11．已知圓錐的底面半徑為，高為，在它的所有內(nèi)接圓柱中，表面積的最大值是A． B． C． D．【解析】設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，高為，全面積為，則，，當時，取得最大值．故選：．12．若圓錐的軸截面為等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值為A． B． C． D．2【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，因為圓錐的側(cè)面積為，所以，所以，因為圓錐的軸截面為等邊三角形，則，所以，即該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值為．故選：．13．已知圓臺下底面的半徑為2，高為2，母線長為，則這個圓臺的體積為A． B． C． D．【解析】如圖所示，，，，過作，垂足為，則，，所以圓臺的上底面半徑為；所以圓臺的體積為．故選：．14．一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個面積為的正方形，則這個圓柱的體積為A． B． C． D．【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，因為圓柱的側(cè)面展開圖是一個面積為的正方形，所以，，所以，，所以圓柱的體積為．故選：．15．《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．若一個直角圓錐的側(cè)面積為，則它的體積為A． B． C． D．【解析】設(shè)該直角圓錐的底面圓半徑為，高為，母線長為，因為直角圓錐的軸截面為等腰直角三角形，所以，．因為直角圓錐的側(cè)面積為，所以，解得，所以該直角圓錐的體積為．故選：．16．三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，長分別為，，，則這個三棱錐的體積為A． B． C． D．【解析】三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，長分別為，，，則這個三棱錐的體積為：．故選：．17．已知高為4的圓錐外接球的體積為，則圓錐的體積為A． B． C． D．【解析】因為圓錐外接球的體積為，所以，解得，即外接球的半徑為3，因為圓錐的高為4，所以球心到圓錐底面圓圓心的距離為，所以圓錐底面圓的半徑，所以圓錐的體積，故選：．18．如圖，圓錐的底面恰是圓柱的一個底面，圓柱的兩個底面分別為同一個球的兩個截面，且圓錐的頂點也在該球的球面上．若球的體積為，圓柱的高為2，則圓錐的體積為A． B． C． D．【解析】設(shè)球的半徑為，由，得．圓柱的兩個底面分別為同一個球的兩個截面，球心在圓柱高的中點上，可得圓錐的高，設(shè)圓柱的底面半徑為，則，．故選：．19．如圖，在直三棱柱中，，是等邊三角形，點為該三棱柱外接球的球心，則三棱柱外接球表面積與四棱錐體積之比為是A． B． C． D．【解析】設(shè)△外接圓的圓心為，連接，，，由題意知：，，則球的半徑為，從而球的表面積為，連接，可得，．三棱柱外接球表面積與四棱錐體積之比為是．故選：．20．已知，為球的球面上兩點，過弦的平面截球所得截面面積的最小值為，且為等邊三角形，則球的表面積為A． B． C． D．【解析】過弦的平面截球所得截面面積的最小值為，則以為直徑的截面面積為最小值，則，為等邊三角形，球的半徑為，則球的表面積為，故選：．二．多選題21．等腰直角三角形直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為A． B． C． D．【解析】若繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周時，則圓錐的底面半徑為1，高為1，所以母線長，這時表面積為；若繞斜邊一周時旋轉(zhuǎn)體為兩個底對底的圓錐組合在一起，且由題意底面半徑為，一個圓錐的母線長為1，所以表面積，綜上所述該幾何體的表面積為，，故選：．22．如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，，則A．當時， B．四棱錐體積的最大值為 C．當平面截直四棱柱所得截面面積為時， D．四面體的體積為定值【解析】在直四棱柱中，底面是正方形，，，對于，當時，點為線段中點，連，，如圖，，而平面，平面，則，又，，平面，則有平面，而平面，于是得，又對角面是矩形，即，所以，正確；依題意，平面，而點在上，則點到平面距離的最大值為，而矩形面積為，所以四棱錐體積的最大值為，不正確；對于，當時，點在上靠近點的四等分點，平面截直四棱柱所得截面為等腰梯形，如圖，顯然，則，，等腰梯形的高，等腰梯形的面積，由幾何體的對稱性知，當平面截直四棱柱所得截面面積為時，或，不正確；因平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，為定值，又△的面積為定值，所以四面體的體積為定值，正確．故選：．三．填空題23．已知正三棱錐的底面邊長為4，高為2，則三棱錐的表面積是．【解析】正三棱錐的底面邊長為4，高為2，如圖，正三棱錐中，高，取中點，連接，，則在線段上，且，，，由勾股定理得，，，，，三棱錐的表面積為．故答案為：．24．如圖，一個正六棱柱的茶葉盒，底面邊長為，高為，則這個茶葉盒的表面積約為．（精確到0.1，【解析】因為正六棱柱底面邊長為，所以正六棱柱的底面積為．又因為高為，所以這個正六棱柱的表面積為，即這個茶葉盒的表面積約為．故答案為：1719.6．25．若圓柱的高、底面半徑均為1，則其表面積為．【解析】由題意得，表面積．故答案為：．26．已知直棱柱的底面周長為12，高為4，則這個棱柱的側(cè)面積等于．【解析】直棱柱的底面周長為12，高為4，這個棱柱的側(cè)面積為，故答案為：48．27．已知一個正四面體的頂點是一個正方體的頂點，那么正方體的表面積是正四面體的表面積的倍．【解析】如圖所示，正四面體的頂點是正方體的頂點，設(shè)正方體的棱長為，則正四面體的棱長為，則，，，即正方體的表面積是正四面體的表面積的倍，故答案為：．28．已知一個直四棱柱的底面是菱形，一個底面的面積為4，兩個對角面（過相對側(cè)棱的截面）面積分別為5和6，那么它的表面積為．【解析】設(shè)直四棱柱底面菱形的對角線的長分別為，，高為，底面的面積為4，兩個對角面（過相對側(cè)棱的截面）面積分別為5和6，，，，，，，直四棱柱底面菱形的邊長為，直四棱柱的表面積為，故答案為：．29．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左、右兩端均為半球形，若圖中，，則該組合體的表面積為．【解析】該組合體的表面積，故答案為：．30．已知正三棱錐的底面是邊長為的等邊三角形，若一個半徑為的球與此三棱錐所有面都相切，則該三棱錐的側(cè)面積為．【解析】如圖，由正三棱錐的底面是邊長為的等邊三角形，得，設(shè)正三棱錐的高為，則，底面內(nèi)切圓的半徑為，三棱錐的斜高為，正三棱錐的表面積為，又正三棱錐內(nèi)切球的半徑為，由等體積法可得：，解得．該三棱錐的側(cè)面積為．故答案為：．31．已知在正四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，棱錐的高為，則該四棱錐的側(cè)面積等于．【解析】如圖，連接與交于點，連接，由正四棱錐的性質(zhì)可知，平面，在中，，，則，該正四棱錐的側(cè)面為邊長為1的等邊三角形，該四棱錐的側(cè)面積，故答案為：．32．某圓柱的側(cè)面展開圖是面積為的正方形，則該圓柱一個底面的面積為．【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，因為圓柱的側(cè)面展開圖是一個面積為的正方形，則圓柱的高與底面周長相等，均為，則，解得，所以底面圓的面積為，故答案為：．33．一個正四棱柱底面邊長為1，高為2，則它的表面積是．【解析】因為正四棱柱底面邊長為1，高為2，所以它的表面積．故答案為：10．34．一個圓柱的底面半徑為，高為，則它的側(cè)面積為．【解析】因為圓柱的底面半徑為，高為，所以它的側(cè)面積為．故答案為：．35．如圖，圓錐的母線長為4，點為母線的中點，從點處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達到點，這條繩子的長度最短值為，則此圓錐的表面積為【解析】設(shè)底面圓半徑為，由母線長為4，所以側(cè)面展開扇形的圓心角為；將圓錐側(cè)面展開成一個扇形，從點拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點，最短距離為，如圖所示：在中，由余弦定理得，的長度為：，解得，所以，所以圓錐的表面積為．故答案為：．36．已知正三棱錐的高為1，底面邊長為，則該三棱錐的表面積為．【解析】設(shè)正三棱錐的底面中心為，由題意知，邊長，取中點，連接、，則，側(cè)面的高，．故答案為：．37．某公園供游人休息的石凳如圖所示，它可以看作是一個正方體截去八個一樣的四面體得到的，如果被截正方體的棱長為，則石凳所對應幾何體的表面積為．【解析】石凳所對應幾何體的表面是由6個邊長為的正方形以及8個邊長為的正三角形圍成，所以石凳所對應幾何體的表面積為．故答案為：．38．已知圓錐頂點為，底面的中心為，過直線的平面截該圓錐所得的截面是面積為的正三角形，則該圓錐的體積為．【解析】由題意，過直線的平面截該圓錐所得的截面是面積為的正三角形，設(shè)正三角形的邊長為，可得，解得，底面圓的半徑為，圓錐的高為，所以該圓錐的體積為．故答案為：．39．如圖1，一個正三棱柱容器，底面邊長為1，高為2，內(nèi)裝水