專題05 分堆問題

例1．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運會志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項工作可以安排，以下說法正確的是()A．每人都安排一項工作的不同方法數(shù)為54B．每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為ACC．如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為CC+CC)AD．每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是CCA+CA例2．我省5名醫(yī)學(xué)專家馳援湖北武漢抗擊新冠肺炎疫情現(xiàn)把專家全部分配到A，B，C三個集中醫(yī)療點，每個醫(yī)療點至少要分配1人，其中甲專家不去A醫(yī)療點，則不同分配種數(shù)為()A．116B．100例3．現(xiàn)有6位萌娃參加一項“尋寶貝，互助行”的游戲活動，寶貝的藏匿地點有遠(yuǎn)、近兩處，其中亮亮的年齡比較小，要么不參與此項活動，但同時必須有另--位萌娃留下陪同；要么參與尋找近處的寶貝.所有參與尋找寶貝任務(wù)的萌娃被平均分成兩組，一組去遠(yuǎn)處，一組去近處，那么不同的尋找方案有()例4．2019年4月，北京世界園藝博覽會開幕，為了保障園藝博覽會安全順利地進(jìn)行，某部門將5個安保小組全部安排到指定的三個不同區(qū)域內(nèi)值勤，則每個區(qū)域至少有一個安保小組的排法有()例5．有6本不同的書，按下列方式進(jìn)行分配，其中分配種數(shù)正確的是()C．分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，有180種分法；D．分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有2160種分法；例6．將四個不同的小球放入三個分別標(biāo)有1、2、3號的盒子中，不允許有空盒子的放法有多少種？下列結(jié)論正確的有.A．CCCCB．CAC．CCAD．18例7．江夏一中高二年級計劃假期開展歷史類班級研學(xué)活動，共有6個名額，分配到歷史類5個班級(每個班至少0個名額，所有名額全部分完).（1）共有多少種分配方案？（2）6名學(xué)生確定后，分成A、B、C、D四個小組，每小組至少一人，共有多少種方法？（3）6名學(xué)生來到武漢火車站.火車站共設(shè)有3個“安檢”入口，每個入口每次只能進(jìn)1個旅客，求6人進(jìn)站的不同方案種數(shù).例8．從6名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中選出5人組成一個醫(yī)療小組，請解答下列問題：（1）如果這個醫(yī)療小組中男女醫(yī)生都不能少于2人，共有多少種不同的建組方案用數(shù)字作答）（2）男醫(yī)生甲要擔(dān)任醫(yī)療小組組長，所以必選，而且醫(yī)療小組必須男女醫(yī)生都有，共有多少種不同的建組方案？（3）男醫(yī)生甲與女醫(yī)生乙不被同時選中的概率.（化成最簡分?jǐn)?shù)）例9．現(xiàn)有5本書和3位同學(xué)，將書全部分給這三位同學(xué).（1）若5本書完全相同，每個同學(xué)至少有一本書，共有多少種分法？（2）若5本書都不相同，共有多少種分法？（3）若5本書都不相同，每個同學(xué)至少有一本書，共有多少種分法？例10．有6本不同的書，在下列不同的條件下，各有多少種不同的分法？（2）分成三組，一組4本，另外兩組各1本；（3）甲得1本，乙得1本，丙得4本.例111）3個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，一共有多少種不同的放法？（2）3個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，恰有2個空盒的放法共有多少種？例12．現(xiàn)有大小相同的7只球，其中2只不同的紅球，2只不同的白球，3只不同的黑球.（1）將這7只球排成一列且相同顏色的球必須排在一起，有多少種排列的方法?（請用數(shù)字作答）（2）將這7只球分成三堆，三堆的球數(shù)分別為：1,3,3，共有多少種分堆的方法?（請用數(shù)字作答）（3）現(xiàn)取4只球，求各種顏色的球都必須取到的概率請用數(shù)字作答）例13．現(xiàn)有7名師范大學(xué)應(yīng)屆畢業(yè)的免費師范生將被分配到育才中學(xué)、星云中學(xué)和明月灣中學(xué)任教.（1）若4人被分到育才中學(xué)，2人被分到星云中學(xué)，1人被分到明月灣中學(xué)，則有多少種不同的分配方案？（2）一所學(xué)校去4個人，另一所學(xué)校去2個人，剩下的一個學(xué)校去1個人，有多少種不同的分配方案？例14．如圖，從左到右有5個空格.（1）若向這5個格子填入0，1，2，3，4五個數(shù)，要求每個數(shù)都要用到，且第三個格子不能填0，則一共有多少不同的填法？（2）若給這5個空格涂上顏色，要求相鄰格子不同色，現(xiàn)有紅黃藍(lán)3顏色可供使用，問一共有多少不同的涂法？（3）若向這5個格子放入7個不同的小球，要求每個格子里都有球，問有多少種不同的放法？例15．學(xué)校安排5名學(xué)生到3家公司實習(xí)，要求每個公司至少有1名學(xué)生，則有種不同的排法.例16．現(xiàn)有7名志愿者，其中只會俄語的有3人，既會俄語又會英語的有4人.從中選出4人擔(dān)任“一帶一路”峰會開幕式翻譯工作，2人擔(dān)任英語翻譯，2人擔(dān)任俄語翻譯，共有種不同的選法.例17．從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是（用數(shù)字作答）.例18．將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分赴世博會的三個不同場館服務(wù)，不同的分配方案有種（用數(shù)字作答例1．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運會志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項工作可以安排，以下說法正確的是()A．每人都安排一項工作的不同方法數(shù)為54B．每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為ACC．如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為CC+CC)AD．每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是CCA+CA【解析】①每人都安排一項工作的不同方法數(shù)為45，即選項A錯誤，②每項工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為CA，即選項B錯誤，③如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為：即選項C錯誤，④分兩種情況：第一種，安排一人當(dāng)司機，從丙、丁、戊選一人當(dāng)司機有C,從余下四人中安排三個崗位故有第二種情況，安排兩人當(dāng)司機，從丙、丁、戊選兩人當(dāng)司機有C,從余下三人中安排三個崗位A，故有CA；所以每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是CCA+CA，即選項D正確，故選：D.例2．我省5名醫(yī)學(xué)專家馳援湖北武漢抗擊新冠肺炎疫情現(xiàn)把專家全部分配到A，B，C三個集中醫(yī)療點，每個醫(yī)療點至少要分配1人，其中甲專家不去A醫(yī)療點，則不同分配種數(shù)為()A．116B．100【解析】根據(jù)已知條件，完成這件事情可分2步進(jìn)行：第一步：將5名醫(yī)學(xué)專家分為3組①若分為3,1,1的三組，有C=10種分組方法；②若分為2,2,1的三組，有種分組方法，故有10+15=25種分組方法.第二步：將分好的三組分別派到三個醫(yī)療點，甲專家不去A醫(yī)療點，可分配到B,C醫(yī)療點中的一個，有C=2種分配方法，再將剩余的2組分配到其余的2個醫(yī)療點，有A=2種分配方法，則有2×2=4種分配方法.根據(jù)分步計數(shù)原理，共有25×4=100種分配方法.故選：B.例3．現(xiàn)有6位萌娃參加一項“尋寶貝，互助行”的游戲活動，寶貝的藏匿地點有遠(yuǎn)、近兩處，其中亮亮的年齡比較小，要么不參與此項活動，但同時必須有另--位萌娃留下陪同；要么參與尋找近處的寶貝.所有參與尋找寶貝任務(wù)的萌娃被平均分成兩組，一組去遠(yuǎn)處，一組去近處，那么不同的尋找方案有()【解析】(1)若亮亮不參與游戲，可以分三步完成萌娃的分配：①安排一位萌娃陪同亮亮，有5種選擇：②從剩下的4個萌娃選擇2個去近處，有C=6種選擇；③最后剩下的2個去遠(yuǎn)處，完成分配，所以有5×6=30種方案.(2)若亮亮參與游戲，可以分兩步完成萌娃的分配：①從5個萌娃選擇2個和亮亮去近處，有C=10種選擇；②剩下的3個萌娃去遠(yuǎn)處，完成分配，所以有10種方案.綜上，不同的尋找方案有30+10=40種.故選：B.例4．2019年4月，北京世界園藝博覽會開幕，為了保障園藝博覽會安全順利地進(jìn)行，某部門將5個安保小組全部安排到指定的三個不同區(qū)域內(nèi)值勤，則每個區(qū)域至少有一個安保小組的排法有()【解析】根據(jù)題意，三個區(qū)域至少有一個安保小組，所以可以把5個安保小組分成三組，有兩種分法：按照1、1、3分組或按照1、2、2分組；若按照1、1、3分組,共有種分組方法；若按照1、2、2分組,共有種分組方法，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有60+90=150種分組方法.故選：A.例5．有6本不同的書，按下列方式進(jìn)行分配，其中分配種數(shù)正確的是()C．分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，有180種分法；D．分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有2160種分法；【解析】對A，先從6本書中分給甲2本，有C種方法；再從其余的4本書中分給乙2本，有C種方法；最后的2本書給丙，有C種方法.所以不同的分配方法有CCC=90種，故A正確；對B，先把6本書分成3堆:4本、1本、1本，有C種方法；再分給甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有CA=90種，故B正確；對C，6本不同的書先分給甲乙每人各2本，有CC種方法；其余2本分給丙丁，有A種方法.所以不同的分配方法有CCA=180種，故C正確；對D，先把6本不同的書分成4堆:2本、2本、1本、1本，有種方法；再分給甲乙丙丁四人，所以不同的分配方法有=1080種，故D錯誤.故選：ABC.例6．將四個不同的小球放入三個分別標(biāo)有1、2、3號的盒子中，不允許有空盒子的放法有多少種？下列結(jié)論正確的有.A．CCCCB．CAC．CCAD．18【解析】根據(jù)題意，四個不同的小球放入三個分別標(biāo)有1?3號的盒子中，且沒有空盒，則三個盒子中有1個中放2個球，剩下的2個盒子中各放1個，有2種解法：（1）分2步進(jìn)行分析：①先將四個不同的小球分成3組，有C種分組方法；②將分好的3組全排列，對應(yīng)放到3個盒子中，有A種放法；則沒有空盒的放法有CA種；（2）分2步進(jìn)行分析：①在4個小球中任選2個，在3個盒子中任選1個，將選出的2個小球放入選出的小盒中，有CC種情②將剩下的2個小球全排列，放入剩下的2個小盒中，有A種放法；則沒有空盒的放法有CCA種；故選：BC.例7．江夏一中高二年級計劃假期開展歷史類班級研學(xué)活動，共有6個名額，分配到歷史類5個班級(每個班至少0個名額，所有名額全部分完).（1）共有多少種分配方案？（2）6名學(xué)生確定后，分成A、B、C、D四個小組，每小組至少一人，共有多少種方法？5（3）6名學(xué)生來到武漢火車站.火車站共設(shè)有3個“安檢”入口，每個入口每次只能進(jìn)1個旅客，求6人進(jìn)站的不同方案種數(shù).【解析】（1）由題意得：問題轉(zhuǎn)化為不定方程x1+x2+x3+x4+x5=6的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)，∴方程又等價于不定方程x1+x2+x3+x4+x5=11的正整數(shù)解的個數(shù)，利用隔板原理得：方程正整數(shù)解的個數(shù)為C140=210，∴共有210種分配方案.（2先把6名學(xué)生按人數(shù)分成沒有區(qū)別的4組，有2類：1人，1人，1人，3人和1人，1人，2人，2人，再把每一類中的人數(shù)分到A、B、C、D四個小組.第一種分法：1人，1人，1人，3人，有CA=480種方法；第二種分法：1人，1人，2人，2人，有=1080種方法.共有480+1080=1560種方法.（3）每名學(xué)生有3種進(jìn)站方法，分步乘法計數(shù)原理得6人進(jìn)站有36=729種不同的方案.例8．從6名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中選出5人組成一個醫(yī)療小組，請解答下列問題：（1）如果這個醫(yī)療小組中男女醫(yī)生都不能少于2人，共有多少種不同的建組方案用數(shù)字作答）（2）男醫(yī)生甲要擔(dān)任醫(yī)療小組組長，所以必選，而且醫(yī)療小組必須男女醫(yī)生都有，共有多少種不同的建組方案？（3）男醫(yī)生甲與女醫(yī)生乙不被同時選中的概率.（化成最簡分?jǐn)?shù)）【解析】(1)由題可能的情況有男醫(yī)生3人女醫(yī)生2人和男醫(yī)生2人女醫(yī)生3人,共CC+CC=75種不同的建組方案.(2)由題,除開男醫(yī)生甲后不考慮必須男女醫(yī)生都有的建組方案共=70種,其中只有男醫(yī)生的情況數(shù)有C=5,不可能存在只有女醫(yī)生的情況.故共有70—5=65種不同的建組方案.(3)由題,男醫(yī)生甲與女醫(yī)生乙被同時選中的概率為故男醫(yī)生甲與女醫(yī)生乙不被同時選中的概率為.例9．現(xiàn)有5本書和3位同學(xué)，將書全部分給這三位同學(xué).（1）若5本書完全相同，每個同學(xué)至少有一本書，共有多少種分法？（2）若5本書都不相同，共有多少種分法？（3）若5本書都不相同，每個同學(xué)至少有一本書，共有多少種分法？【解析】（1）根據(jù)題意，若5本書完全相同，將5本書排成一排，中間有4個空位可用，在4個空位中任選2個，插入擋板，有C=6種情況，即有6種不同的分法；（2）根據(jù)題意，若5本書都不相同，每本書可以分給3人中任意1人，都有3種分法，（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將5本書分成3組，若分成1、1、3的三組，有種分組方法，若分成1、2、2的三組，有種分組方法，則有10+15=25種分組方法；②將分好的三組全排列，對應(yīng)3名學(xué)生，有A=6種情況，則有25×6=150種分法.例10．有6本不同的書，在下列不同的條件下，各有多少種不同的分法？（2）分成三組，一組4本，另外兩組各1本；（3）甲得1本，乙得1本，丙得4本.【解析】（1）先將6本不同的書分成1本，2本，3本共3組，有CCC種，再將3組分配給3人有A種，故共有CCCA=360種；（2）只需從6本中選4本一組，其余2本為2組，即C=15種；（3）分步處理，先從從6本中選4本給丙，其余2本分給甲乙各一本，即CA=30種.例111）3個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，一共有多少種不同的放法？（2）3個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，恰有2個空盒的放法共有多少種？【解析】（1）根據(jù)題意，3個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，每個小球有4種放法，則3個小球有4×4×4=64種不同的放法；（2）根據(jù)題意，分2步分析：①將3個小球分成2組，有C=3種分組方法，②在4個盒子中任選2個，分別放入分好組的兩組小球，有A=12種選法，則恰有2個空盒的放法有3×12=36種.例12．現(xiàn)有大小相同的7只球，其中2只不同的紅球，2只不同的白球，3只不同的黑球.（1）將這7只球排成一列且相同顏色的球必須排在一起，有多少種排列的方法?（請用數(shù)字作答）（2）將這7只球分成三堆，三堆的球數(shù)分別為：1,3,3，共有多少種分堆的方法?（請用數(shù)字作答）（3）現(xiàn)取4只球，求各種顏色的球都必須取到的概率請用數(shù)字作答）【解析】（1）7只球排成一列且相同顏色的球必須排在一起，共有AAAA=144種方法；（2）將這7只球分成三堆，三堆的球數(shù)分別為：1,3,3，共有種分法；（3）當(dāng)取出2個紅球，1個的白球，1個的黑球時，p1=當(dāng)取出1個紅球，2個白球，1個黑球時，p2=當(dāng)取出1個紅球，1個白球，2個黑球時，p3=故各種顏色的球都必須取到的概率為.例13．現(xiàn)有7名師范大學(xué)應(yīng)屆畢業(yè)的免費師范生將被分配到育才中學(xué)、星云中學(xué)和明月灣中學(xué)任教.（1）若4人被分到育才中學(xué)，2人被分到星云中學(xué)，1人被分到明月灣中學(xué)，則有多少種不同的分配方案？（2）一所學(xué)校去4個人，另一所學(xué)校去2個人，剩下的一個學(xué)校去1個人，有多少種不同的分配方案？【解析】（1）根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①、在7人中選出4人，將其分到育才中學(xué)，有C=35種選法；②、在剩余3人中選出2人，將其分到星云中學(xué)，有C=3種選法；③、將剩下的1人分到明月灣中學(xué)，有1種情況，則一共有35×3=105種分配方案；（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、將7人分成3組，人數(shù)依次為4、2、1，有C×C×C=105種分組方法，②、將分好的三組全排列，對應(yīng)3個學(xué)校，有A=6種情況，則一共有105×6=630種分配方案.例14．如圖，從左到右有5個空格.（1）若向這5個格子填入0，1，2，3，4五個數(shù)，要求每個數(shù)都要用到，且第三個格子不能填0，則一共有多少不同的填法？（2）若給這5個空格涂上顏色，要求相鄰格子不同色，現(xiàn)有紅黃藍(lán)3顏色可供使用，問一共有多少不同的涂法？（3）若向這5個格子放入7個不同的小球，要求每個格子里都有球，問有多少種不同的放法？【解析】（2）根據(jù)乘法原理得到：共有3×2×2×2×2=48種涂法.（3）若分成2—2111的5組，則共有種分法；若分成31111的5組，則共有C種分法，故共有=16800種放法.例15．學(xué)校安排5名學(xué)生到3家公司實習(xí)，要求每個公司至少有1名學(xué)生，則有種不同的排法.【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①先將5名學(xué)生分成3組，若分成1、1、3的三組，有種分組方法，若分成1、2、2的三組，有種分組方法，則有10+15=25種分組方法；