新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)1-1 基本不等式求最值（8題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（原卷版）

重難點(diǎn)1-1基本不等式求最值基本不等式是高考熱點(diǎn)問題，是?？汲Ｐ碌膬?nèi)容，是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，在解決數(shù)學(xué)問題中有著廣泛的應(yīng)用，尤其是在函數(shù)最值問題中。題型通常為選擇題與填空題，但它的應(yīng)用范圍幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的所有章節(jié)，它在高考中常用于大小判斷、求最值、求最值范圍等。在高考中經(jīng)?？疾爝\(yùn)用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值，具有靈活多變、應(yīng)用廣泛、技巧性強(qiáng)等特點(diǎn)。在復(fù)習(xí)中切忌生搬硬套，在應(yīng)用時(shí)一定要緊扣“一正二定三相等”這三個(gè)條件靈活運(yùn)用?！绢}型1直接法求最值】滿分技巧條件和問題之間存在基本不等式的關(guān)系轉(zhuǎn)化符號(hào)：若含變量的項(xiàng)是負(fù)數(shù)，則提取負(fù)號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再利用“公式”求最值．乘方：若目標(biāo)函數(shù)帶有根號(hào)，則先乘方后配湊為和為定值．【例1】（2023·河南信陽·高三宋基信陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．0B．1C．-1D．2【變式1-1】（2023·山東聊城·高三統(tǒng)考期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1-2】（2023·上海青浦·高三?？计谥校┤鬝KIPIF1<0且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【變式1-3】（2023·河北保定·高三易縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若SKIPIF1<0都是正數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為．【變式1-4】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為．【題型2配湊法求最值】滿分技巧將目標(biāo)函數(shù)恒等變形或適當(dāng)放縮，配湊出兩個(gè)式子的和或積為定值.配湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，配系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵。利用配湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題：(1)配湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；(2)代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提．【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是.【變式2-1】（2023·福建廈門·高三廈門外國語學(xué)校?？计谥校┮阎猄KIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．1D．2【變式2-2】（2023·山西晉中·高三?？奸_學(xué)考試）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．2B．4C．5D．6【變式2-3】（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【變式2-4】（2023·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為.【變式2-5】（2023·天津和平·高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為.【題型3消元法求最值】滿分技巧根據(jù)條件與所求均含有兩個(gè)變量，從簡化問題的角度來思考，消去一個(gè)變量，轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留變量的取值范圍?！纠?】（2023·福建莆田·高三莆田一中校考期中）實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．1B．2C．3D．4【變式3-1】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）已知正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式3-2】（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．4B．6C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式3-3】（2023·重慶·高三渝北中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【變式3-4】（2023·河南洛陽·高三校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為．【題型4“1”的代換求最值】滿分技巧1、若已知條件中的“１”（常量可化為“１”）與目標(biāo)函數(shù)之間具有某種關(guān)系（尤其是整式與分式相乘模型），則實(shí)施“１”代換，配湊和或積為常數(shù).模型1：已知正數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值。SKIPIF1<0模型2：已知正數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的最小值。SKIPIF1<02、常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題．應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為：(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值．【例4】（2023·遼寧鐵嶺·高三校聯(lián)考期中）已知正數(shù)a，b滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．25B．36C．42D．56【變式4-1】（2023·河北張家口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．1【變式4-2】（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期中）若正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是.【變式4-3】（2023·青海海南·高三校聯(lián)考期中）已知實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為．【變式4-4】（2023·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）若正數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是.【變式4-5】（2023·河南周口·高三?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為．【題型5雙換元法求最值】滿分技巧雙換元法是“1”的代換更復(fù)雜情況的應(yīng)用，常用于分母為多項(xiàng)式的情況。具體操作如下：如分母為與，分子為，設(shè)∴，解得：【例5】（2023·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．10B．9C．8D．7【變式5-1】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為．【變式5-2】（2023·山東·高三省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎猘，b，c均為正實(shí)數(shù)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是.【變式5-3】（2023·福建龍巖·高三校聯(lián)考期中）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為．【題型6齊次化法求最值】【例6】（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為___________.【變式6-2】（2022秋·福建南平·高三校考期中）已知實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為_________．【題型7構(gòu)造不等式求最值】滿分技巧當(dāng)條件式中給出了"和"與"積"之間的關(guān)系時(shí)，可以考慮借助基本不等式進(jìn)行放縮，由條件式構(gòu)建得到關(guān)于"和"或"積"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"積"的最值.【例7】（2023·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為.【變式7-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0B．1C．2D．SKIPIF1<0【變式7-2】（2023秋·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．10B．8C．4D．2【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為______.【變式7-4】（2022秋·山西晉中·高三校考階段練習(xí)）已知正數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是___________.【題型8多次使用不等式求最值】滿分技巧通過多次使用基本不等式求得代數(shù)式最值的過程中，需要注意每次使用基本不等式時(shí)等式成立的條件不同?！纠?】（2023·新疆喀什·統(tǒng)考一模）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【變式8-1】（2023·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谥校┤魓，y，z均為正實(shí)數(shù)，則SKIPIF1<0的最大值是．【變式8-2】（2023·遼寧丹東·高三鳳城市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【變式8-3】（2023·天津?qū)幒印じ呷J臺(tái)第一中學(xué)校考期末）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是．（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值（）A．4B．5C．6D．72．（2023·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．8B．16C．12D．43．（2023·黑龍江牡丹江·高一牡丹江第三高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎猄KIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（）A．4B．8C．12D．164．（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<05．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．4D．26．（2023·廣東肇慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．2B．SKIPIF1<0C．4D．SKIPIF1<07．（2023·重慶·高三渝北中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若SKIPIF1<0都是正實(shí)數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．4D．SKIPIF1<08．（2023·河南·高三校聯(lián)考期中）已知正數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．16B．SKIPIF1<0C．8D．49．（2023·重慶·高三重慶一中校考階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．9B．8C．3D．SKIPIF1<010．（2022·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．10B．9C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<011．（2023·湖北·高三校聯(lián)考期中）（多選）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<012．（2023·遼寧朝陽·高三建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0的最小值為9B．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<013．（2023·山東·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考期中）（多選）若實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則（）A．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最大值B．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最大值C．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0