2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

人教A版必修第一冊2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中,大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系,例如多與少、大與小、長與短、高與矮、遠(yuǎn)與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過或不少于等.類似于這樣的問題,反映在數(shù)量關(guān)系上,就是相等與不等.相等用等式表示,不等用不等式表示．問題1你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎(1)某路段限速40km/h;(2)某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%;(3)三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊;(4)連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短．問題1你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎(1)某路段限速40km/h;(2)某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%;設(shè)在該路段行駛的汽車的速度為vkm/h,“限速40km/h”就是v的大小不能超過40,于是0<v≤40問題1你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎(3)三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊;(4)連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短．設(shè)△ABC的三條邊為a,b,c,則a+b>c,a-b<c你能寫出其他的可能情況嗎如圖,設(shè)C是線段AB外的任意一點(diǎn),CD垂直于AB,垂足為D,E是線段AB上不同于D的任意一點(diǎn),則CD＜CE．ABCDE問題2:某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售,可以售出8萬本.據(jù)市場調(diào)查,若單價(jià)每提高0.1元銷售量就可能相應(yīng)減少2000本.如何定價(jià)才能使提價(jià)后的銷售總收入不低于20萬元于是,不等關(guān)系“銷售總收入不低于20萬元”可以用不等式表示為設(shè)提價(jià)后每本雜志的定價(jià)為x元,則銷售總收入為求出不等式的解集,就能知道滿足條件的雜志的定價(jià)范圍如何解不等式呢與解方程要用等式的性質(zhì)一樣,解不等式要用不等式的性質(zhì).為此,我們需要先研究不等式的性質(zhì).實(shí)際上,在初中我們已經(jīng)通過具體實(shí)例歸納出了一些不等式的性質(zhì).那么,這些性質(zhì)為什么是正確的還有其他不等式的性質(zhì)嗎回答這些問題要用到關(guān)于兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)．

由于數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng),所以可以利用數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系來規(guī)定實(shí)數(shù)的大小關(guān)系:如圖,設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),它們在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)分別是A,B.那么,當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊時(shí),a＜b;當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊時(shí),a＞b．思考1:實(shí)數(shù)可以比較大小,對于兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,其大小關(guān)系有哪幾種可能a＞b,a=b,a＜b

思考2:任何一個(gè)實(shí)數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn),那么大數(shù)與小數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)的相對位置關(guān)系如何大數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于小數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的右邊不等式基本原理不等式基本原理比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法——作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的大小,歸結(jié)為判斷它們的差a-b的符號;比較兩個(gè)代數(shù)式的大小,實(shí)際上是比較它們的值的大小,而這又歸結(jié)為判斷它們的差的符號．作差法是比較兩數(shù)(式)的大小的最基本和首選的方法：解:比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小的方法:作差,與零比較大小.分析:通過考察這兩個(gè)多項(xiàng)式的差與０的大小關(guān)系,可以得出它們的大小關(guān)系．比較兩個(gè)實(shí)數(shù)(或代數(shù)式)大小的步驟(1)作差：對要比較大小的兩個(gè)數(shù)(或式子)作差；(2)變形：對差進(jìn)行變形(因式分解、通分、配方等)；(3)判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號；(4)作出結(jié)論．這種比較大小的方法通常稱為作差比較法．其思維過程：作差→變形→判斷符號→結(jié)論，其中變形是判斷符號的前提．歸納總結(jié)1、已知x>1,比較x3+6x與x2+6的大?。?/p>

解：

∵(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6

＝x2(x－1)＋6(x－1)

＝(x－1)(x2＋6)∵x>1∴(x－1)(x2＋6)>0∴x3＋6x>x2＋6

作商法:作商法比較大小一般適用于含冪式、積式、分式且符號確定的數(shù)或式的大小的比較,作商后可變形為能與1比較大小的式子.作商法探究:如右圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo),會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的,顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車,代表中國人民熱情好客.你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎問題1:這會標(biāo)中含有怎樣哪些幾何圖形問題2:你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系BACDHEFGab問題3:四個(gè)三角形的總的面積是多少外部的正方形ABCD的面積是多少問題4:你能從左圖中從面積的角度比較這兩個(gè)數(shù)的大小嗎問題5:當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?即a=b時(shí),正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn),這時(shí)四個(gè)三角形的面積和與正方形的面積之間有何關(guān)系思考：當(dāng)a=b時(shí)會出現(xiàn)什么情況？正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有a2＋b2＝２ab一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥２ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立．問題6:通過前面圖形的變化觀察得到a2+b2≥2ab,你能證明a2+b2≥2ab,對任意實(shí)數(shù)a,b都成立嗎

一般地,對于任意實(shí)數(shù)a、b,我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立.重要不等式思考:請你先梳理等式的基本性質(zhì),再觀察它們的共性.你能歸納一下發(fā)現(xiàn)等式基本性質(zhì)的方法嗎等式有下面的基本性質(zhì)：性質(zhì)1如果a=b,那么b=a;

性質(zhì)2如果a=b,b=c,那么a=c;

性質(zhì)3如果a=b,那么a±c=b±c；性質(zhì)4如果a=b,那么ac=bc;性質(zhì)5如果a=b,c≠0,那么．運(yùn)算中的不變性就是性質(zhì)．探究:類比等式的基本性質(zhì),你能猜想不等式的基本性質(zhì)嗎？性質(zhì)1(對稱性):如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即性質(zhì)2(傳遞性):如果a>b,b>c,那么a>c.即性質(zhì)2(傳遞性)的證明性質(zhì)3(可加性):如果a>b,那么a+c>b+c.不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù),所得不等式與原不等式同向.不等式中任何一項(xiàng)可以改變符號后移到不等號的另一邊.性質(zhì)4(可乘性):如果a>b,c>0,那么ac>bc.如果a>b,c<0,那么ac<bc.性質(zhì)5(同向可加性):如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.性質(zhì)6(同向同正可乘性):如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.兩邊都是正數(shù)的同向不等式相乘，所得的不等式和原不等式同向.兩個(gè)同向不等式相加,所得不等式與原不等式同向.當(dāng)不等式的兩邊都是正數(shù)時(shí),不等式的兩邊同時(shí)乘方所得得不等式和原不等式同向.性質(zhì)7(可乘方性):反思利用不等式性質(zhì)判斷不等式是否成立的方法:(1)運(yùn)用不等式的