新高考數(shù)學二輪復習熱點7-2 橢圓及其應用（8題型+滿分技巧+限時檢測）（原卷版）

熱點7-2橢圓及其應用橢圓是圓錐曲線中的重要內容，是高考命題的重點?？荚囍兄饕疾闄E圓的概念性質等基礎知識，選擇、填空、解答題都會出現(xiàn)。與向量等知識結合綜合考查也是高考命題的一個趨勢，在突破重難點上要注意?；A、拔高、分層訓練，更為重要的是掌握圓錐曲線的解題的思想方法，才能做到靈活應對?！绢}型1橢圓的定義及概念辨析】滿分技巧在橢圓的定義中條件SKIPIF1<0不能少，這是根據三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來的．否則：①當SKIPIF1<0時，其軌跡為線段SKIPIF1<0；②當SKIPIF1<0時，其軌跡不存在．【例1】（2021·高二課時練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個定點，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正常數(shù)），動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則動點SKIPIF1<0的軌跡是（）A．橢圓B．線段C．橢圓或線段D．直線【變式1-1】（2023·貴州黔東南·高三?？茧A段練習）已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上關于原點對稱的兩點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．1B．2C．4D．5【變式1-2】（2023·陜西西安·?？既＃┮阎獧E圓SKIPIF1<0的兩焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一點且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1-3】（2023·江西南昌·高三南昌市第三中學校考階段練習）一動圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切，與圓SKIPIF1<0內切，則動圓圓心SKIPIF1<0點的軌跡方程為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1-4】（2023·全國·高三專題練習）點M在橢圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是橢圓的左焦點，O為坐標原點，N是SKIPIF1<0中點，且ON長度是4，則SKIPIF1<0的長度是__________．【題型2利用定義求距離和差最值】滿分技巧利用橢圓定義求距離和差的最值的兩種方法：（1）抓住|PF1|與|PF2|之和為定值，可聯(lián)系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；（2）利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a轉化或變形，借助三角形性質求最值【例2】（2023·江西撫州·高三樂安縣第二中學?？计谥校┮阎猄KIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左焦點，SKIPIF1<0是橢圓上一動點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式2-1】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考三模）已知SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上一點，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．5B．6C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式2-2】（2023·全國·高二課時練習）已知點P為橢圓SKIPIF1<0上任意一點，點M、N分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上的點，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．4B．5C．6D．7【變式2-3】（2022·全國·高三校聯(lián)考階段練習）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點Q的坐標為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式2-4】（2023·河北唐山·開灤第二中學?？家荒＃┮阎獧E圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，點P在橢圓C上，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為.【題型3橢圓標準方程的求解】滿分技巧1、利用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟（1）定位：確定焦點在那個坐標軸上；（2）定量：依據條件及SKIPIF1<0確定SKIPIF1<0的值；（3）寫出標準方程；2、求橢圓方程時，若沒有指明焦點位置，一般可設所求方程為SKIPIF1<0；3、當橢圓過兩定點時，常設橢圓方程為SKIPIF1<0，將點的坐標代入，解方程組求得系數(shù)?！纠?】（2022·湖北十堰·高三統(tǒng)考期末）已知曲線SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“曲線C是橢圓”的（）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【變式3-1】（2023·云南昆明·高三?？茧A段練習）已知方程SKIPIF1<0表示焦點在SKIPIF1<0軸上的橢圓，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式3-2】（2023·黑龍江佳木斯·高三?？奸_學考試）已知直線SKIPIF1<0經過焦點在坐標軸上的橢圓的兩個頂點，則該橢圓的方程為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式3-3】（2022·廣西桂林·高三?？茧A段練習）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0右焦點為SKIPIF1<0，其上下頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該橢圓的標準方程為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式3-4】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓SKIPIF1<0的左頂點為A，上頂點為B，左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交橢圓E于點P．若點A到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周長為16，則橢圓E的標準方程為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【題型4橢圓的焦點三角形問題】滿分技巧一般利用橢圓的定義、余弦定理和完全平方公式等知識，建立AF1+AF2，AF12性質1：AF1+拓展：?AF1?ABF1性質2：4c【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上的點，SKIPIF1<0分別是橢圓的左、右焦點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為【變式4-1】（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預測）設SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點，點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【變式4-2】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）設SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的焦點，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式4-3】（2023·全國·模擬預測）已知橢圓SKIPIF1<0的上、下焦點分別為SKIPIF1<0，短半軸長為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交該橢圓于SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0的周長是SKIPIF1<0的周長的3倍，則SKIPIF1<0的周長為（）A．6B．5C．7D．9【變式4-4】（2023·河北秦皇島·高三校聯(lián)考開學考試）已知SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的兩個焦點，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0，則使SKIPIF1<0為直角三角形的點SKIPIF1<0有（）個A．2B．4C．6D．8【題型5求橢圓的離心率與范圍】滿分技巧1、求橢圓離心率的3種方法（1）直接求出a，c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a，c的值．（2）構造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關于a，c的二元齊次方程，然后轉化為關于離心率e的一元二次方程求解．（3）通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．2、求橢圓離心率范圍的2種方法（1）幾何法：利用橢圓的幾何性質，設P(x0，y0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點，則|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等關系，或者根據幾何圖形的臨界情況建立不等關系，適用于題設條件有明顯的幾何關系；（2）直接法：根據題目中給出的條件或根據已知條件得出不等關系，直接轉化為含有a，b，c的不等關系式，適用于題設條件直接有不等關系?！纠?】（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓C：SKIPIF1<0的左右焦點為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，若滿足SKIPIF1<0成等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，則C的離心率為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式5-1】（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預測）己知SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0分別為其左右焦點，SKIPIF1<0為其右頂點，SKIPIF1<0為坐標原點，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為．【變式5-2】（2023·湖南·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，經過SKIPIF1<0的直線交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0為坐標原點，且SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為.【變式5-3】（2023·江蘇淮安·高三淮陰中學校聯(lián)考階段練習）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0為鈍角三角形，則離心率SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式5-4】（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓的左右焦點，P是橢圓上一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則橢圓離心率的取值范圍為．【題型6橢圓的中點弦問題】滿分技巧解決橢圓中點弦問題的兩種方法：1、根與系數(shù)關系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系以及中點坐標公式解決；2、點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系，具體如下：直線(不平行于軸)過橢圓()上兩點、，其中中點為，則有。證明：設、，則有，上式減下式得，∴，∴，∴。特殊的：直線(存在斜率)過橢圓()上兩點、，線段中點為，則有?！纠?】（2023·全國·模擬預測）已知O為坐標原點，橢圓C：SKIPIF1<0的右焦點為F，斜率為2的直線與橢圓C交于點A，B，且SKIPIF1<0，點D為線段AB的中點，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式6-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0外的一點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為坐標原點），過點SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【變式6-2】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C：SKIPIF1<0，若橢圓C上有不同的兩點關于直線SKIPIF1<0對稱，則實數(shù)m的取值范圍是.【變式6-3】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓C：SKIPIF1<0，圓O：SKIPIF1<0，直線l與圓O相切于第一象限的點A，與橢圓C交于P，Q兩點，與x軸正半軸交于點B．若SKIPIF1<0，則直線l的方程為．【題型7直線與橢圓相交弦長求解】滿分技巧求弦長的兩種方法：（1）交點法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求．（2）根與系數(shù)的關系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：【例7】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，焦距為SKIPIF1<0，斜率為SKIPIF1<0的直線l與橢圓SKIPIF1<0有兩個不同的交點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為.【變式7-1】（2023·全國·高三專題練習）過點SKIPIF1<0的直線l與橢圓SKIPIF1<0.交于A，B兩點，若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0（O為坐標原點），求直線l的方程.【變式7-2】（2023·江蘇徐州·高三統(tǒng)考期中）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且過點SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的標準方程；（2）過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，當SKIPIF1<0時，求直線SKIPIF1<0的方程.【變式7-3】（2023·寧夏吳忠·高三青銅峽市高級中學?？茧A段練習）已知橢圓的中心在原點，焦點在SKIPIF1<0軸上，離心率為SKIPIF1<0，焦距為2．（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓的左焦點SKIPIF1<0，且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓于A，SKIPIF1<0兩點，求SKIPIF1<0的面積．【變式7-4】（2023·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學校考階段練習）設橢圓SKIPIF1<0的左右頂點分別為SKIPIF1<0，左右焦點SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求橢圓方程．（2）若斜率為1的直線SKIPIF1<0交橢圓于A，B兩點，與以SKIPIF1<0為直徑的圓交于C，D兩點．若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程．【題型8直線與橢圓綜合問題】【例8】（2023·全國·模擬預測）已知圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，動圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0均相切，且一個內切、一個外切．（1）求動圓圓心SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程．（2）已知點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與軌跡SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，記直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點為SKIPIF1<0．試問：點SKIPIF1<0是否在一條定直線上？若在，求出該定直線；若不在，請說明理由．【變式8-1】（2023·貴州·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上三個不同的動點（點SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0軸上），滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的周長的比值為SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的離心率；（2）判斷SKIPIF1<0是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．【變式8-2】（2023·廣西南寧·統(tǒng)考模擬預測）已知平面上動點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0與到圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0的距離之和等于該圓的半徑.記SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0.（1）說明SKIPIF1<0是什么曲線，并求SKIPIF1<0的方程；（2）設SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上關于SKIPIF1<0軸對稱的不同兩點，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0異于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0為原點，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0，試問SKIPIF1<0是否為定值?若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由.【變式8-3】（2023·湖南長沙·湖南師大附中?？寄M預測）如圖，橢圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，橢圓C的左、右焦點分別為SKIPIF1<0．（1）過橢圓上一點P和原點O作直線l交圓O于M，N兩點，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）過圓O上任意點R引橢圓C的兩條切線，求證：兩條切線相互垂直．【變式8-4】（2023·全國·模擬預測）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上異于左、右頂點的動點，SKIPIF1<0的最小值為2，且SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程．（2）若圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的三邊都相切，判斷是否存在定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0為定值．若存在，求出點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標；若不存在，請說明理由．（建議用時：60分鐘）1．（2023·山東泰安·高三統(tǒng)考階段練習）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02．（2023·上海虹口·高三上外附中?？计谥校┤魴E圓SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0有相同的焦點，則實數(shù)a為（）A．1B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<03．（2023·陜西·高三校聯(lián)考階段練習）設橢圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的離心率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．1B．2C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）橢圓SKIPIF1<0上有兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為中心的正三角形，則橢圓離心率為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<05．（2023·陜西·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓SKIPIF1<0的兩條弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0（點SKIPIF1<0在第一象限），且SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．2B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<06．（2023·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習）從橢圓SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上方）向SKIPIF1<0軸作垂線，垂足恰好為左焦點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓與SKIPIF1<0軸正半軸的交點，SKIPIF1<0是橢圓與SKIPIF1<0軸正半軸的交點，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為坐標原點，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積比為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07．（2023·上海閔行·高三文來中學?？计谥校┰OSKIPIF1<0，SKIPIF1<0同時為橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點，設橢圓SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0在第一象限內交于點SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的離心率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標原點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<08．（2023·四川成都·高三石室中學校考期中）已知橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點分別為SKIPIF1<0SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0在第一象限的任意一點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內心，點SKIPIF1<0是坐標原點，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<09．（2023·山西大同·高二統(tǒng)考期中）（多選）已知曲線SKIPIF1<0，則（）A．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是圓B．當S