新高考數(shù)學二輪復習重難點7-1 圓的最值與范圍問題（8題型+滿分技巧+限時檢測）（原卷版）

重難點7-1圓的最值與范圍問題與圓相關(guān)的最值問題是近幾年高考數(shù)學對圓的考查的重點內(nèi)容。主要考查與圓相關(guān)的參數(shù)范圍問題和圓相關(guān)的長度或面積的最值及問題。一般以選擇題和填空題的形式考查，但還需注意與圓錐曲線相結(jié)合的問題?！绢}型1圓上一點到定點的最值范圍】滿分技巧圓上的點到定點的距離最值問題：一般都是轉(zhuǎn)化為點到圓心的距離處理，加半徑為最大值，減半徑為最小值。已知圓及圓外一定點，設(shè)圓的半徑為，則圓上點到點距離的最小值為，最大值為，即連結(jié)并延長，為與圓的交點，為延長線與圓的交點.【例1】（2024·山東濟南·高三濟南一中校聯(lián)考開學考試）已知SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的動點，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．8B．9C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1-1】（2024·北京朝陽·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，已知點SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1-2】（2023·山東濰坊·昌邑市第一中學?？寄M預測）已知復數(shù)SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．2B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．3【變式1-3】（2023·上?！じ呷袑嶒瀸W校?？茧A段練習）若點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上運動，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點．SKIPIF1<0點在圓SKIPIF1<0上運動，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．1B．2C．3D．4【變式1-4】（2024·重慶·統(tǒng)考一模）過點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為直角三角形，SKIPIF1<0為坐標原點，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【題型2圓上一點到直線的最值范圍】滿分技巧圓上的點到直線的距離最值問題：已知圓和圓外的一條直線，則圓上點到直線距離的最小值為，距離的最大值為（過圓心作的垂線，垂足為，與圓交于，其反向延長線交圓于【例2】（2023·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習）已知直線SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的最大值為（）A．2B．3C．4D．5【變式2-1】（2024·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知點P為直線SKIPIF1<0上的動點，過P作圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點分別為A，B，若點M為圓SKIPIF1<0上的動點，則點M到直線AB的距離的最大值為．【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）圓SKIPIF1<0上到直線SKIPIF1<0的距離等于1的點的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【變式2-3】（2024·重慶·高三重慶一中?？奸_學考試）已知點SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上的動點，平面內(nèi)的動點SKIPIF1<0到兩定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0距離的最小值為．【變式2-4】（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）動點SKIPIF1<0與兩個定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距離的最大值為.【題型3過圓內(nèi)定點的最值范圍】滿分技巧過圓內(nèi)定點的弦長最值：已知圓及圓內(nèi)一定點，則過點的所有弦中最長為直徑，最短為與該直徑垂直的弦.【例3】（2024·福建福州·高三福州第一中學?？计谀┰O(shè)直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式3-1】（2023·山西忻州·高三校聯(lián)考階段練習）直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0所截得的弦長的最小值為.【變式3-2】（2024·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學?？茧A段練習）已知圓C:SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0被圓C截得的弦長最短時，實數(shù)m的值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．1D．SKIPIF1<0【變式3-3】（2023·河南·高三統(tǒng)考階段練習）過圓SKIPIF1<0內(nèi)點SKIPIF1<0有若干條弦，它們的長度構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0分別為過點SKIPIF1<0的圓的最短弦長和最長弦長，則SKIPIF1<0的取值集合為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式3-4】（2023·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學考試）已知圓SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，當圓SKIPIF1<0被直線SKIPIF1<0截得的弦長最短時，直線SKIPIF1<0的方程為.【題型4圓的切線長的最值范圍】滿分技巧切線長度的最值求法1、代數(shù)法：利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統(tǒng)一成一個，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值；2、幾何法：把切線長最值問題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問題．已知圓和圓外的一條直線，則過直線上的點作圓的切線，切線長的最小值為.【例4】（2024·湖北·校聯(lián)考模擬預測）已知點SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上的一點，過點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0，切點為SKIPIF1<0，則切線長SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式4-1】（2023·湖南長沙·高三雅禮中學?？茧A段練習）已知O為坐標原點，點P在標準單位圓上，過點P作圓C：SKIPIF1<0的切線，切點為Q，則SKIPIF1<0的最小值為．【變式4-2】（2023·河北石家莊·高三統(tǒng)考期中）已知動點SKIPIF1<0到兩個定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之比為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線，切點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式4-3】（2024·全國·模擬預測）已知點SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的動點，過點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的切線，切點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【變式4-4】（2023·浙江·模擬預測）已知圓SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0，由圓外一點SKIPIF1<0向圓SKIPIF1<0引切線，切點分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【題型5距離和差的最值范圍】滿分技巧圓中的距離和差問題可借助圓的幾何特性進行舉例轉(zhuǎn)化，有時需結(jié)合對稱性及三點共線距離最短的性質(zhì)求解最值?！纠?】（2024·四川成都·成都七中?？寄M預測）已知SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上一點，過點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0點為切點），SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上一動點．則SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式5-1】（2024·江西·高三校聯(lián)考期末）已知A為圓C：SKIPIF1<0上的動點，B為圓E：SKIPIF1<0上的動點，P為直線SKIPIF1<0上的動點，則SKIPIF1<0的最大值為.【變式5-2】（2023·江蘇蘇州·高三?？茧A段練習）已知點SKIPIF1<0，點O是坐標原點，點Q是圓SKIPIF1<0上的動點，則SKIPIF1<0的最大值為.【變式5-3】（2023·上海青浦·高三?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼礢KIPIF1<0中，點SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）.A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式5-4】（2023·河南鄭州·高三鄭州市宇華實驗學校?？计谥校┮阎獔AO：SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，M為圓O上的動點，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【題型6與角度有關(guān)的最值范圍】滿分技巧與角度有關(guān)的最值范圍問題的處理方法：利用三角函數(shù)定義，將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為邊的比值，觀察線段之間的關(guān)系再進行處理?！纠?】（2024·全國·模擬預測）設(shè)點SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的動點，過點SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切的兩條直線的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為．【變式6-1】（2024·江蘇·徐州市第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上一點，過SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式6-2】（2024·湖南長沙·長沙一中校聯(lián)考模擬預測）在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式6-3】（2024·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），過SKIPIF1<0上任意一點SKIPIF1<0向圓SKIPIF1<0引切線，切點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式6-4】（2024·江西贛州·南康中學校聯(lián)考模擬預測）在SKIPIF1<0中，已知D為邊BC上一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的最大值為2，則常數(shù)SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【題型7代數(shù)式幾何意義的最值范圍】滿分技巧利用代數(shù)法的幾何意義求最值1、形如的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為過點和點的動直線斜率的最值問題；2、形如的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為點和點距離的平方的最值問題；3、形如的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為動直線縱截距的最值問題【例7】（2023·河南駐馬店·高三河南省駐馬店高級中學校聯(lián)考期末）若點SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0:SKIPIF1<0上一點,則SKIPIF1<0的最小值為（）A．2B．4C．6D．8【變式7-1】（2023·江蘇·高三泰州中學校聯(lián)考階段練習）已知平面四邊形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0，坐標平面內(nèi)的點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是【變式7-2】（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0上的點，則SKIPIF1<0的取值范圍是.【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足方程SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為；SKIPIF1<0的最大值為．【變式7-4】（2024·安徽合肥·合肥一六八中學?？家荒＃┮阎本€SKIPIF1<0交圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．9B．16C．27D．30【題型8圓中面積的最值范圍】滿分技巧與圓有關(guān)的面積最值問題一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾何圖形的關(guān)系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有時可以通過轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合思想求解?！纠?】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習）直線SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0面積的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式8-1】（2024·廣東廣州·高三玉巖中學?？奸_學考試）已知點SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的一點，過點P作圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點分別是點A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式8-2】（2023·全國·模擬預測）設(shè)點P是圓SKIPIF1<0上的動點，過點P作圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB面積的最大值為.【變式8-3】（2024·山西呂梁·統(tǒng)考一模）已知圓SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上的動點，以SKIPIF1<0為直徑的圓與圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，則四邊形SKIPIF1<0面積的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2D．4【變式8-4】（2023·四川成都·高三石室中學?？计谥校┤鐖D，已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，過直角坐標原點SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0分別交兩圓于SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0分別交兩圓于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0面積的最大值為（建議用時：60分鐘）1．（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習）已知SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上一點，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．1B．SKIPIF1<0C．2D．SKIPIF1<02．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學?？寄M預測）在Rt△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若動點P滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．16B．17C．18D．193．（2024·河北邯鄲·高三磁縣第一中學?？茧A段練習）已知點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的動點，點SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的動點，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．（2024·河北·高三張北縣第一中學校聯(lián)考開學考試）已知圓SKIPIF1<0上有一動點P，圓SKIPIF1<0上有一動點Q，直線SKIPIF1<0上有一動點M，直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．4B．5C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<05．（2022·四川廣安·高三岳池中學?？茧A段練習）已知點SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上任意一點，SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<06．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）已知點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，過點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點分別為A，B，點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，則點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07．（2024·廣東肇慶·?？寄M預測）（多選）已知SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的垂足為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．直線SKIPIF1<0過定點B．點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的最大距離為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<08．（2023·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習）（多選）已知圓的圓心在直線SKIPIF1<0上，且與SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作圓的兩條互相垂直的弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.記線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓的方程為SKIPIF1<0B．四邊形SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0C．弦SKIPIF1<0的長度的取值范圍為SKIPIF1<0D．直線SKIPIF1<0恒過定點SKIPIF1<09．（2023·湖北荊州·湖北省松滋市第一中學?？寄M預測）（多選）已知圓SKIPIF1<