遼寧省鞍山市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年度下學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)（A）時間：120分鐘滿分：150分命題范圍：選擇性必修二，選擇性必修三結(jié)束.第I卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即可求得答案.【詳解】由題意隨機變量X服從正態(tài)分布，即正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱,因為，故，故選：B2.設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，且，則公比q=A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】將已知轉(zhuǎn)化為的形式，解方程求得的值.【詳解】依題意，解得，故選C.【點睛】本小題主要考查利用基本元的思想求等比數(shù)列的基本量，屬于基礎(chǔ)題.基本元的思想是在等比數(shù)列中有個基本量，利用等比數(shù)列的通項公式或前項和公式，結(jié)合已知條件列出方程組，通過解方程組即可求得數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列其它的一些量的值.3.已知某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2：1，貨車和客車中途停車修理的概率分別為0.02，0.01，則一輛汽車中途停車修理的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用全概率公式可求解得出.【詳解】設(shè)表示汽車中途停車修理，表示公路上經(jīng)過的汽車是貨車，表示公路上經(jīng)過的汽車是客車，則，，，，則由全概率公式，可知一輛汽車中途停車修理的概率為.故選：B.4.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知，利用函數(shù)的求導(dǎo)公式以及函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值進(jìn)行排除.【詳解】因為，所以，令，，則，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A，C錯誤；又，故B錯誤.故選：D.5.若二項展開式的第二項的二項式系數(shù)等于第五項的二項式系數(shù)，則該展開式中的含項的系數(shù)為（）A.80 B. C.14 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二項式定理，以及組合數(shù)的性質(zhì)，建立方程，可得答案.【詳解】由二項式，則其展開式的通項，展開式的第二項和第五項的二項式系數(shù)分別為，，則，解得，則通項為，令，解得，則展開式中含項的系數(shù)為.故選：A.6.有一批燈泡壽命超過500小時的概率為0.9，壽命超過800小時的概率為0.8，在壽命超過，500小時的燈泡中壽命能超過800小時的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件概率公式求解即可.【詳解】記燈泡壽命超過500小時為事件，燈泡壽命超過800小時為事件，則，所以.故選：A7.數(shù)學(xué)活動小組由12名同學(xué)組成，現(xiàn)將12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出一名組長，則不同的分配方案的種數(shù)為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】將這12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個不同課題,且每組只研究一個課題只需每個課題依次選三個人即可，共有中選法，最后選一名組長各有3種，故不同的分配方案為：，故選A.8.已知函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題得在R上恒成立，解不等式即得解.詳解】由題意知，，因為在R上是單調(diào)函數(shù)，且的圖象開口向下，所以在R上恒成立，故，即．故選：B【點睛】結(jié)論點睛：一般地，函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，在這個區(qū)間是增函數(shù)0.一般地，函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，在這個區(qū)間是減函數(shù)0.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.對兩個變量與進(jìn)行線性相關(guān)性和回歸效果分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：，則下列說法正確的是（）A.殘差平方和越小模型，擬合的效果越好B.由樣本數(shù)據(jù)利用最小二乘法得到的回歸方程表示的直線必過樣本點的中心C.用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，越小，說明模型的擬合效果越好D.若變量x與y之間的相關(guān)系數(shù)，則變量x與y之間具有很強的線性相關(guān)性【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)殘差的平方和的性質(zhì)判斷A，根據(jù)回歸方程的性質(zhì)判斷B，根據(jù)相關(guān)指數(shù)的性質(zhì)判斷C，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義判斷D.【詳解】對于A，由殘差的意義可得，殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，A正確；對于B，若回歸方程為，則，即回歸方程表示的直線必過樣本點的中心，B正確；對于C，相關(guān)指數(shù)越大，說明殘差的平方和越小，即模型的擬合效果越好，C正確；對于D，變量x與y之間的相關(guān)系數(shù)，故相關(guān)系數(shù)較為接近，所以變量x與y之間具有很強的線性相關(guān)性.D正確；故選：ABD.10.設(shè)等差數(shù)列{an}的前項和為，公差為.已知，，，則（）A.數(shù)列的最小項為第項 B.C. D.時，的最大值為【答案】ABC【解析】【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項的正誤；根據(jù)已知條件列出關(guān)于的不等式組，求出的取值范圍，可判斷B選項的正誤；利用等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可判斷C，D選項的正誤.【詳解】對于C選項，由且，可知，故C正確；對于B選項，由，可得，故B正確；對于D選項，因為，，所以，滿足的的最大值為，故D錯誤；對于A選項，由上述分析可知，當(dāng)且時，；當(dāng)且時，，所以，當(dāng)且時，，當(dāng)且時，，當(dāng)且時，.由題意可知{a所以當(dāng)且時，，由題意可知單調(diào)遞減，即有，所以，由不等式的性質(zhì)可得，從而可得，因此，數(shù)列的最小項為第項，故A正確.故選：ABC.11.如果函數(shù)對定義域內(nèi)的任意實數(shù)，都有，則稱函數(shù)為“F函數(shù)”．下列函數(shù)不是“F函數(shù)”的是（）A B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】令，則，可得函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，稱函數(shù)為“F函數(shù)”，逐項驗證可得答案．【詳解】令，則，即函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，稱函數(shù)為“F函數(shù)”．對于A，，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，不符合在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)不是“F函數(shù)”．故A正確；對于B，，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，不符合在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)不是“F函數(shù)”．故B正確；對于C，，，，所以單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)是“F函數(shù)”．故C錯誤；對于D，，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，不符合在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)不是“F函數(shù)”．故D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)可得函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，稱函數(shù)為“F函數(shù)”．第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.演講比賽結(jié)束后，4名選手與1名指導(dǎo)教師站成一排合影留念要求指導(dǎo)教師不能站在兩端，那么有______種不同的站法用數(shù)字作答)【答案】72【解析】【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，指導(dǎo)教師不能站在兩端，易得指導(dǎo)教師有3種站法，②，其4名選手全排列，安排在其他4個位置，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，指導(dǎo)教師不能站在兩端，則指導(dǎo)教師有3個位置可選，有3種站法；②，其4名選手全排列，安排在其他4個位置，有種情況，則有種不同的站法；故答案為72．【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13.已知隨機變量X，Y滿足，且隨機變量X的分布列如下：X012P則隨機變量Y的方差等于______；【答案】##【解析】【分析】根據(jù)分布列中概率和為1可得，再由期望、方差公式計算出,最后利用計算可得答案.【詳解】因為，所以，，，所以.故答案為：.14.若函數(shù)有個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】由已知,分為、和進(jìn)行討論,利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和即可得到答案.【詳解】由已知,當(dāng)時,函數(shù)無解,不符合題意;當(dāng)時,得,得或,即函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,又,所以函數(shù)有且僅有個零點,與題意不符;當(dāng)時,得或,得,即函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,又,要使函數(shù)有個不同的零點,則需,即,解得.故答案為:.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說陰、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和為，，從條件①、條件②和條件③中選擇兩個能夠確定一個數(shù)列的條件，并完成解答．（條件①：；條件②：；條件③：.）選擇條件和．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，并求數(shù)列的前項的和【答案】（1）（2）當(dāng)時，當(dāng)時【解析】【分析】（1）根據(jù)可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，然后求出首項，即可得通項.（2）由，分情況討論即可得【小問1詳解】選①②，由可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，又得，故選②③，由可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，由可知，選①③，無法確定數(shù)列.【小問2詳解】，其中,當(dāng)，時，當(dāng)，時，數(shù)列是從第三項開始，以公差的等差數(shù)列.16.已知函數(shù)．（1）求曲線的斜率等于1的切線方程；（2）求函數(shù)的極值．【答案】（1）；（2）極小值，無極大值．【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，求切點坐標(biāo)，再求切線方程；（2）根據(jù)極值的定義，利用導(dǎo)數(shù)求極值.【詳解】（1）設(shè)切點為，因為，所以，，，所以切線方程為，即．（2）的定義域為0,+∞．令即，，令，得，令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以存在極小值，無極大值．17.隨著人們生活水平的提高，國家倡導(dǎo)綠色安全消費，菜籃子工程從數(shù)量保障型轉(zhuǎn)向質(zhì)量效益型.為了測試甲、乙兩種不同有機肥料的使用效果，某科研單位用西紅柿做了對比實驗，分別在兩片實驗區(qū)各摘取100個，對其質(zhì)量的某項指標(biāo)值進(jìn)行檢測，質(zhì)量指數(shù)值達(dá)到35及以上的為“質(zhì)量優(yōu)等”，由測量結(jié)果繪成如下頻率分布直方圖.其中質(zhì)量指數(shù)值分組區(qū)間是：，，，，.（1）請根據(jù)題中信息完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“質(zhì)量優(yōu)等”與使用不同的肥料有關(guān)；甲有機肥料乙有機肥料合計質(zhì)量優(yōu)等質(zhì)量非優(yōu)等合計（2）在摘取的用乙種有機肥料的西紅柿中，從“質(zhì)量優(yōu)等”中隨機選取2個，記區(qū)間中含有的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有99.9%的把握認(rèn)為，“質(zhì)量優(yōu)等”與使用不同的肥料有關(guān)（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合獨立性檢驗公式，即可計算并判斷結(jié)果.（2）隨機變量的可能取值有0，1，2，服從超幾何分布，利用超幾何分布的公式可計算概率值，從而列出分布列并計算期望.【小問1詳解】解：由題意可得列聯(lián)表為：甲有機肥料乙有機肥料合計質(zhì)量優(yōu)等603090質(zhì)量非優(yōu)等4070110合計100100200則.所以有99.9%的把握認(rèn)為“質(zhì)量優(yōu)等”與使用不同的肥料有關(guān).【小問2詳解】由頻率分布直方圖可得“質(zhì)量優(yōu)等”有30個，區(qū)間中含有10個，隨機變量的可能取值有0，1，2，，，，隨機變量分布列如下：012.18.已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合推理判斷作答.（2）由（1）求出，再利用錯位相減法求和作答.【小問1詳解】當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，，兩式相減得，即，即有，而，則，，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知，于是，則，于是，兩式相減得，所以.19.設(shè)函數(shù)，且．（1）求函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后分與兩種情況討論即可；（2）方法一：討論當(dāng)時成立，當(dāng)時參變分離可得，再構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)分析最小值即