第章 冪的運算（解析版）

第8章冪的運算考察題型一冪的運算公式的直接使用典例1-1．下列運算中，正確的是A． B． C． D．【詳解】解：、，故此選項錯誤；、，故此選項錯誤；、，正確；、，故此選項錯誤．故本題選：．變式1-1．下列計算中，正確的是A． B． C． D．【詳解】解：．，故該選項不正確，不合題意；．，故該選項不正確，不合題意；．故該選項正確，符合題意；．，故該選項不正確，不合題意．故本題選：．典例1-2．（1）；（2）；（3）；（4）．【詳解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．變式1-2-1．計算：（1）；（2）．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．變式1-2-2．計算：（1）；（2）．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．考察題型二利用冪的運算公式的巧算典例2．計算等于A．1 B． C．4 D．【詳解】解：．故本題選：．變式2．計算：．【詳解】解：原式．故本題答案為：．考察題型三利用冪的運算公式確定等量關(guān)系式典例3．已知，，試用含，的式子表示．【詳解】解：，，．變式3．已知，，，那么、、之間滿足的等量關(guān)系是A． B． C． D．【詳解】解：，，，，，，．故本題選：．考察題型四利用冪的運算公式的求代數(shù)式的值或求參數(shù)典例4-1．（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．【詳解】解：（1）當(dāng)，時，；（2），，，，解得：．變式4-1．（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值．【詳解】解：（1）；（2），，，．典例4-2．計算：（1）已知，，求的值．（2）若為正整數(shù)，且，求的值．【詳解】解：（1），，，，；（2）．變式4-2．（1）若，求的值；（2）已知，，求的值；（3）若為正整數(shù)，且，求的值．【詳解】解：（1），，，，解得：；（2），，，，；（3），．典例4-3．對于題目：，求的值．甲：；乙：；丙：應(yīng)該還有另外一個值．對于上述說法判斷正確的是A．甲說的對 B．乙說的對 C．甲和乙答案合在一起才可以 D．丙說的對【詳解】解：當(dāng)，即時，，符合題意；當(dāng)，即時，，符合題意；當(dāng)，為整數(shù)）時，則，，不合題意；綜上，或．故本題選：．變式4-3．已知，則．【詳解】解：由于，因此或且，解得：或，故本題答案為：或4．考察題型五利用冪的運算公式比較實數(shù)的大小典例5-1．若，，則，的大小關(guān)系為A． B． C． D．無法確定【詳解】解：，，，，即．故本題選：．變式5-1．已知，，，請用“”把它們按從小到大的順序連接起來，說明理由．【詳解】解：，，，又，，．典例5-2．若，，，，則A． B． C． D．【詳解】解：，，，，．故本題選：．變式5-2-1．已知，，，，則最大值和最小值的和為．【詳解】解：，，，，最大值和最小值的和為．故本題答案為：7．變式5-2-2．比較與的大小，我們可以采用從“特殊到一般”的思想方法：（1）通過計算比較下列各式中兩數(shù)的大?。海ㄌ睢啊?，“”或“”）①，②，③，．（2）由（1）可以猜測與為正整數(shù)）的大小關(guān)系：當(dāng)時，；當(dāng)時，．（3）根據(jù)上面的猜想，則有（填“”，“”或“”）．【詳解】解：（1）①，，，故本題答案為：；②，，，故本題答案為：；③，，，故本題答案為：；④，，，故本題答案為：；（2）由（1）猜測：為正整數(shù)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故本題答案為：2，；（3）根據(jù)（2）得：時，，故本題答案為：．考察題型六零指數(shù)冪與負(fù)指數(shù)冪成立的條件典例6-1．等式成立的條件是A． B． C． D．【詳解】解：由題意得：，解得：．故本題選：．變式6-1．關(guān)于代數(shù)式，下列說法正確的是A．的值一定是0 B．的值一定是1 C．當(dāng)時，有意義 D．當(dāng)時，有意義【詳解】解：有意義的條件是：，解得：，即當(dāng)時．故本題選：．典例6-2．如果有意義，則滿足的條件是．【詳解】解：有意義，，．故本題答案為：．變式6-2．若有意義，則取值范圍是A． B． C．且 D．且【詳解】解：若有意義，則且，解得：且．故本題選：．考察題型七科學(xué)記數(shù)法——表示較小的數(shù)典例7．近來，中國芯片技術(shù)獲得重大突破，芯片已經(jīng)量產(chǎn)，一舉打破以美國為首的西方世界的技術(shù)封鎖，已知，則0.0000007用科學(xué)記數(shù)法表示為A． B． C． D．【詳解】解：．故本題選：．變式7．近年來，我國新冠肺炎疫情防控工作一直在有序進(jìn)行，經(jīng)科學(xué)家研究，冠狀病毒多數(shù)為球形或近似球形，其直徑約為0.00000012米，其中數(shù)據(jù)0.00000012用科學(xué)記數(shù)法表示正確的是A． B． C． D．【詳解】解：．故本題選：．考察題型八新定義題型典例8-1．探究應(yīng)用：用“”、“”定義兩種新運算：對于兩數(shù)、，規(guī)定，，例如：，．（1）求：的值；（2）求：的值；（3）當(dāng)為何值時，的值與的值相等．【詳解】解：（1）；（2）；（3）由題意得：，則，，即，解得：．變式8-1．定義一種冪的新運算：⊕，請利用這種運算規(guī)則解決下列問題．（1）求⊕的值；（2），，，求⊕的值；（3）若運算9⊕的結(jié)果為810，則的值是多少？【詳解】解：（1）⊕；（2）當(dāng)，，時，⊕；（3）⊕，，，，，，．典例8-2．規(guī)定兩數(shù)，之間的一種運算，記作；如果，那么．例如：因為，所以．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：①，；②若，則．（2）小明在研究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個特征：，，，小明給出了如下的證明：設(shè)，，則，即，所以，即，所以，，．試解決下列問題：①計算，，；②若，，，請?zhí)剿?，，之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1）①，，，，故本題答案為：2，4；②由題意得：，，，故本題答案為：；（2）①，，，，，，；②，，，，，，，，．變式8-2．規(guī)定兩數(shù)，之間的一種運算記作※，如果，那么※．例如：因為，所以3※．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：2※，※；（2）小明在研究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象：※※4，小明給出了如下的證明；設(shè)※，則，即，所以，即3※，所以※※4．請你嘗試運用這種方法解決下列問題：①證明：5※※※63；②猜想：※※※（結(jié)果化成最簡形式）．【詳解】解：（1），※，※，，，，故本題答案為：4，；（2）①設(shè)5※，5※，，，，，※，即5※※※63；②※※4，※※※※※，故本題答案為：，．典例8-3．閱讀以下材料：對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾，納皮爾發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系．對數(shù)的定義：一般地，若，那么叫做以為底的對數(shù)，記作：記作：．比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為，對數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為．我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：，，，；理由如下：，，則，，，由對數(shù)的定義得，又，．解決以下問題：（1）將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式；（2）計算結(jié)果，，．（直接寫出結(jié)果）（3）運用對數(shù)的性質(zhì)計算：．【詳解】解：（1）由對數(shù)的定義可知，將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式為，故本題答案為：；（2），，，，，，故本題答案為：2，4，0；（3），，．變式8-3．閱讀以下材料：指數(shù)與對數(shù)之間有密切的聯(lián)系，它們之間可以互化．對數(shù)的定義：一般地，若且，那么叫做以為底的對數(shù)，記作，比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，對數(shù)式，可以轉(zhuǎn)