新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)8-2 概率與統(tǒng)計(jì)綜合（10題型 滿分技巧 限時(shí)檢測）（解析版）

熱點(diǎn)8-2概率與統(tǒng)計(jì)綜合概率統(tǒng)計(jì)專題相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)錯(cuò)綜復(fù)雜又環(huán)環(huán)相扣，在高考考查中一般情況會(huì)對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查。題量通常為“兩小一大”，有時(shí)也“三小一大”或“一小一大”；選擇題、填空題考查全面，解答題重點(diǎn)考查概率統(tǒng)計(jì)主干知識(shí)，以圖表信息、古典概型、常見概率分布，回歸分析，獨(dú)立性檢驗(yàn)、樣本估計(jì)總體、分布列和數(shù)學(xué)期望為主要考查內(nèi)容，關(guān)注學(xué)科知識(shí)的綜合性，常與分段函數(shù)、二次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、最值問題等相結(jié)合進(jìn)行綜合考查?！绢}型1古典概型的計(jì)算】滿分技巧古典概型中基本事件的探求方法1、列舉法：適合于基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出來的試驗(yàn)；2、列表法（坐標(biāo)法）：適合于從多個(gè)元素中選定兩個(gè)元素的試驗(yàn)；3、樹形圖法：適合于有順序的問題及較復(fù)雜問題中基本事件個(gè)數(shù)的探究；4、排列組合法：求較復(fù)雜試驗(yàn)中基本時(shí)間的個(gè)數(shù)時(shí)，可利用排列或組合的知識(shí).【例1】（2024·四川·校聯(lián)考一模）一次課外活動(dòng)中，某班60名同學(xué)均參加了羽毛球或乒乓球運(yùn)動(dòng)，其中37人參加了羽毛球運(yùn)動(dòng)，38人參加了乒乓球運(yùn)動(dòng)．若從該班隨機(jī)抽取一名同學(xué)，則該同學(xué)既參加了羽毛球運(yùn)動(dòng)又參加了乒乓球運(yùn)動(dòng)的概率為（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】依題意，該班學(xué)生中既參加了羽毛球運(yùn)動(dòng)又參加了乒乓球運(yùn)動(dòng)有：（名），故從該班隨機(jī)抽取一名同學(xué)，該同學(xué)既參加了羽毛球運(yùn)動(dòng)又參加了乒乓球運(yùn)動(dòng)的概率為，故選：A.【變式1-1】（2024·湖南岳陽·高三岳陽一中校考開學(xué)考試）四位同學(xué)乘同一列火車，火車有10節(jié)車廂，則至少有兩位同學(xué)上了同一節(jié)車廂的概率為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】四位同學(xué)乘同一列火車，則所有的基本事件有：個(gè)；設(shè)事件：“至少有兩位同學(xué)上了同一節(jié)車廂”，則事件表示：四位同學(xué)所在車廂都不相同；則事件包括的基本事件個(gè)數(shù)為：，事件包括的基本事件個(gè)數(shù)有：，故至少有兩位同學(xué)上了同一節(jié)車廂的概率.故選：C.【變式1-2】（2024·江蘇徐州·高三?？奸_學(xué)考試）今年暑期，《八角籠中》、《長安三萬里》、《封神榜》、《孤注一擲》引爆了電影市場，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這四部電影，若小明要看《長安三萬里》，則恰有兩人看同一部影片的概率為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分以下兩種情況討論：（1）小明和其中一人同時(shí)看《長安三萬里》，另外兩人看剩余三部電影中的兩部，此時(shí)，所求概率為；（2）觀看《長安三萬里》只有小明一人，只需將剩余三人分為兩組，再將這兩組人分配給兩部電影，此時(shí)，所求概率為.綜上所述，恰有兩人看同一部影片的概率為.故選：B.【變式1-3】（2022·河南·高三專題練習(xí)）“天問一號(hào)”中的天問是中國行星探測任務(wù)的名稱，它的名字起源于屈原的《天問》，想要表達(dá)的是中華民族對(duì)追求真理的執(zhí)著，對(duì)科技創(chuàng)新的不懈．中國行星探測任務(wù)被命名為“天問系列”是在2020年4月24日，首次火星探測任務(wù)的探測器則被命名為“天問一號(hào)”．2020年7月23日，中午12時(shí)41分，長征五號(hào)遙四運(yùn)載火箭托舉著我國首次火星探測任務(wù)“天問一號(hào)”探測器，在中國文昌航天發(fā)射場點(diǎn)火升空．若從“天，問，一，號(hào)”，這4個(gè)字中任取一個(gè)字，再從“4，24，7，23”這4個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)“系列組”，則該“系列組”中包含“天問一號(hào)”命名時(shí)間“4，24”或發(fā)射時(shí)間“7，23”的概率為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】所有“系列組”的不同情況有：(天，4，24)，(天，4，7)，(天，4，23)，(天，24，7)，(天，24，23)，(天，7，23)，(問，4，24)，(問，4，7)，(問，4，23)，(問，24，7)，(問，24，23)，(問，7，23)，(一，4，24)，(一，4，7)，(一，4，23)，(一，24，7)，(一，24，23)，(一，7，23)，(號(hào)，4，24)，(號(hào)，4，7)，(號(hào)，4，23)，(號(hào)，24，7)，(號(hào)，24，23)，(號(hào)，7，23)．共24種不同情況，其中包含命名時(shí)間“4，24”或發(fā)射時(shí)間“7，23”的不同情況有8種，故所求概率為：．故選：D．【變式1-4】（2024·廣東·高三統(tǒng)考期末）《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白點(diǎn)為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，已知3個(gè)數(shù)中至多有1個(gè)陰數(shù)，則取出的3個(gè)數(shù)之和是5的倍數(shù)的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖，白點(diǎn)為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)，陽數(shù)為，陰數(shù)為若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)且3個(gè)數(shù)中至多有1個(gè)陰數(shù)，基本事件總數(shù)為，取出的3個(gè)數(shù)之和是5的倍數(shù)，基本事件包，共有12個(gè)，取出的3個(gè)數(shù)之和是5的倍數(shù)的概率是.故選：A.【題型2隨機(jī)抽樣與計(jì)算】滿分技巧1、明確簡單隨機(jī)抽樣與分層抽樣的定義。2、分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)計(jì)算關(guān)系：（1）＝；（2）總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比．（3）樣本的平均數(shù)和各層的樣本平均數(shù)的關(guān)系為：＝＋＝＋.【例2】（2024·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）①植物根據(jù)植株的高度及分枝部位等可以分為喬木、灌木和草木三大類，某植物園需要對(duì)其園中的不同植物的干重（烘干后測定的質(zhì)量）進(jìn)行測量；②檢測員擬對(duì)一批新生產(chǎn)的1000箱牛奶抽取10箱進(jìn)行質(zhì)量檢測；上述兩項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用的抽樣方法是（）A．①用簡單隨機(jī)抽樣，②用分層隨機(jī)抽樣B．①用簡單隨機(jī)抽樣，②用簡單隨機(jī)抽樣C．①用分層隨機(jī)抽樣，②用簡單隨機(jī)抽樣D．①用分層隨機(jī)抽樣，②用分層隨機(jī)抽樣【答案】C【解析】①喬木、灌木、草木，分類明顯，可以采用分層隨機(jī)抽樣；②并未有明顯分層特點(diǎn)，且樣本容量較小，可以采用簡單隨機(jī)抽樣；故選：C.【變式2-1】（2024·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）用分層抽樣的方法從某社區(qū)的500名男居民和700名女居民中選取12人參與社區(qū)服務(wù)滿意度調(diào)研，則女居民比男居民多選?。ǎ〢．8人B．6人C．4人D．2人【答案】D【解析】由題可知，男居民選取人，女居民選取人，則女居民比男居民多選取2人.故選：D.【變式2-2】（2024·湖南長沙·長郡中學(xué)?？家荒＃榱肆私鈱W(xué)生們的身體狀況，某學(xué)校決定采用分層抽樣的方法，從高一?高二?高三三個(gè)年級(jí)共抽取100人進(jìn)行各項(xiàng)指標(biāo)測試.已知高三年級(jí)有500人，高二年級(jí)有700人，高一年級(jí)有800人，則高三年級(jí)抽取的人數(shù)為（）A．30B．25C．20D．15【答案】B【解析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知：高三年級(jí)抽取的人數(shù)為.故選：B【變式2-3】（2023·廣西·高三南寧三中校聯(lián)考階段練習(xí)）北京時(shí)間2023年10月31日8時(shí)11分，神舟十六號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，載人飛行任務(wù)取得圓滿成功．某高中學(xué)校在有120名同學(xué)的“航天”社團(tuán)中隨機(jī)抽取24名參加一個(gè)交流會(huì)，若按社團(tuán)中高一、高二、高三年級(jí)的成員人數(shù)比例分層隨機(jī)抽樣，則高一年級(jí)抽取6人，若按性別比例分層隨機(jī)抽樣，則女生抽取15人，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．24是樣本容量B．120名社團(tuán)成員中男生有50人C．高二與高三年級(jí)的社團(tuán)成員共有90人D．高一年級(jí)的社團(tuán)成員中女生最多有30人【答案】B【解析】對(duì)于A，由樣本容量定義知：樣本容量為，A正確；對(duì)于B，女生共有人，男生有人，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，高一年級(jí)的社團(tuán)成員有人，高二高三年級(jí)的社團(tuán)成員共有人，C正確；對(duì)于D，由C知：高一年級(jí)的社團(tuán)成員共人，高一年級(jí)的社團(tuán)成員中女生最多有人，正確．故選：B．【變式2-4】（2024·陜西·校聯(lián)考一模）我校高三年級(jí)為了學(xué)生某項(xiàng)身體指標(biāo)，利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)650名學(xué)生進(jìn)行抽樣，先將650進(jìn)行編號(hào)，001，002，，649，650．從中抽取50個(gè)樣本，下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第7個(gè)樣本編號(hào)是（）3221183429

7864540732

5242064438

1223435677

35789056428442125331

3457860736

2530073286

2345788907

23689608043256780843

6789535577

3489948375

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4577892345A．623B．328C．072D．457【答案】C【解析】從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，前7個(gè)數(shù)據(jù)分別是253，313，457，007，328，623，072．故選：C【題型3用樣本估計(jì)總體】滿分技巧樣本估計(jì)總體的常用結(jié)論：1、如果兩組數(shù)和的平均數(shù)分別是和，則一組數(shù)的平均數(shù)是；2、如果一組數(shù)的平均數(shù)為，則一組數(shù)的平均數(shù)為。3、如果一組數(shù)的平均數(shù)為，則一組數(shù)的平均數(shù)為4、如果一組數(shù)的方差為，則一組數(shù)的方差為；5、如果一組數(shù)的方差為，則一組數(shù)的方差為?！纠?】（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）歌唱比賽共有11位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績時(shí)，從11個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到9個(gè)有效評(píng)分.9個(gè)有效評(píng)分與11個(gè)原始評(píng)分相比，一定不變的數(shù)字特征是（）A．平均數(shù)B．極差C．方差D．中位數(shù)【答案】D【解析】設(shè)11位評(píng)委評(píng)分按從小到大排列為．則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，D正確．②原始平均數(shù)，后來平均數(shù)，平均數(shù)受極端值影響較大，與不一定相同，A不正確；③，由②易知，C不正確．④原極差，后來極差，可能相等可能變小，B不正確．故選：D.【變式3-1】（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為4，10，那么數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為（）A．，B．1，C．，D．，【答案】D【解析】設(shè)數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)和方差分別為和，則數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，方差為，得，，故選：D．【變式3-2】（2024·湖南長沙·長沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）現(xiàn)有隨機(jī)選出的20個(gè)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下，則（）7243954616673828282879195898102102108114120A．該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為102B．該組數(shù)據(jù)的極差為112C．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為87D．該組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為102【答案】D【解析】將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：7，8，24，39，54，61，66，73，82，82，82，87，91，95，98，102，102，108，114，120，對(duì)于A，出現(xiàn)次數(shù)最多的是82，所以眾數(shù)是82，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，極差為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，第10個(gè)數(shù)和第11個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，第16個(gè)數(shù)和第17個(gè)數(shù)的平均數(shù)為80%分位數(shù)，即，故D正確.故選：D.【變式3-3】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）某班學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)所需的時(shí)間的頻率分布直方圖如圖，為響應(yīng)國家減負(fù)政策，若每天作業(yè)布置量在此基礎(chǔ)上減少5分鐘，則減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的中位數(shù)為（）A．25B．30C．35D．40【答案】A【解析】由頻率分布直方圖可得：，解得，因?yàn)榈谝唤M的頻率為，第二組的頻率為，故中位數(shù)在第二組的中間，即中位數(shù)為（分鐘），又因?yàn)槊刻熳鳂I(yè)布置量在此基礎(chǔ)上減少5分鐘，所以減負(fù)后完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為（分鐘）.故選：A【變式3-4】（2024·四川·高三西充中學(xué)校聯(lián)考期末）下圖是2023年11月中國的10個(gè)城市地鐵運(yùn)營里程（單位：公里）及運(yùn)營線路條數(shù)的統(tǒng)計(jì)圖，下列判斷正確的是（）

A．這10個(gè)城市中北京的地鐵運(yùn)營里程最長且運(yùn)營線路條數(shù)最多B．這10個(gè)城市地鐵運(yùn)營里程的中位數(shù)是516公里C．這10個(gè)城市地鐵運(yùn)營線路條數(shù)的平均數(shù)為15.4D．這10城市地鐵運(yùn)營線路條數(shù)的極差是12【答案】C【解析】對(duì)于A，北京的地鐵運(yùn)營線路條數(shù)最多，而運(yùn)營里程最長的是上海，A錯(cuò)誤；于是B，地鐵運(yùn)營里程的中位數(shù)是公里，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，地鐵運(yùn)營線路條數(shù)的平均數(shù)為，C正確；對(duì)于D，地鐵運(yùn)營線路條數(shù)的極差是，D錯(cuò)誤.故選：C【題型4百分位數(shù)的計(jì)算】滿分技巧計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．第2步，計(jì)算i＝n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．【例4】（2024·廣東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）某班12名同學(xué)某次測試的數(shù)學(xué)成績（單位：分）分別為62，57，72，85，95，69，74，91，83，65，78，89，則這12名同學(xué)這次測試的數(shù)學(xué)成績的第60百分位數(shù)是（）A．74B．78C．83D．91【答案】C【解析】將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為57，62，65，69，72，74，78，83，85，89，91，95.因?yàn)椋赃@12名同學(xué)這次測試的數(shù)學(xué)成績的第60百分位數(shù)是83.故選：C.【變式4-1】（2024·重慶·高三西南大學(xué)附中校聯(lián)考開學(xué)考試）一個(gè)容量為10的樣本，其數(shù)據(jù)依次為：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）A．15B．16C．17D．18【答案】D【解析】將這些數(shù)從小到大重新排列后為：2，3，5，7，9，10，16，18，20，23，，則取從小到大排列后的第8個(gè)數(shù)，即該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為18.故選：D.【變式4-2】（2024·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知7個(gè)數(shù)據(jù)0，1，5，6，7，11，12，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為這組數(shù)據(jù)從小到大排列的第個(gè)數(shù)，即為，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為.故選：D【變式4-3】（2024·江西南昌·南昌二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）從某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中任意抽取12件，得到它們的質(zhì)量（單位：）如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，則這組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)不可能是（）A．8.75B．8.15C．9.9D．8.5【答案】C【解析】將這12個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排序得：7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，由，可知這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為，由，可知這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為，由，可知這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為，所以這組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)不可能是9.9.故選：C【變式4-4】（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知2024個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，記其上四分位數(shù)為，中位數(shù)為，第75分位數(shù)為，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)百分位數(shù)的概念可知，將這2024個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)從小到大排列后，其上四分位數(shù)即為第75分位數(shù)，故，由于這2024個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)最中間兩數(shù)為第1012和第1013個(gè)數(shù)，故中位數(shù)b為這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，又第50分位數(shù)也為第1012和第1013個(gè)數(shù)的平均數(shù)，故b即等于第50分位數(shù)，而第50分位數(shù)小于第75分位數(shù)，故，故選：C【題型5事件關(guān)系的判斷】滿分技巧判斷互斥、對(duì)立事件的兩種方法（1）定義法：判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．（2）集合法：①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測）同時(shí)拋擲兩顆骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，記“點(diǎn)數(shù)之和為5”是事件，“點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件，則（）A．為不可能事件B．與為互斥事件C．為必然事件D．與為對(duì)立事件【答案】B【解析】同時(shí)拋擲兩顆骰子，有36個(gè)結(jié)果，“點(diǎn)數(shù)之和為5”是事件有共有4種情況；“點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)”是事件有共有9種情況；對(duì)于選項(xiàng)A:表示“點(diǎn)數(shù)之和為5或是4的倍數(shù)”，不是不可能事件.故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：A與B不可能同時(shí)發(fā)生．故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：表示“點(diǎn)數(shù)之和為5且是4的倍數(shù)”，是不可能事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：與不能包含全部基本事件，故D錯(cuò)誤.故選:B．【變式5-1】（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊3次，則事件“至少有兩次中靶”的對(duì)立事件為（）A．至多有一次中靶B．至多有兩次中靶C．恰好有一次中靶D．三次都中靶【答案】A【解析】由題意，事件“至少有兩次中靶”的對(duì)立事件為“至多有一次中靶”.故選：A.【變式5-2】（2024·廣東湛江·統(tǒng)考一模）在一次考試中有一道4個(gè)選項(xiàng)的雙選題，其中B和C是正確選項(xiàng)，A和D是錯(cuò)誤選項(xiàng)，甲、乙兩名同學(xué)都完全不會(huì)這道題目，只能在4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選取兩個(gè)選項(xiàng)．設(shè)事件“甲、乙兩人所選選項(xiàng)恰有一個(gè)相同”，事件“甲、乙兩人所選選項(xiàng)完全不同”，事件“甲、乙兩人所選選項(xiàng)完全相同”，事件“甲、乙兩人均未選擇B選項(xiàng)”，則（）A．事件M與事件N相互獨(dú)立B．事件X與事件Y相互獨(dú)立C．事件M與事件Y相互獨(dú)立D．事件N與事件Y相互獨(dú)立【答案】C【解析】依題意甲、乙兩人所選選項(xiàng)有如下情形：①有一個(gè)選項(xiàng)相同，②兩個(gè)選項(xiàng)相同，③兩個(gè)選項(xiàng)不相同，所以，，，，因?yàn)槭录c事件互斥，所以，又，所以事件M與事件N不相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；由，則事件M與事件Y相互獨(dú)立，故C正確；因?yàn)槭录﨨與事件Y互斥，所以，又，所以事件N與事件Y不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：C．【變式5-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）從裝有3個(gè)黃球和4個(gè)藍(lán)球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么互斥不對(duì)立的事件是（）A．恰有一個(gè)黃球與恰有一個(gè)藍(lán)球B．至少有一個(gè)黃球與都是黃球C．至少有一個(gè)黃球與都是藍(lán)球D．至少有一個(gè)黃球與至少有一個(gè)藍(lán)球【答案】A【解析】從裝有3個(gè)黃球和4個(gè)藍(lán)球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，不同的取球情況共有以下4種：①3個(gè)球全是黃球；②2個(gè)黃球和1個(gè)藍(lán)球；③1個(gè)黃球2個(gè)藍(lán)球；④3個(gè)球全是藍(lán)球．對(duì)于A，恰有一個(gè)黃球是情況③，恰有一個(gè)藍(lán)球是情況②，∴恰有一個(gè)黃球與恰有一個(gè)藍(lán)球是互斥不對(duì)立的事件，故A正確；對(duì)于B，至少有一個(gè)黃球是情況①②③，都是黃球是情況①，∴至少有一個(gè)黃球與都是黃球能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，至少有一個(gè)黃球是情況①②③，都是藍(lán)球是情況④，∴至少有一個(gè)黃球與都是藍(lán)球是對(duì)立事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，至少有一個(gè)黃球是情況①②③，至少有一個(gè)藍(lán)球是情況②③④，∴至少有一個(gè)黃球與至少有一個(gè)藍(lán)球能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故D錯(cuò)誤．故選：A．【變式5-4】（2023·廣東惠州·高三?？茧A段練習(xí)）同時(shí)拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“”，事件“為奇數(shù)”，事件“”，則下列結(jié)論正確的是（）A．A與對(duì)立B．C．A與相互獨(dú)立D．與相互獨(dú)立【答案】C【解析】由題意可知：，對(duì)于選項(xiàng)A：事件“”，事件“為奇數(shù)”，例如，則，不為奇數(shù)，即A事件和事件可以同時(shí)不發(fā)生，所以A事件與事件不對(duì)立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：樣本空間共個(gè)樣本點(diǎn)，且，共個(gè)樣本點(diǎn)，所以，，共個(gè)樣本點(diǎn)，，，共個(gè)樣本點(diǎn)，，則，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以與不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋瑒t，且，可得，所以與相互獨(dú)立，故C正確．故選：C．【題型6線性回歸分析】滿分技巧線性回歸分析問題的類型及解題方法1、求線性回歸方程：（1）利用公式求出回歸系數(shù)，；（2）利用回歸直線過樣本中心點(diǎn)求系數(shù)；2、利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測：把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值；3、利用回歸直線判斷正、負(fù)相關(guān)：決定正相關(guān)函數(shù)負(fù)相關(guān)的系數(shù)是；4、回歸方程的擬合效果可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當(dāng)越接近1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)?！纠?】（2024·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選）已知變量之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且變量的數(shù)據(jù)如下表所示：5681214108651則下列說法正確的是（）A．變量之間負(fù)相關(guān)B．C．當(dāng)時(shí)，可估計(jì)的值為11D．當(dāng)時(shí)，殘差為【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由，可得變量之間負(fù)相關(guān)，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，將代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程，有，可得，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由上知，當(dāng)時(shí)，，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，殘差為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．【變式6-1】（2024·湖南·長沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）某騎行愛好者在專業(yè)人士指導(dǎo)下對(duì)近段時(shí)間騎行鍛煉情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，統(tǒng)計(jì)每次騎行期間的身體綜合指標(biāo)評(píng)分與騎行用時(shí)（單位：小時(shí)）如下表：身體綜合指標(biāo)評(píng)分12345用時(shí)小時(shí)）9.58.87.876.1由上表數(shù)據(jù)得到的正確結(jié)論是（）參考數(shù)據(jù)：參考公式：相關(guān)系數(shù).A．身體綜合指標(biāo)評(píng)分與騎行用時(shí)正相關(guān)B．身體綜合指標(biāo)評(píng)分與騎行用時(shí)的相關(guān)程度較弱C．身體綜合指標(biāo)評(píng)分與騎行用時(shí)的相關(guān)程度較強(qiáng)D．身體綜合指標(biāo)評(píng)分與騎行用時(shí)的關(guān)系不適合用線性回歸模型擬合【答案】C【解析】因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù).即相關(guān)系數(shù)近似為與負(fù)相關(guān)，且相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，所以選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C.【變式6-2】（2024·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）為研究某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積（單位：）與水生植物的株數(shù)（單位：株）之間的相關(guān)關(guān)系，收集了4組數(shù)據(jù)，用模型去擬合與的關(guān)系，設(shè)與的數(shù)據(jù)如表格所示：得到與的線性回歸方程，則（）346722.54.57A．-2B．-1C．D．【答案】C【解析】由已知可得，，，所以，有，解得，所以，，由，得，所以，，則.故選：C.【變式6-3】（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個(gè)行業(yè)，促進(jìn)了社會(huì)的快速發(fā)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因?yàn)閾碛懈偷娜斯こ杀?，正逐步取代傳統(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)計(jì)．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份編號(hào)123456銷售金額／萬元15.425.435.485.4155.4195.4若與的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問題：（1）試求變量與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；（2）試求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額．附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中，，樣本相關(guān)系數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，．【答案】（1）0.96；（2），219.4萬元【解析】（1），，所以.（2）由題意，所以，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，所以預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額為萬元.【變式6-4】（2024·廣東廣州·統(tǒng)考二模）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)植物覆蓋面積與某種野生動(dòng)物數(shù)量的關(guān)系，將其分成面積相近的若干個(gè)地塊，從這些地塊中隨機(jī)抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中，和，分別表示第個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量（單位：只），并計(jì)算得.（1）求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷這種野生動(dòng)物的數(shù)量y（單位：只）和植物覆蓋面積x（單位：公頃）的相關(guān)程度；（2）已知20個(gè)樣區(qū)中有8個(gè)樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量低于樣本平均數(shù)，從20個(gè)樣區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)，記抽到這種野生動(dòng)物數(shù)量低于樣本平均數(shù)的樣區(qū)的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.附：相關(guān)系數(shù)【答案】（1）0.94，相關(guān)性較強(qiáng)；（2）見解析【解析】（1）樣本，，2，，的相關(guān)系數(shù)為．由于相關(guān)系數(shù),，則相關(guān)性很強(qiáng)，的值越大，相關(guān)性越強(qiáng)．故，故相關(guān)性越強(qiáng)．（2）由題意得：的可能取值為0，1，2，20個(gè)樣區(qū)中有8個(gè)樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量低于樣本平均數(shù)，有12個(gè)樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量不低于樣本平均數(shù)，所以，，，所以的分布列為：012【題型7獨(dú)立性檢驗(yàn)】滿分技巧獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般方法（1）根據(jù)題目信息，完善列聯(lián)表；（2）提出零假設(shè)：假設(shè)兩個(gè)變量相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋。（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)及計(jì)算公式求出的值；（4）當(dāng)時(shí)，我們就推斷不成立，即兩個(gè)變量不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；當(dāng)時(shí)，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為兩個(gè)變量相互獨(dú)立?！纠?】（2024·廣東廣州·統(tǒng)考二模）根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到.依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（）A．變量與獨(dú)立B．變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過C．變量與不獨(dú)立D．變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，依?jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為變量與獨(dú)立，故選：A.【變式7-1】（2024·四川成都·高三成都七中?？计谀┰谀巢《疽呙绲难邪l(fā)過程中，需要利用基因編輯小鼠進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn).現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對(duì)該病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗1050未注射疫苗3050合計(jì)301000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828計(jì)算可知，根據(jù)小概率值______的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”（）附：，.A．0.001B．0.05C．0.01D．0.005【答案】B【解析】完善列聯(lián)表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗104050未注射疫苗203050合計(jì)3070100假設(shè)：“給基因編輯小鼠注射該疫苗不能起到預(yù)防該病毒感染的效果”.因?yàn)椋?，而，所以根?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立.即認(rèn)為“給基因編輯小鼠注射該疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”.故選：B【變式7-2】（2024·福建泉州·高三校考階段練習(xí)）針對(duì)時(shí)下的“短視頻熱”，某高校團(tuán)委對(duì)學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨(dú)立.若依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，則的最小值為（）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】根據(jù)題意，不妨設(shè)，于是，由于依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，根據(jù)表格可知，解得，于是最小值為.故選：C【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）千百年來，我國勞動(dòng)人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識(shí)天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了地區(qū)A的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯(lián)表（單位：天），并計(jì)算得到，下列小波對(duì)地區(qū)A天氣的判斷不正確的是（）日落云里走夜晚天氣下雨未下雨出現(xiàn)255未出現(xiàn)2545參考公式：臨界值參照表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．夜晚下雨的概率約為B．未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為C．據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)D．出現(xiàn)“日落云里走”，據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為夜晚會(huì)下雨【答案】D【解析】由列聯(lián)表知：100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晚下雨的概率約為，A正確；未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為，B正確；，因此據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)，C正確，D錯(cuò)誤．故選：D【變式7-4】（2024·四川宜賓·高三四川省興文第二中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）為探究某藥物對(duì)小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對(duì)照組（不加藥物）和實(shí)驗(yàn)組（加藥物）.測得40只小鼠體重如下（單位：）：（已按從小到大排好）對(duì)照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3實(shí)驗(yàn)組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0附：，其中.0.100.050.0102.7063.8416.635（1）求40只小鼠體重的中位數(shù)，并完成下面列聯(lián)表：合計(jì)對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組合計(jì)（2）根據(jù)列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長有抑制作用.【答案】（1）23.4，列聯(lián)表見解析；（2）有的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長有抑制作用.【解析】（1）由所給數(shù)據(jù)從小到大排序：，所以40只小鼠體重的中位數(shù)為，列聯(lián)表如下：合計(jì)對(duì)照組61420實(shí)驗(yàn)組14620合計(jì)202040（2）由公式可知，所以有的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長有抑制作用.【題型8二項(xiàng)分布】滿分技巧獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布1、定型：“獨(dú)立”“重復(fù)”是二項(xiàng)分布的基本特征，“每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率都相等”是二項(xiàng)分布的本質(zhì)特征．判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看在一次試驗(yàn)中是否只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，且兩種試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的概率分別為p,1－p，還要看是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為某事件在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)．2、定參，確定二項(xiàng)分布中的兩個(gè)參數(shù)n和p，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率．3、列表，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的取值及其對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列．4、求值，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)求值．相關(guān)公式：已知X～B(n，p)，則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．【例8】（2024·安徽合肥·高三合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考期末）甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每次比賽中，甲?乙各射擊一次，甲?乙每次至少射中8環(huán).根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料可知，甲擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為，乙擊中8環(huán)?9環(huán)?10環(huán)的概率分別為，且甲?乙兩人射擊相互獨(dú)立.（1）在一場比賽中，求乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)的概率；（2）若獨(dú)立進(jìn)行三場比賽，其中X場比賽中甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）0.2；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為0.6【解析】（1）設(shè)乙擊中的環(huán)數(shù)少于甲擊中的環(huán)數(shù)為事件，則事件包括：甲擊中9環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中8環(huán)，甲擊中10環(huán)乙擊中9環(huán)，則.（2）由題可知的所有可能取值為，由（1）可知，在一場比賽中，甲擊中的環(huán)數(shù)多于乙擊中的環(huán)數(shù)的概率為0.2，則，所以，，故的分布列為01230.5120.3840.0960.008所以.【變式8-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）某校高三年級(jí)數(shù)學(xué)組長為了了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對(duì)其在市二診考試中的數(shù)學(xué)成績（滿分150分）進(jìn)行分析，從全年級(jí)數(shù)學(xué)成績中隨機(jī)抽取了15人的成績作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖．若成績不低于120分，則稱為數(shù)學(xué)成績優(yōu)良．（1）從這15人的成績中隨機(jī)抽取3人，求至多有1人數(shù)學(xué)成績優(yōu)良的概率；（2）以這15人的成績中成績優(yōu)良的頻率作為概率，估計(jì)該校高三年級(jí)在市三診、省一、二診未來3次診斷考試數(shù)學(xué)成績優(yōu)良的人數(shù)，從而估計(jì)該校今年高考數(shù)學(xué)成績．記隨機(jī)變量為未來這3次考試中優(yōu)良學(xué)生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】（1）記“從這15人的成績中隨機(jī)抽取3人，求至多有1人數(shù)學(xué)成績優(yōu)良”為事件，由題知分?jǐn)?shù)不低于120分有3人，則．（2）以這15人的成績中成績優(yōu)良的頻率作為概率，易得數(shù)學(xué)成績優(yōu)良的概率為，的所有可能取值為0，1，2，3，由題意得，則，，，，隨機(jī)變量的分布列為0123.【變式8-2】（2022·河南·高三專題練習(xí)）甲、乙兩隊(duì)要舉行一場排球比賽，雙方約定采用“五局三勝”制賽規(guī)，即一場比賽全程最多打五局，比賽雙方只要有一個(gè)隊(duì)先勝三局，則比賽就此結(jié)束，且該隊(duì)為獲勝方．根據(jù)以往大量的賽事記錄可知甲、乙兩隊(duì)在比賽中每局獲勝的概率分別為．（1）若在首局比賽中乙隊(duì)以的比分暫時(shí)領(lǐng)先，求最后甲隊(duì)、乙隊(duì)各自獲勝的概率；（2）求乙隊(duì)以的比分獲勝的概率；（3）設(shè)確定比賽結(jié)果需要比賽局，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；；（2）；（3）分布列見解析，【解析】（1）由題意，首局比賽已經(jīng)結(jié)束，乙隊(duì)以的比分暫時(shí)領(lǐng)先為必然事件，若甲隊(duì)要最后獲勝有兩種情況：第一種情況：甲隊(duì)在第二、三、四局比賽中勝；第二種情況：甲隊(duì)在第二、三、四局比賽中勝且只勝其中兩局，且第五局再勝．故最后甲隊(duì)獲勝的概率為；而最后乙隊(duì)獲勝的概率為．（2）乙隊(duì)以的比分獲勝，這表明在前四局比賽中甲、乙隊(duì)雙方各勝兩局，且第五局乙隊(duì)勝，故乙隊(duì)以的比分獲勝的概率為．（3）由題意，，且；；．所以的分布列為X345P所以數(shù)學(xué)期望．【變式8-3】（2024·湖北十堰·高三統(tǒng)考期末）某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取份作為樣本，將個(gè)樣本數(shù)據(jù)按、、、、、分成組，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）請(qǐng)通過頻率分布直方圖估計(jì)這份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（2）以樣本頻率估計(jì)概率，若競賽成績不低于分，則被認(rèn)定為成績合格，低于分說明成績不合格.從參加知識(shí)競賽的市民中隨機(jī)抽取人，用表示成績合格的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，【解析】（1）由頻率分布直方圖可知，份樣本數(shù)據(jù)的平均值為.（2）競賽成績不低于分的頻率為，低于分的頻率為.由題意可知，，，，，，，所以的分布列為期望.【變式8-4】（2024·北京昌平·高三統(tǒng)考期末）某汽車生產(chǎn)企業(yè)對(duì)一款新上市的新能源汽車進(jìn)行了市場調(diào)研，統(tǒng)計(jì)該款車車主對(duì)所購汽車性能的評(píng)分，將數(shù)據(jù)分成5組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）求的值；（2）該汽車生產(chǎn)企業(yè)在購買這款車的車主中任選3人，對(duì)評(píng)分低于110分的車主送價(jià)值3000元的售后服務(wù)項(xiàng)目，對(duì)評(píng)分不低于110分的車主送價(jià)值2000元的售后服務(wù)項(xiàng)目．若為這3人提供的售后服務(wù)項(xiàng)目總價(jià)值為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）用隨機(jī)抽樣的方法從購買這款車的車主中抽取10人，設(shè)這10人中評(píng)分不低于110分的人數(shù)為，問為何值時(shí)，的值最大？（結(jié)論不要求證明【答案】（1）；（2）分布列見解析，期望6900；（3）.【解析】（1）由頻率分布直方圖可知；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可知評(píng)分低于110分的占比，評(píng)分不低于110分的占比，任選3人中其評(píng)分情況有四種：3人均低于110分；2人低于110分，1人不低于110分；1人低于110分，2人不低于110分；3人均不低于110分，所以可取四種情況，，，，，故的分布列為：90008000700060000.0270.1890.4410.343則；（3）由題意可知，可知當(dāng)時(shí)取得最大值.證明如下：設(shè)最大，即，所以，化簡得，因?yàn)?，?【題型9超幾何分布】滿分技巧超幾何分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：考察對(duì)象分兩類；已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；從中抽取若干個(gè)個(gè)題，考察某一類個(gè)題個(gè)數(shù)的概率分布；（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的。2、超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的，而二項(xiàng)分布是“有放回”的抽取（獨(dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同點(diǎn)?！纠?】（2024·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）盒中有大小顏色相同的6個(gè)乒乓球，其中4個(gè)未使用過（稱之為新球），2個(gè)使用過（稱之為舊球）.每局比賽從盒中隨機(jī)取2個(gè)球作為比賽用球，比賽結(jié)束后放回盒中.使用過的球即成為舊球.（1）求一局比賽后盒中恰有3個(gè)新球的概率；（2）設(shè)兩局比賽后盒中新球的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，【解析】（1）由題意可知當(dāng)比賽使用1個(gè)新球，1個(gè)舊球時(shí)，盒中恰有3個(gè)新球，使用一局比賽后盒中恰有3個(gè)新球的概率.（2）由題意可知的可能取值為，，，，，，所以的分布列為01234.【變式9-1】（2024·遼寧·高三校聯(lián)考期末）某企業(yè)打算處理一批產(chǎn)品，這些產(chǎn)品每箱10件，以箱為單位銷售，已知這批產(chǎn)品中每箱都有廢品.每箱的廢品率只有或者兩種可能，且兩種可能的產(chǎn)品市場占有率分別為.假設(shè)該產(chǎn)品正品每件市場價(jià)格為100元，廢品不值錢，現(xiàn)處理價(jià)格為每箱840元，遇到廢品不予更換，以一箱產(chǎn)品中正品的價(jià)格期望值作為決策依據(jù).（運(yùn)算結(jié)果保留分?jǐn)?shù)）（1）在不開箱檢驗(yàn)的情況下，判斷是否可以購買；（2）現(xiàn)允許開箱，不放回地隨機(jī)從一箱中抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品①求此箱是廢品率為的概率；②判斷此箱是否可以購買，并說明理由.【答案】（1）可以購買；（2）①；②可以購買.【解析】（1）在不開箱檢驗(yàn)的情況下，一箱產(chǎn)品中正品的價(jià)格期望值為：，所以在不開箱檢驗(yàn)的情況下，可以購買.（2）①設(shè)事件A：發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，則，設(shè)事件：抽取的是廢品率為的一箱，則，所以發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品的條件下，此箱是廢品率為的一箱的概率為；②設(shè)正品價(jià)格的期望值為，則，事件：抽取的是廢品率為的一箱，則，所以,所以在已發(fā)現(xiàn)抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)品中恰有一件是廢品的情況下，此箱可以購買.【變式9-2】（2024·安徽黃山·統(tǒng)考一模）某校高三年級(jí)名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是、、、、、．（1）求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)；（2）從這次數(shù)學(xué)成績位于、的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人，該人中成績?cè)趨^(qū)間的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1），第分位數(shù)為；（2）分布列答案見解析，【解析】（1）由頻率分布直方圖可得，解得.前四個(gè)矩形的面積之和為，前五個(gè)矩形的面積之和為，設(shè)這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)為，則，解得，因此，這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第百分位數(shù)為.（2）數(shù)學(xué)成績位于、的學(xué)生人數(shù)之比為，所以，所抽取的人中，數(shù)學(xué)成績位于的學(xué)生人數(shù)為，數(shù)學(xué)成績位于的學(xué)生人數(shù)為人，由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，則，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，.【變式9-3】（2024·浙江湖州·高三統(tǒng)考期末）杭州第屆亞運(yùn)會(huì)，是繼年北京亞運(yùn)會(huì)、年廣州亞運(yùn)會(huì)之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事.年月日，杭州亞運(yùn)會(huì)開幕式隆重舉行.某電商平臺(tái)亞運(yùn)周邊文創(chuàng)產(chǎn)品直播間，主播為當(dāng)晚點(diǎn)前登錄該直播間的前名觀眾設(shè)置了兩輪“慶亞運(yùn)、送吉祥物”的抽獎(jiǎng)活動(dòng).每輪抽獎(jiǎng)都是由系統(tǒng)獨(dú)立、隨機(jī)地從這名觀眾中抽取名幸運(yùn)觀眾，抽中者平臺(tái)會(huì)有亞運(yùn)吉祥物玩偶贈(zèng)送.而直播時(shí)這名觀眾始終在線，記兩次抽獎(jiǎng)中被抽中的幸運(yùn)觀眾總?cè)藬?shù)為（幸運(yùn)觀眾總?cè)藬?shù)不重復(fù)計(jì)數(shù)，例如若某幸運(yùn)觀眾兩次都被抽中，但只記為人）.（1）已知小杭是這前名觀眾中的一人，若小杭被抽中的概率為，求的值；（2）當(dāng)取到最大值時(shí)，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）記“小杭被抽中”為事件，“小杭第次被抽中”為事件.，整理可得，即，又因?yàn)榍?，解?（2）“”表示第一次在個(gè)人中抽取個(gè)，第二次抽取的個(gè)人中，有人在第一次抽取的人以外，另外的個(gè)人在第一次抽取的人中，，記，由，解得，又，所以時(shí)，取最大值.【題型10正態(tài)分布】滿分技巧關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法（1）熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．（2）充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，從而在關(guān)于x＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．【例10】（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知某社區(qū)居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量（單位：小時(shí)），且，．現(xiàn)從該社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為（）A．0.642B．0.648C．0.722D．0.748【答案】B【解析】由題意得，則，則，則至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率為,故選：B.【變式10-1】（2023·廣東肇慶·廣東肇慶中學(xué)校考模擬預(yù)測）佛山被譽(yù)為“南國陶都”，擁有上千年的制陶史，佛山瓷磚享譽(yù)海內(nèi)外.某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線上生產(chǎn)的瓷磚某項(xiàng)指標(biāo)，且，現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10片瓷磚，記表示的瓷磚片數(shù)，則.【答案】1【解析】由題意得，該正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱，故，則，由題意得，故.【變式10-2】（2024·江蘇·高三統(tǒng)考期末）隨機(jī)變量，若，，則（）A．0.25B．0.5C．0.75D．0.85【答案】C【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，，解得，所以，故選：C【變式10-3】（2024·浙江金華·高三統(tǒng)考期末）某次數(shù)學(xué)聯(lián)考成績的數(shù)據(jù)分析，20000名考生成績服從正態(tài)分布，則80分以上的人數(shù)大約是（）參考數(shù)據(jù)：若，則A．3173B．6346C．6827D．13654【答案】A【解析】由題意可得，又，故，則80分以上的人數(shù)大約是人.故選：A.【變式10-4】（2024·湖南常德·高三統(tǒng)考期末）某校高三年級(jí)800名學(xué)生在高三的一次考試中數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，若某學(xué)生數(shù)學(xué)成績?yōu)?02分，則該學(xué)生數(shù)學(xué)成績的年級(jí)排名大約是（）（附：，，）A．第18名B．第127名C．第245名D．第546名【答案】B【解析】因?yàn)槌煽兘品恼龖B(tài)分布,，則，且，所以，因此該校數(shù)學(xué)成績不低于102分的人數(shù)即年級(jí)排名大約是．故選：B．（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？奸_學(xué)考試）某企業(yè)舉辦冬季趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，在跳繩比賽中，名參賽者的成績(單位：個(gè))分別是、、、、、、、、、，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】將這10個(gè)數(shù)據(jù)從小大大排列為，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.故選：C.2．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）有8位同學(xué)一次數(shù)學(xué)測試的分?jǐn)?shù)分別是：111，118，125，130，130，132，136，140，則這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是（）A．130B．132C．134D．136【答案】C【解析】因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是.故選：C．3．（2024·浙江·高三鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）有一組數(shù)據(jù)：，去掉該組中的一個(gè)數(shù)據(jù)，得到一組新的數(shù)據(jù).與原有數(shù)據(jù)相比，無論去掉哪個(gè)數(shù)據(jù)，一定變化的數(shù)字特征是（）A．平均數(shù)B．眾數(shù)C．中位數(shù)D．極差【答案】A【解析】原數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差分別為2.8,4,3,3.若去掉一個(gè)1后所得的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差分別為,4,3,3.所以平均數(shù)變化，眾數(shù)、中位數(shù)、極差不變；若去掉一個(gè)2后所得的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差分別為,4,3,3.所以平均數(shù)變化，眾數(shù)、中位數(shù)、極差不變；若去掉一個(gè)3后所得的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差分別為,4,3,3.所以平均數(shù)變化，眾數(shù)、中位數(shù)、極差不變；若去掉一個(gè)4后所得的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差分別為,4,3,3.所以平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差不變.所以一定變化的是平均數(shù).故選：A4．（2024·湖南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）有一組樣本數(shù)據(jù)由5個(gè)連續(xù)的正整數(shù)組成，其中是最小值，是最大值，若在原數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上增加兩個(gè)數(shù)據(jù)，，組成一組新的樣本數(shù)據(jù)，則（）A．新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)B．新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)C．新樣本數(shù)據(jù)的方差等于原樣本數(shù)據(jù)的方差D．新樣本數(shù)據(jù)的方差大于原樣本數(shù)據(jù)的方差【答案】D【解析】設(shè)原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于原樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故A，B錯(cuò)誤；由題意新數(shù)據(jù)的波動(dòng)增大，所以方差越大，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：D.5．（2024·重慶·高三統(tǒng)考期末）對(duì)一個(gè)樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖如圖所示，并由此估計(jì)總體集中趨勢(shì)，則，可以分別大致反映這組數(shù)據(jù)的（）A．平均數(shù)，中位數(shù)B．平均數(shù)，眾數(shù)C．中位數(shù)，平均數(shù)D．中位數(shù)，眾數(shù)【答案】A【解析】由題意得，眾數(shù)必定在最高的小長方形內(nèi)，故排除BD，由中位數(shù)和平均數(shù)的分布規(guī)律得（直方圖在左邊拖尾），故在這個(gè)頻率分布直方圖內(nèi)是平均數(shù)，是中位數(shù)，故A正確，C錯(cuò)誤.故選：A6．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖為一組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，已知該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為，去掉，，，這4個(gè)數(shù)據(jù)后，所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】由題可知，，，，的平均數(shù)為5，所以去掉，，，這4個(gè)數(shù)據(jù)后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)．由題圖可知，當(dāng)去掉，，，這4個(gè)數(shù)據(jù)后，數(shù)據(jù)的波動(dòng)變小，穩(wěn)定性較好，所以．故選：D．7．（2024·陜西安康·安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）“百年風(fēng)雨歷經(jīng)苦難，百年成就激蕩人心”，為弘揚(yáng)陳延年、陳喬年烈士的光榮事跡及革命精神，傳承紅色基因，某?！把訂躺倌晷小睂?shí)踐團(tuán)于1月6日開展紅色文化活動(dòng)，實(shí)踐團(tuán)成員中有來自高二（1）班和高二（2）班的學(xué)生各2人，高二（3）班和高二（4）班的學(xué)生各1人，在瞻仰陳延年烈士雕像舉行宣誓環(huán)節(jié)，需要從這6名學(xué)生中任選4名手持國旗，則這4名學(xué)生來自不同班級(jí)的概率為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】記高二（1）班的2名學(xué)生分別為，高二（2）班的2名學(xué)生分別為，高二（3）班的學(xué)生為，高二（4）班的學(xué)生為，則從這6名學(xué)生中任選4名的事件包含，，共15個(gè)，其中這4名學(xué)生來自不同班級(jí)的事件包含，共4個(gè)，所以所求事件的概率為．故選：D．8．（2023·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，某網(wǎng)絡(luò)直播平臺(tái)調(diào)研“大學(xué)生是否喜歡觀看體育比賽直播與性別有關(guān)”，從某高校男、女生中各隨機(jī)抽取100人進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)．喜歡觀看不喜歡觀看男生女生通過計(jì)算，有95％以上的把握認(rèn)為大學(xué)生喜歡觀看直播體育比賽與性別有關(guān)，則在被調(diào)查的100名女生中喜歡觀看體育比賽直播的人數(shù)的最大值為（）附：，其中．0.150.100.050.0100.0012.0722.7063.8416.63510.828A．55B．57C．58D．60【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，解得，故在被調(diào)查的100名女生中喜歡觀看體育比賽直播的人數(shù)的最大值為58．故選：9．（2024·廣西南寧·高三南寧二中?？奸_學(xué)考試）隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，，則（）A．B．C．1D．【答案】A【解析】由對(duì)稱性可知，故.故選：A10．（