新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點3-1 同角三角函數(shù)基本關(guān)系 誘導(dǎo)公式與三角恒等變換（8題型 滿分技巧 限時檢測）（解析版）

熱點3-1同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換是三角函數(shù)化簡求值的基礎(chǔ)，是高考中的一個必考內(nèi)容。一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度中等或偏下；但在三角函數(shù)的解答題中有時也會涉及到合并化簡?！绢}型1正、余弦齊次式的計算】滿分技巧1、弦化切：把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為“切”的表達(dá)式，進(jìn)行求值．常見的結(jié)構(gòu)有：（1）sinα，cosα的二次齊次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的問題常采用“切”代換法求解；（2）sinα，cosα的齊次分式的問題常采用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形．2、切化弦：利用公式tanα＝，把式子中的切化成弦．一般單獨出現(xiàn)正切的時候，采用此技巧．【例1】（2024·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）若角的終邊經(jīng)過點，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)的終邊經(jīng)過點，則，則故選：A【變式1-1】（2023·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故選：B【變式1-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）已知，且，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題設(shè)，所以，且，故，即，所以.故選：B【變式1-3】（2023·西藏林芝·高三統(tǒng)考期末）若，且，則．【答案】【解析】因為，，所以.【變式1-4】（2023·河北滄州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則．【答案】【解析】因為，所以，所以.【題型2sina±cosa與sina·cosa關(guān)系】滿分技巧對于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t(t∈[－，])，則sinαcosα＝，sinα－cosα＝±(注意根據(jù)α的范圍選取正、負(fù)號)，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．【例2】（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是三角形的一個內(nèi)角，滿足，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，兩邊平方得，即，可得，因為是三角形的一個內(nèi)角，且，所以，所以，得，又因為，，聯(lián)立解得：，，故有：，從而有．故選：B．【變式2-1】（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，且，則下列結(jié)果正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以，故A錯誤；因為，又，所以，所以，故B正確；，又，所以所以，故C錯誤；聯(lián)立解得，所以，故D錯誤；故選：B.【變式2-2】（2023·山東德州·高三德州市第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，A為第四象限角，則等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】可得，..又

A為第四象限角，又，所以，，所以.故選：C.【變式2-3】（2023·江蘇連云港·高三東?？h第二中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)y＝sinx＋cosx－sinxcosx的值域為．【答案】[－，1]【解析】，令，則，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時取得最大值，，當(dāng)時取得最小值，，所以函數(shù)的值域為.【變式2-4】（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩根．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知得①，②，將①兩邊同時平方得，則，所以；（2）∵，，，∴，，∴，.【題型3誘導(dǎo)公式化簡求值】滿分技巧利用誘導(dǎo)公式化簡求值的解題策略1、條件求值問題的策略（1）條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運算之間的差異及聯(lián)系．（2）將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化．2、給值求角問題，先通過化簡已給的式子得出某個角的某種三角函數(shù)值，再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值逆向求角．3、觀察互余、互補關(guān)系：如－α與＋α，＋α與－α，－α與＋α等互余，＋θ與－θ，＋θ與－θ等互補，遇到此類問題，不妨考慮兩個角的和，要善于利用角的變換來解決問題．【例3】（2023·寧夏銀川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，在在角終邊上，則的值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，，所以.故選：B【變式3-1】（2023·重慶榮昌·高三重慶市榮昌中學(xué)校校考階段練習(xí)）下列化簡正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對于A，由誘導(dǎo)公式得，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.故選：B.【變式3-2】（2023·安徽·高三校聯(lián)考期末）若，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，得到，所以，故選：D.【變式3-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（）A．B．2C．D．【答案】A【解析】令，則，從而.故選：A.【變式3-4】（2023·上海閔行·高三文來中學(xué)?？计谥校┤簦瑒t．【答案】【解析】因為，所以.【題型4同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用】【例4】（2023·重慶永川·高三永川北山中學(xué)校?？计谥校┮阎?，，則（）A．B．C．3D．【答案】B【解析】由，即，又，解得，.故選：B.【變式4-1】（2023·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）已知，則等于（）A．1B．－C．D．－【答案】D【解析】因為，所以，又因為，故選:D.【變式4-2】（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）若，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，則，所以，，聯(lián)立，解得，因此，，故選：B.【變式4-3】（2024·山西運城·高三?？计谀┮阎堑慕K邊經(jīng)過點，則（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】因為角的終邊經(jīng)過點，則，則，故選：C.【變式4-4】（2023·甘肅蘭州·高三?？茧A段練習(xí)）已知，且為第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，且為第三象限角，結(jié)合可知.（2）由誘導(dǎo)公式可知，，，，因此由題意有.【題型5三角恒等變換之給角求值】滿分技巧給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角之間總有一定的關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除特殊角三角函數(shù)而得解?！纠?】（2022·江蘇常州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）下列化簡正確的是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】對于選項A：，故A正確；對于選項B：，故B正確．對于選項C：，故C錯誤．對于選項D：，故D錯誤.故選：AB．【變式5-1】（2024·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，已知，則（

）A．3B．2C．D．1【答案】A【解析】因為，所以，又，所以，得到，整理得，所以，故選：A.【變式5-2】（2024·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級中學(xué)校聯(lián)考期末）（）A．1B．C．D．2【答案】C【解析】原式，故選：C.【變式5-3】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）式子化簡的結(jié)果為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】原式.故選：B.【變式5-4】（2024·安徽合肥·高三合肥一中?？计谀┣笾担海ǎ〢．B．C．1D．【答案】D【解析】，．故選：D．【題型6三角恒等變換之給值求值】滿分技巧1、“給值求值”關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用;②變換待求式，便于將已求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.2、“湊配角”：用已知角和特殊角將所求角表示出來，例如：等.【例6】（2024下·福建·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，有．故選：B．【變式6-1】（2022·安徽安慶·安慶一中?？既＃┮阎?，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，，而，故，故選：B【變式6-2】（2023·河北邯鄲·高三校考階段練習(xí)）已知，滿足，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因，則，又，則，得.因，則.又，則，結(jié)合，則，得，則.又注意到，則.故選：B【變式6-3】（2024·江蘇揚州·高三統(tǒng)考期末）已知，則（）A．0B．C．D．1【答案】A【解析】已知，則，，，，則，，則.故選：A.【變式6-4】（2023·廣西·模擬預(yù)測）已知，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，故，又，故，，.故選：D.【題型7三角恒等變換之給值求角】滿分技巧“給值求角”實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為“給值求值”.解決此類題的關(guān)鍵是：（1）求值：求出所求角的某種三角函數(shù)值.（2）界定范圍：根據(jù)題設(shè)（隱含條件）確定所求角的取值范圍.（3）求角：由所得函數(shù)值結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及角的取值范圍確定角的大小.【例7】（2023·貴州銅仁·高三思南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且和均為鈍角，則的值為（）A．B．C．或D．【答案】D【解析】∵和均為鈍角，∴，．∴．由和均為鈍角，得，∴．故選：D【變式7-1】（2024·山西太原·高三統(tǒng)考期末）已知，，且，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，，∴．故選：C．【變式7-2】（2023·湖北武漢·高三武漢市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知、是方程的兩個根，且，則等于（）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】方程中，，則，于是，顯然，又，則有，，所以.故選：B【變式7-3】（2022·山東青島·高三青島二中校考期中）已知，，，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，則，因為，則，可得，因為，則，，所以，，，所以，，所以，.故選：A.【變式7-4】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，均為銳角，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】法一：因為，所以，所以，則，整理得，所以，又，均為銳角，所以，所以.法二：因為，所以，所以，所以，即，即，所以，又，均為銳角，所以，所以，故選：D．【題型8三角函數(shù)化簡求值綜合】滿分技巧三角函數(shù)式的化簡遵循“三看”原則一看式中各角：通過把三角函數(shù)式中各角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；二看函數(shù)名稱：看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”；三看結(jié)構(gòu)特征：分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”、“整式要因式分解”、“二次式配方”等?！纠?】（2023·河南·高三階段練習(xí)）已知．（1）求的值；（2）已知，求.【答案】（1）;（2）【解析】（1）原式，（2）由可知即；.【變式8-1】（2023·河南·信陽高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）設(shè)，求函數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為...（2）因為：，.所以：.設(shè)，則，且，所以：，當(dāng)時，.所以的最小值為.【變式8-2】（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，且，求的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）由題意知．故函數(shù)的最小正周期．令．解得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）因為．又．所以，所以，所以．【變式8-3】（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）已知.（1）若，求的值；（2）若且，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意可得：，由已知，得，所以.（2）由，可知，則.因為，則，且，可得，則，所以.【變式8-4】（2023·山西太原·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心；（2）當(dāng)時，，求的值.【答案】（1）遞增區(qū)間為（），對稱中心為（）；（2）【解析】（1），由（）得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）；由（）得，所以的對稱中心為（）；（2）由（1）可得，所以，因為，所以，所以，所以.（建議用時：60分鐘）1．（2024·湖北武漢·武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考二模）若，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，.故選：A2．（2024·甘肅·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以.故選：B3．（2023·山西呂梁·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】．故選：B4．（2023·福建漳州·高三漳州三中?？茧A段練習(xí)）已知，，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】已知，則，則，又，則，即，又，，則．故選：C．5．（2023·江蘇·高三泰州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，即，整理可得，解得，且有因此，.故選：A.6．（2023·山東泰安·高三新泰市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）（）A．B．1C．D．2【答案】B【解析】，故選：B.7．（2022·河南·高三專題練習(xí)）已知，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，即，解得或（舍去），又，得，故．（另解：由已知得，解得或（舍去），又，則，故．）故選：D．8．（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）設(shè)，若，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知得，故，因為，所以，故，解得，故選：C．9．（2024·陜西咸陽·校考模擬預(yù)測）若，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，所以，對于A：若，則，故A錯誤；對于B：因為，，故B錯誤；對于C：因為，故C錯誤；對于D：因為，故D正確.故選：D.10．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，則的值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，得，．又，所以．所以．所以．故選：C．11．（2023·河北石家莊·高三校考階段練習(xí)）（多選）已知，，則（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】由得，，則，因為，，所以，所以，由，解得，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，因為，所以，則，，即，解得或（舍去），故C正確；對于D，，故D錯誤，故選：BC．12．（2023·福建·高三福建師大附中?？茧A段練習(xí)）（多選）下列化簡正確的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】對于A，因為，所以，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，故B正確；對于C，設(shè)，因為，所以，因為，所以，所以，故C正確；對于D，，故D正確，故選：BCD．13．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知，下列說法正確的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】因為，所以，所以為第一象限角或第三象限角．當(dāng)為第一象限角時，，；當(dāng)為第三象限角時，，，所以，故A項正確；；故B項錯誤；，故C項正確；，當(dāng)為第一象限角時，原式；當(dāng)為第三象限角時，原式，故D項錯誤．故選：AC14．（2023·安徽安慶·高三安慶市第