考研數(shù)學二（二重積分）模擬試卷1（共187題）

考研數(shù)學二（二重積分）模擬試卷1（共7套）（共187題）考研數(shù)學二（二重積分）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)D是有界閉區(qū)域，下列命題中錯誤的是A、若f(x，y)在D連續(xù)，對D的任何子區(qū)域D0均有f(x，y)dσ=0，則f(x，y)≡0((x，y)∈D)．B、若f(x，y)在D可積，f(x，y)≥0但不恒等于0((x，y)∈D)，則f(x，y)dσ＞0．C、若f(x，y)在D連續(xù)f2(x，y)dσ=0，則f(x，y)≡0((x，y)∈D)．D、若f(x，y)在D連續(xù)，f(x，y)＞0((x，y)∈D)，則f(x，y)dσ＞0．標準答案：B知識點解析：直接指出其中某命題不正確．因為改變有限個點的函數(shù)值不改變函數(shù)的可積性及相應的積分值，因此命題(B)不正確．設(shè)(x0，y0)是D中某點，令f(x，y)=則在區(qū)域D上2f(x，y)≥0且不恒等于0，但f(x，y)dσ=0．因此選(B)．或直接證明其中三個是正確的．命題(A)是正確的．用反證法、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及二重積分的不等式性質(zhì)可得證．若f(x，y)在D不恒為零(x0，y0)∈D，f(x0，y0)≠0，不妨設(shè)f(x0，y0)＞0，由連續(xù)性有界閉區(qū)域D0D，且當(x，y)∈D0時f(x，y)＞0f(x，y)dσ＞0，與已知條件矛盾．因此，f(x，y)≡0((x，y)∈D)．命題(D)是正確的．利用有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)達到最小值及重積分的不等式性質(zhì)可得證．這是因為f(x，y)≥=f(x0，y0)＞0，其中(x0，y0)是D中某點．于是由二重積分的不等式性質(zhì)得f(x，y)dσ≥f(x0，y0)σ＞0，其中σ是D的面積．命題(C)是正確的．若f(x，y)在(x，y)∈D上f2(x，y)≥0且不恒等于0．由假設(shè)f2(x，y)在D連續(xù)f2(x，y)dσ＞0與已知條件矛盾．于是f(x，y)≡0在D上成立．因此選B．2、比較下列積分值的大?。?Ⅰ)l1=ln3(x+y)dxdy，I0=(x+y)3dxdy，I3=[sin(x+y)]3dxdy，其中D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1圍成，則I1，I2，I3之間的大小順序為A、I1＜I2＜I3．B、I3＜I2＜I1．C、I1＜I3＜I2．D、I3＜I1＜I2．標準答案：C知識點解析：在區(qū)域D上，≤x+y≤1．當≤t≤1時，lnt≤sint≤t，從而有(x，y)∈D時，ln3(x+y)sin3(x+y)(x+y)3，則ln3(x+y)dσ＜sin3(x+y)dσ＜(x+y)3dσ．因此選C．3、比較下列積分值的大?。篔i=e-(x2+y2)dxdy，i=1，2，3，其中D1={x，y)｜x2+y2≤R2}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2}，D3={(x，y)｜｜x｜≤R，｜y｜≤R}．則J1，J2，J3之間的大小順序為A、J1＜J2＜J3．B、J2＜J3＜J1．C、J1＜J3＜J2．D、J3＜J2＜J1．標準答案：C知識點解析：D1，D2是以原點為圓心，半徑分別為R，的圓，D3是正方形，顯然有D1D3D2．因此C成立．二、填空題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)4、設(shè)D是OXy平面上以A(1，1)，B(-1，1)和C(-1，-1)為頂點的三角形區(qū)域，則==_______．標準答案：8知識點解析：連將區(qū)域D分成D1(三角形OAB)，D2(三角形DBC)兩個部分(見圖8．2)，它們分別關(guān)于y軸與x軸對稱．由于對x與y均為奇函數(shù)，因此又由于D的面積=.2.2=2，所以4dxdy=4.2=8．于是I=0+8=8．三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)5、將f(x，y)dxdy化為累次積分，其中D為x2+y2≤2ax與x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．標準答案：如圖8．5，x2+y2=2ax與x2+y2=2ay是兩個圓，其交點為O(0，0)，P(a，a)．因此，若先對y積分，就有若先對x求積分，則知識點解析：暫無解析6、設(shè)D是由曲線(a＞0，b＞0)與x軸，y軸圍成的區(qū)域，求I=ydxdy．標準答案：先對y積分．令，則x=a(1-t)2，dx=2a(t-1)dt．于是I=∫04t4(1-t)2adt=.知識點解析：暫無解析7、在極坐標變換下將f(x，y)dσ化為累次積分，其中D為：x2+y2≤2ax與x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．標準答案：由于兩個圓在極坐標下的表達式分別為：r=2acosθ與r=2asinθ，交點P處的極坐標是．于是連接OP將區(qū)域D分成兩部分(見圖8．13)，則或者先對θ積分，則知識點解析：暫無解析8、計算二重積分，其中D由y=x與y=x4圍成．標準答案：D的圖形如圖8．14所示，雖然D的邊界不是圓弧，但被積函數(shù)是r=選用極坐標變換方便．在極坐標變換下，D的邊界方程是θ=從而于是知識點解析：暫無解析9、求I=，其中D為y=，y=x及x=0所圍成區(qū)域．標準答案：區(qū)域D如圖8．15．被積函數(shù)只含y，先對x積分，雖然積分區(qū)域要分塊，但計算較簡單.若先對y積分，則求積分要費點功夫．選擇先對x積分，將D分塊：于是知識點解析：暫無解析10、求I=，其中D是由拋物線y2=x，直線x=0，y=1所圍成．標準答案：的原函數(shù)不是初等函數(shù)，故積不出來，因此選先x后y的順序．積分區(qū)域D如圖8．16，于是I=∫01dx∫0y2=∫01｜0y2dy=∫01(yey-y)dy=.知識點解析：暫無解析11、求I=x[1+yf(x2+y2)]dxdy，D由y=x3，y=1，x=-1圍成，f是連續(xù)函數(shù)．標準答案：D的圖形如圖8．17．xdxdy=∫-11dxf∫x31xdy=∫-11x(1-x3)dx=xyf(x2+y2)dxdy=xyf(x2+y2)dxdy=0．這里被積函數(shù)xyf(x2+y2)關(guān)于(x，y)為偶函數(shù)，而D1={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x3}與D’1={(x，y)｜-1≤x≤0，x3≤y≤0}關(guān)于原點對稱xyf(x2+y2)dxdy=xyf(x2+y2)dxdy，xyf(x2+y2)dxdy=xyf(x2+y2)dxdy+xyf(x2+y2)dxdy=xyf(x2+y2)dxdy=0．因此知識點解析：暫無解析12、求I=其中D：｜x｜≤1，0≤y≤2．標準答案：在積分區(qū)域D上被積函數(shù)分塊表示為｜y-x2｜=(x，y)∈D，因此要將D分塊，用分塊積分法．又D關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于x為偶函數(shù)，記D1={(x，y)｜(x，y)∈D，x≥0，y≥x2}，D2={(x，y)｜(x，y)∈D，x≥0，y≤x2}，于是知識點解析：暫無解析13、設(shè)D由拋物線y=x2，y=4x2及直線y=1所圍成．用先x后y的順序，將I=化成累次積分．標準答案：區(qū)域D如圖8．18所示，將D分成x≥0與x≤0兩部分才是先積x后積y的類型，于是用分塊積分法即得知識點解析：暫無解析14、求I=，D由曲線x2+y2=2x+2y-1所圍成．標準答案：D是圓域：(x-1)2+(y-1)2≤1，見圖8．19．作平移變換u=x-1，v=y-1，則其中D’={(u，v)｜u2+v2≤1}．知識點解析：暫無解析15、交換累次積分的積分順序：I=∫01dxf(x，y)dy+∫14dxf(x，y)dy．標準答案：將累次積分表示為f(x，y)dσ，累次積分的表示式表明：積分區(qū)域D由兩部分構(gòu)成，當0≤x≤1時，區(qū)域D的下側(cè)邊界為，上側(cè)邊界為；當1≤x≤4時，D的下側(cè)邊界為y=x-2，上側(cè)邊界為．即D={(x，y)｜0≤x≤1，}∪{(x，y)｜1≤x≤4，x-2≤y≤}.其圖形為圖8．20所示，改變積分順序，先對x求積分，就要把區(qū)域D的邊界表示成y的函數(shù)，即D的左側(cè)邊界為x=y2，右側(cè)邊界為x=y+2，最后再求出x=y2與x=y+2的兩個交點的縱坐標y=-1和y=2，即可將區(qū)域D表示為D={(x，y)｜-1≤y≤2，y2≤x≤y+2}，由此不難寫出新的累次積分．先對x積分，就是從區(qū)域D的左側(cè)邊界x=y2到右側(cè)邊界x=y+2．兩邊界線的交點為(1，-1)與(4，2)，于是由(8．4)式得I=f(x，y)dxdy=∫-12dy∫y2y+2f(x，y)dx.知識點解析：暫無解析16、將極坐標變換后的二重積分f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ的如下累次積分交換積分順序：其中F(r，θ)=f(rcosθ，rsinθ)r．標準答案：r=2acosθ是圓周x2+y2=2ax，即(x-a)2+y2=a2，因此D的圖形如圖8．21所示．為了先θ后r的積分順序，將D分成兩塊，如圖8．21虛線所示，D=D1∪D2，D1={(x，y)｜0≤r≤D2=因此知識點解析：暫無解析17、計算累次積分：I=∫01dx∫1x+1ydy+∫12dx∫xx+1ydy+∫23dx∫x3ydy．標準答案：由累次積分限知：0≤x≤1時1≤y≤x+1；1≤x≤2時x≤y≤x+1；2≤x≤3時x≤y≤3，于是積分區(qū)域D如圖8．23所示，因此D可表示為D={(x，y)｜1≤y≤3，y-1≤x≤y}，則原式=ydσ=∫13dy∫y-1yydx=∫13ydy=y2｜13=4.知識點解析：暫無解析18、將dθ∫0sinθf(rcosθ，rsinθ)rdr寫成直角坐標系下先對y后對x積分的累次積分．標準答案：D的極坐標表示：≤0≤π，0≤r≤sinθ，即≤0≤π，r2≤rsinθ，即x2+y2≤y，x≤0，則D為左半圓域：x2+y2≤y，x≤0，即x2+，x≤0．先對y后對x積分，D：于是原式=知識點解析：暫無解析19、計算e-y2dy∫0ye-x2dx+e-x2dx．標準答案：題中無論是先對x，還是先對y積分都很難進行，這是因為e-x2，e-y2的原函數(shù)不是初等函數(shù)，所以必須改用其他坐標系．又由于被積函數(shù)屬f(x2+y2)的形式，因此選用極坐標系較方便．積分區(qū)域D為扇形所以原式=e-(x2+y2)dxdy=dθ∫0Re-r2rdr=(1-e-R2)=(1-e-R2).知識點解析：暫無解析20、計算，其中D是由圓心在點(a，a)、半徑為a且與坐標軸相切的圓周的較短一段弧和坐標軸所圍成的區(qū)域．標準答案：由于圓的方程為：(x-a)2+(y-a)2=a2，區(qū)域D的邊界所涉及的圓弧為y=a-，所以知識點解析：暫無解析21、計算二重積分：｜｜x+y｜-2｜dxdy，其中D：0≤x≤2，-2≤y≤2．標準答案：因如圖8．24，用直線y=-x+2，y=-x將D分成D1，D2與D3．于是知識點解析：暫無解析22、計算下列二重積分：(Ⅰ)xydσ，其中D是由曲線r=sin2θ(0≤θ≤)圍成的區(qū)域；(Ⅱ)xydσ，其中D是由曲線y=，x2+(y-1)2=1與y軸圍成的在右上方的部分．標準答案：(Ⅰ)積分域D見圖8．25．D的極坐標表示是：0≤θ≤，0≤r≤sin2θ，于是(Ⅱ)選用極坐標系，所涉及兩個圓的極坐標方程為r=1與r=2sinθ，交點的極坐標為(見圖8．26)，于是積分域D的極坐標表示為D=，則知識點解析：暫無解析23、求下列二重積分：(Ⅰ)I=，其中D為正方形域：0≤x≤1，0≤y≤1；(Ⅱ)I=｜3x+4y｜dxdy，其中D：x2+y2≤1；(Ⅲ)I=ydxdy，其中D由直線z=-2，y=0，y=2及曲線x=所圍成．標準答案：考察積分區(qū)域與被積函數(shù)的特點，選擇適當方法求解．(Ⅰ)盡管D的邊界不是圓弧，但由被積函數(shù)的特點知選用極坐標比較方便．D的邊界線x=1及y=1的極坐標方程分別為于是(Ⅱ)在積分區(qū)域D上被積函數(shù)分塊表示，若用分塊積分法較復雜．因D是圓域，可用極坐標變換，轉(zhuǎn)化為考慮定積分的被積函數(shù)是分段表示的情形．這時可利用周期函數(shù)的積分性質(zhì)．作極坐標變換x=rcosθ，y=rsinθ，則D：0≤θ≤2π，0≤r≤1．從而I=∫02π｜3cosθ+4sinθ｜dθ∫01.rdr=∫02πsin(θ+θ0)｜dθ，其中sinθ0=，cosθ0=．由周期函數(shù)的積分性質(zhì)，令t=θ+θ0就有(Ⅲ)D的圖形如圖8．27所示．若把D看成正方形區(qū)域挖去半圓D1，則計算D1上的積分自然選用極坐標變換．若只考慮區(qū)域D，則自然考慮先x后y的積分順序化為累次積分．若注意D關(guān)于直線y=1對稱，選擇平移變換則最為方便．作平移變換u=x，v=y-1，注意曲線即x2+(y-1)2=1，x≤0，則D變成D’.D’由u=-2，v=-1，v=1，u2+v2=1(u≤0)圍成，則知識點解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且恒大于零，證明：∫abf(a)dx∫ab≥(b-a)2．標準答案：利用積分變量的改變，可得∫abf(x)dx∫ab=∫abf(x)dx∫ab其中D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}．并且利用對稱性(D關(guān)于y=x對稱)，可得∫abf(x)dx∫ab=(b-a)2．知識點解析：暫無解析25、(Ⅰ)記Ω(R)={(x，y)｜x2+y2≤R2}，I(R)=e-(x2+y2)dxdy，求I(R)；(Ⅱ)證明：∫-∞+∞e-x2dx=標準答案：(Ⅰ)首先用極坐標變換求出I(R)，然后求極限I(R).作極坐標變換x=rcosθ，y=rsinθ得I(R)=∫02πdθ∫0Re-r2rdr=2π(e-r2)｜0R=π(1-e-R2)．因此，(Ⅱ)因為e-x2在(-∞，+∞)可積，則∫-∞+∞e-x2dx=∫-RRe-x2dx．通過求∫-RRe-x2dx再求極限的方法行不通，因為∫e-x2dx積不出來(不是初等函數(shù))．但可以估計這個積分值．為了利用e-(x2+y2)dxdy，我們?nèi)园岩辉瘮?shù)的積分問題轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)的重積分問題．(∫-RRe-x2dx)=∫-RRe-x2dx∫-RRe-y2dy=e-(x2+y2)dxdy．其中D(R)={(x，y)｜｜x｜≤R，｜y｜≤R}．顯然I(R)≤e-(x2+y2)dxdy≤，又，于是(∫-RRe-x2dx)2=(∫-∞+∞e-x2dx)2=π.知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（二重積分）模擬試卷第2套一、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)D為兩個圓：x2+y2≤1及(x-2)2+y2≤4的公共部分．則I=ydxdy=______．標準答案：0知識點解析：D關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)對y為奇函數(shù)I=0．2、設(shè)D為y=x3及x=-1，y=1所圍成的區(qū)域，則I=xydxdy=______．標準答案：0知識點解析：D如圖8．1所示．添加輔助線y=-x3(x≤0)，將D分解成D=D1∪D2，其中D1關(guān)于y軸對稱，D2關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)對x，y均為奇函數(shù)3、I=｜xy｜dxdy=_______．標準答案：知識點解析：區(qū)域如圖8．2所示，由對稱性與奇偶性其中D1：0≤y≤1-x，0≤x≤1．于是I=4∫01dx∫01-xxydy=4∫01x(1-x)2dx=∫01xd(1-x)3=∫01(1-x)3dx4、設(shè)D：0≤x≤1，0≤y≤1，則I==_______.標準答案：知識點解析：D關(guān)于直線y=x對稱與原式相加5、設(shè)I1=(x4+y4)dσ，I2=(x4+y4)dσ，I3=2x2y2dσ，則這三個積分的大小順序是_________＜____________＜__________.標準答案：I3＜I1＜I2知識點解析：比較I1與I2，被積函數(shù)是相同的連續(xù)非負函數(shù)，積分區(qū)域圓域(x2+y2≤1)包含在正方形區(qū)域(｜x｜≤1，｜y｜≤1)中I1＜I2．比較I1與I3，積分區(qū)域相同，被積函數(shù)均是連續(xù)的，比較它們知x4+y42x2y2I1＞I3．因此I3＜I1＜I2．6、設(shè)D為圓域x2+y2≤x，則I==______.標準答案：知識點解析：D如圖8．3．用極坐標變換，D的極坐標表示：于是二、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)7、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，證明：∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=[∫01f(x)dx]2．標準答案：先將累次積分表示成二重積分，則有I=∫01f(x)dx∫x1f(yy)dy=f(x)f(y)dxdy，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，x≤y≤1}，如圖8．28，它與D’={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}關(guān)于y=x對稱．于是I=f(x)f(y)dxdy，2I=f(x)f(y)dxdy+f(x)f(y)dxdy=∫01dx∫01f(x)f(y)dy=∫01f(x)dx.∫01f(y)dy=[∫01f(y)dx]2，因此，I=[∫01f(x)dx]2．知識點解析：暫無解析8、計算，其中D為曲線y=lnx與兩直線y=0，y=(e+1)-x所圍成的平面區(qū)域．標準答案：y=lnx與y=(e+1)-x的交點是(e，1)，D如圖8．4所示，在Oxy坐標系中選擇先x后y的積分順序(D不必分塊)得知識點解析：暫無解析9、計算I=x2e-y2dxdy，其中D是以O(shè)(0，0)，A(1，1)，B(-1，1)為頂點的三角形區(qū)域．標準答案：D如圖8．5所示，D關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)對x為偶函數(shù)．I=2x2e-y2dxdy．其中D1=D∩{x≥0}．選擇先x后y的積分順序I=2∫01dy∫0yx2e-y2dx=∫01y3e-y2dx=∫01y2de-y2=y2e-y2｜01+∫01e-y2dy2=e-1-e-y2｜01=e-1.知識點解析：暫無解析10、計算，其中D：1≤x2+y2≤9，標準答案：令x=rcosθ，y=rsinθ，則D：1≤r≤3，．于是知識點解析：暫無解析11、計算sin(x-y)｜dxdy，其中D：0≤x≤y≤2π．標準答案：(分塊積分法)D如圖8．6-(a)，被積函數(shù)分塊表示，要分塊積分，將D分成D=D1∪D2，以y-x=π為分界線(如圖8．6-(b))．在D1上，π≤y-x≤2π；在D2上，0≤y-x≤π，則在D2上邊界分段表示(如圖8．6-(c))，也要分塊積分I=-∫0πdx∫x+π2πsin(y-x)dy+∫0πdx∫xx+πsin(y-x)dy+∫π2πdx∫x2πsin(y-x)dy=∫0πcos(y-x)｜y=1+π2πdx-∫0πcos(y-x)∫y=xx+πdx-∫π2πcos(y-x)｜y=x2πdx=∫0π(cosx+1)dx+∫0π2dx-∫π2π(cosx-1)dx=4π．知識點解析：暫無解析12、計算(x+y)2dxdy，其中D：｜x｜+｜y｜≤1．標準答案：D關(guān)于x，y軸均對稱，它在第一象限部分記為D1，如圖8．7．I=[(x2+y2)+2xy]dσ=x2dxdy+0=8x2dxdy=8∫01dx∫01-xx2dy=8∫01x2(1-x)dx知識點解析：暫無解析13、計算，其中D：x≥0，y≥0，x+y≤1．標準答案：極坐標變換x=rcosθ，y=rsinθ．于是知識點解析：暫無解析14、設(shè)a＞0為常數(shù)，求積分I=xy2dσ，其中D：x2+y2≤ax．標準答案：D是圓域(如圖8．9)：作極坐標變換x=rcosθ，y=rsinθ，并由D關(guān)于x軸對稱，x軸上方部分為D1：0≤θ≤，0≤r≤acosθ．于是知識點解析：暫無解析15、設(shè)D={(x，y)｜x2+y2≤2x+2y}，求I=(x+y2)dxdy．標準答案：D是圓域：(x-1)2+(y-1)2≤2，也考慮到被積函數(shù)的情形，先作平移變換u=x-1，v=y-1，則I=(2+u+2v+v2)dudv，其中D：u2+v2≤2．于是由D的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性得I=(2+v2)dudv=2.π.2+v2dudv．余下求I1=v2dudv．利用直角坐標系中的公式I1=4v2dudv，其中D1={(u，v)｜0≤u≤是D的第一象限部分．知識點解析：暫無解析16、設(shè)D={(x，y)｜x+y≥1，x2+y2≤1}，求I=(x2+y2)dσ．標準答案：D由直線x+y=1與圓周x2+y2=1所圍成，如圖8．10．記D1={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)｜x+y≤1，x≥0，y≥0}，D=D1＼D2，從而I=(x2+y2)dσ-(x2+y2)dσ=(x2+y2)dσ-2x2dσ=dθ∫01r2.rdr-2∫01dx∫01-xx2dy=-2∫01x2(1-x)dx其中由于D2關(guān)于直線y=x對稱，所以y2dσ=x2dσ．知識點解析：暫無解析17、∫01dx∫0x2f(x，y)dy+∫13dxf(x，y)dy．標準答案：如圖8．11所示．知識點解析：暫無解析18、∫-10dx∫-x2-x2f(x，y)dy+∫01dx∫x2-x2f(x，y)dy．標準答案：如圖8．12所示．原式=f(x，y)dσ=∫01dy∫-yyf(x，y)dx+∫12dyf(x，y)dx．知識點解析：暫無解析19、∫0t2dxf(x，y)dy(t＞0)．標準答案：如圖8．13所示．當z∈[0，t2]時，≤t(t＞0)，于是原式=-∫0t2-∫0tdy0y2f(x，y)dx=∫0tdy∫y20f(x，y)dx．知識點解析：暫無解析20、極坐標系下的累次積分f(rcosθ，rsinθ)rdr．標準答案：在直角坐標系Oθr中畫出D’的草圖(如圖8．14)．原積分=f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ．由r=得r2=sin2θ．當0≤θ≤arcsinr2；當，r2=sin2θ=sin(π-2θ)．于是π-2θ=arcsinr2，θ=arcsinr2．因此原積分知識點解析：暫無解析21、∫01dx標準答案：如圖8．15所示．=∫01sinydy+∫01ydcosy=-cos｜01+cos1-∫01cosydy=1-8iny｜01=1-sin1．知識點解析：暫無解析22、∫0Rdxln(1+x2+y2)dy(R＞0)．標準答案：如圖8．16所示．I=ln(1+x2+y2)dσdθ∫0Rln(1+r2)rdr=[R2ln(1+R2)-R2+ln(1+2)]=[(1+R2)ln(1+R2)-R2]．知識點解析：暫無解析23、∫01dy∫y1標準答案：表成D的二重積分，確定D，再交換積分次序．原式=D如圖8．17知識點解析：暫無解析24、∫01dx標準答案：計算這類累次積分的方法，常常是先確定積分區(qū)域D，化成二重積分f(x，y)dxdy，然后改換積分順序再求解，或改用極坐標變換再求解．由本題的特點選用后一種方法．D是圓域的一部分，如圖8．18所示，則作極坐標變換，圓周方程為(y+1)2+x2=1，即x2+y2=-2y，即r=-2sinθ，積分區(qū)域D：≤θ≤0，0≤r≤-2sinθ，于是知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(u)可導，f(0)=0，f’(0)=．標準答案：t＞0．化二重積分為定積分．作極坐標變換I(t)=∫02πdθ∫0tf(R)rdr=∫0tf(r)rdr知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(x)在[a，b]連續(xù)，且f(x)＞0，∫abf(x)dx=A．D為正方形區(qū)域：a≤x≤b，a≤y≤b，求證：(Ⅰ)(Ⅱ)I≥(b-a)(b-a+A)．標準答案：(Ⅰ)D關(guān)于直線y=x對稱，利用二重積分的有關(guān)性質(zhì)：得相加得由初等不等式：(Ⅱ)由不等式et＞1+t(t＞0)及題(Ⅰ)=(b-a)2+(b-a)∫abf(x)dx=(b-a)(b-a+A)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（二重積分）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、累次積分f(rcosθ，rsinθ)rdr可以寫成()．A、B、C、D、標準答案：D知識點解析：積分區(qū)域的直角坐標形式為D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤χ，y≥0}，則原式＝f(χ，y)dy，應選D．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)2、cos(2χ＋y)dχdy＝_______，其中D：χ2＋y2≤r2．標準答案：1知識點解析：由積分中值定理，存在(ξ，η)∈D，使得3、設(shè)f(χ，y)為連續(xù)函數(shù)，且f(χ，y)＝y(tǒng)2＋χf(χ，y)dχdy，則f(χ，y)＝_______．標準答案：y2＋知識點解析：令f(χ，y)dχdy＝A，則f(χ，y)＝y(tǒng)2＋Aχ，兩邊積分得4、設(shè)區(qū)域D為χ2＋y2≤R2，則＝_______．標準答案：知識點解析：由對稱性得χ2dχdy＝y(tǒng)2dχdy，則5、交換積分次序f(χ，y)dy＝_______．標準答案：知識點解析：暫無解析6、交換積分次序，則＝_______．標準答案：知識點解析：暫無解析7、交換積分次序＝_______．標準答案：知識點解析：令D1＝{(χ，y)}0≤χ≤，χ2≤y≤χ}，則8、ycos(1－χ)2dχ＝_______．標準答案：sin1知識點解析：9、設(shè)f(χ)＝，D為－∞＜χ＜＋∞，－∞＜y＜＋∞，則f(y)f(χ＋y)dχdy＝_______．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)10、求標準答案：交換積分次序得知識點解析：暫無解析11、將積f(χ，y)dχdy化成極坐標形式，其中D為χ2＋y2＝－8χ所圍成的區(qū)域．標準答案：知識點解析：暫無解析12、已知f(χ)可導，且滿足f(t)＝f(y)dy＋1，求f(χ)．標準答案：改變積分次序得原式化為f(t)＝∫0tf(y)dy＋1，兩邊求導得f′(t)－f(t)＝0，解得f(t)＝Cet，由f(0)＝1得C＝1，則f(χ)＝eχ．知識點解析：暫無解析13、求極限標準答案：交換積分次序得知識點解析：暫無解析14、設(shè)函數(shù)f(χ)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，并設(shè)，∫01f(χ)dχ＝a，求∫01dχ∫χ1f(χ)f(y)dy．標準答案：令F(χ)＝∫0χf(t)dt，F(xiàn)(1)＝a，則∫01dχ∫χ1f(χ)f(y)dy＝∫01f(χ)dχ∫χ1f(y)dy＝∫01f(χ)[F(1)－F(χ)]dχ＝a∫01f(χ)dχ－∫01F(χ)dF(χ)＝a2．知識點解析：暫無解析15、計算χydχdy，其中D＝{(χ，y)｜y≥0，χ2＋y2≤1，χ2＋y2≤2χ}．標準答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(χ，y)＝求f(χ，y)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≥2χ}．標準答案：知識點解析：暫無解析17、設(shè)D：｜χ｜≤1，｜y｜≤1，求｜y－χ｜dχdy．標準答案：令D1＝{(χ，y)｜－1≤χ≤1，－1≤y≤χ}，D2＝{(χ，y)｜－1≤χ≤1，χ≤y≤1}，則知識點解析：暫無解析18、計算，其中D＝{(χ，y)｜－1≤χ≤1，0≤y≤2}．標準答案：令D1＝{(χ，y)｜－1≤χ≤1，0≤y≤χ2}，D2＝{(χ，y)｜－1≤χ≤1，χ2≤y≤2}，則知識點解析：暫無解析19、｜χ2＋y2－4｜dχdy，其中D：χ2＋y2≤9．標準答案：令D1＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤4}，D2＝{(χ，y)｜4＜χ2＋y2≤9}，知識點解析：暫無解析20、計算(4－χ2－y2)dχdy，其中D為由圓χ2＋y2＝2y所圍成的平面閉區(qū)域．標準答案：令(0≤θ≤π，0≤r≤2sinθ)，則知識點解析：暫無解析21、設(shè)D是由χ≥0，y≥χ與χ2＋(y－b)2≤b2，χ2＋(y－a)2≥a2(0＜a＜b)所圍成的平面區(qū)域，求χydχdy．標準答案：知識點解析：暫無解析22、設(shè)D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤χ}，求標準答案：知識點解析：暫無解析23、計算(χ＋y)dχdy，其中D：χ2＋y2≤χ＋y．標準答案：區(qū)域D寫成D：，知識點解析：暫無解析24、設(shè)f(χ，y)＝，求f(χ，y)dχdy其中D＝{χ，y)｜｜χ｜＋｜y｜≤2}．標準答案：令D1＝{(χ，y)｜χ＋y≤1，χ≥0，y≥0}，D2＝{(χ，y)｜1＜χ＋y≤2，χ≥0．y≥0}，知識點解析：暫無解析25、計算二次積分I＝標準答案：知識點解析：暫無解析26、設(shè)f(χ)連續(xù)，且f(0)＝0，f′(0)≠0．求，其中D：χ2＋y2≤t2．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（二重積分）模擬試卷第4套一、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)D是Oxy平面上以A(1，1)，B(－1，1)和C(－1，－1)為頂點的三角形區(qū)域，則I==_________．標準答案：8知識點解析：連將區(qū)域D分成D1(三角形OAB)，D2(三角形OBC)兩個部分(見圖8．2)，它們分別關(guān)于y軸與x軸對稱．由于對x與y均為奇函數(shù)，因此又由于D的面積==2，所以4dxdy=4.2=8．于是I=0+8=8．2、設(shè)D為y=x3及x=－1，y=1所圍成的區(qū)域，則I=xydxdy=________．標準答案：0知識點解析：D如圖8．1所示．添加輔助線y=－x3(x≤0)，將D分解成D=D1∪D2，其中D1關(guān)于y軸對稱，D2關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)對x，y均為奇函數(shù)=>3、設(shè)D：0≤x≤1，0≤y≤1，則I==________．標準答案：知識點解析：D關(guān)于直線y=x對稱=>與原式相加=>4、設(shè)D為圓域x2+y2≤x，則I==________．標準答案：知識點解析：D如圖8．3．用極坐標變換，D的極坐標表示：二、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)5、設(shè)D是由曲線=1(a＞0，b＞0)與x軸，y軸圍成的區(qū)域，求I=．標準答案：先對x積分．區(qū)域D如圖8．6所示．知識點解析：暫無解析6、計算二重積分I=，其中D由y=x與y=x4圍成．標準答案：D的圖形如圖8．14所示，雖然D的邊界不是圓弧，但被積函數(shù)是r=，選用極坐標變換方便．在極坐標變換下，D的邊界方程是，從而知識點解析：暫無解析7、求I=，其中D是由拋物線y2=x，直線x=0，y=1所圍成．標準答案：的原函數(shù)不是初等函數(shù)，故積不出來，因此選先x后y的順序．積分區(qū)域D如圖8．16，于是知識點解析：暫無解析8、求I=，其中D：｜x｜≤1，0≤y≤2．標準答案：在積分區(qū)域D上被積函數(shù)分塊表示為因此要將D分塊，用分塊積分法．又D關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于x為偶函數(shù)，記D1={(x，y)｜(x，y)∈D，x≥0，y≥x2}，D2={(x，y)｜(x，y)∈D，x≥0，y≤x2}，知識點解析：暫無解析9、求I=，D由曲線x2+y2=2x+2y－1所圍成．標準答案：D是圓域：(x－1)2+(y－1)2≤1，見圖8．19．作平移變換u=x－1，v=y－1，則I==0+π=π，其中D’={(u，v)｜u2+v2≤1}．知識點解析：暫無解析10、比較下列積分值的大?。?Ⅰ)I1=,其中D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1圍成，則I1，I2，I3之間的大小順序為(A)I1＜I2＜I3．(B)I3＜I2＜I1．(C)I1＜I3＜I2．(D)I3＜I1＜I2．(Ⅱ)Ji=，i=1，2，3，其中D1={x，y)｜x2+y2≤R2}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2}，D3={(x，y)｜x｜≤R，｜y｜≤R}．則J1，J2，J3之間的大小順序為(A)J1＜J2＜J3．(B)J2＜J3＜J1．(C)J1＜J3＜J2．(D)J3＜J2＜J1．標準答案：題(Ⅰ)中，積分區(qū)域相同，被積函數(shù)連續(xù)，可通過比較被積函數(shù)來判斷；題(Ⅱ)中被積函數(shù)相同，連續(xù)且是正的，可通過比較積分區(qū)域來判斷積分值的大?。?Ⅰ)在區(qū)域D上，≤x+y≤1．當≤t≤1時，lnt≤sint≤t，從而有(x，y)∈D時，則．因此選(C)．(Ⅱ)D1，D2是以原點為圓心，半徑分別為R，的圓，D3是正方形，顯然有．因此(C)成立．知識點解析：暫無解析11、將極坐標變換后的二重積分f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ的如下累次積分交換積分順序：其中F(r，θ)=f(reosθ，rsinθ)r．標準答案：r=2acosθ是圓周x2+y2=2ax，即(x－a)2+y2=a2，因此D的圖形如圖8．21所示．為了先θ后r的積分順序，將D分成兩塊，如圖8．21虛線所示，D=D1∪D2，知識點解析：暫無解析12、將dθ∫0sinθf(rcosθ，rsinθ)rdr寫成直角坐標系下先對y后對x積分的累次積分．標準答案：D的極坐標表示：≤θ≤π，0≤r≤sinθ，即≤θ≤π，r2≤rsinθ，即x2+y2≤y，x≤0，則D為左半圓域：x2+y2≤y，x≤0，即x2+，x≤0．先對y后對x積分，D：，于是原式=知識點解析：暫無解析13、計算(a＞0)，其中D是由圓心在點(a，a)、半徑為a且與坐標軸相切的圓周的較短一段弧和坐標軸所圍成的區(qū)域．標準答案：由于圓的方程為：(x－a)2+(y－a)2=a2，區(qū)域D的邊界所涉及的圓弧為y=a－，所以知識點解析：暫無解析14、計算下列二重積分：(Ⅰ)xydσ,其中D是由曲線r=sin2θ(0≤θ≤)圍成的區(qū)域；(Ⅱ)xydσ，其中D是由曲線y=，x2+(y－1)2=1與y軸圍成的在右上方的部分．標準答案：(Ⅰ)積分域D見圖8．25．D的極坐標表示是：0≤θ≤，0≤r≤sin2θ，于是(Ⅱ)選用極坐標系，所涉及兩個圓的極坐標方程為r=1與r=2sinθ，交點的極坐標為(1，)(見圖8．26)，于是積分域D的極坐標表示為D={(r，θ)｜，1≤r≤2sinθ，則知識點解析：暫無解析15、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且恒大于零，證明：標準答案：利用積分變量的改變，可得其中D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}．并且利用對稱性(D關(guān)于y=x對稱)，可得知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，證明：∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=[∫01f(x)dx]2．標準答案：先將累次積分表示成二重積分，則有I=∫01f(x)dx∫x1f(y)dy=f(x)f(y)dxdy，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，x≤y≤1}，如圖8．28，它與D’={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}關(guān)于y=x對稱．于是I=f(x)f(y)dxdy，2I==∫01dx∫01f(x)f(y)dy=∫01f(x)dx∫01f(y)dy=[∫01f(x)dx]2，因此，I=[∫01f(x)dx]2．知識點解析：暫無解析17、計算I=，其中D是以O(shè)(0，0)，A(1，1)，B(－1，1)為頂點的三角形區(qū)域．標準答案：D如圖8．5所示，D關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)對x為偶函數(shù)．其中D1=D∩{x≥0}．選擇先x后y的積分順序知識點解析：暫無解析18、計算｜sin(x－y)｜dxdy，其中D：0≤x≤y≤2π．標準答案：(分塊積分法)D如圖8．6-(a)，被積函數(shù)分塊表示，要分塊積分，將D分成D=D1∪D2，以y－x=π為分界線(如圖8．6-(b))．在D1上，π≤y－x≤2π；在D2上，0≤y－x≤π，則在D2上邊界分段表示(如圖8．6-(c))，也要分塊積分知識點解析：暫無解析19、計算，其中D：x≥0，y≥0，x+y≤1．標準答案：極坐標變換x=rcosθ，y=rsinθ．D：0≤θ≤于是知識點解析：暫無解析20、設(shè)D={(x，y)｜x2+y2≤2x+2y}，求I=(x+y2)dxdy．標準答案：D是圓域：(x－1)2+(y－1)2≤2，也考慮到被積函數(shù)的情形，先作平移變換u=x－1．v=y－1．則I=(2+u+2v+v2)dudv，其中D：u2+v2≤2．于是由D的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性得利用直角坐標系中的公式其中D1=是D的第一象限部分．知識點解析：暫無解析21、標準答案：如圖8．11所示．知識點解析：暫無解析22、標準答案：如圖8．13所示．當x∈[0，t2]時，≤t(t＞0)，于是知識點解析：暫無解析23、標準答案：如圖8．15所示．知識點解析：暫無解析24、標準答案：表成D的二重積分，確定D，再交換積分次序．D如圖8．17．知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(u)可導，f(0)=0，=_________．標準答案：t＞0．化二重積分為定積分．作極坐標變換知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（二重積分）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)平面區(qū)域D由曲線圍成，則等于()A、2B、一2C、πD、一π標準答案：D知識點解析：如圖1．5—3所示，用曲線將區(qū)域D劃分為D1和D2兩部分，則D1關(guān)于x軸對稱，D2關(guān)于y軸對稱，于是有從而由于區(qū)域D的面積與直線y=0，y=1，所圍成的矩形面積相等，故SD=π，故應選(D)．2、累次積分化為極坐標形式的累次積分為()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：積分區(qū)域D為：0≤y≤2R，如圖1．5—4所示．在極坐標系下D可表示為：0≤r≤2Rsinθ，故3、設(shè)D：|x|+|y|≤1，則()A、0B、C、D、1標準答案：C知識點解析：因為D關(guān)于x，y軸都對稱，故且有其中D1={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}．于是4、設(shè)D由直線x=0，y=0，x+y=1圍成，已知則()A、2B、0C、D、1標準答案：B知識點解析：由于是5、設(shè)積分區(qū)域D1={(x，y)|(x一2)2+(y—1)2≤2}，D2={(x，y)|x2+(y+1)2≤2)，下列選項正確的是()A、I1＜I2＜I3＜I4B、I4＜I3＜I2＜I1C、I4＜I3＜I1＜I2D、I1＜I3＜I2＜I4標準答案：C知識點解析：如圖1．5—11所示，積分域D1的邊界為圓周(x一2)2+(y一1)2=2，它與x軸交于點(1，0)，與直線x+y=1相切．而區(qū)域D1位于直線的上方，故在D1內(nèi)x+y≥1，從而(x+y)10≤(x+y)11，因此有同樣，在D1上x+y≤1，從而(x+y)10≥(x+y)11，因此有又①畫的(x+y)10。草圖如圖1．5—12所示；②側(cè)視如圖1．5—13所示(垂直于x+y=0看進去)．顯然：因此有因此選(C)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)6、設(shè)f(x)是D上連續(xù)的奇函數(shù)，其中D由y=4一x2，y=一3x，x=1所圍成，則I=標準答案：0知識點解析：令D=D1∪D2，如圖1．5—6所示．顯然，在D1上，g(一x，y)=一g(x，y)．在D2上，因此g(x，一y)=一g(x，y)，所以7、標準答案：知識點解析：令x=rsinθ，y=rcosθ，則8、交換二次積分次序：標準答案：知識點解析：由已知有，所求積分區(qū)域為所圍成的區(qū)域，所以9、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，a與m是常數(shù)且a＞0，將二次積分化為定積分，則I=__________．標準答案：知識點解析：被積函數(shù)僅是x的函數(shù)，交換積分次序即可化為定積分．由二次積分的積分上、下限可知積分區(qū)域為D：0≤x≤y，0≤y≤a，故10、標準答案：知識點解析：所以原式=(e一1)．11、設(shè)D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0}，則二重積分標準答案：知識點解析：對于積分用極坐標對于用直角坐標，故原積分=(π+4)．三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)12、證明：標準答案：本題看似是二重積分問題，事實上，用代換t=xy可將累次積分化為定積分．在視x為常數(shù)，令t=xy，dt=xfy，當y從0變到1時，t從0變到x，則從而也就是要證明移項后就是要證明事實上，tt(1+lnt)dt=etlnt(1+lnt)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt)，故證畢．知識點解析：暫無解析13、設(shè)在D=[a，b]×[c，d]上連續(xù)，求并證明：I≤2(M—m)，其中M和m分別是f(x，y)在D上的最大值和最小值．標準答案：顯然I≤2(M一m)．知識點解析：暫無解析14、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，證明：標準答案：方法一顯然積分區(qū)域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．由對稱性，知方法二由泰勒公式知，對任意的x∈R，恒有所以，有ef(x)-f(y)≥1+f(x)一f(y)．從而知識點解析：暫無解析15、交換二次積分的積分次序：標準答案：知識點解析：暫無解析16、交換二次積分的積分次序：標準答案：知識點解析：暫無解析17、交換二次積分的積分次序：標準答案：如圖1．5—10所示，D=D1∪D2，其中知識點解析：暫無解析18、求其中D={(x，y)|0≤x≤3，0≤y≤1}．標準答案：由題設(shè)知：其中D1={(x，y)|0≤y≤1，y≤x≤3}，D2={(x，y)|0≤y≤1，0≤x≤y}．所以知識點解析：暫無解析19、計算其中a，b＞0．標準答案：知識點解析：暫無解析20、計算其中D：x2+y2≤1．標準答案：知識點解析：暫無解析21、計算標準答案：由題意知所以知識點解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，證明：標準答案：設(shè)其中D：a≤x≤b，a≤y≤b．因為D關(guān)于y=x對稱，所以故由f(x)，g(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，得2I≥0，即I≥0，故知識點解析：暫無解析23、設(shè)D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤2e}，計算二重積分標準答案：如圖1．5—14所示，將D分成D1∪D2，D1與D2除邊界之外無公共部分．知識點解析：暫無解析24、計算其中D={(x，y)|0≤y≤1一x，y≤x}．標準答案：積分區(qū)域D如圖1．5—15所示，在極坐標中，知識點解析：暫無解析25、計算二重積分其中D在極坐標系統(tǒng)中表示為標準答案：改用直角坐標，其中D={(x，y)|0≤y≤x≤1}，于是知識點解析：暫無解析26、設(shè)平面區(qū)域求二重積分標準答案：由D關(guān)于y軸對稱，令有再令D2={(x，y)|x2+y2≤8，y≥x≥0}，用極坐標分別計算D2與D3上的上述二重積分．知識點解析：暫無解析27、求其中D是由曲線xy=2，直線y=x一1及y=x+1所圍成的區(qū)域．標準答案：作出D的平面圖形如圖1．5—16所示．因積分區(qū)域關(guān)于原點O對稱，被積函數(shù)又是x與y的偶函數(shù)，故這里D1={(x，y)|0≤x≤1，x一1≤y≤0)，D2={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x+1)，D3={(x，y)|1≤x≤2,x-1≤y≤}于是知識點解析：暫無解析28、設(shè)D={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤2}，求標準答案：將D分成兩塊：D1={(x，y)|0≤x≤π，sinx≤y≤2}，D2={(x，y)10≤x≤π，0≤y≤sinx}，知識點解析：暫無解析設(shè)常數(shù)a＞0，函數(shù)g(x)在區(qū)間[一a，a]上存在二階導數(shù)，且g"(x)＞0．29、令h(x)=g(x)+g(一x)，證明：在區(qū)間[0，a]上h’(x)≥0，且僅當x=0時，h’(x)=0；標準答案：h’(x)=g’(x)一g’(一x)，h’(0)=0，h"(x)=g"(x)+g"(一x)＞0，由拉格朗日中值定理，有h’(x)=h’(0)+h"(ξ)(x一0)=h"(ξ)x＞0，x∈(0，a]．知識點解析：暫無解析30、證明：標準答案：因為當0≤x≤a時，h’(x)≥0，h(x)單調(diào)增加；f(x)=e-x2在0≤x≤a時單調(diào)減少，所以不論0≤x≤y≤a還是0≤y≤x≤a，均有[h(x)一h(y)][e-x2一e-y2]≤0，即只要(x，y)∈D={(x，y)|0≤x≤a，0≤y≤a}，有h(x)e-x2+h(y)e-y2)≤h(x)e-y2+h(y)e-x2．于是有即有又因為h(x)與e-y2都是偶函數(shù)，所以再以h(x)=g(x)+g(一x)代入，并注意到同理從而式(*)成為證畢．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（二重積分）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、其中D={(x，y)|x2+y2≤1)，則()A、c＞b＞aB、a＞b＞cC、b＞a＞cD、c＞a＞b標準答案：A知識點解析：由于D={(x，y)|x2+y2≤1)，所以由cosx在上單調(diào)減少可得因此有c＞b＞a．2、設(shè)平面區(qū)域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1圍成，若則I1，I2，I3的大小順序為()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2標準答案：C知識點解析：在D內(nèi)，所以ln(x+y)＜0＜sin(x+y)＜x+y，于是3、設(shè)平面區(qū)域D：(x一2)2+(y一1)2≤1，若比較的大小，則有()A、I1=I2B、I1＞I2C、I1＜I2D、不能比較標準答案：C知識點解析：由二重積分的比較性質(zhì)，只需比較D上(x+y)2與(x+y)3的大小，即x+y與1的大?。畯膸缀蔚慕嵌纫簿褪强疾閳A域D與直線x+y=1的位置關(guān)系．因積分區(qū)域D的圓心(2，1)到直線x+y=1的距離(1為圓的半徑)，故閉區(qū)域D在直線x+y=1的上方，即(x，y)∈D，有x+y＞1，從而在D上(x+y)2＜(x+y)3，則I1＜I2．4、二次積分寫成另一種次序的積分是()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：改變積分次序的步驟是：①由原累次積分的上、下限寫出來表示為積分區(qū)域D的聯(lián)立不等式，并作出D的草圖，原積分變成二重積分②按新的累次積分次序的要求寫出新的累次積分表達式．由已知積分的上、下限，可知積分區(qū)域的不等式表示為D：如圖1．5—1所示．則5、已知則I=()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：如圖1．5—2所示，積分區(qū)域由兩部分組成設(shè)將D=D1∪D2視為y型區(qū)域，則從而故應選(A)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、由曲線y=lnx及直線x+y=e+1，y=0所圍成的平面圖形的面積可用二重積分表示為_________，其值等于__________．標準答案：知識點解析：由得交點A(e，1)．所求平面圖形的面積為7、二重積分的符號為____________．標準答案：負號知識點解析：二重積分的積分值符號由被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的正負號所確定．積分區(qū)域D：|x|+|y|≤1．因0≤x2+y2≤(|x|+|y|)2≤1，故ln(x2+y2)≤ln1=0，但又不恒等于零，故8、設(shè)D={(x，y)|1≤x2+y2≤e2)，則二重積分標準答案：知識點解析：被積函數(shù)含有x2+y2的形式，且積分區(qū)域是以原點為中心的圓環(huán)區(qū)域，選用極坐標計算較方便．故9、設(shè)f(u)為連續(xù)函數(shù)，D是由y=1，x2一y2=1及y=0所圍成的平面閉區(qū)域，則標準答案：0知識點解析：因積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)xf(y2)關(guān)于變量x是奇函數(shù)，故10、設(shè)交換積分次序后，I=_________．標準答案：知識點解析：積分區(qū)域D為：ex≤y≤e2x，0≤x≤1．曲線y=e2x，y=ex與直線x=1的交點分別為(1，e2)與(1，e)．故三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)11、計算標準答案：知識點解析：暫無解析12、計算標準答案：知識點解析：暫無解析13、計算標準答案：知識點解析：暫無解析14、計算標準答案：知識點解析：暫無解析15、計算標準答案：知識點解析：暫無解析16、計算其中D是由圓周x2+y2=4，x2+y2=1及直線y=0，y=x所圍的位于第一象限的閉區(qū)域．標準答案：知識點解析：暫無解析17、變換二次積分的積分次序：標準答案：如圖1．5—5所示，積分區(qū)域D：故知識點解析：暫無解析18、計算二重積分其中D是由直線y=x和曲線y=x3所圍成的位于第一象限的封閉區(qū)域．標準答案：知識點解析：暫無解析19、計算二重積分其中D={(x，y)|0≤y≤x，x2+y2≤2x}．標準答案：知識點解析：暫無解析20、求二重積分其中D是由曲線直線y=2，y=x所圍成的平面區(qū)域．標準答案：知識點解析：暫無解析21、設(shè)計算其中D為正方形區(qū)域{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．標準答案：知識點解析：暫無解析22、計算標準答案：由y=x2得則其中D={(x，y)10≤x≤1，x2≤y≤x}．知識點解析：暫無解析23、計算標準答案：知識點解析：暫無解析24、計算標準答案：積分區(qū)域如圖1．5—7所示，交換積分次序，得知識點解析：暫無解析記平面區(qū)域D={(x，y)||x|+|y|≤1}，計算如下二重積分：25、其中f(t)為定義在(一∞，+∞)上的連續(xù)正值函數(shù)，常數(shù)a＞0，b＞0；標準答案：易見，積分區(qū)域D是邊長為的正方形，故其面積SD=2，因為積分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對稱，則由二重積分的性質(zhì)有知識點解析：暫無解析26、常數(shù)λ＞0．標準答案：因為積分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對稱，又關(guān)于y軸，x軸對稱；函數(shù)eλx一e-λx，eλy一e-λy分別關(guān)于x，y為奇函數(shù)，則由二重積分的性質(zhì)得知識點解析：暫無解析27、設(shè)p(x)在[a，b]上非負且連續(xù)，f(x)與g(x)在[a，b]上連續(xù)且有相同的單調(diào)性，其中D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b}，比較的大小，并說明理由．標準答案：因為又由于D關(guān)于直線y=x對稱，所以I1一I2又可以寫成所以因g(x)與f(x)的單調(diào)性相同，所以[f(x)一f(y)][g(x)一g(y)]≥0，從而知I1一I2≤0，有I1≤I2．知識點解析：暫無解析28、設(shè)函數(shù)f(x，y)連續(xù)，且其中D由x=1，y=2圍成，求f(x，y)．標準答案：設(shè)則故兩邊求二重積分，則從而故知識點解析：這是一道綜合題目，表面看來很復雜，只要分析清楚了并不難．首先可以知道積分是一個常數(shù)，因此變?yōu)閮蛇呍偾蠖胤e分就可解決了．29、交換累次積分I的積分次序：標準答案：由累次積分I的積分上、下限容易寫出其對應的二重積分的積分區(qū)域D=D1∪D2，其中顯然，平面區(qū)域D的邊界曲線為拋物線上半圓弧與直線y=0，則D1，D2也可以寫為于是，累次積分交換積分次序后為知識點解析：暫無解析30、交換累次積分I的積分次序：標準答案：由累次積分，的積分上、下限容易寫出其對應的二重積分的積分區(qū)域D=D1∪D2∪D3，其中根據(jù)區(qū)域D的表達式可知，D的邊界曲線由上半圓直線x=0與拋物線y=x—x2組成，故可用不等式表示為于是，累次積分I化為另一種先對y后對x的累次積分知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（二重積分）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)1、設(shè)D是有界閉區(qū)域，下列命題中錯誤的是A、若f(x，y)在D連續(xù)，對D的任何子區(qū)域D0均有f(x，y)dσ=0，則f(x，y)≡0((x，y)∈D)．B、若f(x，y)在D可積，f(x，y)≥0但不恒等于0((x，y)∈D)，則f(x，y)dσ＞0．C、若f(x，y)在D連續(xù)，f2(x，y)dσ=0，則f(x，y)≡0((x，y)∈D)．D、若f(x，y)在D連續(xù)，f(x，y)＞0((x，y)∈D)，則f(x，y)dσ＞0．標準答案：B知識點解析：直接指出其中某命題不正確．因為改變有限個點的函數(shù)值不改變函數(shù)的可積性及相應的積分值，因此命題(B)不正確．設(shè)(x0，y0)是D中某點，令f(x，y)=則在區(qū)域D上f(x，y)≥0且不恒等于0，但f(x，y)dσ=0．因此選B．或直接證明其中三個是正確的．命題A是正確的．用反證法、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及二重積分的不等式性質(zhì)可得證．若f(x，y)在D不恒為零=>(x0，y0)∈D，f(x0，y0)≠0，不妨設(shè)f(x0，y0)＞0，由連續(xù)性=>有界閉區(qū)域D0D，且當(x，y)∈D0時f(x，y)＞0=>f(x，y)dσ＞0，與已知條件矛盾．因此，f(x，y)≡0((x，y)∈D)．命題D是正確的．利用有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)達到最小值及重積分的不等式性質(zhì)可得證．這是因為f(x，y)≥=f(x0，y0)>0，其中(x0，y0)是D中某點．于是由二重積分的不等式性質(zhì)得f(x，y)dσ≥f(x0，y0)σ＞0，其中σ是D的面積．命題(C)是正確的．若f(x，y)0=>在(x，y)∈D上f2(x，y)≥0且不恒等于0．由假設(shè)f2(x，y)在D連續(xù)=>f2(x，y)dσ＞0與已知條件矛盾．于是f(x，y)≡0在D上成立．因此選B．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)2、設(shè)D為兩個圓：x2+y2≤1及(x－2)2+y2≤4的公共部分，則I=ydxdy=________．標準答案：0知識點解析：D關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)對y為奇函數(shù)=>I=0．3、I==________．標準答案：知識點解析：區(qū)域如圖8．2所示，由對稱性與奇偶性=>I=其中D1：0≤y≤1－x，0≤x≤1．4、設(shè)，則這三個積分的大小順序是________＜________＜________．標準答案：I3；I1；I2知識點解析：比較I1與I2，被積函數(shù)是相同的連續(xù)非負函數(shù)，積分區(qū)域圓域(x2+y2≤1)包含在正方形區(qū)域(｜x｜≤1，｜y｜≤1)中=>I1＜I2．比較I1與I3，積分區(qū)域相同，被積函數(shù)均是連續(xù)的，比較它們知x4+y42x2y2I1＞I3．因此I3＜I1＜I2．三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)5、將f(x，y)dxdy化為累次積分，其中D為x2+y2≤2ax與x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．標準答案：如圖8．5，x2+y2=2ax與x2+y2=2ay是兩個圓，其交點為0(0，0)，P(a，a)．因此，若先對y積分，就有若先對x求積分，則知識點解析：暫無解析6、在極坐標變換下將f(x，y)dσ化為累次積分，其中D為：x2+y2≤2ax與x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．標準答案：由于兩個圓在極坐標下的表達式分別為：r=2acosθ與r=2asinθ，交點P處的極坐標是，于是連接OP將區(qū)域D分成兩部分(見圖8．13)．則知識點解析：暫無解析7、求I=，其中D為y=，y=x及x=0所圍成區(qū)域．標準答案：區(qū)域D如圖8．15．被積函數(shù)只含y，先對x積分，雖然積