新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)6-2 空間幾何體的交線與截面問(wèn)題（8題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（解析版）

熱點(diǎn)6-1空間幾何體的交線與截面問(wèn)題空間幾何體的交線與截面問(wèn)題既是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，往往在高考的選填壓軸題中出現(xiàn)，難度較大。此類題目綜合考察考生的空間想象能力和邏輯推理能力，處理這類問(wèn)題的基本思路是借助空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系和相應(yīng)的定理，將空間問(wèn)題平面化?！绢}型1作出空間幾何體的截面】滿分技巧1、作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：（1）在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；（2）凡是相交的直線都要畫(huà)出它們的交點(diǎn)；（3）凡是相交的平面都要畫(huà)出它們的交線；2、作交線的方法有如下兩種：（1）利用基本事實(shí)3作直線；（2）利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線。【例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為8，，，分別是，，的中點(diǎn)．（1）畫(huà)出過(guò)點(diǎn)，，的平面與平面的交線；（2）設(shè)平面，求的長(zhǎng)．【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）如下圖所示，∵平面，與不平行，∴與必相交．設(shè)交點(diǎn)為，連接．∵平面，平面，∴過(guò)點(diǎn)，，的平面與平面的交線為.（2）∵，∴，∴．∴.【變式1-1】（2024·甘肅·高三武威第六中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為分別為棱的中點(diǎn).（1）請(qǐng)?jiān)谡襟w的表面完整作出過(guò)點(diǎn)的截面，并寫(xiě)出作圖過(guò)程；（不用證明）（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）截面，作圖過(guò)程見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則截面即為所求.（2）如圖，以為原點(diǎn)，棱所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以..設(shè)平面的法向量為，則即，取，得平面的法向量為.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，故點(diǎn)到平面的距離為.【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，直四棱柱的底面為正方形，為的中點(diǎn)．（1）請(qǐng)?jiān)谥彼睦庵?，?huà)出經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的截面并寫(xiě)出作法（無(wú)需證明）．（2）求截面的面積．【答案】（1）圖形見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接、、、，則四邊形即為過(guò)點(diǎn)、和的平面截直四棱柱所得截面；取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為直四棱柱，底面為正方形，所以且，且，所以且，所以為平行四邊形，所以，又且，所以為平行四邊形，所以，所以，即、、、四點(diǎn)共面.（2）在直四棱柱中，，、分別為、的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為菱形，連接，，則，又，，所以.【變式1-3】（2023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在正三棱柱中，，三棱柱外接球半徑為，且點(diǎn)分別為棱，的中點(diǎn)．（1）過(guò)點(diǎn)作三棱柱截面，求截面圖形的周長(zhǎng)；（2）求平面與平面的所成角的余弦值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正三棱柱中，，三棱柱外接球半徑為，設(shè)外接球的半徑為，底面正的外接圓的半徑為，可得，則，因?yàn)?，解得，又因?yàn)辄c(diǎn)分別為棱，的中點(diǎn)，可得，如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，四邊形為所求截面，又由，所以，在中，由余弦定理得，所以可得,所以截面圖形的周長(zhǎng)為.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，以過(guò)點(diǎn)垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，可得，則設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以，取的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈冗吶切?，可得，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以，因?yàn)榍移矫妫云矫?，又由，可得，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)兩個(gè)平面所成角為，則，所以平面與平面的所成角的余弦值．【題型2判斷截面多邊形的形狀】滿分技巧判斷截面多邊形形狀時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：1、截面與幾何體表面相交，交線不會(huì)超過(guò)幾何體表面?zhèn)€數(shù)。2、不會(huì)與同一個(gè)表面有兩條交線。3、與一對(duì)平行表面相交，交線平行（不一定等長(zhǎng)）4、截面截內(nèi)切球或者外接球時(shí)，區(qū)分與面相切和與棱相切之間的關(guān)系【例2】（2024·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）（多選）在正方體中，用垂直于的平面截此正方體，則所得截面可能是（）A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形【答案】AD【解析】如圖所示：在正方體中，又，平面，平面，則平面，又平面，則，同理，又，平面，平面，所以平面，同理平面，由直線與平面垂直的性質(zhì)得；與平面和平面平行的平面，都與垂直，由圖象知：在平面和平面之間的平面，與正方體所得截面的形狀為六邊形；在平面和平面之外的平面，與正方體所得截面的形狀為三角邊形，故選：AD【變式2-1】（2023·江西宜春·高三宜豐中學(xué)校考階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，、，、分別為棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，過(guò)點(diǎn)、、作一個(gè)截面，該截面的形狀為（）A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形【答案】C【解析】如圖所示，延長(zhǎng)、，使，連接、，∵、、，∴、，∵、分別為棱、的中點(diǎn)，∴，∴，∵，又、、三點(diǎn)共線，∴、、三點(diǎn)共線，∴在截面上，延長(zhǎng)、，使，連接，使，∴在截面上，連接、，∵，且∴，∴且=，又為中點(diǎn)，、、三點(diǎn)共線，∴、、三點(diǎn)共線，∴截面為五邊形，故選：C．【變式2-2】（2024·陜西安康·安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)作該正方體的截面，則（）A．該截面是四邊形B．平面C．平面平面D．該截面與棱的交點(diǎn)是棱的一個(gè)三等分點(diǎn)【答案】D【解析】對(duì)A：如圖，將線段向兩邊延長(zhǎng)，分別與棱的延長(zhǎng)線，棱的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，分別與棱交于點(diǎn)，得到截面是五邊形，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)槊婷?，故；又，面，故面，又面，故；假設(shè)，又，面，故面，又面，顯然過(guò)一點(diǎn)作一個(gè)平面的垂直只能有一條，假設(shè)不成立，即與不垂直；又平面，所以與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：面面，故，又，面，故面，又面，故，同理可得，又面，故平面，又與平面不垂直，所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：易知，所以，所以截面與棱的交點(diǎn)是棱的一個(gè)三等分點(diǎn)，故D正確．故選：D．【變式2-3】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知直三棱柱，，，，，，平面EFG與直三棱柱相交形成的截面為，則（）A．存在正實(shí)數(shù)，，，使得截面為等邊三角形B．存在正實(shí)數(shù)，，，使得截面為平行四邊形C．當(dāng)，時(shí)，截面為五邊形D．當(dāng)，，時(shí)，截面為梯形【答案】AC【解析】由題意，在直三棱柱中，，，，，，平面EFG與直三棱柱相交形成的截面為，A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，截面為等邊三角形，此時(shí)，且，A正確；B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在三棱錐內(nèi)部，為三角形，當(dāng)時(shí)，不為平行四邊形，當(dāng)時(shí)，不為平行四邊形，當(dāng)時(shí)，不為平行四邊形，當(dāng)有兩個(gè)大于時(shí)，不為平行四邊形,當(dāng)有三個(gè)大于時(shí)，截面為,∴不存在正實(shí)數(shù)，，，使得截面為平行四邊形，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，解得：（舍）或，當(dāng)時(shí)，，在三棱柱外，在三棱柱內(nèi)，截面為五邊形,故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，當(dāng)，，時(shí)，截面為四邊形,易知與相交，假設(shè)，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以（矛盾），故四邊形不是梯形，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【題型3求解截面多邊形的周長(zhǎng)】滿分技巧求解截面多邊形的周長(zhǎng)有兩個(gè)思路：（1）利用多面體展開(kāi)圖進(jìn)行求解；（2）在各個(gè)表面確定交線，分別利用解三角形進(jìn)行求解?！纠?】（2024·四川成都·高三樹(shù)德中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知正方體的棱長(zhǎng)為為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與直線垂直的平面，則平面截正方體的截面的周長(zhǎng)為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，顯然≌，則，，即有，而平面，平面，則，又平面，于是平面，而平面，因此，同理，顯然平面，所以是平面截正方體所得截面，其周長(zhǎng)為.故選：D.【變式3-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)，E，的平面截正方體，則截面周長(zhǎng)為（）A．B．9C．D．【答案】A【解析】如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接GE，，．因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以，，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，所以用過(guò)點(diǎn)，E，的平面截正方體，所得截面為梯形，其周長(zhǎng)為．故選：A．【變式3-2】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，在直三棱柱中，，，，，為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則過(guò)三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長(zhǎng)為．【答案】【解析】由題意可知過(guò)三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的周長(zhǎng)即的周長(zhǎng)，因?yàn)橹比庵?，所以各?cè)面均為矩形，所以，直三棱柱的側(cè)面部分展開(kāi)圖如圖所示，則在矩形中，所以過(guò)三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長(zhǎng)為.【變式3-3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱中，，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長(zhǎng)為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，分別交，于點(diǎn)，，連接，，則六邊形所在平面即為平面，六邊形即為過(guò)點(diǎn)的平面截正四棱柱所得的截面多邊形，由全等三角形可知，，，分別為，，的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以六邊形的周長(zhǎng)為．故選：D．【變式3-4】（2024·河北廊坊·高三文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖所示，正四棱臺(tái)中，上底面邊長(zhǎng)為3，下底面邊長(zhǎng)為6，體積為，點(diǎn)在上且滿足，過(guò)點(diǎn)的平面與平面平行，且與正四棱臺(tái)各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，則四棱臺(tái)的高為，則四棱臺(tái)的體積為，解得，所以側(cè)棱長(zhǎng)為.如圖所示：過(guò)于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，由對(duì)稱性可知，所以，而，所以，所以，同理，分別在棱上取點(diǎn)，使得，易得，所以截面多邊形的周長(zhǎng)為.故選：D.【題型4求解截面多邊形的面積】滿分技巧求解截面多邊形的面積問(wèn)題的步驟：（1）通過(guò)解三角形求得截面多邊形各邊的長(zhǎng)度；（2）判斷多邊形的形狀是否規(guī)則，若為規(guī)則圖形可直接使用面積公式求解；否則可通過(guò)切割法將多邊形分為多個(gè)三角形求解。【例4】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面面積為（）A．B．C．9D．18【答案】B【解析】由題知連接，，，如圖所示因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，在正方體中，所以，所以在同一平面內(nèi)，所以平面截該正方體所得的截面為平面，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，所以，，，則到的距離為等腰梯形的高為，所以截面面積為，故B正確.故選：B.【變式4-1】（2023·四川成都·高三石室中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形AA1B1B是矩形，D是棱CC1的中點(diǎn)，CC1=AC=4，，AB=3，，過(guò)點(diǎn)D作平面平面，則平面截三棱柱ABC-A1B1C1所得截面面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意知：分別取中點(diǎn)，連接，如圖所示：所以：，因?yàn)椋河忠驗(yàn)椋浩矫妫辉谄矫嫔?，所以：平面，平面，又因?yàn)椋?，平面，所以：平面平面，即：平面為平面與三棱柱的截面；因?yàn)?，且，，平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以，，又因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以得為等邊三角形，則，，，所以，所以得四邊形為等腰梯形，所以，，，可求出截面面積為：故A項(xiàng)正確.故選：A.【變式4-2】（2023·安徽·高三合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正三棱錐底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，過(guò)棱的中點(diǎn)作與該棱垂直的截面分別交，于點(diǎn)，，則截面的面積為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題易知面，面，則，，在中，由余弦定理得，，∵，∴，∴，，，，同理，，∴，∴，∴，∴．過(guò)作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，∴，∴，故選：B．【變式4-3】（2023·山西大同·高三大同一中?？茧A段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)分別在棱上，且滿足為底面的中心，過(guò)作截面，則所得截面的面積為.【答案】【解析】如圖，連接,在正方體中，易知，,即.四點(diǎn)共面，又在上，過(guò)作正方體截面為梯形，正方體的棱長(zhǎng)為3，，,梯形的高為，梯形的面積為.【變式4-4】（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為4的正四面體，用所有與點(diǎn)A，B，C，D距離均相等的平面截該四面體，則所有截面的面積和為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】與點(diǎn)A，B，C，D距離均相等的平面可分為兩類，一類是平面的一側(cè)是1個(gè)點(diǎn)，另外一側(cè)有3個(gè)點(diǎn)（如圖1），此時(shí)截面過(guò)棱的中點(diǎn)，且與一個(gè)面平行，故截面三角形與平行的面（三角形）相似，相似比為，故其面積為，這樣的截面共有4個(gè)，故這類截面的面積和為，另外一類是平面的兩側(cè)各有2個(gè)頂點(diǎn)（如圖2），因?yàn)檎拿骟w對(duì)棱垂直，易知四邊形PQMN是邊長(zhǎng)為2的正方形，其面積為4，這樣的截面共有3個(gè)，故這類截面的面積和為12，故符合條件的截面的面積和為.故選：A．【題型5截面分割幾何體的體積問(wèn)題】滿分技巧截面分割后的幾何體易出現(xiàn)不規(guī)則的幾何體，對(duì)此往往采用“切割法”或“補(bǔ)形法”進(jìn)行體積的求解?！纠?】（2023·河北衡水·衡水中學(xué)?？家荒＃┮阎庵?，過(guò)底邊的平面與上底面交于線段，若截面將三棱柱分成了體積相等的兩部分，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】平面，平面平面，平面，；設(shè)的面積為，的面積為，三棱柱的高為，三棱臺(tái)的體積，又三棱柱的體積，，解得：（舍）或，∽，，即.故選：A.【變式5-1】（2024·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正方體，棱的中點(diǎn)分別為，平面截正方體得兩個(gè)幾何體，體積分別記為，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，連接，因?yàn)檎襟w，所以，則四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)分別為，所以，則，所以平面即為平面，幾何體為一個(gè)三棱臺(tái)，則，又正方體的體積為，所以，則.故選：D.【變式5-2】（2024·浙江湖州·高三統(tǒng)考期末）在正四棱錐中，底面的邊長(zhǎng)為為正三角形，點(diǎn)分別在上，且，若過(guò)點(diǎn)的截面交于點(diǎn)，則四棱錐的體積是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖：連接，交于點(diǎn)，連接，，相交于點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，所以，故為的重心，所以為中點(diǎn).又因?yàn)闉檎切危?因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐，所以，，，平面，且，所以平面.平面，所以，又，所以.，平面，，所以平面.因?yàn)椋?，，?所以.故選：D【變式5-3】（2023·江蘇揚(yáng)州·高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，，是棱AB上一點(diǎn)，若平面把三棱柱分成體積比為的兩部分，則（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】如圖：延長(zhǎng)與交于，連接交于，則平面與三棱錐的截面是，將三棱錐分成兩部分，三棱臺(tái)，多面體，設(shè)，，，，，設(shè)，則，，則，，解得：，由于，所以，故選：D.【變式5-4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在如圖所示的幾何體中，，平面，，，，.（1）證明：平面；（2）過(guò)點(diǎn)作一平行于平面的截面，畫(huà)出該截面（不用說(shuō)明理由），并求夾在該截面與平面之間的幾何體的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）截面為平面，體積為【解析】（1）在中，，，，，由余弦定理得：，，，又平面，平面，，，平面，平面.（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則平面即為所求.理由如下：，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，同理可得：平面，，平面，平面平面；由（1）可知：平面，且平面，，，夾在該截面與平面之間的幾何體的體積.【題型6截面最值的相關(guān)問(wèn)題】滿分技巧截面最值問(wèn)題的計(jì)算，主要由以下三種方法：1、極限法：通過(guò)假設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至兩端，計(jì)算最值（需注意判斷是否單調(diào)）；2、坐標(biāo)法：通過(guò)建系設(shè)坐標(biāo)，構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)進(jìn)行求解；3、化歸法：通過(guò)圖形轉(zhuǎn)化，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，尋找平面圖形中的最值計(jì)算?！纠?】（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為，則的面積的最大值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】連結(jié)，因?yàn)槠矫?，平面，所以且，平面，所以平面，平面，所以，同理，且，平面，所以平面；所以平面為平面或與其平行的平面，只能為三角形或六邊形.當(dāng)為三角形時(shí)，其面積的最大值為；當(dāng)為六邊形時(shí)，此時(shí)的情況如圖所示，設(shè)，則，依次可以表示出六邊形的邊長(zhǎng)，如圖所示：六邊形可由兩個(gè)等腰梯形構(gòu)成，其中，兩個(gè)等腰梯形的高分別為，，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，六邊形面積最大，即截面是正六邊形時(shí)截面面積最大，最大值為.【變式6-1】（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱中，，過(guò)點(diǎn)的平面分別交棱AB，AC于點(diǎn)D，E，若直線與平面所成角為，則截面三角形面積的最小值為．【答案】【解析】因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面，平面，所以，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，，，平面，所以平面，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫?，平面，，所以平面，因?yàn)橹本€與平面所成角為，所以，在中，由，，可得，，設(shè)，在中，，由等面積法可知，因?yàn)槠矫?，又由平面，所以，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.【變式6-2】（2024·山東煙臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱中，，，則該三棱柱外接球的表面積為；若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則平面截三棱柱所得截面面積的最大值為.【答案】；【解析】由題意，直三棱柱中，，，該直三棱柱可補(bǔ)充一個(gè)長(zhǎng)方體，其中直三棱柱的外接球和補(bǔ)成的長(zhǎng)方體的外接球是同一個(gè)球，又由長(zhǎng)方體過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為，可得對(duì)角線長(zhǎng)為，所以外接球的半徑為，則該三棱柱外接球的表面積為；如圖所示，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則且，在過(guò)點(diǎn)作，可得，連接，則四邊形即為過(guò)點(diǎn)的截面，在中，因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，所以四邊形為直角梯形，在中，由且，可得，所以，設(shè)，在直角中，可得，又由，可得，所以直角梯形的面積為，其中，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，又由，可得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，此時(shí)梯形的面積取得最大值.【變式6-3】（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，，，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作三棱錐的截面，使截面平行于直線和，當(dāng)該截面面積取得最大值時(shí)，（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)；在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)；在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，因?yàn)椋瑒t，設(shè)其相似比為，即，則；又因?yàn)椋?，，由余弦定理得，，則，即.又平面，，平面，所以，.又，則，.因?yàn)椋瑒t，則，因?yàn)?，所以，即，同理可得，即，因?yàn)?，，則，故四邊形為平行四邊形；而平面，平面，故平面，同理平面，即四邊形為截面圖形；又平面，平面，則，又，所以.故平行四邊形為矩形，則，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，則，在中，.故選：C.【變式6-4】（2023·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)，放入一個(gè)以為鈾線的圓柱，且圓柱的底面所在平面截正方體所得的截面為三角形，則該圓柱體積的最大值為．【答案】【解析】如圖，連接，，，，因?yàn)槠矫妫矫?，則，又，平面，平面，,平面，故，同理可得，平面，平面，，平面，設(shè)圓柱的一個(gè)底面所在平面截正方體所得的截面為，則為正三角形，由圓柱可知軸線平面，又平面，所以平面平面，設(shè)（），則，所以內(nèi)切圓的半徑，點(diǎn)到平面的距離．因?yàn)?，所以圓柱的高，圓柱的體積，，則在上單調(diào)遞增，所以．【題型7球的截面問(wèn)題】滿分技巧求解球的截面問(wèn)題的要點(diǎn)：（1）確定球心與半徑；（2）尋找作出并計(jì)算截面與球心的距離；（3）充分利用“球心做弦的垂線，垂足是弦中點(diǎn)”這個(gè)性質(zhì)；（4）強(qiáng)調(diào)弦的中點(diǎn)，不一定是幾何體線段的中點(diǎn)?！纠?】（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考一模）球的兩個(gè)平行截面面積分別為和，球心到這兩個(gè)截面的距離之差等于1，則球的直徑為（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】令球心到較近的截面距離為，則到另一個(gè)截面距離為，且球的半徑為，易知較近的截面圓面積為，另一個(gè)截面圓面積為，所以較近的截面圓半徑為，另一個(gè)截面圓半徑為，由截面圓半徑與球體半徑、球心與截面距離關(guān)系知：，所以，故，則球的直徑為6.故選：D【變式7-1】（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）已知是球的直徑上一點(diǎn)，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，因?yàn)椋?由勾股定理，得，由題意得，所以，解得，此時(shí)過(guò)點(diǎn)作球的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的半徑最小.設(shè)球心到所求截面的距離為，所求截面的半徑為，則，所以只需球心到所求截面的距離最大即可，而當(dāng)且僅當(dāng)與所求截面垂直時(shí)，球心到所求截面的距離最大，即，所以.故選：C【變式7-2】（2024·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)槠矫?，、平面，所以，，因?yàn)?，，、平面，所以平面，如圖所示，設(shè)為球與平面的交線，則，，所以，所以所在的圓是以為圓心，為半徑的圓，因?yàn)榍?，所以，所以弧的長(zhǎng)為．故選：B.【變式7-3】（2023·湖北荊州·高三沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球O上，點(diǎn)A在平面的射影是線段的中點(diǎn)，，則平面被球O截得的截面面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)中點(diǎn)為，點(diǎn)在平面的射影是線段的中點(diǎn)，平面，，，又，是等邊三角形．取中點(diǎn)為，連接交于，則是外心．連接，在上取，使得，則為外心．過(guò)作平面的垂線，過(guò)作平面的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為三棱錐外接球球心，則四邊形是矩形，．連接，，設(shè)外接圓半徑，設(shè)球半徑為．球的表面積為，．在中，，平面被球截得的截面面積．故選：C【變式7-4】（2024·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）已知直四棱柱的所有棱長(zhǎng)均為4，，以A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為．【答案】【解析】如圖：取的中點(diǎn),連接，結(jié)合題意：易得為等邊三角形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以因?yàn)樵谥彼睦庵杏忻?且面，所以,又因?yàn)?且面所以面，結(jié)合球的性質(zhì)可知為該截面圓的圓心，因?yàn)橹彼睦庵乃欣忾L(zhǎng)均為4，，所以,,,,故以A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線為：以為圓心,為半徑的圓所成的圓弧.所以.【題型8圓錐的截面問(wèn)題】【例8】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某圓錐的母線長(zhǎng)為4，軸截面是頂角為120°的等腰三角形，過(guò)該圓錐的兩條母線作圓錐的截面，當(dāng)截面面積最大時(shí)，圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為（）A．4B．2C．D．【答案】D【解析】設(shè)該圓錐的頂點(diǎn)為S，底面圓心為O，AB為底面圓的直徑，連接SO，由圓錐的母線長(zhǎng)為4，軸截面是頂角為120°的等腰三角形可知圓錐的高，底面圓半徑為，設(shè)C為圓錐底面圓周上一點(diǎn)，連接BC，OC，則，所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，即最大時(shí)，即的夾角為90°時(shí)，的面積最大，此時(shí)的面積為8，且，取中點(diǎn)，連接，則，在直角中，可得，所以的面積為，設(shè)圓錐底面圓的圓心O到截面SBC的距離為h，則由可得，即，解得，所以圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為．故選：D．【變式8-1】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知高為2的圓錐內(nèi)接于球O，球O的體積為，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為P，平面為經(jīng)過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面，且與直線所成角為，設(shè)平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，，則.【答案】【解析】令球半徑為，則，解得，由平面與直線成角，得平面截球所得小圓半徑，因此，由球的內(nèi)接圓錐高為2，得球心到此圓錐底面距離，則圓錐底面圓半徑，令平面截圓錐所得截面為等腰，線段為圓錐底面圓的弦，點(diǎn)為弦中點(diǎn)，如圖，依題意，，，，顯然，于是，所以.【變式8-2】（2024·廣東中山·中山紀(jì)念中學(xué)?？级＃┮阎虻捏w積為，高為1的圓錐內(nèi)接于球O，經(jīng)過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面截球和圓錐所得的截面面積分別為，若，則【答案】【解析】設(shè)球O半徑為R，由，得，平面截球O所得截面小圓半徑，由，得，因此，球心O到平面的距離，而球心O在圓錐的軸上，則圓錐的軸與平面所成的角為，因圓錐的高為1，則球心O到圓錐底面圓的距離為，于是得圓錐底面圓半徑，令平面截圓錐所得截面為等腰，線段為圓錐底面圓的弦，點(diǎn)C為弦中點(diǎn)，如圖，由題意，，則，，，所以.【變式8-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）圖，在圓錐中，已知高.底面圓的半徑為2，為母線的中點(diǎn)，根據(jù)圓錐曲線的定義，下列三個(gè)圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線，則下面四個(gè)命題中正確的有（）A．圓錐的體積為B．圓的面積為C．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為D．雙曲線兩漸近線的夾角【答案】BCD【解析】對(duì)于A，圓錐底面圓面積，圓錐體積，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，圓錐中截面圓的半徑為底面圓半徑的一半，該圓面積為，B正確；對(duì)于C，過(guò)作于，于是，，因此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，C正確；對(duì)于D，在與平面垂直且過(guò)點(diǎn)的平面內(nèi)，建立平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)P到底面距離相等，于是雙曲線頂點(diǎn)，雙曲線與圓錐底面圓周的交點(diǎn)，設(shè)雙曲線方程為，則，解得，因此該雙曲線的兩條漸近線互相垂直，即雙曲線兩漸近線的夾角，D正確.故選：BCD【變式8-4】（2023·河北·河北衡水中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，用一垂直于某條母線的平面截一頂角正弦值為的圓錐，截口曲線是橢圓，頂點(diǎn)A到平面的距離為3.（1）求橢圓的離心率；（2）已知P在橢圓上運(yùn)動(dòng)且不與長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)重合，橢圓的兩焦點(diǎn)為，，證明：二面角的大小小于.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）以橢圓的中心以及短軸的頂點(diǎn)作平行于圓錐底面的截面（截面為圓），如圖為圓錐的軸截面，由題意可得：，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，即，設(shè)圓錐的頂角為，由題意可知∵，則，解得或（舍去），∴，在中，可得，則，在中，則，可得，故，在中，可得，即截面圓的半徑為，則橢圓的短軸，故橢圓的短軸長(zhǎng)，即，則，∴橢圓的離心率.（2）如圖，以橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，平面的法向量為，∵，則，令，則，即，同理可得：平面的法向量為，則令，則，當(dāng)時(shí)，則，∴，構(gòu)建，則，當(dāng)時(shí)，則，令，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故；當(dāng)時(shí)，令，則，令，則當(dāng)時(shí)恒成立，故在上單調(diào)遞減，則，∴在上單調(diào)遞減，則；綜上所述：當(dāng)時(shí)恒成立，∴，設(shè)二面角的平面角為，由題意可得，∴，即二面角的大小小于.（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知OA為球O的半徑，過(guò)OA的中點(diǎn)M且垂直O(jiān)A的平面截球得到圓M，若圓M的面積為，則球O的表面積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)圓的半徑為，因?yàn)閳AM的面積為，可得，解得，設(shè)球O的半徑為，由截面圓的性質(zhì)，可得，即，解得，所以球的表面積為．故選：C．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，過(guò)直線EF的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為，最大值為，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，正方體的外接球球心在其中心點(diǎn)處，設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為，則外接球的半徑，要使過(guò)直線EF的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段EF的中點(diǎn)，連接OE，OF，OP，則，，所以，此時(shí)截面圓的半徑．顯然當(dāng)截面面積最大時(shí)，截面圓的半徑為該正方體外接球的半徑；所以．故選：D．3．（2023·四川宜賓·高二四川省興文第二中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，過(guò)的截面與AC交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E（D，E都不與C重合），若該截面將三棱柱分成體積之比為的兩部分，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)槿庵?，所以，面面，又因?yàn)槊婷妫婷?，所以，顯然為三棱臺(tái)，設(shè)，（），三棱柱的高為，則，所以三棱柱體積為，三棱臺(tái)的體積為，①三棱臺(tái)的體積占，則，得，得或，均不符合題意；②三棱臺(tái)的體積占，則，得，得或，因?yàn)?，所?故選：C4．（2024·四川·校聯(lián)考一模）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為M．則下列結(jié)論正確的是（）．A．M必為三角形B．M可以是四邊形C．M的周長(zhǎng)沒(méi)有最大值D．M的面積存在最大值【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A、B，易知平面為平面或與其平行的平面，故多邊形M只能為三角形或六邊形，選項(xiàng)A和B均錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)M為正三角形時(shí)，顯然截面多邊形M為時(shí)周長(zhǎng)取得最大值為；當(dāng)截面多邊形M為六邊形時(shí)，設(shè)，則，，，易得：，，此時(shí)截面多邊形M的周長(zhǎng)為定值：，綜合兩種情況，M的周長(zhǎng)的最大值為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)M為正三角形時(shí)，僅當(dāng)截面多邊形M為時(shí)的面積為；當(dāng)截面多邊形M為六邊形時(shí)，設(shè)，該六邊形可由兩個(gè)等腰梯形和構(gòu)成，其中，，，，兩個(gè)等腰梯形和的高分別為和，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，六邊形面積最大值為，即截面多邊形是正六邊形時(shí)截面面積最大．綜上，當(dāng)時(shí)，截面多邊形為正六邊形時(shí)面積取得最大值.選項(xiàng)D正確.故選：D.5．（2023·河南·信陽(yáng)高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，以為球心，為半徑作球，則球面與底面的交線長(zhǎng)度的和為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意知三棱錐為正三棱錐，故頂點(diǎn)在底面的射影為的中心，連接，由，得，所以，因?yàn)榍虻陌霃綖椋越孛鎴A的半徑，所以球面與底面的交線是以為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部部分，如圖所示易求，所以，易得，所以，所以交線長(zhǎng)度和為.故選：C.6．（2023·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，為棱上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若平面截該正方體所得的截面為五邊形，則線段的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在正方體中，平面平面，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，則平面與平面的交線過(guò)點(diǎn)，且與直線平行，與直線相交，設(shè)交點(diǎn)為，如圖所示，又因?yàn)槠矫?，平面，即分別為，與平面所成的角，因?yàn)?，則，且有，當(dāng)與重合時(shí)，平面截該正方體所得的截面為四邊形，此時(shí)，即為棱中點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，逐漸減小，點(diǎn)由點(diǎn)向點(diǎn)方向移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)時(shí)，平面只與該正方體的4個(gè)表而有交線，即可用成四邊形；當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，直線必與棱交于除點(diǎn)外的點(diǎn)，又點(diǎn)與不重合，此時(shí)，平面與該正方體的5個(gè)表面有交線，截面為五邊形，如圖所示．因此．當(dāng)為棱上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，截面為四邊形，點(diǎn)只能在線段（除點(diǎn)外）上，即，可得，則，所以線段的取值范圍是，所以若平面截該正方體的截面為五邊形，線段的取值范圍是.故選：B．7．（2024·河南南陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）（多選）用一個(gè)平面去截正方體，關(guān)于截面的說(shuō)法，正確的有（）A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形B．截面有可能是四邊形，并且有可能是正方形C．截面有可能是五邊形，并且有可能是正五邊形D．截面有可能是六邊形，并且有可能是正六邊形【答案】ABD【解析】由題意，在正方體中，對(duì)于A中，過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)的截面為，截面的形狀為正三角形，所以A正確；對(duì)于B中，過(guò)棱的中點(diǎn)，作正方體的截面，此時(shí)截面與上下底面平行且全等，所以截面的性質(zhì)為正方形，所以B正確；對(duì)于C中，用一個(gè)平面截正方體，截面可以是五邊形，但不能為正五邊形，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，如圖所示，用一個(gè)平面截正方體，當(dāng)取各