新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)2-2 抽象函數(shù)及其應(yīng)用（8題型 滿(mǎn)分技巧 限時(shí)檢測(cè)）（原卷版）

重難點(diǎn)2-2抽象函數(shù)及其應(yīng)用8大題型抽象函數(shù)指沒(méi)有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一個(gè)函數(shù)，由抽象函數(shù)構(gòu)成的數(shù)學(xué)問(wèn)題叫做抽象函數(shù)問(wèn)題。抽象函數(shù)問(wèn)題能綜合考查學(xué)生對(duì)函數(shù)概念和各種性質(zhì)的理解，但由于其表現(xiàn)形式的抽象性和多變性，學(xué)生往往無(wú)從下手，這類(lèi)問(wèn)題是高考的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)之一?！绢}型1抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題】滿(mǎn)分技巧求抽象函數(shù)的定義域①已知的定義域，求的定義域：若的定義域?yàn)?，則中，解得的取值范圍即為的定義域;②已知的定義域，求的定義域：若的定義域?yàn)?，則由確定的范圍，即為的定義域；③已知的定義域，求的定義域:可先由定義域求得的定義域，再由的定義域求得的定義域；④運(yùn)算型的抽象函數(shù)求由有限個(gè)抽象函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的函數(shù)的定義域，其解法是：先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集.注意：求抽象函數(shù)的定義域，要明確定義域指的是的取值范圍，同一個(gè)下括號(hào)內(nèi)的范圍是一樣的.【例1】（2023·江蘇徐州·高三沛縣湖西中學(xué)學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【變式1-1】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【變式1-2】（2023·新疆阿克蘇·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是.【變式1-3】（2023·福建莆田·高三莆田一中校考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?【變式1-4】（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第三十二中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是．【題型2抽象函數(shù)的求值問(wèn)題】滿(mǎn)分技巧以抽象函數(shù)為載體的求值問(wèn)題的常見(jiàn)形式，是給出函數(shù)滿(mǎn)足的特殊條件，指定求出某處的函數(shù)值或某抽象代數(shù)式的值。常用賦值法來(lái)解決，要從以下方面考慮：令等特殊值求抽象函數(shù)的函數(shù)值?！纠?】（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，，，且，則（）A．1B．2C．D．【變式2-1】（2023·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，且，則（）A．0B．2022C．2023D．2024【變式2-2】（2023·貴州遵義·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿(mǎn)足，則（）A．9B．10C．11D．12【變式2-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域是，且對(duì)任意正實(shí)數(shù)，y，都有恒成立，已知，則.【變式2-4】（2023·湖北·高三襄陽(yáng)五中校聯(lián)考期中）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、，函數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系式，則．【題型3抽象函數(shù)的解析式問(wèn)題】滿(mǎn)分技巧①換元法：用中間變量表示原自變量x的代數(shù)式，從而求出f(x)；②湊合法：在已知的條件下，把并湊成以表示的代數(shù)式，再利用代換即可求；③待定系數(shù)法：已知函數(shù)類(lèi)型,設(shè)定函數(shù)關(guān)系式,再由已知條件，求出出關(guān)系式中的未知系數(shù)；④利用函數(shù)性質(zhì)法：主要利用函數(shù)的奇偶性，求分段函數(shù)的解析式；⑤賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出的表達(dá)式；⑥方程組法：一般等號(hào)左邊有兩個(gè)抽象函數(shù)(如)，將左邊的兩個(gè)抽象函數(shù)看成兩個(gè)變量，變換變量構(gòu)造一個(gè)方程，與原方程組成一個(gè)方程組，利用消元法求的解析式.【例3】（2023·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）寫(xiě)出滿(mǎn)足的函數(shù)的解析式．【變式3-1】（2024·海南?？凇じ咭缓Ｄ现袑W(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)镽，且，，請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)（答案不唯一）．【變式3-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足，并且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有，求的解析式.【變式3-3】（2023·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)是R上的函數(shù)，，并且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有，求.【題型4抽象函數(shù)的值域問(wèn)題】【例4】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域?yàn)椋咀兪?-1】（2022·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t在區(qū)間上的值域是.【變式4-2】（2022·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，且的定義域?yàn)?，，值域?yàn)?，，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?，則（）A．B．，C．，D．，【變式4-3】（2023·湖南·高三祁東縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)的定義域和值域均為，則（）A．函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)的定義域?yàn)镃．函數(shù)的值域?yàn)镈．函數(shù)的值域?yàn)椤咀兪?-4】（2022·全國(guó)·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，值域?yàn)?，則下列四個(gè)函數(shù)①；②；③；④，其中值域也為的函數(shù)個(gè)數(shù)是（）A．B．C．D．【題型5抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題】滿(mǎn)分技巧判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）湊：湊定義或湊已知,利用定義或已知條件得出結(jié)論;（2）賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試.①若給出的是“和型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或;②若給出的是“積型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或.【例5】（2023·河北·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)對(duì)于任意x，，總有，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為．【變式5-1】（2023·江西上饒·高三校考階段練習(xí)）（多選）已知定義在的函數(shù)滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，恒有，則（）A．B．函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)D．【變式5-2】（2023·江西上饒·高三婺源縣天佑中學(xué)校考期中）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：①對(duì)，，；②當(dāng)時(shí)，；③.（1）求，判斷并證明的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式5-3】（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？家荒＃┖瘮?shù)的定義域?yàn)?，?duì)于，，，且當(dāng)時(shí)，．（1）證明：為減函數(shù)；（2）若，求不等式的解集．【變式5-4】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有成立，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值;（2）判斷的單調(diào)性，并證明;（3）解關(guān)于的不等式:.【題型6抽象函數(shù)的奇偶性問(wèn)題】滿(mǎn)分技巧奇偶性：抽象函數(shù)奇偶性判定的根本依據(jù)是函數(shù)奇偶性的定義，判斷和的關(guān)系.【例6】（2023·福建寧德·福鼎市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）已知是定義在上不恒為0的偶函數(shù)，是定義在上不恒為0的奇函數(shù)，則（）A．為奇函數(shù)B．為奇函數(shù)C．為偶函數(shù)D．為偶函數(shù)【變式6-1】（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知，都是定義在上且不恒為0的函數(shù)，則（）A．為偶函數(shù)B．為奇函數(shù)C．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)D．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則為非奇非偶函數(shù)【變式6-2】（2023·江蘇揚(yáng)州·高三儀征市第二中學(xué)?？计谥校┮阎?，且，則是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．不能確定【變式6-3】（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，則（）A．不是奇函數(shù)B．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)C．是奇函數(shù)D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)【變式6-4】（2023·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，，，且．（1）求，，的值；（2）判斷的奇偶性，并證明．【題型7抽象函數(shù)的周期性問(wèn)題】滿(mǎn)分技巧函數(shù)周期性的常用結(jié)論（是不為0的常數(shù)）（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則；（5）若，則；（6）若，則（）；【例7】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都滿(mǎn)足且，，當(dāng)時(shí)，，則=（）A．B．C．D．【變式7-1】（2023·重慶開(kāi)州·高三重慶市開(kāi)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，若，則（）A．B．C．0D．1【變式7-2】（2024·福建廈門(mén)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，，若，則（）A．B．C．2D．4【變式7-3】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則（）A．2024B．C．D．0【變式7-4】（2023·陜西咸陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則.【題型8抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題】滿(mǎn)分技巧1、軸對(duì)稱(chēng)：（1）函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)（2）函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).2、中心對(duì)稱(chēng)：（1）函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；（2）函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)3、函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系：（1）若為奇函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)；（2）若為偶函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)；（3）若為奇函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱(chēng)；（4）若為偶函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱(chēng).【例8】（2023·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，函數(shù)(不是常函數(shù)）滿(mǎn)足，則（）A．有對(duì)稱(chēng)中心B．有對(duì)稱(chēng)軸C．是增函數(shù)D．是減函數(shù)【變式8-1】（2023·四川南充·高三南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且與曲線交于點(diǎn)，，…，，則為（）A．B．C．D．【變式8-2】（2024·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考一模）（多選）已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且和都是奇函數(shù)，且，則下列說(shuō)法正確的有（）A．關(guān)于對(duì)稱(chēng)B．關(guān)于對(duì)稱(chēng)C．是周期函數(shù)D．【變式8-3】（2024·河南漯河·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，，則（）A．B．C．D．【變式8-4】（2024·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考一模）（多選）已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且與均為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法一定正確的有（）A．關(guān)于對(duì)稱(chēng)B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．D．（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2022·河南鄭州·高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．2．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．3．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列函數(shù)中，滿(mǎn)足的為（）A．B．C．D．4．（2022·福建廈門(mén)·高三廈門(mén)雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿(mǎn)足：，，則（）A．B．C．D．5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)定義域?yàn)椋瑢?duì)，恒有，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（）A． B．C．D．若，則周期為6．（2023·福建·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)任意非零實(shí)數(shù)，都有.則函數(shù)是（）A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既奇又偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)7．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則（）A．在單調(diào)遞減B．在單調(diào)遞減C．在單調(diào)遞減D．在單調(diào)遞減8．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）（多選）若函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則（）A．B．為偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D．9．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃ǘ噙x）已知不恒為0的函數(shù)，滿(mǎn)足，都有．則（）A．B．C．為奇函數(shù)D．為偶函數(shù)10．（2024·廣東汕頭·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：，，且當(dāng)時(shí)，，若，則（）A． B．在上單調(diào)遞減C．D．11．（2023·廣東深圳·高三深