高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與戰(zhàn)法精準(zhǔn)訓(xùn)練(新高考專用)7.1.1空間幾何體(題型戰(zhàn)法)(原卷版+解析)

第七章空間向量與立體幾何7.1.1空間幾何體（題型戰(zhàn)法）知識梳理一簡單幾何體1.柱體（1）棱柱側(cè)面積：(直)，（：直截面周長，l：斜棱長）體積:（2）圓柱表面積：側(cè)面積：體積：2.錐體（1）棱錐側(cè)面積:（為底面周長，為斜高）。體積:（2）圓錐表面積：側(cè)面積：體積：3.臺體（1）棱臺體積：（2）圓臺表面積：體積：4.球體表面積：體積：二空間幾何體的外接球與內(nèi)切球1.球的外接（1）長方體外接球半徑計(jì)算公式為：（2）正方體外接球半徑計(jì)算公式為：（3）正四面體外接球半徑計(jì)算公式：（為棱長）（4）正棱錐外接球的半徑計(jì)算方法：頂點(diǎn)，球心，底面外接圓的圓心三點(diǎn)共線，可利用直角三角形求解；即：（其中：為底面外接圓的半徑，可通過正弦定理進(jìn)行計(jì)算，為三棱錐的高，為外接球的半徑）（5）直三棱柱的外接球半徑計(jì)算方法：（為直棱柱高的一半，r為三角形外接球的半徑）（6）直角四面體的外接球球心在直角三角形斜邊的中點(diǎn)處。2.球的內(nèi)切（1）正方體的內(nèi)切球半徑為：；長方體無內(nèi)切球。（2）直三棱柱的內(nèi)切球滿足條件：（1）棱柱的高為內(nèi)切球半徑的2倍，即：（2）記三棱柱底面三邊長為；則（為底面三角形的面積）（3）正三棱柱的內(nèi)切球半徑計(jì)算公式為：，（4）三棱錐的內(nèi)切球體積計(jì)算公式為：（5）正四面體內(nèi)切球半徑計(jì)算公式為：（6）四棱錐內(nèi)切球體積計(jì)算公式為：題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一柱體的表面積典例1．底面邊長和高都是1的正三棱柱的表面積是（

）．A．3 B． C． D．變式1-1．正六棱柱的底面邊長為2，最長的一條對角線長為，則它的表面積為（）A． B．C． D．變式1-2．如圖，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為（）A．1∶1B．1∶C．1∶ D．1∶2變式1-3．以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于（

）A．8π B．4π C．8 D．4變式1-4．已知圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)邊長為的正方形，則這個(gè)圓柱的表面積是（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法二柱體的體積典例2．如圖，在四棱柱中，底面是正方形，底面，，那么該四棱柱的體積為（

）A． B． C． D．變式2-1．底面邊長為2，高為1的正三棱柱的體積是（

）A． B．1 C． D．變式2-2．正三棱柱中所有棱長均為2，點(diǎn)E是則棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，有下列判斷，正確的是（

）A．正三棱柱的側(cè)面積是B．正三棱柱的體積是3C．當(dāng)E是中點(diǎn)時(shí)，AE與平面所成角的正弦值為D．的最小值為變式2-3．如圖，在矩形ABCD中，，將矩形ABCD繞邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)圓柱，則該圓柱的體積為（

）A．3π B．6π C．12π D．16π變式2-4．已知正三棱柱的體積為，且底面邊長與高相等，則該正三棱柱一個(gè)側(cè)面的對角線長為（

）A．1 B． C．2 D．題型戰(zhàn)法三錐體的表面積典例3．已知正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長都為2，則該四棱錐的表面積為（

）A． B．C． D．變式3-1．《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖所示，在四棱柱中，棱錐即為陽馬，已知，則陽馬的表面積為（

）A． B． C． D．變式3-2．已知三棱錐的三條側(cè)棱長均為2，側(cè)面有兩個(gè)是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為，則這個(gè)三棱錐的表面積為（

）A． B．C． D．變式3-3．若一個(gè)圓錐的軸截面是邊長為3的正三角形，則這個(gè)圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．變式3-4．若圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為1的扇形，則這個(gè)圓錐表面積與側(cè)面積的比為（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法四錐體的體積典例4．設(shè)正六棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱長為，那么它的體積為（

）A． B． C．2 D．變式4-1．已知直三棱柱的體積為，則三棱錐的體積是（

）A． B． C． D．變式4-2．如圖，長方體的體積是36，點(diǎn)E在棱上，且，則三棱錐的體積是（

）A．2 B．3 C．4 D．6變式4-3．在中，，，以BC所在的直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．變式4-4．交通錐，又稱雪糕筒，是一種交通隔離警戒設(shè)施.如圖，某圓錐體交通錐的高為12，側(cè)面積為65π，則該圓錐體交通錐的體積為（

）A．25π B．75π C．100π D．300π題型戰(zhàn)法五臺體的表面積與體積典例5．已知一個(gè)正三棱臺的兩個(gè)底面邊長分別為4和16，側(cè)棱長為10，則該棱臺的側(cè)面積為（

）A．80 B．240 C．350 D．640變式5-1．若一個(gè)圓臺如圖所示，則其側(cè)面積等于（

）A．6 B．6πC．3π D．6π變式5-2．圓臺的上、下底面的面積分別是，，側(cè)面積是，則這個(gè)圓臺的體積是（

）A． B． C． D．變式5-3．已知圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為6，若該圓臺的體積為，則其母線長為（

）（注：圓臺的體積）A． B． C． D．變式5-4．如圖是我國古代量糧食的器具“升”，其形狀是正四棱臺，上、下底面邊長分別為和，高為．“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平升”．則該“升”的“平升”約可裝(

)A． B． C． D．題型戰(zhàn)法六球體的表面積與體積典例6．一個(gè)球的體積為36π，則這個(gè)球的表面積為（）A．9π B．18π C．36π D．72π變式6-1．表面積為的球的體積為（

）A． B． C． D．變式6-2．一個(gè)球的表面積為，則這個(gè)球的半徑為（

）A．6 B．12 C． D．變式6-3．如果兩個(gè)球的表面積之比為4︰9，那么兩個(gè)球的體積之比為（）A．4︰9 B．2︰3 C．8︰27 D．4︰27變式6-4．已知兩個(gè)球的表面積之比為，則這兩個(gè)球的體積之比為（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法七外接球問題（柱體或可還原為柱體的錐體）典例7．我國古代經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有一段表述:“今有圓堡壔（d?o），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一個(gè)圓柱，底面周長為4丈8尺，高為1丈1尺.則該圓柱的外接球的表面積約為（

）（注:1丈=10尺，取3）A．1185平方尺 B．1131平方尺 C．674平方尺 D．337平方尺變式7-1．已知正三棱柱所有棱長都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．變式7-2．《九章算術(shù).商功》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體成為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則四面體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．變式7-3．據(jù)《九章算術(shù)》記載，“鱉臑”為四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．如圖所示，現(xiàn)有一個(gè)“鱉臑”，底面，，且，三棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．變式7-4．在四面體中，，平面，且，則該四面體的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法八外接球問題（正棱錐、圓錐、臺體）典例8．一個(gè)正四面體的棱長為2，則這個(gè)正四面體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．變式8-1．某圓錐的母線長為4，高為3，則該圓錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．變式8-2．已知正四棱錐中，，，則該棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．變式8-3．在正三棱錐中，，P到平面ABC的距離為2，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．變式8-4．已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為，則該圓臺的外接球半徑為（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法九內(nèi)切球問題典例9．已知正方體的表面積為24，設(shè)它的外接球的表面積為，它的內(nèi)切球的體積為，則與的值分別為：（

）A．， B．， C．， D．，變式9-1．如圖是一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為m，圓柱的表面積與球的表面積之比為n，則的值為（

）A． B．1 C． D．變式9-2．已知一個(gè)圓錐底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為()A．π B． C．2π D．3π變式9-3．已知正四面體的棱長為，其外接球表面積為，內(nèi)切球表面積為，則的值為（）A． B． C． D．變式9-4．如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，則此三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．第七章空間向量與立體幾何7.1.1空間幾何體（題型戰(zhàn)法）知識梳理一簡單幾何體1.柱體（1）棱柱側(cè)面積：(直)，（：直截面周長，l：斜棱長）體積:（2）圓柱表面積：側(cè)面積：體積：2.錐體（1）棱錐側(cè)面積:（為底面周長，為斜高）。體積:（2）圓錐表面積：側(cè)面積：體積：3.臺體（1）棱臺體積：（2）圓臺表面積：體積：4.球體表面積：體積：二空間幾何體的外接球與內(nèi)切球1.球的外接（1）長方體外接球半徑計(jì)算公式為：（2）正方體外接球半徑計(jì)算公式為：（3）正四面體外接球半徑計(jì)算公式：（為棱長）（4）正棱錐外接球的半徑計(jì)算方法：頂點(diǎn)，球心，底面外接圓的圓心三點(diǎn)共線，可利用直角三角形求解；即：（其中：為底面外接圓的半徑，可通過正弦定理進(jìn)行計(jì)算，為三棱錐的高，為外接球的半徑）（5）直三棱柱的外接球半徑計(jì)算方法：（為直棱柱高的一半，r為三角形外接球的半徑）（6）直角四面體的外接球球心在直角三角形斜邊的中點(diǎn)處。2.球的內(nèi)切（1）正方體的內(nèi)切球半徑為：；長方體無內(nèi)切球。（2）直三棱柱的內(nèi)切球滿足條件：（1）棱柱的高為內(nèi)切球半徑的2倍，即：（2）記三棱柱底面三邊長為；則（為底面三角形的面積）（3）正三棱柱的內(nèi)切球半徑計(jì)算公式為：，（4）三棱錐的內(nèi)切球體積計(jì)算公式為：（5）正四面體內(nèi)切球半徑計(jì)算公式為：（6）四棱錐內(nèi)切球體積計(jì)算公式為：題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一柱體的表面積典例1．底面邊長和高都是1的正三棱柱的表面積是（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【分析】直接求表面積即可.【詳解】表面積為.故選：D.變式1-1．正六棱柱的底面邊長為2，最長的一條對角線長為，則它的表面積為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正六棱柱的結(jié)構(gòu)特征，求出棱柱的高，再計(jì)算它的表面積.【詳解】正六棱柱的底面邊長為2，最長的一條對角線長為，則高為，它的表面積為.故選:B.變式1-2．如圖，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為（）A．1∶1 B．1∶C．1∶ D．1∶2【答案】C【分析】首先設(shè)正方體的邊長為，再計(jì)算正方體的表面積和三棱錐D1-AB1C的表面積，即可得到答案.【詳解】設(shè)正方體的邊長為，則表面積，因?yàn)槿忮F的各面均是正三角形，其邊長為正方體側(cè)面對角線．則面對角線長為，三棱錐D1-AB1C的表面積，所以.故選：C變式1-3．以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于（

）A．8π B．4π C．8 D．4【答案】A【分析】根據(jù)題意求出圓柱的底面半徑和高，直接求側(cè)面積即可.【詳解】以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為圓柱，其底面半徑r=2，高h(yuǎn)=2，故其側(cè)面積為.故選：A變式1-4．已知圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)邊長為的正方形，則這個(gè)圓柱的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意和題設(shè)條件，求得圓柱的底面半徑和母線長，結(jié)合圓的面積公式和圓柱的側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長為，因?yàn)閭?cè)面展開圖是一個(gè)邊長為的正方形，所以，可得，所以圓柱的表面積為.故選：A.題型戰(zhàn)法二柱體的體積典例2．如圖，在四棱柱中，底面是正方形，底面，，那么該四棱柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】該四棱柱的體積為，由此能求出結(jié)果．【詳解】在四棱柱中，底面是正方形，底面，，，該四棱柱的體積為．故選：C．變式2-1．底面邊長為2，高為1的正三棱柱的體積是（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)棱柱體積公式求得結(jié)果.【詳解】底面邊長為2，高為1的正三棱柱的體積是故選：A【點(diǎn)睛】本題考查棱柱體積公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.變式2-2．正三棱柱中所有棱長均為2，點(diǎn)E是則棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，有下列判斷，正確的是（

）A．正三棱柱的側(cè)面積是B．正三棱柱的體積是3C．當(dāng)E是中點(diǎn)時(shí)，AE與平面所成角的正弦值為D．的最小值為【答案】D【分析】根據(jù)正三棱錐的特性，逐項(xiàng)判斷正誤.【詳解】A項(xiàng)，正三棱柱得側(cè)面積為，A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，正三棱柱得體積為，B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，，點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)與平面的夾角為，故，C項(xiàng)錯(cuò)誤.D項(xiàng)，由題可知，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，的值最小，為，D項(xiàng)正確.故選：D.變式2-3．如圖，在矩形ABCD中，，將矩形ABCD繞邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)圓柱，則該圓柱的體積為（

）A．3π B．6π C．12π D．16π【答案】C【分析】根據(jù)題意得到圓柱的底面半徑和高，結(jié)合體積公式，即可求解.【詳解】由題意，矩形中，，即圓柱的底面圓的半徑為，高為，所以圓柱的體積為.故選：C.變式2-4．已知正三棱柱的體積為，且底面邊長與高相等，則該正三棱柱一個(gè)側(cè)面的對角線長為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】設(shè)該正三棱柱的底面邊長為a，由體積求出，即可求出側(cè)面的對角線長.【詳解】設(shè)該正三棱柱的底面邊長為a，由題可知該正三棱柱的體積，所以，即該正三棱柱的底面邊長為，高為，故一個(gè)側(cè)面的對角線長為.故選：C題型戰(zhàn)法三錐體的表面積典例3．已知正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長都為2，則該四棱錐的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出正四棱錐的底面及各側(cè)面面積計(jì)算作答.【詳解】依題意，正四棱錐的底面正方形面積為4，四個(gè)側(cè)面是全等的正三角形，每個(gè)正三角形面積為，所以四棱錐的表面積為.故選：C變式3-1．《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖所示，在四棱柱中，棱錐即為陽馬，已知，則陽馬的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì)可得到，，，均為直角三角形，分別求得各面的面積，加和即可得到所求的陽馬的表面積.【詳解】由題意知：平面，平面，，又，平面，，平面，平面，；同理可得：；則，，，均為直角三角形，，，，，，陽馬的表面積.故選：B.變式3-2．已知三棱錐的三條側(cè)棱長均為2，側(cè)面有兩個(gè)是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為，則這個(gè)三棱錐的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依次計(jì)算4個(gè)三角形的面積，相加即可.【詳解】結(jié)合題目邊長關(guān)系，三棱錐如圖所示，，由題意是等腰直角三角形,則,，則表面積為.故選：C.變式3-3．若一個(gè)圓錐的軸截面是邊長為3的正三角形，則這個(gè)圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得圓錐的底面半徑，根據(jù)圓錐的表面積公式求解即可【詳解】由題可知，該圓錐的底面半徑為，因此，該圓錐表面積為故選：A變式3-4．若圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為1的扇形，則這個(gè)圓錐表面積與側(cè)面積的比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圓的性質(zhì)可以列弧長與圓心角的等式，即可求出底面圓半徑，再分別算出圓錐表面積與側(cè)面積即可得到比值【詳解】由題，，，，故故選：C題型戰(zhàn)法四錐體的體積典例4．設(shè)正六棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱長為，那么它的體積為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】首先求出錐體的高，再根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得.【詳解】解：由題意得正六棱錐的高為，所以體積.故選：A變式4-1．已知直三棱柱的體積為，則三棱錐的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用錐體體積公式可求得三棱錐的體積.【詳解】設(shè)三棱錐的高為，則.故選：D.變式4-2．如圖，長方體的體積是36，點(diǎn)E在棱上，且，則三棱錐的體積是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】三棱錐的底面積是長方體底面積的一半，高為長方體的，故體積為長方體的.【詳解】故選：C.變式4-3．在中，，，以BC所在的直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得該幾何體由兩個(gè)底面重合的圓錐組成，其中圓錐的底面半徑為2，高為，進(jìn)而即得.【詳解】∵在中，，，∴，邊上的高為2，由題可知該幾何體由兩個(gè)底面重合的圓錐組成，其中圓錐的底面半徑為2，高為，所以該幾何體的體積為．故選：A.變式4-4．交通錐，又稱雪糕筒，是一種交通隔離警戒設(shè)施.如圖，某圓錐體交通錐的高為12，側(cè)面積為65π，則該圓錐體交通錐的體積為（

）A．25π B．75π C．100π D．300π【答案】C【分析】設(shè)出底面半徑，利用側(cè)面積求出半徑，進(jìn)而利用圓錐體積公式進(jìn)行所求解.【詳解】設(shè)該圓錐體交通錐的底面半徑為r，則，解得：，所以該圓錐體交通錐的體積為故選：C題型戰(zhàn)法五臺體的表面積與體積典例5．已知一個(gè)正三棱臺的兩個(gè)底面邊長分別為4和16，側(cè)棱長為10，則該棱臺的側(cè)面積為（

）A．80 B．240 C．350 D．640【答案】B【分析】根據(jù)已知棱臺的上下底面邊長以及側(cè)棱長，可求得側(cè)面梯形的高，進(jìn)而求得側(cè)面積.【詳解】由題意可知，該棱臺的側(cè)面為上、下底分別為4和16，腰長為10的等腰梯形，∴等腰梯形的高為，∴等腰梯形的面積為，∴該棱臺的側(cè)面積為.故選：B.變式5-1．若一個(gè)圓臺如圖所示，則其側(cè)面積等于（

）A．6 B．6πC．3π D．6π【答案】C【分析】根據(jù)圓臺側(cè)面積的計(jì)算公式代入即可.【詳解】解：由題意得：∵圓臺的母線長為又上底面圓的半徑為，下底面圓的半徑為∴圓臺的側(cè)面積為：故選：C變式5-2．圓臺的上、下底面的面積分別是，，側(cè)面積是，則這個(gè)圓臺的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圓臺的高，再利用圓臺的體積公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】設(shè)圓臺的上、下底面的半徑分別為r，R，母線長為l，高為h.,由圓臺的上、下底面的面積分別是，，得所以，，由圓臺側(cè)面積公式可得，所以，所以，所以該圓臺的體積.故選：D.變式5-3．已知圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為6，若該圓臺的體積為，則其母線長為（

）（注：圓臺的體積）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓臺的體積公式求出圓臺的高，再根據(jù)圓臺軸截面性質(zhì)，利用勾股定理求出母線長即可.【詳解】依題意，圓臺的體積，解得，故圓臺的母線長，故選:．變式5-4．如圖是我國古代量糧食的器具“升”，其形狀是正四棱臺，上、下底面邊長分別為和，高為．“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平升”．則該“升”的“平升”約可裝(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)臺體的體積計(jì)算公式即可計(jì)算．【詳解】由臺體的體積公式可知，，，故選：C．題型戰(zhàn)法六球體的表面積與體積典例6．一個(gè)球的體積為36π，則這個(gè)球的表面積為（）A．9π B．18π C．36π D．72π【答案】C【分析】根據(jù)球的體積可求球的半徑，從而可求球的表面積.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，故，所以球的表面積為，故選：C.變式6-1．表面積為的球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)球的表面積公式求解球的半徑，再根據(jù)體積公式求解即可【詳解】設(shè)該球的半徑為，則由題可得，解得，故體積為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的表面積和體積公式，屬于基礎(chǔ)題變式6-2．一個(gè)球的表面積為，則這個(gè)球的半徑為（

）A．6 B．12 C． D．【答案】A【分析】結(jié)合球的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意得，設(shè)球的半徑為R，則，解得.故選：A變式6-3．如果兩個(gè)球的表面積之比為4︰9，那么兩個(gè)球的體積之比為（）A．4︰9 B．2︰3 C．8︰27 D．4︰27【答案】C【分析】由兩個(gè)球的表面積之比為4︰9可得它們的半徑之比為，然后可得它們的體積之比為.【詳解】因?yàn)榍虻谋砻娣e公式為，體積公式為所以由兩個(gè)球的表面積之比為4︰9可得它們的半徑之比為所以它們的體積之比為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是球的表面積和體積公式，較簡單.變式6-4．已知兩個(gè)球的表面積之比為，則這兩個(gè)球的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩個(gè)球的表面積之比求出半徑之比，利用半徑之比求出球的體積比.【詳解】由題知，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了球體的表面積公式和體積公式，屬于基礎(chǔ)題.題型戰(zhàn)法七外接球問題（柱體或可還原為柱體的錐體）典例7．我國古代經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有一段表述:“今有圓堡壔（d?o），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一個(gè)圓柱，底面周長為4丈8尺，高為1丈1尺.則該圓柱的外接球的表面積約為（

）（注:1丈=10尺，取3）A．1185平方尺 B．1131平方尺 C．674平方尺 D．337平方尺【答案】B【分析】根據(jù)題意作圖，再由底面周長求得底面半徑，連接上下底面圓心，取中點(diǎn)為外接圓的圓心，根據(jù)勾股定理，可得外接圓半徑，可得答案.【詳解】由1丈=10尺，則4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下圖：則，即，假設(shè)點(diǎn)為圓柱外接圓的圓心，即為外接圓的半徑，且，在中，，解得，則外接球的表面積，故選：B.變式7-1．已知正三棱柱所有棱長都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直棱柱外接球的性質(zhì)可知∥，，利用求外接球的半徑．【詳解】如圖，為棱的中點(diǎn)，為正△的中心，為外接球的球心根據(jù)直棱柱外接球的性質(zhì)可知∥，，外接球半徑，∵正△的邊長為6，則∴外接球的表面積故選：C．變式7-2．《九章算術(shù).商功》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體成為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則四面體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意將四面體畫在長方體中，即可知道四面體的外接球直徑為長方體的體對角線，則可求出答案.【詳解】由題意可知四面體如圖所示，則面體外接球的半徑為，所以四面體外接球的表面積為.故選：D.變式7-3．據(jù)《九章算術(shù)》記載，“鱉臑”為四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．如圖所示，現(xiàn)有一個(gè)“鱉臑”，底面，，且，三棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用補(bǔ)形法還原為正方體問題，然后用公式求解.【詳解】如圖，將三棱錐補(bǔ)形為正方體，則外接球半徑.所以三棱錐外接球表面積.故選：B.變式7-4．在四面體中，，平面，且，則該四面體的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，將四面體補(bǔ)形成如圖所示的正三棱柱，其中底面邊長為，側(cè)棱長為，則四面體的外接球即為正三棱柱的外接球；由直棱柱的特點(diǎn)可知上下底面的中心連線的中點(diǎn)，即為正三棱柱外接球的球心，由此構(gòu)造直角三角形即可求出外接球的半徑，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，將四面體補(bǔ)形成如圖所示的正三棱柱，其中底面邊長為，側(cè)棱長為，則四面體的外接球即為正三棱柱的外接球；取上下底面的中心，則線段的，即為正三棱柱外接球的球心，根據(jù)正弦定理可知，連接，，則在直角三角形中，，即外接球的半徑為，所以四面體外接球的表面積為.故選：D.題型戰(zhàn)法八外接球問題（正棱錐、圓錐、臺體）典例8．一個(gè)正四面體的棱長為2，則這個(gè)正四面體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將正四面體補(bǔ)形成正方體，借助正方體求出外接球半徑作答.【詳解】如圖，四面體是正四面體，棱長，將其補(bǔ)形成正方體，則正方體的棱長，此正方體的體對角線長為，正四面體與正方體有相同的外接球，則正四面體的外接球半徑，所以正四面體的外接球體積為．故選：A變式8-1．某圓錐的母線長為4，高為3，則該圓錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圓錐的外接球與軸截面相關(guān)線段的幾何關(guān)系列方程求外接球的半徑，進(jìn)而求外接球的表面積.【詳解】設(shè)該圓錐外接球的半徑為R，則，解得R=，故該圓錐外接球的表面積S=4πR2=.故選：D變式8-2．已知正四棱錐中，，，則該棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得外接球的半徑，從而求得外接球的體積.【詳解】正方形的對角線長，正四棱錐的高為，設(shè)外接球的半徑為，則，所以外接球的體積為.故選：B變式8-3．在正三棱錐中，，P到平面ABC的距離為2，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正棱錐以及等體積法得出的長，再由正方體的外接球的半徑得出該三棱錐外接球的半徑，進(jìn)而得出所求外接球的表面積.【詳解】因?yàn)?，由正三棱錐的性質(zhì)知，PA，PB，PC兩兩垂直且相等.設(shè)，則.根據(jù)，得，解得.設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，所以.故所求外接球的表面積為.故選：A.變式8-4．已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為，則該