小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)專(zhuān)題訓(xùn)練

第1講數(shù)的認(rèn)識(shí)

一'夯實(shí)基礎(chǔ)

1.數(shù)的意義

（4）百分?jǐn)?shù)

百分?jǐn)?shù)后面不帶計(jì)量單位。

二'典型例題

數(shù)的認(rèn)識(shí)課堂過(guò)關(guān)卷

一、細(xì)心填空

1.用3個(gè)0和3個(gè)6組成一個(gè)六位數(shù)，只讀一個(gè)零的最大六位數(shù)是

（）;讀兩個(gè)零的六位數(shù)是（）；一個(gè)零也不讀的最小六

位數(shù)是（）.

2.一個(gè)三位小數(shù)，四舍五入后得4.80,這個(gè)三位小數(shù)最大是（）,最小是（）o

3.若被減數(shù)、減數(shù)與差這三個(gè)數(shù)的和為36,那么被減數(shù)為（）。

314

4.把0.35,—,—,34%,—從大到小排序（）。

8311

5.某班男生人數(shù)是女生的2士，女生人數(shù)占全班人數(shù)的（）%

3

6.甲數(shù)比乙數(shù)多25%,則乙數(shù)比甲數(shù)少（）%。

7.一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子比分母少20,約分后是32,這個(gè)分?jǐn)?shù)是（）?

7

21

8.寫(xiě)出三個(gè)比三小，而比上大的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是（）、（）、（）.

33

9.m+—中有（）個(gè)，。

99

10.有一個(gè)最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，分子和分母的積是36,這個(gè)分?jǐn)?shù)最大是（）。

2,、/、

11.A+B=60,A+B=-,A=（）,B=（）。

3

12.（）+（（填兩個(gè)分母小于12的分?jǐn)?shù)）廠(chǎng)與+六=1（填兩個(gè)不同的整

數(shù)）。

21

13.一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，若分子加上1,可以約簡(jiǎn)為一，若分子減去一，可化簡(jiǎn)成一，

32

這個(gè)分?jǐn)?shù)是（

14.修一段600米長(zhǎng)的路，甲隊(duì)單獨(dú)修8天完成，乙隊(duì)單獨(dú)修10天完成。兩隊(duì)合修

9

（）天完成它的—。

10

15.一種商品，先提價(jià)20%,又降價(jià)20%后售價(jià)為96元，原價(jià)為（）元。

16.甲、乙兩個(gè)數(shù)的差是35.4,甲、乙兩個(gè)數(shù)的比是5：2,這兩個(gè)數(shù)的和是（）。

17.有甲、乙、丙三種，甲種鹽水含鹽量為4%,乙種鹽水含鹽量為5%,丙種鹽水

含鹽量為6%。現(xiàn)在要用這三種鹽水中的一種來(lái)加水稀釋?zhuān)玫胶}量為2%的鹽水

60千克。如果這項(xiàng)工作由你來(lái)做，你打算用（）種鹽水，?。ǎ┣Э?，

加水（）千克。

18.[x]表示取數(shù)x的整數(shù)部分，比如[13.58]=13。若x=8.34,則[x]+[2x]+[3x]=

（）o

二、選擇

1.最大的小數(shù)單位與最小的質(zhì)數(shù)相差（）。

A.1.1B.1.9C.0.9D.0.1

2.3.999保留兩位小數(shù)是（）。

A.3.99B,4.0C.4.00D.3.90

3.下列四個(gè)數(shù)中，最大的是（）o

?2008

A.101%B.0.9C.-----D.1

2009

4.平均每小時(shí)有36至45人乘坐游覽車(chē)，那么3小時(shí)中有人乘坐游覽車(chē)。

A.少于100B.100與150之間C.150與200之間D.200與250之間

5.小明所在班級(jí)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)是98分，小強(qiáng)所在班級(jí)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)是96分，

小明考試得分比小強(qiáng)的得分（）。

A.高B.低C.一樣高D.無(wú)法確定

6.一次數(shù)學(xué)考試，5名同學(xué)的分?jǐn)?shù)從小到大排列是74分、82分、a分、88分、92

分，他們的平均分可能是（）。

A.75B.84C.86D.93

3

1.一的分子加上6,如果要使這個(gè)分?jǐn)?shù)的大小不變，分母應(yīng)該（）

10

A.加上20B.加上6C.擴(kuò)大2倍D.增加3倍

8.書(shū)店以50元賣(mài)出兩套不同的書(shū)，一套賺10%,一套虧本10%,書(shū)店是（）

A.虧本B.賺錢(qián)C.不虧也不賺

9.把1克鹽放入100克水中，鹽與鹽水的比是（）。

A.1：99B.1：100C.1：101D.100：101

10.甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)所存煤的數(shù)量相同，如果把甲倉(cāng)煤的調(diào)入乙倉(cāng),，這時(shí)甲倉(cāng)中

4

的煤的數(shù)量比乙倉(cāng)少（）o

A.50%B.40%C.25%

三、星級(jí)挑戰(zhàn)

★I.財(cái)會(huì)室會(huì)計(jì)結(jié)賬時(shí)，發(fā)現(xiàn)財(cái)面多出32.13元錢(qián)，后來(lái)發(fā)現(xiàn)是把一筆錢(qián)的小數(shù)點(diǎn)

點(diǎn)錯(cuò)了一位，原來(lái)這筆錢(qián)是多少元？

★★2.暑假期間，明明和亮亮去敬老院照顧老人。7月13日他們都去了敬老院，

并約好明明每?jī)商烊ヒ淮危亮撩?天去一次。

(1)7月份，他們最后一次同去敬老院的日子是()。

(2)從7月13日到8月31日，他們一起去敬老院的情況有()次。

第2講數(shù)的整除

一'夯實(shí)基礎(chǔ)

整數(shù)a除以整數(shù)b(bWO),除得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)a能被

b整除，也可以說(shuō)b能整除a。如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么a就叫做b的倍數(shù)，b

就叫做a的因數(shù)。

能被2整除的數(shù)叫偶數(shù)。也就是個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)是偶數(shù)。不能被

2整除的數(shù)叫奇數(shù)。也就是個(gè)位上是1,3,5,7,9的數(shù)是奇數(shù)。

一個(gè)數(shù)如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。一個(gè)數(shù)除了1和它本

身，還有別的因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。

每個(gè)合數(shù)都可以寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，這幾個(gè)質(zhì)數(shù)都叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因

數(shù)。把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。公因數(shù)只有1的

兩個(gè)數(shù)或幾個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。

幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)，叫做最大公因

數(shù)。幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的一個(gè)叫做這個(gè)數(shù)的最

小公倍數(shù)。

二、典型例題

例3.同學(xué)們?cè)诓賵?chǎng)上列隊(duì)做體操，要求每行站的人數(shù)相等，當(dāng)他們站成10行、15

行、18行、24行時(shí)，都能剛好站成一個(gè)長(zhǎng)方形隊(duì)伍，操場(chǎng)上同學(xué)最少是多少人？

分析：題目要求的是“最少”為多少人，可知操場(chǎng)上的同學(xué)數(shù)量正好是10、15、

18、和24的最小公倍數(shù)。

解：

210151824

3515912

55534

1134

10、15、18和24的最小公倍數(shù)是:2x3x5xlxlx3x4=360

答：操場(chǎng)上的同學(xué)最少是360人。

數(shù)的整除課堂過(guò)關(guān)卷

一、填空

1.在1至20的自然數(shù)中，（）既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)；（）既是奇數(shù)又是合數(shù)。

2.一個(gè)數(shù)，如果用2、3、5去除，正好都能整除，這個(gè)數(shù)最小是（）,用一個(gè)

數(shù)去除30、40、60正好都能整除，這個(gè)數(shù)最大是（）。

3.8（）5（）同時(shí)是2,3,5的倍數(shù)，則這個(gè)四位數(shù)為（）。

4.一個(gè)五位數(shù)7口354,如果這個(gè)數(shù)能同時(shí)被2、3、5整除，那么口代表的數(shù)字是

（）,△代表的數(shù)字是（）。

5.從0、5、8、7中選擇三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)同時(shí)能被2、3、5整除的最大三位數(shù)，

這個(gè)三位數(shù)是（）,把它分解質(zhì)因數(shù)是：（）。

6.把84分解質(zhì)因數(shù)：84=（）o72和54的最大公約數(shù)是（）。

7.12的約數(shù)有（），從中選出4個(gè)數(shù)組成一個(gè)比

例是（）。

8.公因數(shù)只有（）的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，自然數(shù)a和（）一定是互質(zhì)數(shù)。

9.a、b都是非零自然數(shù)，且a+b=c,c是自然數(shù)，（）是（）的因

數(shù)，a、b的最大公因數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。

10.A、B分解質(zhì)因數(shù)后分別是：A=2x3x7,B=2x5x7?A、B最大公因數(shù)是（）,

最小公倍數(shù)是（）。

11.A=2x2x3,B=2xCx5,已知A、B兩數(shù)的最大公約數(shù)是6,那么C是（）,

A、B的最小公倍數(shù)是（）。

12.在括號(hào)里填上合適的質(zhì)數(shù)：（）+（）=21=（）x（

13.兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是2001,這兩個(gè)質(zhì)數(shù)和積是（）。

14.45與某數(shù)的最大公因數(shù)是15,最小公倍數(shù)是180,某數(shù)是（）。

15.已知兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是153,這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)是（）和（

二'解決問(wèn)題

1.有兩根繩子，第一根長(zhǎng)18米，第二根長(zhǎng)24米，要把它們剪成同樣長(zhǎng)短的跳繩，

而且不能有剩余，每根跳繩最長(zhǎng)多少米？一共可剪成幾根跳繩？

2.一塊長(zhǎng)方形木板長(zhǎng)20分米，寬16分米。要鋸成相同的正方形木板，要求正方形

木板的面積盡量大，而且原來(lái)木板沒(méi)有剩余，可以鋸成多少塊？每塊正方形木板的

面積是多少平方分米？

3.汽車(chē)站有開(kāi)住甲、乙、丙三地的汽車(chē)，到甲地的汽車(chē)每隔15分鐘開(kāi)出一輛；到

乙地的汽車(chē)每隔27分鐘開(kāi)出-一輛；到丙地的汽車(chē)每隔36分鐘開(kāi)出一輛。三路汽車(chē)

在同一時(shí)刻發(fā)車(chē)以后，至少需要經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，才能又在同一時(shí)刻發(fā)車(chē)？

三、星級(jí)挑戰(zhàn)

★1.有一行數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……，從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每個(gè)

數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和，在前100個(gè)數(shù)中，偶數(shù)有多少個(gè)？

★★2.有一堆蘋(píng)果，如果3個(gè)3個(gè)的數(shù)，最后余2個(gè)，如果5個(gè)5個(gè)的數(shù)，最后余

4個(gè)，如果7個(gè)7個(gè)的數(shù)，最后余6個(gè)，這堆蘋(píng)果最少有多少個(gè)？

第3講簡(jiǎn)便運(yùn)算(1)

一'夯實(shí)基礎(chǔ)

所謂簡(jiǎn)算，就是利用我們學(xué)過(guò)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)以及運(yùn)算技巧，來(lái)解決一

些用常規(guī)方法在短時(shí)間內(nèi)無(wú)法實(shí)現(xiàn)的運(yùn)算問(wèn)題。

簡(jiǎn)便運(yùn)算中常用的技巧有“拆”與“湊”，拆是指把一個(gè)數(shù)拆成的兩部分中含有一

個(gè)整十、整百、整千或者有利于簡(jiǎn)算的數(shù)，湊是指把幾個(gè)數(shù)湊成整十、整百、整千……

的數(shù)，或者把題目中的數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓?，運(yùn)用運(yùn)算定律或性質(zhì)再進(jìn)行簡(jiǎn)算。

讓我們先回憶一下基本的運(yùn)算法則和性質(zhì)：

乘法結(jié)合律：axbxc=ax(bxc)=(axe)xb

乘法分配律：ax(b+c)=axb+axcax(b——c)=axb——axc

二'典型例題

例1.(1)9999x7778+3333x6666(2)765x64x0.5x2.5x0,125

分析(一)：通過(guò)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)這道題中9999是3333的3倍,因此我們可以把3333

和6666分解后重組，即3333x3x2222=9999x2222這樣再利用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算。

解(一)：原式=9999x7778+3333x3x2222

=9999x7778+9999x2222

=(7778+2222)x9999

=99990000

分析(二)：我們知道0.5x2,2.5x4,0.125x8均可得到整數(shù)或整十?dāng)?shù)，從而使

問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，故可將64分解成2x4x8,再運(yùn)用乘法交換律、結(jié)合律等進(jìn)行計(jì)算。

解(二)：原式=765x(2x4x8)xO.5x2.5xO.125

=765x(2x0.5)x(4x2.5)x(8x0.125)

=765x1x10x1

=7650

例2.399.6x9-1998x0.8

分析：這道題我們仔細(xì)觀(guān)察兩個(gè)積的因數(shù)之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)減數(shù)的因數(shù)

1998是被減數(shù)因數(shù)399.6的5倍，因此我們根據(jù)積不變的規(guī)律將399.6x9改寫(xiě)成

(399.6x5)x(9+5),即1998x1.8,這樣再根據(jù)乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算。

解：原式=(399.6x5)x(9+5)-1998x0.8

=1998x1.8—1998x0.8

=1998義(1.8-0.8)

=1998x1

=1998

例3.654321x123456-654322x123455

分析：這道題通過(guò)觀(guān)察題中數(shù)的特點(diǎn)，可以看出被減數(shù)中的兩個(gè)因數(shù)分別比減

數(shù)中的兩個(gè)因數(shù)少1和多1,即654321比654322少1,123456比123455多1,我

們可以將被減數(shù)改寫(xiě)成(654321)x(123455+1),把減數(shù)改寫(xiě)成(654321+1)

xl23455,再利用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算。

解:原式=654321x(123455+1)一(654321+1)x123455

=654321x123455+654321—654321x123455-123455

=654321-123455

=530866

三'熟能生巧

1.(1)888x667+444x666(2)9999x1222—3333x666

2.(1)400.6x7-2003x0.4(2)239x7.2+956x8.2

3.(1)1989x1999—1988x2000(2)8642x2468-8644x2466

四、拓展演練

1.1234x4326+2468x2837

2.275x12+1650x23-3300x7.5

3.7654321x1234567-7654322x1234566

六、星級(jí)挑戰(zhàn)

★1.31+5+32+5+33+5+34+5

★★★2.3333x4+5555x5+7777x7

★★★3.99+99x99+99x99x99

★★★4.48.67x67+3.2x486.7+973.4x0.05

第4講簡(jiǎn)便運(yùn)算(2)

一'夯實(shí)基礎(chǔ)

在進(jìn)行分?jǐn)?shù)的運(yùn)算時(shí)，可以利用約分法將分?jǐn)?shù)形式中分子與分母同時(shí)擴(kuò)大或縮

小若干倍，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程；還可以運(yùn)用分?jǐn)?shù)拆分的方法使一些復(fù)雜的分?jǐn)?shù)數(shù)列

計(jì)算簡(jiǎn)便。同學(xué)們?cè)谶M(jìn)行分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)便運(yùn)算式，要靈活、巧妙的運(yùn)用簡(jiǎn)算方法。

讓我們先回憶一下基本的運(yùn)算法則和性質(zhì)：

乘法結(jié)合律：axbxc=ax(bxc)=(axe)xb

乘法分配律：ax(b+c)=axb+axcax(b—c)=axb—axe

111

拆分:—------——a_a

(n-l)nn-\n(n-k)nkn-kn

三'熟能生巧

362+548x361

(1)(2)+(-+-+-)

')362x548-1861179

四、拓展演練

,、113314

1.(1)123—+41—(2)—X2.84+3—+(l-xl.42)xl-

13394525

204+584x1991__1_

(2)(96-4-36—)+(322+12包)

1992x584-380一百73257325

3,▲+二+++……+

1x33x5我+春

★★★3?+++...+

2x4--4x6--6x8--------48x50

J7,911,1315

★★★4.1———?———?———

31220304256

第5講簡(jiǎn)便運(yùn)算(3)

一'夯實(shí)基礎(chǔ)

所謂簡(jiǎn)算，就是利用我們學(xué)過(guò)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)以及運(yùn)算技巧，來(lái)解決一

些用常規(guī)方法在短時(shí)間內(nèi)無(wú)法實(shí)現(xiàn)的運(yùn)算問(wèn)題。

簡(jiǎn)便運(yùn)算中常用的技巧有“拆”與“湊”，拆是指把一個(gè)數(shù)拆成的兩部分中含有一

個(gè)整十、整百、整千或者有利于簡(jiǎn)算的數(shù)，湊是指把幾個(gè)數(shù)湊成整十、整百、整千……

的數(shù)，或者把題目中的數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓?，運(yùn)用運(yùn)算定律或性質(zhì)再進(jìn)行簡(jiǎn)算。

讓我們先回憶一下基本的運(yùn)算法則和性質(zhì)：

等差數(shù)列的一些公式：

項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)一首項(xiàng))+公差+1

某項(xiàng)=首項(xiàng)+公差X(項(xiàng)數(shù)一1)

等差數(shù)列的求和公式：(首項(xiàng)+末項(xiàng))X項(xiàng)數(shù)+2

二、典型例題

例1.2+4+6+8...+198+200

分析：這是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的首項(xiàng)是2,末項(xiàng)是200。這個(gè)數(shù)列

的項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))+公差+1=(200-2)+2+1=100項(xiàng)，如何求和呢？我們先

用求平均數(shù)的方法：首、末兩項(xiàng)的平均數(shù)=(2+200)+2=101：第二項(xiàng)和倒數(shù)第二

項(xiàng)的平均數(shù)也是(4+98)+2=101……依次求平均數(shù)，共算了100次，把這100個(gè)

平均數(shù)加起來(lái)就是數(shù)列的和。即和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))+2x項(xiàng)數(shù)。

解:原式=(2+200)4-2x100=10100

彳列2.0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9+99999.9

分析：通過(guò)觀(guān)察我們可以發(fā)現(xiàn)題目中的6個(gè)加數(shù)都分別接近1、10、100、1000、

10000、100000這6個(gè)整數(shù)，都分別少0.1,因此我們可以把這6個(gè)加數(shù)分別看成1、

10、100、1000、10000、100000的整數(shù)，再?gòu)目偤椭袦p去6個(gè)0.1,使計(jì)算簡(jiǎn)便。

解：原式=1+10+100+1000+10000+100000-0.1x6

=111111-0.6=1111110.4

三'熟能生巧

1.1+3+5+7+...+65+67

2.9+99+999+9999+99999

3.1120x122112211221-1221x112011201120

四、拓展演練

1.(1)0.11+0.13+0.15+....+0,97+0.99

(2)8.9x0.2+8.8x0.2+8.7x0.2+……+8.1x0.2

2.(1)98+998+9998+99998+999998

(2)3.9+0.39+0.039+0.0039+0.00039

3.(1)1234x432143214321-4321x123412341234

(2)2002x60066006-3003x40044004

六、星級(jí)挑戰(zhàn)

★1.(1)438.9x5(2)47.26:5(3)574.62x25(4)14.758:0.25

★★2.(44332-443.32);(88664—886.64)

★★3.1.8+2.8+3.8+....+50.8

★★★4.2002-1999+1996-1993+1990-1987+...+16-13+10-7+4

第6講簡(jiǎn)易方程

一'夯實(shí)基礎(chǔ)

含有未知數(shù)的等式叫做方程，求方程的解的過(guò)程叫做解方程。解方程是列方程

解應(yīng)用題的基礎(chǔ)，解方程通常采用以下策略：

①對(duì)方程進(jìn)行觀(guān)察，能夠先計(jì)算的部分先進(jìn)行計(jì)算或合并，使其化簡(jiǎn)。

②把含有未知數(shù)的式子看做一個(gè)數(shù)，根據(jù)加、減、乘、除各部分的關(guān)系進(jìn)行化

簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化成熟悉的方程。再求方程的解。

③將方程的兩邊同時(shí)加上(或減去)一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，同時(shí)乘上(或除以)一個(gè)

適當(dāng)?shù)臄?shù)，使方程簡(jiǎn)化，從而求方程的解。

④重視檢驗(yàn)，確保所求的未知數(shù)的值是方程的解。

二'典型例題

例1.解方程4(x-2)+15=7x—20

分析：先運(yùn)用乘法分配律將其展開(kāi)，再運(yùn)用等式的基本性質(zhì)合并求解。

4(x-2)+15=7x-20

解：4x-8+15=7x-20

3x=27

x=9

經(jīng)檢驗(yàn)x=9是原方程的解。

例2.解方程x+2=(3x-10)例

分析：根據(jù)等式的基本性質(zhì)，將方程兩邊同乘2和5的最小公倍數(shù)，使方程轉(zhuǎn)

化為xx5=(3x—10)x2再求解。

x-?2=(3x-10)4-5

解：x^2xl0=(3x-10)4-5x10

xx5=(3x—10)x2

5x=6x-20

x—20=0

x=20

經(jīng)檢驗(yàn)x=20是原方程的解。

例3.解方程360?x-36OM.5x=6

分析：根據(jù)等式性質(zhì)，將方程左右兩邊同乘3x使方程轉(zhuǎn)化后再求解。

3604-x—3607.5x=6

解：1080-720=18x

18x=360

x=20

經(jīng)檢驗(yàn)x=20是原方程的解。

三'熟能生巧

1.①12—2(x-1)=4②5x+19=3(x+4)+15

2.①(2x+4)+18=28②(5.3x-5)K=x-8

3.07(x-3)=3(x+5)+4②x+x+3+2x-30=180

四、拓展演練

八2

1.①一(x+10)=6@8-4.5x=3-

52

①x+L"33

2.②-x+7.4=-x+9.2

26525

36.5x15

3.①一：18%----②

20xZ4-0i

五、舉一反三

六、星級(jí)挑戰(zhàn)

★1.解方程：13x—4(2x+5)=17(x-2)~4(2x~l)

★2.解方程：17(2-3x)-5(12-x)=8(1—7x)

_x+1x-3

★3.解方程：---------=2

35

12

★★4.解方程：—（x—5）=3——（X—5）

33

第7講定義新運(yùn)算

一'夯實(shí)基礎(chǔ)

同學(xué)們，我們都知道四則運(yùn)算包括加、減、乘、除，我們接觸到的運(yùn)算符號(hào)也

無(wú)外乎“+”、“一”、“X”、“+而在升學(xué)考試中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些嶄新的題目，

這種題目中又出現(xiàn)了新的運(yùn)算符號(hào)，如：。、※、◎……并賦予它們一種新的運(yùn)算

方法。這種運(yùn)算符號(hào)本身并不重要，重要的是在題目中，各種運(yùn)算符號(hào)規(guī)定了某種

運(yùn)算以及運(yùn)算順序。這種運(yùn)算非常有趣，同學(xué)們，你們想了解嗎？這一節(jié)我們就來(lái)

學(xué)習(xí)定義新運(yùn)算。

二'典型例題

例1.（1）a?b=a+b,求95的值。（2）定義新運(yùn)算"，mOn=m-?nx2.5o

求：①60.4。0.4的值是多少？②351。0.3的值是多少？

分析（1）：本題中的新運(yùn)算符號(hào)表示的是求前后兩個(gè)數(shù)的和，

也就是求9與5的和是多少。

解（1）:9?5=9+5=14

分析(2)：本題中新運(yùn)算的含義是求前后兩個(gè)數(shù)的商的2.5倍

是多少。

解(2)：①60.400.4=60.4+0.4x2.5=151x2.5=377.5

②35100.3=351^03x2.5=1170x2.5=2925

例2.對(duì)于任意兩個(gè)自然數(shù)，定義一種新運(yùn)算“*”，a*b=(a—b)+2,求34*(52*48)

值。

分析：新運(yùn)算“”的含義表示：求“*”前后兩數(shù)差的一半。本題在計(jì)算時(shí)，

要注意運(yùn)算順序，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的“52*48"，再用34與“52*48”的結(jié)果在進(jìn)行一

次這樣的運(yùn)算。

解：52*48=(52-48)+2=4+2=2

因此34*(52*48)=34*2=(34-2)+2=32+2=16。

例3.定義兩種新運(yùn)算和，對(duì)于任意兩個(gè)數(shù)x、y,規(guī)定xOy=x+5y,

x*y=(x—y)x2,求506+3.5*2.5的值。

分析：本題包含兩種新運(yùn)算，第一種新運(yùn)算表示求前面的數(shù)與后

面數(shù)的5倍的和是多少；第二種運(yùn)算“*”表示“*”前面的數(shù)減去“*”后面數(shù)的差

的2倍是多少。所以可以根據(jù)他們各自的含義分別求值再作和。

解：506=5+5x6=35

3.5*2.5=(3.5—2.5)x2=2

506+3.5*2.5=35+2=37

三'熟能生巧

1.(1)a*b=a—b,求45.38.9的值。

(2)x、y是兩個(gè)自然數(shù)，規(guī)定xG)y=(x+y)xlO,求3。8的值。

2.定義一種新運(yùn)算，規(guī)定A?B=2x(A+B),求0.6?(5.4?5)的值。

3.定義兩種新運(yùn)算和“?”，已知a+b=a+2+4.1xb,a?b=8+3(a—b),求6^1

+4?2的值。

四、拓展演練

1.(1)定義一種新運(yùn)算"※"，規(guī)定AXB=4A+3B—5,求(1)6X9(2)9X6。

(2)定義一種新運(yùn)算規(guī)定a*b=(3x+y)+2+x,

求：①1()*15②15*10

2.(1)定義新運(yùn)算"&",規(guī)定m&n=(m—n)+2,那么86(12&2)與12占

(882)是否相等？如果不相等，哪個(gè)大？

(2)定義一種新運(yùn)算“新”，已知a十b=5a+10b,求3十7+5十8的值。

3.定義兩種運(yùn)算“(S)”和，對(duì)于任意兩個(gè)整數(shù)a,b,a0b=a+b-l,

aG)b=axb—1。計(jì)算4。［(608)?(305)］。

五、舉一反三

六、星級(jí)挑戰(zhàn)

★1.定義新運(yùn)算“X”，若2※3=2+3+4,5派4=5+6+7+8。

求(3X2)的值。

★★2.設(shè)a、b表示兩個(gè)數(shù)如果a2b,規(guī)定：a?b=3xa-2xb；如果aVb,規(guī)定:

a?b=(a+b)x3。求：①9?6②8@8③2?7

★★3.設(shè)a、b表示兩個(gè)數(shù)，aOb=axb—a+b,已知a07=37,求a的值。

★★★4.設(shè)a、b表示兩個(gè)整數(shù)，規(guī)定：a?b=a+(a+1)+(a+2)+(a+3)

4——卜(a+b-1),求l@100的值。

第8講巧求面積（1）

一'夯實(shí)基礎(chǔ)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓等基

本圖形面積的計(jì)算方法?常用的面積公式如下：

正方形邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng)S=a2

長(zhǎng)方形長(zhǎng)X寬S=ab

平行四邊形底X1同S=ah

三角形底x高:2S=ah4-2

梯形（上底+下底）X高+2S=(a+b)h：2

在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，我們除了掌握切分、割補(bǔ)、做差等一些基本的幾何解題思

想外，還要掌握等量代換、妙用同底等一些有難度的解題方法。

二'典型例題

例I.兩個(gè)相同的直角三角形如圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的

面積。

分析：陰影部分是一個(gè)高為3厘米的直角梯形，然而A

它的上底與下底都不知道，因而不能直接求出它的面積。因

為三角形ABC與三角形DEF完全相同，都減去三角形DOC\

后，根據(jù)差不變性質(zhì)，差應(yīng)相等，即陰影部分與直角梯形~

OEFC面積相等，所以求陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為求直角梯Eb---------10-------

形OEFC的面積。

解：直角梯形OEFC的上底為：10—3=7（厘米），

直角梯形OEFC的面積為（7+10）x2+2=17（平方厘米）。

答：陰影部分的面積是17平方厘米。

例2.如圖，平行四邊形ABCD的邊BC長(zhǎng)10厘米，直角三角形ECB的直角邊EC

長(zhǎng)8厘米。已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10平方厘米，求平行四

邊形ABCD的面積。

分析：因?yàn)殛幱安糠直热切蜤FG的面積大10平方厘E

米，都加上梯形FGCB后，根據(jù)差不變性質(zhì)，所得的兩個(gè)新/]

圖形的面積差不變，即平行四邊行ABCD比直角三角形ECBAi/A

的面積大10平方厘米。I

解：三角形EFG的面積為：10x8+2=40（平方厘米）。L/

平行四邊形ABCD的面積為：40+10=50（平方厘米）。----------此

答：平行四邊形的面積為50平方厘米。

例3.如圖，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分別為AB和AC

的中點(diǎn).那么三角形EBF的面積是多少平方厘米？

分析：由“E、F分別為AB和AC的中點(diǎn)”可知，AF=CF,AE=BE,所以三

角形ABF和三角形CBF是同底等高的三角形，面積相等；三角形AEF和三角形

BEF面積也相等，故有S.FT?EBF--S>S：MABF---SABC

2

解：S:用柩ABC=8X6+2=24（平方厘米）

S：角般ABF=—SABC=—x24=12（平方厘米）

=（平方厘米）

SMEBF=—S-MABF—X12=6h........*

DB

答：三角形EBF的面積是6平方厘米。

三、熟能生巧

1.如圖，兩個(gè)相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面積。（單位：厘米）

2.如圖，正方形ABC。邊長(zhǎng)是10厘米，長(zhǎng)方形EFG”的長(zhǎng)為8厘米，寬為5厘米。

陰影部分甲與陰影部分乙的面積差是多少平方厘米?

3.如圖，在三角形ABC中，DC=2BD,CE=3AE,陰影部分的面積是20平方厘米,

求三角形ABC的面積。

四、拓展演練

1.如圖，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫(huà)了一些直線(xiàn)，已知邊上有三塊面積分別是13,35,49,那么圖

中陰影部分的面積是多少？（單位：平方厘米）

2.如圖，梯形的下底為8厘米，高為4厘米。陰影部分的面積是多少平方厘米?

3.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=24cm,BC=26cm,E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是

AB、CD的四等分點(diǎn)，H為AD上任意一點(diǎn)，求陰影部分面積。

D

G

C

五、星級(jí)挑戰(zhàn)

★1.如圖，梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形

BOC的面積比三角形AOD的面積大多少平方厘米？

★★2.有兩種自然的放法將正方形內(nèi)接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的

面積是36平方厘米，兩個(gè)正方形的面積分別是多少？

第9講組合圖形面積（2）

一'夯實(shí)基礎(chǔ)

不規(guī)則圖形常由圓、扇形、弓形與三角形、正方形、長(zhǎng)方形等規(guī)則圖形組合而

成的，計(jì)算時(shí)常常要變動(dòng)圖形的位置或?qū)D形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指睢⑵囱a(bǔ)、旋轉(zhuǎn)，使之

轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的和、差關(guān)系，有時(shí)要和“容斥原理”合并使用才能解決。

計(jì)算圓的周長(zhǎng)與面積的主要公式有：

（1）圓的周長(zhǎng)二冗x直徑=2nx半徑，即：C=nd=2nr

nTTY

（2）中心角為n的弧的長(zhǎng)度=nxjix（半徑）X80,即：仁——

180

（3）圓的面積二兀x（半徑尸，即：s二na

n勿」I

（4）中心角為n的扇形的面積二二nx五x（半徑）2：360,即：S=-----=1=—lr

3602

二'典型例題

例1.如下圖（1）,在一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的正方形內(nèi)，以正方形的三條邊為直徑

向內(nèi)作三個(gè)半圓，求陰影部分的面積。

分析（一）：把上圖靠下邊的半圓換成（面積與它相等）右邊的半圓，得到圖

（2）。這時(shí)，右圖中陰影部分與不含陰影部分的大小形狀完全一樣，因此它們的面

積相等。所以上圖中陰影部分的面積等于正方形面積的一半。

分析（二）：將上半個(gè)“弧邊三角形”從中間切開(kāi)，分別補(bǔ)貼在下半圓的上側(cè)邊

上，如圖（3）所示。陰影部分的面積是正方形面積的一半。

分析（三）：將下面的半圓從中間切開(kāi)，分別貼補(bǔ)在上面弧邊三角形的兩側(cè)，

如圖（4）所示。陰影部分的面積是正方形的一半。

解：4x4+2=16（平方厘米）

例2.如下圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4厘米，分別以B、D為圓心以4厘米

為半徑在正方形內(nèi)畫(huà)圓，求陰影部分面積。

分析：陰影部分的面積等于兩個(gè)扇形的面積之和減去正方形的面積。

解：S陰影二s扇形ACB+S扇形ACD—S正方形ABCD

71~r

=—XAB2X2-AB2

4

7T

=—x4*o-x2—42

4

314-2

?16x—......=9.12（平方厘米）。

2

例3.如下圖，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別是10厘米和6厘米，求陰影部分的面積。

分析：陰影部分的面積，等于底為16、高為6的直角三角形面積與圖中（I）

的面積之差。而圖中（I）的面積等于邊長(zhǎng)為6的

正方形面積減去L的以6為半徑的圓的面積。

4

解：S陰影=S通形ACD-（S正方形BCDE-s扇形EBD）

11

=—x（10+6）x6-（6x6——x%x6~?）

24

=40.26（平方厘米）°

三、熟能生巧

1.如下圖，圓的直徑為8cm,求陰影部分的面積。

2.如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm,

分別以A、B為圓心，以AC、BC為半徑在三角形ABC

內(nèi)畫(huà)弧，求陰影部分的面積。

3.如下圖，直角三角形ABC中，AB是圓的直徑，且AB=20

厘米，如果陰影（1）的面積比陰影（2）的面積大7平方

厘米，求BC長(zhǎng)。

四、拓展演練

1.如下圖，三個(gè)同心圓的半徑分別是2、6、10,求圖中陰影

部分面積占大圓面積的百分之幾？

2.如下圖，大正方形的邊長(zhǎng)為6厘米，小正方形的邊長(zhǎng)為4厘米。求陰影部分的面

積。A

3.如圖，已知直角梯形的上底、下底與高之比是1：2：1,和為24厘米。圖

中陰影甲的面積比陰影乙的面積少多少？

甲

乙

五、星級(jí)挑戰(zhàn)

★1.如下圖，將直徑AB為3厘米的半圓繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，此時(shí)AB到達(dá)AC

的位置，求陰影部分的面積（取n=3.14）。

★★2.求圖中的陰影部分的面積。（單位：厘米）

第10講長(zhǎng)方體的表面積和體積

一'夯實(shí)基礎(chǔ)

長(zhǎng)方體和正方體六個(gè)面的總面積，叫做它們的表面積。長(zhǎng)方體的六個(gè)面分為上

下、左右、前后三組，每組對(duì)面的大小、形狀完全相同；正方體的六個(gè)面是大小相

等的六個(gè)正方形。

長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)X寬+寬x高+長(zhǎng)x高）X2

正方體的表面積=棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)X6

物體占空間的大小，叫做物體的體積。容積是指所能容納物體的體積。一個(gè)物

體的容積計(jì)算方法與體積計(jì)算方法相同，不過(guò)體積是從物體外面測(cè)量出長(zhǎng)度再進(jìn)行

計(jì)算，容積是從物體內(nèi)部測(cè)量出長(zhǎng)度再進(jìn)行計(jì)算。通常物體的體積要大于容積，當(dāng)

厚度忽略不計(jì)時(shí)，容積就等于體積。

長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)'寬'高

正方體體積=棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)

二'典型例題

例1.一塊長(zhǎng)方形鐵皮長(zhǎng)24厘米，四角剪去邊長(zhǎng)3厘米的正方形后，然后通過(guò)折疊、

焊接，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體鐵盒，鐵盒的容積是486立方厘米。求原來(lái)長(zhǎng)方形鐵

皮的面積。

分析：要求原來(lái)長(zhǎng)方形鐵皮的面積，關(guān)鍵要能求出原長(zhǎng)

方形鐵皮的寬。根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖，結(jié)合空間相像，可

知做成的長(zhǎng)方體鐵盒的長(zhǎng)是24—3x2=18(厘米)，高就是剪

下的小正方形的邊長(zhǎng)，也就是3厘米。又知鐵盒的容積是

486厘米，這樣就可以算出鐵盒的寬。鐵盒寬并不是原來(lái)長(zhǎng)

方形鐵皮的寬，再加上3x2=6(厘米)才是原鐵皮的寬。

解：長(zhǎng)方體鐵盒的長(zhǎng)：24—3x2=18(厘米)

長(zhǎng)方體鐵盒的寬：486+3+18=9(厘米)

長(zhǎng)方形鐵皮的寬：9+3x2=15(厘米)

長(zhǎng)方形鐵皮的面積：24x15=360(平方厘米)

答：原長(zhǎng)方形鐵皮的面積是360平方厘米。

例2.如右圖，用3條絲帶捆扎一個(gè)禮盒，第一條絲帶長(zhǎng)235cm,第二條絲帶長(zhǎng)445cm,

第三條絲帶長(zhǎng)515cm,每條絲帶的接頭處的長(zhǎng)度均為5cm,求禮盒的體積。

分析：從圖中可以看出，在捆扎禮盒的絲帶

中最長(zhǎng)的一根去掉接頭的5cm,剩余部分的長(zhǎng)度

等于長(zhǎng)方體長(zhǎng)與寬和的2倍。

解：長(zhǎng)+寬=(515-5)+2=255(cm)

長(zhǎng)+高=(445—5)+2=220(cm)

寬+高=(235-5)+2=115(cm)

長(zhǎng)+寬+高=(255+220+115)+2=295

長(zhǎng)：295-115=180(cm)

寬：295-220=75(cm)

高：295—255=40(cm)

禮盒體積：180x75x40=540000(cm3)=540(dm3)

答：這個(gè)禮盒的體積是540立方分米。

例3.如圖(1),一個(gè)密封的長(zhǎng)方體玻璃缸長(zhǎng)15厘米，水深3厘米。如果把玻璃

缸按圖(2)放置，里面的水深是多少厘米？(玻璃的厚度忽略不計(jì))

分析：長(zhǎng)方體玻璃缸中的水的體積沒(méi)有變化，長(zhǎng)也沒(méi)有變化，只是寬和水深相

應(yīng)的變化了。

解：設(shè)容器側(cè)放后水深是x厘米

15x8x3=15x4xx

x=6

答：如果把玻璃缸按圖（2）放置，里面的水深是6厘米。

三'熟能生巧

1.在一個(gè)棱長(zhǎng)為5分米的正方體上放一個(gè)棱長(zhǎng)為4分米的小正方體（下圖），求這

個(gè)立體圖形的表面積。

2.一個(gè)密閉的長(zhǎng)方體水箱，長(zhǎng)10分米，寬8分米，高6分米,

若將長(zhǎng)方體的長(zhǎng)邊豎立起來(lái)，水深會(huì)是多少分米？

3.右圖是由18個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積是

多少？

四、拓展演練

1.如圖所示是一個(gè)棱長(zhǎng)12厘米的正方體，從前住后,有一個(gè)“十”字型的洞?！笆?/p>

字最短邊長(zhǎng)都是2厘米，求它的表面積和體積？

2.如圖，在一塊平坦的水泥地上，用磚和水泥砌成一個(gè)長(zhǎng)方體的水泥池，墻厚為

10厘米（底面利用原有的水泥地）。這個(gè)水泥池的體積是多少？

2

3.圖中的一些積木是由16塊棱長(zhǎng)為2厘米的正方體堆成的，它的表面積是多少平

方厘米?

五、星級(jí)挑戰(zhàn)

★1.一個(gè)長(zhǎng)方形水箱，從里面量長(zhǎng)40厘米，寬30厘米，深35厘米。原來(lái)水深10

厘米，放進(jìn)一個(gè)棱長(zhǎng)20厘米的正方形鐵塊后，鐵塊的頂面仍然高于水面，這時(shí)水面

高多少厘米？

★★2.有一個(gè)棱長(zhǎng)是5厘米的正方體木塊，它的表面涂上紅油漆。將這個(gè)大正方體

木塊鋸成棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體，散亂為一堆。在這些小正方體木塊中，三面涂

紅漆的有幾塊？?jī)擅嫱考t漆、一面涂紅漆的各有幾塊？沒(méi)有涂上紅漆的有幾塊？

第11講圓柱體的表面積

一'夯實(shí)基礎(chǔ)

圓柱體是常見(jiàn)的立體圖形.它的表面是由一個(gè)側(cè)面（展開(kāi)是長(zhǎng)方形）和兩個(gè)相

同的圓形底面組成。圓柱從中間豎切成兩個(gè)半圓柱后，切面是一個(gè)長(zhǎng)方形；從中間

橫切成兩個(gè)圓柱后，切面是一個(gè)圓形。

圓柱的表面積=側(cè)面積+兩個(gè)底面積，即

S?=SM（+2S底,S&=2nrh+2nr2

二'典型例題

例1.把一段長(zhǎng)20分米的圓柱形圓木沿底面直徑剖成相同的兩塊,表面積增加了320

平方分米，原來(lái)這段圓柱形圓木的表面積是多少平方分米？

分析：按這種方法，截面是相同的兩個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱的高，寬是

圓柱的底面直徑。

解：長(zhǎng)方形面積是320+2=160（平方分米）；

底面直徑：160+20=8（分米）；

側(cè)面積:3.14x8x20=502.4（平方分米）；

底面積：3.14x（8+2）2=50.24（平方分米）；

表面積：502.4+50.24=552.64（平方分米）

答：原來(lái)這段圓柱形圓木的表面積是552.64平方分米。

例2.有一個(gè)圓柱體的零件，高10厘米，底面直徑是6厘米，零件的一端有一個(gè)圓

柱形的直孔，如下圖。圓孔的直徑是4厘米，孔深5厘米。如果將這個(gè)零件接觸空

氣部分涂上防銹漆，一共需涂多少平方厘米？

分析：解題時(shí)，既要注意圓柱體的外表面積，又要注意圓孔內(nèi)的表面，同時(shí)還

要注意到零件的底面是圓環(huán)。由于打孔的深度與柱體的長(zhǎng)度不相同，所以在孔內(nèi)還

要有一個(gè)小圓的底面需要涂油漆，這一點(diǎn)不能忽略。但是，我們可以把小圓的底面

與圓環(huán)拼成一個(gè)圓，即原圓柱體的底面。

解：3.14x（6+2）2x2+3.14x6x10+3.14x4x5

=3.14x（18+60+20）

=3.14x98

=307.72（平方厘米）.

答：涂油漆面積是307.72平方厘米。

例3.在一棱長(zhǎng)為4厘米的正方體的各個(gè)面的中心位置上，各打一個(gè)直徑為2厘米,

深為1厘米的圓柱形的孔，求打孔后它的表面積是多少？

分析：因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為4厘米，而孔深只有1厘米，所以正方體沒(méi)有被打

透。這一來(lái)打孔后所得幾何體的表面積，等于原來(lái)正方體的表面積，再加上六個(gè)完

全一樣的圓柱的側(cè)面積。

解：4x4x6+2^x1x6=133.68（平方厘米）

答:打孔后它的表面積是133.68平方厘米。

三'熟能生巧

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