自動控制理論期末復(fù)習

第二章第三章第四章第五章第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型1、傳遞函數(shù)（定義、性質(zhì)、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)）2、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖（動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的建立、等效變換、化簡）3、梅遜公式4、反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)、誤差傳遞函數(shù)多個輸入時總輸出和總誤差以及相應(yīng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)列寫微分方程組，消去中間變量，得到輸入輸出的關(guān)系式傳遞函數(shù)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖（框圖）等效變換梅遜公式開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)誤差傳遞函數(shù)多個輸入時總輸出和總誤差以及相應(yīng)的傳遞函數(shù)零初始條件拉氏變換例1 求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例2r（t）、n（t）分別為給定輸入和擾動輸入，c（t）為輸出，其他為中間變量

框圖的等效變換和化簡

遵循的原則：轉(zhuǎn)換前后保持信號的“等效性”。

分兩類：1、環(huán)節(jié)的合并（串聯(lián)、并聯(lián)、反饋）

2、信號的分支點或相加點的移動

一般化簡步驟：a、先將能合并的環(huán)節(jié)合并，b、適當移動分支點或相加點，使其能再進行環(huán)節(jié)的合并分支點和相加點的移動規(guī)則總結(jié)分支點：前移，“乘”越過的傳函；

后移，“除”越過的傳函；相加點：前移，“除”越過的傳函；

后移，“乘”越過的傳函。負號在支路上的移動G(s)H(s)E(s)B(s)R(s)C(s)例3

簡化下圖所示多回路系統(tǒng)，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)R(s)C(s)分析

這是一個沒有交叉現(xiàn)象的多環(huán)系統(tǒng)，內(nèi)回路稱為局部反饋回路，外回路稱為主反饋回路。簡化時不需要將分支點和相加點作前后移動?？砂春唵未?、并聯(lián)和反饋連接的簡化規(guī)則，從內(nèi)部開始，由內(nèi)向外逐步簡化。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)C(s)(a)(c)G6(s)R(s)C(s)(b)G1(s)G6(s)R(s)C(s)例4

用框圖等效變換法求取如下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

-解.方框圖變換,原方框圖可變換為分支點前乘后除分支點前乘后除分支點前乘后除加并聯(lián)相加點前除后乘梅遜公式輸入與輸出兩個節(jié)點間的總傳輸（或叫總增益），可用下面的梅遜公式來求取：式中

n：前向通路總條數(shù)

Pk：第k條前向通路的傳遞函數(shù)△：特征式△k：在Δ中除去與第k條前向通路相接觸的各回路的傳遞函數(shù)（即將其置0），稱為第k條前向通路特征式的余因子∑La：所有回路的傳遞函數(shù)之和∑LbLc：兩兩互不接觸回路的傳遞函數(shù)乘積之和∑LdLeLf：三個互不接觸回路的傳遞函數(shù)乘積之和

解題步驟：一、先分析系統(tǒng)有幾個前向通道幾個回路，分別寫出它們的傳遞函數(shù)；二、看系統(tǒng)是否有互不接觸的回路，是否存在前向通道和回路互不接觸，從而確定特征式和余因子式；三、利用梅遜公式計算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例5用梅遜公式求其傳遞函數(shù)分析：2前5回環(huán)一、系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)定義

反饋信號B(s)與偏差信號E(s)之比，稱為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，（簡稱開環(huán)傳遞函數(shù)）。G(s)H(s)R(s)C(s)E(s)B(s)G

(s)=B(s)/E(s)=G(s)H(s)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)二、閉環(huán)傳遞函數(shù)

1.r(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令n(t)=0r(t)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為：G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)B(s)N(s)C(s)(a)G1(s)H(s)G2(s)R(s)B(s)CR(s)(b)ER(s)在r(t)作用下系統(tǒng)的誤差輸出為

在r(t)作用下系統(tǒng)的輸出為

2.擾動n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令r(t)=0

C(s)系統(tǒng)輸出為：G1(s)H(s)R(s)E(s)N(s)G2(s)系統(tǒng)誤差輸出為：G1(s)G2(s)H(s)Cn(s)N(s)En(s)-1擾動誤差傳遞函數(shù)為：3、給定輸入和擾動輸入信號同時作用下的輸出系統(tǒng)總的輸出C(s)為系統(tǒng)總的誤差輸出E(s)為常用的單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系例6 求對應(yīng)框圖的各類傳遞函數(shù)第三章時域分析法1、時域性能指標2、一階系統(tǒng)的時域分析（簡單）3、二階系統(tǒng)的時域分析（欠阻尼狀態(tài)下的暫態(tài)指標）4、高階系統(tǒng)的時域分析5、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析（勞斯判據(jù)及其特殊情況）6、穩(wěn)態(tài)特性分析（給定及擾動輸入作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差）開環(huán)傳遞函數(shù)暫態(tài)性能指標（利用公式）閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程式勞斯判據(jù)穩(wěn)定性終值定理靜態(tài)誤差系數(shù)法框圖（二階系統(tǒng)）給定信號作用下擾動信號作用下定義法（終值定理）階躍響應(yīng)的時域性能指標

時域中評價系統(tǒng)的暫態(tài)性能，通常以零初始條件下單位階躍輸入信號的暫態(tài)響應(yīng)為依據(jù)。1.延遲時間td（DelayTime）

：輸出響應(yīng)第一次達到穩(wěn)態(tài)值50%所需的時間。2.上升時間tr（RiseTime）

：響應(yīng)第一次達到穩(wěn)態(tài)值c（∞）的時間。無超調(diào)時為響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值的10%到90%的時間。3.峰值時間tp（PeakTime）：響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值c（∞）達到第一個峰值（最大超調(diào)）的時間。tr0.1C(∞)0.9C(∞)4.調(diào)節(jié)時間ts（SettlingTime）

：響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差達到允許范圍，并維持在此范圍內(nèi)所需的最小時間。通常，該偏差范圍稱作誤差帶，一般取穩(wěn)態(tài)值c（∞）的2%或5%，用符號△表示，即:△=2%或△=5%5.最大超調(diào)量響應(yīng)的最大值超過穩(wěn)態(tài)值c(∞)的數(shù)，常用百分數(shù)表示，又稱百分比超調(diào)，即

最大超調(diào)量（MaximumOvershoot）

穩(wěn)態(tài)性能指標穩(wěn)態(tài)誤差ess：對單位負反饋系統(tǒng)，當時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)對輸入信號響應(yīng)的實際值與期望值[即輸入量]之差的極限值，定義為穩(wěn)態(tài)誤差，即

穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的唯一指標，它反映系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)輸入信號的（穩(wěn)態(tài)）精度。

在上述幾項指標中，峰值時間tp、上升時間tr和延遲時間td均表征系統(tǒng)響應(yīng)初始階段的快慢；調(diào)節(jié)時間ts表征系統(tǒng)過渡過程（暫態(tài)過程）的持續(xù)時間，從總體上反映了系統(tǒng)的快速性；而超調(diào)量Mp標志暫態(tài)過程的穩(wěn)定性；穩(wěn)態(tài)誤差反映系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)輸入信號的最終精度。

可用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

其中：為無阻尼自然振蕩角頻率，為阻尼比，是二階系統(tǒng)兩個重要參數(shù)，系統(tǒng)響應(yīng)特性完全由這兩個參數(shù)決定。

二階系統(tǒng)的時域分析特征根一對實部為負的共軛復(fù)數(shù)根(1)欠阻尼狀態(tài)(2)臨界阻尼狀態(tài)兩個相等的負實根（3）過阻尼狀態(tài)兩個不相等的負實根(4)無阻尼狀態(tài)一對純虛根系統(tǒng)的特征方程為：ζ值越小振蕩性越強；ζ值越大振蕩性越弱

在欠阻尼情況下二階系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標

系統(tǒng)在欠阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)為C(t)上升時間峰值時間調(diào)節(jié)時間誤差帶穩(wěn)態(tài)誤差01.0t控制系統(tǒng)性能指標超調(diào)量C(∞)

(1)上升時間

(2)峰值時間

(3)超調(diào)量

(4)調(diào)節(jié)時間例1：如圖所示的單位反饋隨動系統(tǒng)，K=16，T=0.25s。試求（1）特征參數(shù)ζ和ωn；（2）計算Mp和ts；

解（1）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

（2）例2單位反饋的二階系統(tǒng)，其單位階躍輸入下的響應(yīng)曲線如下圖示：1、求系統(tǒng)的阻尼比、無阻尼自振頻率2、確定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)勞斯(Routh)穩(wěn)定判據(jù)

系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是其特征方程的各項系數(shù)均為正，即

根據(jù)必要條件，在判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，可事先檢查系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是否都大于零，若有任何系數(shù)是負數(shù)或等于零，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但是，當特征方程滿足穩(wěn)定的必要條件時，并不意味著系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，為了進一步確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以使用勞斯判據(jù)。勞斯穩(wěn)定判據(jù)（1）勞斯表第一列所有系數(shù)均不為零的情況

如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,且不穩(wěn)定根（在s平面右半部分）的個數(shù)等于勞斯表中第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。(2)勞斯表某行的第一列系數(shù)等于零，而其余各項不全為零的情況

當勞斯表某一行的第一列系數(shù)為零，而其余項不為零或不全為零，可用一個很小的正數(shù)代替第一列的零項，然后按照通常方法計算勞斯表中的其余項。

若勞斯表第一列中系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。如果第一列上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號相同，則表示該方程中有一對共軛虛根存在，屬于臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，也屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。例如，，等等。顯然，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。此時，為了確定根的分布情況，可按下列步驟處理：(3)勞斯表某行所有系數(shù)均為零的情況

如果勞斯表中某一行各項為零，這說明在S平面內(nèi)存在大小相等符號相反的實根和（或）共軛虛根，或共軛復(fù)根。這樣的系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。

利用該行上面一行的系數(shù)構(gòu)造輔助方程。

求輔助方程對s的導(dǎo)數(shù)，將其系數(shù)代替原全部為零的行，繼續(xù)計算勞斯表。

特征方程中大小相等符號相反的根可由輔助方程求得，且其根的數(shù)目總是偶數(shù)

。

穩(wěn)態(tài)誤差

穩(wěn)態(tài)誤差的定義

穩(wěn)定的系統(tǒng)，其誤差的終值稱為穩(wěn)態(tài)誤差，記作ess，用式子表示為給定輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差的計算兩種計算穩(wěn)態(tài)誤差的方法：1、定義法

2、穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)法1、定義法利用穩(wěn)態(tài)誤差的公式（不計擾動輸入的影響:N(s)=0）E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)（1）系統(tǒng)的分類（系統(tǒng)類型）

根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分個數(shù)，將系統(tǒng)分為幾種不同類型。把系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)表示成時間常數(shù)形式（尾1型）

K為系統(tǒng)的開環(huán)增益，ν為開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù),通常又稱為系統(tǒng)的無差度階數(shù)，并將系統(tǒng)按無差度階數(shù)進行分類。

ν=0，1，2時，系統(tǒng)分別稱為0型、Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)。

2、靜態(tài)誤差系數(shù)法（2）

階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差令

稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。穩(wěn)態(tài)誤差可表示為因此給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)。對Ⅰ型系統(tǒng)及Ⅰ型以上的系統(tǒng)ν=1，2，······，Kp=∞，ess=0。

對于階躍輸入r（t）=A*1（t），R(s)=A/s,求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為對于0型系統(tǒng)，（3）斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差令稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為

因此，在單位斜坡輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于速度誤差系數(shù)。對0型系統(tǒng)ν=0，Kv=0，ess=∞對Ⅰ型系統(tǒng)ν=1，Kv=K，ess=A/Kv=A/K對Ⅱ型或高于Ⅱ型系統(tǒng)ν=2，3，······，Kv=∞，ess=0對于斜坡輸入r（t）=At，R(s)=A/s2，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為穩(wěn)態(tài)誤差可表示為（4）拋物線輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差令稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。對0型系統(tǒng)ν=0，Ka=0，ess=∞對Ⅰ型系統(tǒng)ν=1，Ka

=0，ess=∞對Ⅱ型系統(tǒng)ν=2，Ka=K，ess=A/K對Ⅲ型或高于Ⅲ型系統(tǒng)ν=3，4,······，Ka=∞，ess

=0對于拋物線輸入r（t）=At2/2，R(s)=A/s3，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

穩(wěn)態(tài)誤差可表示為

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

系統(tǒng)型號

誤差系數(shù)Kp

Kv

Ka

單位階躍輸入

單位速度輸入單位加速度輸入

1.穩(wěn)態(tài)誤差與輸入、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關(guān).2.減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法：

a、增加開環(huán)放大系數(shù)K；b、提高系統(tǒng)的型號數(shù);（五）典型信號合成輸入

典型信號合成輸入時，穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)分