多邊形的內(nèi)角和與外角和（練習）（解析版）

第七章平面圖形的認識（二）7.5多邊形的內(nèi)角和與外角和一．單選題1．一個多邊形的每個外角都是，則這個多邊形的邊數(shù)為A．八 B．九 C．十 D．七【詳解】解：，多邊形的邊數(shù)為八．故本題選：．2．一個凸多邊形的內(nèi)角和與外角和之比為，則這個多邊形的邊數(shù)為A．5 B．6 C．7 D．8【詳解】解：設多邊形有條邊，由題意得：，解得：．故本題選：．3．在下列條件中：①，②，③，④中，能確定是直角三角形的條件有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【詳解】解：①，，，，是直角三角形，①正確；②，，，是直角三角形，②正確；③，，，，是直角三角形，③正確；④，，，，，，是直角三角形，④正確；故本題選：．4．有一塊直角三角板放置在上，三角板的兩條直角邊、恰好分別經(jīng)過點、，在中，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【詳解】解：由題意得：，且，，．故本題選：．5．如圖，四邊形中，，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：設的外角度數(shù)為，則，即，，．故本題選：．6．若正多邊形的一個外角等于，則這個正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：正多邊形的邊數(shù)為：，即這個多邊形是正八邊形，該多邊形的內(nèi)角和為．故本題選：．7．下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是A．2，2，2 B．1，1，8 C．1，2，2 D．1，1，1【詳解】解：、，此三條線段與長度為5的線段能組成四邊形，符合題意；、，此三條線段與長度為5的線段不能組成四邊形，不合題意；、，此三條線段與長度為5的線段不能組成四邊形，不合題意；、，此三條線段與長度為5的線段不能組成四邊形，不合題意；故本題選：．8．如圖，，，，的度數(shù)是A． B． C． D．【詳解】解：如圖，延長交于點，，，，，．故本題選：．9．如圖，七邊形中，、的延長線交于點，著、、、對應的鄰補角和等于，則的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：、、、的外角的角度和為，，，五邊形內(nèi)角和，，．故本題選：．10．小明一筆畫成了如圖所示的圖形，則的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：如圖，在五邊形中：，，，．故本題選：．11．如圖，若干全等正五邊形排成環(huán)狀．圖中所示的是前3個五邊形，要完成這一圓環(huán)還需個五邊形．A．6 B．7 C．8 D．9【詳解】解：五邊形的內(nèi)角和為，正五邊形的每一個內(nèi)角為，如圖，延長正五邊形的兩邊相交于點，則，，已經(jīng)有3個五邊形，．故本題選：．12．如圖，將紙片沿折疊，使點落在點處，且平分，平分，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【詳解】解：連接．平分，平分，，，，，，，，，．故本題選：．13．如圖，在中，，分別平分，，交于，為外角的平分線，的延長線交于點，記，，則以下結(jié)論①，②，③，④正確的是A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④【詳解】解：為外角的平分線，平分，，，又是的外角，，，故①正確；，分別平分，，，，，故②、③錯誤，故④正確；故本題選：．二．填空題14．從一個多邊形的任何一個頂點出發(fā)都只有9條對角線，則它的邊數(shù)是．【詳解】解：從一個多邊形的任何一個頂點出發(fā)都只有9條對角線，．故本題答案為：12．15．在中，與的平分線相交于點，若，則．【詳解】解：與的平分線相交于點，，在中，，，，，故本題答案為：70．16．個小朋友在一起，每兩人握一次手，他們一共握了次手．（用含的代數(shù)式表示）【詳解】解：個小朋友在一起，每兩人握一次手，他們一共握了次．故本題答案為：．17．如圖，小明從點出發(fā)，前進到點處后向右轉(zhuǎn)，再前進到點處后又向右轉(zhuǎn)，，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點時，一共走了．【詳解】解：小明從點出發(fā)第一次回到點，他走的路線是正多邊形，正多邊形的每個外角是，正多邊形的邊數(shù)：，小明走的路程：，故本題答案為：72．18．如圖，在中，，，的平分線交于點，點是邊上的一個動點，當是鈍角三角形時，的取值范圍是．【詳解】解：，，，平分，，，當是鈍角時，，當是鈍角時，，，，，綜上，或．故本題答案為：或．三．解答題19．如圖，已知，，，求度數(shù)．【詳解】解：中，由三角形的外角性質(zhì)知：，即；①同理：，，，，②②代入①得：，即．20．用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做平面鑲嵌（簡稱鑲嵌）．在生活中，我們運用鑲嵌可以設計出美麗的圖案．（1）觀察圖①，我們發(fā)現(xiàn)：用不同的多邊形進行鑲嵌，圖形內(nèi)部拼接在同一點處的各個角的和為；（2）如圖②，長方形的長為、寬為，若用4個這樣的長方形鑲嵌成1個大長方形，則該長方形周長的最小值是；（3）如圖③，用3個邊長為的正三角形和2個邊長為的正方形，可以鑲嵌成1個七邊形，請你畫出該七邊形的示意圖．【詳解】解：（1）用不同的多邊形進行鑲嵌，圖形內(nèi)部拼接在同一點處的各個角的和為，故本題答案為：360；（2）如圖，長方形的長為、寬為，若用4個這樣的長方形鑲嵌成1個大長方形，則該長方形周長的最小值是，故本題答案為：12；（3）七邊形如圖所示．21．（1）如圖1，有一塊直角三角板放置在上，恰好三角板的兩條直角邊、分別經(jīng)過點、．中，，則，．（2）如圖2，的位置不變，改變直角三角板的位置，使三角板的兩條直角邊、仍然分別經(jīng)過、，那么的大小是否變化？若變化，請舉例說明；若不變化，請求出的大?。驹斀狻拷猓海?），，，，故本題答案為：；；（2）不變化，理由如下：，，，，．22．利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“”型圖案，易證明：．運用以上模型結(jié)論解決問題：（1）如圖（2），“五角星”形，求？分析：圖中是“”型圖，于是，所以；（2）如圖（3），“七角星”形，求的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖，由三角形外角的性質(zhì)可得：，，，，，故本題答案為：；（2）如圖，由（1）得：，，，．提升篇提升篇23．某休閑廣場的地面中間是1塊正六邊形地磚，周圍是用正方形和正三角形地磚按如圖方式依次向外鋪設10圈而成，其中第1圈有6塊正方形和6塊正三角形地磚，則鋪設該廣場共用地磚塊．【詳解】解：根據(jù)題意分析可得：正中間是1個正六邊形，第1圈包括6個正三角形，6個正方形，；第1+2圈包括個正三角形，個正方形，第1+2+3圈包括個正三角形，個正方形，依此遞推，第1+2+3+…+10圈包括個正三角形，個正方形，鋪設該廣場共用地磚：（塊．故本題答案為661．24．我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形”．例如，在圖1中，的內(nèi)角與的內(nèi)角互為對頂角，則與為對頂三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質(zhì)：．（1）【性質(zhì)理解】如圖2，在“對頂三角形”與中，，，求證：；（2）【性質(zhì)應用】如圖3，在中，點、分別是邊、上的點，，若比大，求的度數(shù)．【詳解】（1）證明：由對頂三角形得：，，，，，即；（2）解：由題意得：，由（1）得：，，，，，，，，，，．25．【原題重現(xiàn)】如圖1，、相交于點，求證：．某數(shù)學興趣小組同學對此題展開了探究討論．【解法再探】（1）課本利用“三角形內(nèi)角和是”和“對頂角相等”對此題進行了證明，小明同學提出了另外一種證明方法，如圖4所示思路框圖：完成框圖填空：①，②，③；【變式拓展】（2）小慧同學把圖1中線段與相交所組成的結(jié)構(gòu)稱為“8字形”，她對原題進行了改編：如圖2，、相交于點，、的角平分線交于點，，，求的度數(shù)（用含，的式子表示）．請你幫助小明完成以下問題：小明看到圖2中有兩個與相關的“8字形”，請你根據(jù)（1）的結(jié)論寫出關于的兩個關系式為：①；②；小明進一步思考：設，，由，得，③，由①、③（或②、③聯(lián)立、轉(zhuǎn)化、整理可得結(jié)論：；【發(fā)現(xiàn)生成】（3）小慧同學為了尋找規(guī)律，再次改變條件：如圖3，、相交于點，，，，，求的度數(shù)（用含，的式子表示）．請你寫出解答；（4）若把（3）中的“”都改為“”，則．（用含，的式子表示）【詳解】解：（1）根據(jù)圖示得：①三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；②；③；故本題答案為：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，，；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論得：①，②；、的角平分線交于點，，，由①得：，由③得：，；故本題答案為：①，②；；（3）由“8字形”得：，，，；（4）由“8字形”得：，，，，故本題答案為：．26．如圖（1）所示的圖形，像我們常見的學習用品一圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究與、、之間的關系，并說明理由．（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：①如圖（2），把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點、，若，則．②如圖（3），平分，平分，若，，求的度數(shù)．③如圖（4），，的10等分線相交于點、、，若，，請直接寫出的度數(shù)是．【詳解】解：（1），理由如下：過點、作直線，由外角定理可得：，，且，；；（2）①由（1）的結(jié)論得：，，，；故本題答案為：50．②由（1）的結(jié)論得：，，，，平分，平分，，，，；③由（1）的結(jié)論遞推得：，設為，，，，，，，，為，故本題答案為：．27．（問題背景），點、分別在、上運動（不與點重合）．（問題思考）（1）如圖①，、分別是和的平分線，隨著點、點的運動，．（2）如圖②，若是的平分線，的反向延長線與的平分線交于點．①若，則．②隨著點、的運動，的大小會變嗎？如果不會，求的度數(shù)；如果會，請說明理由；（問題拓展）（3）在圖②的基礎上，如果，其余條件不變，隨著點、的運動（如圖③，．（用含的代數(shù)式表示）【詳解】解：（1），，、分別是和角的平分線，，，，，故本題答案為：；（2）①，，，，是的平分線，，平分，，，故本題答案為：45；②的度數(shù)不隨、的移動而發(fā)生變化，理由如下：設，平分，，，，平分，，；（3）設，平分，，，，平分，，，故本題答案為：．28．如圖，四邊形，、分別平分四邊形的外角和，若，．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖1，若與相交于點，，請直接寫出，所滿足的數(shù)量關系式；（3）如圖2，若，判斷，的位置關系，并說明理由．【詳解】解：（1）四邊形的內(nèi)角和為，，和是四邊形的外角，，，；（2），理由如下：如圖1，連接，由（1）有，，、分別平分四邊形的外角和，，，，在中，，在中，，，，，，；（3），理由如下：如圖2，過點作，則，，由（1）知，，，又、分別平分和，，，，，．29．【情景引入】（1）如圖1，、分別是的內(nèi)角、的平分線，說明的理由．【深入探究】（2）①如圖2，、分別是的兩個外角、的平分線，與之間的等量關系是；②如圖3，、分別是的一個內(nèi)角和一個外角的平分線，探究與之間的等量關系，并說明理由．【拓展應用】（3）請用以上結(jié)論解決下列問題：如圖4，在中，、分別平分、，、、分別在