第34講 三角函數(shù)概念與誘導公式（九大題型）（講義）（解析版）-2025數(shù)學一輪復習（含2024年高考真題+回歸教材）

INET：三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4、三角函數(shù)線如下圖，設角α的終邊與單位圓交于點P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A（1，0）作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點T．三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線【診斷自測】在平面直角坐標系中，給出下列命題：①小于的角一定是銳角；②鈍角一定是第二象限的角；③終邊不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命題的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】因為銳角，所以小于的角不一定是銳角，故①不成立；因為鈍角，第二象限角，，所以鈍角一定是第二象限角，故②成立；若兩個角的終邊不重合，則這兩個角一定不相等，故③成立；例如，，但，故④不成立.故選：B.知識點2：同角三角函數(shù)基本關(guān)系1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：．（2）商數(shù)關(guān)系：；【診斷自測】（2024·四川成都·模擬預測）在平面直角坐標系中，角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（

）A．11 B． C．10 D．【答案】B【解析】因為角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，且角的終邊經(jīng)過點，所以，，所以.故選：B.知識點3：三角函數(shù)誘導公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設三角函數(shù)在該象限的正負；（3）當為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．【診斷自測】（2024·河南信陽·模擬預測）若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得.故選：B解題方法總結(jié)1、利用可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實現(xiàn)角的弦切互化．2、“”方程思想知一求二．題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別【典例1-1】集合中的最大負角為（

）vA． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以集合中的最大負角為.故選：C.【典例1-2】（2024·湖北·模擬預測）若角的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線上，則角的取值集合是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，角的終邊在直線上，為第一象限角時，；為第三象限角時，；綜上，角的取值集合是.故選：D.【方法技巧】（1）終邊相同的角的集合的表示與識別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決．（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標軸角．【變式1-1】如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】終邊落在陰影部分的角為，，即終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合是．故選：B．【變式1-2】用弧度制分別表示每個圖中頂點在原點、始邊重合于x軸的非負半軸、終邊落在陰影部分內(nèi)（包括邊界）的角的集合.

【解析】圖1：易知；圖2：；圖3：或或或【變式1-3】已知角的集合為，回答下列問題：(1)集合M中有幾類終邊不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪幾個？(3)求集合M中的第二象限角．【解析】（1）集合M中的角可以分成四類，即終邊分別與－150°，－60°，30°，120°的終邊相同的角．（2）令，得，又，所以終邊不相同的角，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8個，分別是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．（3）集合M中的第二象限角與120°角的終邊相同，所以，.題型二：等分角的象限問題【典例2-1】已知是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．C． D．是第三或第四象限角【答案】C【解析】∵是第二象限角，∴，，即，，∴是第一象限或第三象限角，故A錯誤；由是第一象限或第三象限角，或，故B錯誤；∵是第二象限角，∴，，∴，，∴是第三象限，第四象限角或終邊在軸非正半軸，，故C正確，D錯誤.故選：C．【典例2-2】（2024·高三·湖北黃岡·期中）若角滿足＝(k∈Z)，則的終邊一定在()A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x軸非正半軸上D．第一象限或第二象限或y軸非正半軸上【答案】D【解析】當時，，終邊位于第一象限當時，，終邊位于第二象限當時，，終邊位于軸的非正半軸上當時，，終邊位于第一象限綜上可知，則的終邊一定在第一象限或第二象限或軸的非正半軸上故選【方法技巧】先從的范圍出發(fā)，利用不等式性質(zhì)，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2）的象限分布圖示．【變式2-1】已知，，則的終邊在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【答案】D【解析】因為，，所以為第二象限角，即，所以，則的終邊所在象限為所在象限，即的終邊在第一、二、四象限.故選：D.【變式2-2】若角α是第二象限角，則角2α的終邊不可能在()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】A【解析】∵角α是第二象限角，∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z.∴2α可能是第三或第四象限角或是終邊在y軸的非正半軸上的角，即其終邊不可能在第一、二象限.故選A.【變式2-3】（2024·全國·模擬預測）已知角第二象限角，且，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】A【解析】因為角第二象限角，所以，所以，所以角是第一象限角或第三象限角．又因為，即，所以角是第一象限角，故選：A．題型三：弧長與扇形面積公式的計算【典例3-1】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）用一個圓心角為，面積為的扇形（為圓心）用成一個圓錐（點恰好重合），該圓錐頂點為，底面圓的直徑為，則的值為．【答案】【解析】設圓錐的母線長為，底面半徑為，∵扇形的圓心角為，解得，∵扇形的弧長等于它圍成的圓錐的底面周長，，所以圓錐的軸截面中，，，由余弦定理可得，故答案為：【典例3-2】若扇形的周長為18，則扇形面積取得最大值時，扇形圓心角的弧度數(shù)是.【答案】2【解析】設扇形的半徑為，弧長為，則，即，所以扇形面積，所以當時，取得最大值為，此時，所以圓心角為（弧度）.故答案為：2【方法技巧】應用弧度制解決問題的方法（1）利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．（2）求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題．（3）在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．【變式3-1】已知扇形的周長為，則當扇形的圓心角扇形面積最大．【答案】【解析】設扇形的半徑為，弧長為，由題意，，扇形的面積為，所以當時，扇形面積取最大值，此時，所以扇形的圓心角時，扇形面積最大.故答案為：【變式3-2】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）下圖是第19屆杭州亞運會的會徽“潮涌”，可將其視為一扇環(huán)ABCD．已知，．且該扇環(huán)的面積為，若將該扇環(huán)作為側(cè)面圍成一圓臺，則該圓臺的體積為.【答案】【解析】如圖，設，，，由題意可知，，解得，，則，將該扇面作為側(cè)面圍成一圓臺，則圓臺上、下底面的半徑分別為1和2，所以其高為，故該圓臺的體積為.故答案為：.【變式3-3】（2024·廣東·二模）如圖，在平面直角坐標系中放置著一個邊長為1的等邊三角形，且滿足與軸平行，點在軸上.現(xiàn)將三角形沿軸在平面直角坐標系內(nèi)滾動，設頂點的軌跡方程是，則的最小正周期為；在其兩個相鄰零點間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積為.【答案】【解析】設，如圖，當三角形沿軸在平面直角坐標系內(nèi)滾動時，開始時，先繞旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)到時，旋轉(zhuǎn)到，此時，然后再以為圓心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后旋轉(zhuǎn)到，此時，當三角形再旋轉(zhuǎn)時，不旋轉(zhuǎn)，此時旋轉(zhuǎn)到，當三角形再旋轉(zhuǎn)后，必以為圓心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后旋轉(zhuǎn)到，點從開始到時是一個周期，故的周期為，如圖，為相鄰兩個零點，在上的圖像與軸圍成的圖形的面積為：.故答案為：.【變式3-4】建于明朝的杜氏雕花樓被譽為“松江最美的一座樓”，該建筑內(nèi)有很多精美的磚雕，磚雕是我國古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚墻精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，則此扇環(huán)形磚雕的面積為．

【答案】【解析】設圓心角為，則，所以，解得，所以，所以此扇環(huán)形磚雕的面積為.故答案為：題型四：割圓術(shù)問題【典例4-1】（2024·貴州銅仁·模擬預測）魏晉南北朝時期，祖沖之利用割圓術(shù)以正24576邊形，求出圓周率約等于，和相比，其誤差小于八億分之一，這個記錄在一千年后才被打破．若已知的近似值還可以表示成，則的值約為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將代入，可得.故選：C.【典例4-2】我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽創(chuàng)造性的提出了“割圓術(shù)”，劉徽認為圓的內(nèi)接正邊形隨著邊數(shù)的無限增大，圓的內(nèi)接正邊形的周長就無限接近圓的周長，并由此求得圓周率的近似值．如圖當時，圓內(nèi)接正六邊形的周長為，故，即．運用“割圓術(shù)”的思想，下列估算正確的是（

）

A．時， B．時，C．時， D．時，【答案】A【解析】設圓的內(nèi)接正十二邊形被分成個如圖所示的等腰三角形，其頂角為，即，作于點，則為的中點，且，因為，在中，，即，所以，，則，所以，正十二邊形的周長為，所以，.故選：A.v【方法技巧】割圓術(shù)是魏晉時期數(shù)學家劉徽首創(chuàng)的方法，用于計算圓周率。其核心思想是通過不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使正多邊形的周長無限接近圓的周長，進而求得較為精確的圓周率。這一方法體現(xiàn)了極限思想，為中國古代數(shù)學發(fā)展做出了重要貢獻。具體操作為：從圓內(nèi)接正六邊形開始，逐步分割成正十二邊形、正二十四邊形等，直至邊數(shù)無法再增，此時正多邊形的周長即接近圓周率與直徑的乘積?！咀兪?-1】（2024·四川成都·模擬預測）我國古代魏晉時期數(shù)學家劉徽用“割圓術(shù)”計算圓周率，“割之彌細，所失彌少，割之，又割，以至于不可割，則與圓周合體無所失矣”.劉徽從圓內(nèi)接正六邊形逐次分割，一直分割到圓內(nèi)接正3072邊形，用正多邊形的面積逼近圓的面積.利用該方法，由圓內(nèi)接正n邊形與圓內(nèi)接正邊形分別計算出的圓周率的比值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于正n邊形，其圓心角為，面積為，對于正邊形，其圓心角為，面積為，由此可得，.故選：B.【變式4-2】在3世紀中期，我國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)可以視為將一個圓內(nèi)接正邊形等分成個等腰三角形（如圖所示），當越大，等腰三角形的面積之和越近似等于圓的面積.運用割圓術(shù)的思想，可得到的近似值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在單位圓中作內(nèi)接正三十六邊形，則每個等腰三角形的頂角為，底邊約為，由題意得，故選：C題型五：三角函數(shù)的定義【典例5-1】（2024·江西·二模）已知角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，由三角函數(shù)的定義得.故選：A.【典例5-2】（2024·北京房山·一模）已知角的終邊經(jīng)過點，把角的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，因為把角的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，所以，所以.故選：D.【方法技巧】（1）利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點P的坐標可求α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出角α終邊的位置．（2）判斷三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號確定所求三角函數(shù)值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況．【變式5-1】（2024·北京通州·二模）在平面直角坐標系xOy中，角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函數(shù)的定義可得，所以.故選：B.【變式5-2】已知角的終邊經(jīng)過點，則的值不可能是（

）A． B．0 C． D．【答案】D【解析】由定義，，當，合題意；當，化簡得，由于橫坐標，角的終邊在一、四象限，所以．故選：D．【變式5-3】如圖所示，在平面直角坐標系中，動點、從點出發(fā)在單位圓上運動，點按逆時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點按順時針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，則、兩點在第次相遇時，點的坐標是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】相遇時間為秒，故轉(zhuǎn)過的角度為，故對應坐標為，即.故選：C【變式5-4】（2024·山東濟南·二模）質(zhì)點和在以坐標原點為圓心，半徑為1的圓上逆時針作勻速圓周運動，同時出發(fā).的角速度大小為，起點為圓與軸正半軸的交點；的角速度大小為，起點為圓與射線的交點.則當與第2024次重合時，的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設兩質(zhì)點重合時，所用時間為，則重合點坐標為，由題意可知，兩質(zhì)點起始點相差角度為，則，解得，若，則，則重合點坐標為，若，則，則重合點坐標為，即，若，則，則重合點坐標為，即，當與第2024次重合時，，則，則重合點坐標為，即.故選：B.題型六：象限符號與坐標軸角的三角函數(shù)值【典例6-1】（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐標系中，角以為始邊，終邊在第三象限.則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得、，，對A：當時，，則，，此時，故A錯誤；對B：當時，，故B錯誤；對C、D：，由，故，則，即，故C正確，D錯誤.故選：C.【典例6-2】若是第二象限角，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】若α是第二象限角，則，故A錯誤；為第一、三象限角，則，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：B.【方法技巧】正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負；．余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負；．正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負．【變式6-1】已知，且，則為（

）A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角【答案】C【解析】由，得，則且，又，因此且，是第二象限角，即，則，當為偶數(shù)時，是第一象限角，當為奇數(shù)時，是第三象限角，所以是第一或三象限角.故選：C【變式6-2】（多選題）若角的終邊在第三象限，則的值可能為（

）A．0 B．2 C．4 D．【答案】BC【解析】由角的終邊在第三象限，得，則，因此是第二象限角或第四象限角，當是第二象限角時，，當是第四象限角時，.故選：BC【變式6-3】（2024·高三·海南·期末）已知都是第二象限角，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，則即，而都是第二象限角，故，故，故“”是“”的充分條件.若，因為都是第二象限角，故，所以即，故“”是“”的必要條件，所以“”是“”的充要條件.故選：C.題型七：弦切互化求值【典例7-1】（2024·高三·福建泉州·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，則，結(jié)合，解得，則，故選：C.【典例7-2】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，即，即，顯然，所以，則，又，所以，所以.故選：D【方法技巧】（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號，再利用三角形三角函數(shù)定義求未知三角函數(shù)值．（2）若無象限條件，一般“弦化切”．【變式7-1】若，則.【答案】/【解析】由已知，故答案為：.【變式7-2】（2024·浙江杭州·模擬預測）已知，則．【答案】【解析】由可得，即；所以將代入計算可得；即.故答案為：【變式7-3】已知，則.【答案】【解析】因為，所以.故答案為：【變式7-4】（多選題）已知，，則下列選項中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】由，得，所以，故選項A正確；因為，，所以，，又因為，所以，故選項B正確；因為，故選項C錯誤；由，，所以，故選項D錯誤；故選：AB【變式7-5】（多選題）已知，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對于選項A，由兩邊平方得：，故得，即A項正確；對于選項B，由，可得：故，由可得：，故B項錯誤；對于選項C，，故C項錯誤；對于選項D，由可解得：故得：.故D項正確.故選：AD.題型八：誘導求值與變形【典例8-1】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，故選：A【典例8-2】（2024·浙江·模擬預測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選：C【方法技巧】（1）誘導公式用于角的變換，凡遇到與整數(shù)倍角的和差問題可用誘導公式，用誘導公式可以把任意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)．（2）通過等誘導變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)．（3）等可利用誘導公式把的三角函數(shù)化【變式8-1】（2024·高三·廣東深圳·期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以.故選：C【變式8-2】若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以.故選：D【變式8-3】（2024·江西九江·三模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，所以由，得，即，即，得，所以，故選：C.題型九：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導公式的綜合應用【典例9-1】已知.(1)化簡；(2)若，求的值；(3)若，求的值.【解析】（1）（2）由（1）得，所以.（3）由（1）得，令，則，則，，又，得，代入，計算得：，當為第二象限角時，，即；當為第四象限角時，，即.【典例9-2】已知.(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1）由可得：，即，（2）【方法技巧】（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導公式求值或化簡時，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進行變形．（2）注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響．【變式9-1】已知角的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，且．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1），，，，則．（2）原式．【變式9-2】已知(1)化簡(2)若，且，求的值.(3)若是第三象限角，且，求的值.【解析】（1）依題意，.（2）由（1）知，，而，所以或.（3）由，得，由是第三象限角，得，所以.【變式9-3】在單位圓中，銳角的終邊與單位圓相交于點，連接圓心和得到射線，將射線繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓相交于點，其中.(1)求的值；(2)記點的橫坐標為，若，求的值.【解析】（1）由于點在單位圓上，且是銳角，可得，所以，所以；（2）由（1）可知，且為銳角，可得，根據(jù)三角函數(shù)定義可得：，因為，且，因此，所以所以.【變式9-4】在平面直角坐標系中，銳角，均以為始邊，終邊分別與單位圓交于點，，已知點的縱坐標為，點的橫坐標為.(1)直接寫出和的值，并求的值；(2)求的值；(3)將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到點，求點的坐標.【解析】（1）由銳角，，得點，都在第一象限，而點的縱坐標為，點的橫坐標為，則點的橫坐標為，點的縱坐標為，因此；.（2）由（1）知，.（3）依題意，點在角的終邊上，且，由（1）知，則點的橫坐標為，點的縱坐標為，所以點的坐標為.1．（2023年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）設甲：，乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【解析】當時，例如但，即推不出；當時，，即能推出.綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.故選：B2．（2022年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，連接，因為是的中點，所以，又，所以三點共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.3．（2022年新高考浙江數(shù)學高考真題）設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為可得：當時，，充分性成立；當時，，必要性不成立；所以當，是的充分不必要條件.故選：A.

1．寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并找出集合中適合不等式的元素：(1)；(2)．【解析】（1）根據(jù)題意可知，所以與終邊相同的角的集合為，易知當時，；當時，；當時，；所以適合不等式的元素有：，，；（2）與終邊相同的角的集合為，易知當時，；當時，；當時，；所以適合不等式的元素有：，，；2．每人準備一把扇形的扇子，然后與本小組其他同學