考研數(shù)學二（行列式）模擬試卷1（共224題）

考研數(shù)學二（行列式）模擬試卷1（共8套）（共224題）考研數(shù)學二（行列式）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設A是三階矩陣，B是四階矩陣，且｜A｜＝2，｜B｜＝6，則為()．A、24B、－24C、48D、－48標準答案：D知識點解析：故選D．2、設A為二階矩陣，且A的每行元素之和為4，且｜E＋A｜＝0，則｜2E＋A2｜為()．A、0B、54C、－2D、－24標準答案：B知識點解析：因為A的每行元素之和為4，所以A有特征值4，又｜E＋｜＝0，所以A有特征值－1，于是2E＋A2的特征值為18，3，于是｜2E＋A2｜＝54，選B．3、設A，B為兩個n階矩陣，下列結論正確的是()．A、｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜B、若｜AB｜＝0，則A＝O或B＝OC、｜A－B｜＝｜A｜－｜B｜D、｜AB｜＝｜A｜｜B｜標準答案：D知識點解析：選項A、C顯然不對，設，顯然A，B都是非零矩陣，但AB＝O，所以｜AB｜＝0，B不對，選D．4、設α1，α2，α3，β1，β2都是四維列向量，且｜A｜＝｜α1，α2，α3，β1｜＝m，｜B｜＝｜α1，α2，β2，α3｜＝n，則｜α3，α2，α1，β1＋β2｜為()．A、m＋nB、m－nC、－(m＋n)D、n－m標準答案：D知識點解析：｜α3，α2，α1，β1＋β2｜＝｜α3，α2，α1，β1｜＋｜α3，α2，α1，β2｜＝－｜α1，α2，α3，β1｜－｜α1，α2，α3，β2｜＝－｜α1，α2，α3，β1｜＋｜α1，α2，β2，α3｜＝n－m，故選D．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)5、設f(χ)＝，則χ2項的系數(shù)為_______．標準答案：23知識點解析：按行列式的定義，f(χ)的3次項和2次項都產生于(χ＋2)(2χ＋3)(3χ＋1)，且該項帶正號，所以χ項的系數(shù)為23．6、設A為三階矩陣，A的第一行元素為1，2，3，｜A｜的第二行元素的代數(shù)余子式分別為a＋1，a－2，a－1，則a＝_______．標準答案：1知識點解析：由(a＋1)＋2(a－2)＋3(a－1)＝0得a＝1．7、設A是m階矩陣，B是n階矩陣，且｜A｜＝a，｜B｜＝b，則＝_______．標準答案：(－1)mnab知識點解析：將B的第一行元素分別與A的行對調m次，然后將B的第二行分別與A的行對調m次，如此下去盲到B的最后一行與A的行對調m次，則＝(－1)mnab．8、設A＝(α1，α2，α3)為三階矩陣，且｜A｜＝3，則｜α1＋2α2，α2－3α3，α3＋2α1｜＝_______．標準答案：－33知識點解析：｜α1＋2α2，α2－3α3，α3＋2α1｜＝｜α1，α2－3α3，α3＋2α1｜＋｜2α2，α2－3α3，α3＋2α1｜＝｜α1，α2－3α3，α3｜＋2｜α2，－3α3，α3＋2α1｜＝｜α1，α2，α3｜－6｜α2，α3，α3＋2α1｜＝｜α1，α2，α3｜－6｜α2，α3，α1｜＝｜α1，α2，α3｜－12｜α2，α3，α1｜＝｜α1，α2，α3｜－12｜α1，α2，α3｜＝－33．9、設三階矩陣A＝(α，γ1，γ2)，B＝(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三維列向量，且｜A｜＝3，｜B｜＝4，則｜5A－2B｜＝_______．標準答案：63知識點解析：由5A－2B＝(5a，5γ1，5γ2)－(2β，2γ1，2γ2)＝(5α－2β，3γ1，3γ2)，得｜5A－2B｜＝｜5α－2β，3γ1，3γ2｜＝9｜5α－2β，γ1，γ2｜＝9(5｜α，γ1，γ2｜－2｜β，γ1，γ2｜)＝63．10、設D＝，則A31＋A32＋A33＝_______．標準答案：0知識點解析：A31＋A32＋A33＝A31＋A32＋A33＋0A34＋0A35＝＝011、設A，B都是三階矩陣，A相似于B，且｜E－A｜＝｜E－2A｜＝｜E－3A｜＝0，則｜B-1＋2E｜＝_______．標準答案：60知識點解析：因為｜E—A｜＝｜E一2A｜＝｜E－3A｜＝0，所以A的三個特征值為，1，又A～B，所以B的特征值為，1，從而B-1的特征值為1，2，3，則B-1＋2E的特征值為3，4，5，故｜B-1＋2E｜＝60．12、設A為三階正交陣，且｜A｜＜0，｜B－A｜＝－4，則｜E－ABT｜＝_______．標準答案：－4知識點解析：｜A｜＜0｜A｜＝－1．｜E＝ABT｜＝｜AAT－ABT｜＝｜A｜｜(A－B)T｜＝－｜A－B｜＝｜B－A｜＝－4．13、設A為n階矩陣，且｜A｜＝a≠0，則｜(kA)*｜＝_______．標準答案：kn(n-1)an-1知識點解析：因為(kA)*＝kn-1A*，且｜A*｜＝｜A｜n-1，所以｜(kA)*｜＝｜kn-1A*｜＝kn(n-1)｜A｜n-1＝kn(n-1)an-1．三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)14、計算行列式標準答案：知識點解析：暫無解析15、計算D＝標準答案：知識點解析：暫無解析16、證明：標準答案：知識點解析：暫無解析17、設D＝．(1)計算D；(2)求M31＋M33＋M34．標準答案：(2)M31＋M33＋M34＝1×A31＋0×A32＋1×A33＋(－1)×A34知識點解析：暫無解析18、設A是正交矩陣，且｜A｜＜0．證明：｜E＋A｜＝0．標準答案：因為A是正交矩陣，所以ATA＝E，兩邊取行列式得｜A｜2＝1，因為｜A｜＜0，所以｜A｜＝－1．由｜E＋A｜＝｜ATA＋A｜＝｜(AT＋E)A｜＝｜A｜｜AT＋E｜＝－｜AT＋E｜＝－｜(A＋E)T｜＝－｜E＋A｜得｜E＋A｜＝0．知識點解析：暫無解析19、設A＝(aij)n×n是非零矩陣，且｜A｜中每個元素aij與其代數(shù)余子式Aij相等．證明：｜A｜≠0．標準答案：因為A是非零矩陣，所以A至少有一行不為零，設A的第k行是非零行，則｜A｜＝ak1Ak1＋ak2Ak2＋…＋aknAkn＝ak12＋ak22＋…＋akn2＞0．知識點解析：暫無解析20、計算D2n＝標準答案：知識點解析：暫無解析21、計算(ai≠0，i＝1，2，…，n)．標準答案：知識點解析：暫無解析22、設D＝，求Ak1＋Ak2＋…＋Akm．標準答案：｜A｜＝(－1)n+1n!，得A*＝｜A｜A-1＝(－1)n+1n!A-1，所以Ak1＋Ak2＋…＋Akn＝．知識點解析：暫無解析23、設A，B為三階矩陣，且A～B，且λ1＝1，λ2＝2為A的兩個特征值，｜B｜＝2，求．標準答案：因為A～B，所以A，B特征值相同，設另一特征值為λ3，由｜B｜＝λ1λ2λ3＝2得λ3＝1．A＋E的特征值為2，3，2，(A＋E)-1的特征值為，則｜(A＋E)-1｜＝．因為B的特征值為1，2，1，所以B*的特征值為，即為2，1，2，于是｜B*｜＝4，｜(2B)*｜＝｜4B*｜＝43｜B*｜＝256，故知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（行列式）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、若=m，則=A、30m．B、－15m．C、6m．D、－6m．標準答案：D知識點解析：故應選D．2、設A是n階矩陣，則｜｜A*｜A｜=A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：因為｜A*｜是一個數(shù)，由｜kA｜=kn｜A｜及｜A｜=｜A｜n－1有｜｜A*｜A｜=｜A*｜n｜A｜=(｜A｜n－1)n｜A｜=．故應選C．3、設A是n階矩陣，則｜(2A)*｜=A、2n｜A*｜．B、2n－1｜A*｜．C、D、標準答案：C知識點解析：｜(2A)*｜=｜2A｜n－1=(2n｜A｜)n－1=2n(n－1)｜A｜n－1=2n(n－1)｜A*｜．或利用(kA)*=kn－1A*，那么｜(2A)*｜=｜2n－1A*｜=(2n－1)｜A*｜=．故應選C．4、設A是m階矩陣，B是n階矩陣，且｜A｜=a，｜B｜=b，若C=，則｜C｜=A、－3ab．B、3mab．C、(－1)mn3mab．D、(－1)(m+1)n3mab．標準答案：D知識點解析：用性質⑨有｜C｜==(－1)mn｜3A｜｜－B｜=(－1)mn3m｜A｜(－1)n｜B｜=(－1)(m+1)n3mab．故應選D．5、x=－2是=0的A、充分必要條件．B、充分而非必要條件．C、必要而非充分條件．D、既不充分也非必要條件．標準答案：B知識點解析：對于范德蒙行列式因為x=－2時，行列式的值為0．但D=0時，x可以為1．所以x=－2是D=0的充分而非必要條件．故應選B．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、若的代數(shù)余子式A12=－1，則代數(shù)余子式A21=________．標準答案：2知識點解析：按代數(shù)余子式定義A12==－(5x－4)=－1=>x=1．故A21==2．注意：求代數(shù)余子式不要丟+、－號．7、若A=，則｜A｜=________．標準答案：0知識點解析：利用公式“r(AB)≤r(B)及A≠0，則r(A)≥1”，易見本題中r(A)=1，所以｜A｜=0．或作矩陣乘法，由A中兩行元素成比例而知｜A｜=0．8、設A=，則｜－2A－1｜=________．標準答案：－4知識點解析：用｜kA｜=kn｜A｜及｜A－1｜=，可知｜－2A－1｜=(－2)3｜A－1｜=．又｜A｜=2，從而｜－2A－1｜=－4．9、設α，β，γ1，γ2，γ3都是4維列向量，且｜A｜=｜α，γ1，γ2，γ3｜=4，｜B｜=｜β，2γ1，3γ2，γ3｜=21，則｜A+B｜=________．標準答案：180知識點解析：因A+B=(α+β，3γ1，4γ2，2γ3)，故｜A+B｜=｜α+β，3γ1，4γ2，2γ3｜=24｜α，γ1，γ2，γ3｜+2｜β，γ1，γ2，γ3｜=24｜A｜+4｜B｜=180．10、已知Dn=，若Dn=anDn－1+kDn－2，則k=________．標準答案：1知識點解析：從而k=1．三、解答題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)11、求f(x)=的x3的系數(shù)．標準答案：在完全展開式的24項中除了對角線元素乘積這一項外，其他23項x的次數(shù)都不超過2，因此(x－3)(x－8)(x+1)x中x3的系數(shù)－10就是所求．知識點解析：暫無解析12、A=，證明｜xE－A｜的4個根之和等于a11+a22+a33+a44．標準答案：設4個根為x1，x2，x3，x4．因為｜xE－A｜是x的4次多項式，并且x4的系數(shù)為1，所以｜xE－A｜=(x－x1)(x－x2)(x－x3)(x－x4)．考察x3的系數(shù)．從右側看為－(x1+x2+x3+x4)；再從左側看，因為｜xE－A｜對角線外的元素都是不含x的常數(shù)，所以在其展開式的24項中，只有對角線元素的乘積(x－a11)(x－a22)(x－a33)(x－a44)這一項包含x3的，并且系數(shù)為－(a11+a22+a33+a44)．于是x1+x2+x3+x4=a11+a22+a33+a44．知識點解析：暫無解析13、設A與B分別是m，n階矩陣，證明標準答案：把此行列式的左右兩部分交換，辦法如下：先把右部分的第1列依次和左部分的各列鄰換(共進行了n次)，再把右部分的第2列依次和左部分的各列鄰換，……，最后把右部分的第m列依次和左部分的各列鄰換．一共進行了mn次鄰換．于是知識點解析：暫無解析14、設4階矩陣A=(α，γ1，γ2，γ3)，B=(β，γ1，γ2，γ3)，｜A｜=2，｜B｜=3，求｜A+B｜．標準答案：A+B=(α+β，2γ1，2γ2，2γ3)，(注意這里是矩陣的加法，因此對應列向量都相加)｜A+B｜=｜α+β，2γ1，2γ2，2γ3｜=8｜α+β，γ1，γ2，γ3｜(用性質③，二，三，四列都提出2)=8(｜α，γ1，γ2，γ3+｜β，γ1，γ2，γ3｜)=8(2+3)=40．知識點解析：暫無解析15、設4階矩陣A=(α，γ1，γ2，γ3)，B=(β，γ2，γ3，γ1)，｜A｜=a，｜B｜=b，求｜A+B｜．標準答案：A+B=(α+β，γ1+γ2，γ2+γ3，γ3+γ1)，｜A+B｜=｜α+β，γ1+γ2，γ2+γ3，γ3+γ1｜=｜α+β，2γ1+γ2+γ3，γ2+γ3，γ3+γ1｜(把第4列加到第2列上)=｜α+β，2γ1，γ2+γ3，γ3+γ1｜(第2列減去第3列)=2｜α+β，γ1，γ2+γ3，γ3｜=2｜α+β，γ1，γ2，γ3｜=2(｜α，γ1，γ2，γ3｜+｜β，γ1，γ2，γ3｜)=2(｜α，γ1，γ2，γ3｜+｜β，γ1，γ2，γ3｜)=2a+2b．｜A+B｜=2a+2b．知識點解析：暫無解析16、設D=求－A13－A23+2A33+A43．標準答案：所求的是此行列式第3列元素的代數(shù)余子式A13，A23，A33，A43依次乘－1，－1，2，1后的和．A13，A23，A33，A43和行列式的第3列元素是無關的，因此如果把第3列元素改為－1，－1，2，1，則A13，A23，A33，A43不改變．于是修改后的行列式的值=它對第3列的展開式=－A13－A23+A33+A43！知識點解析：暫無解析17、計算行列式標準答案：先把2至4列都加到第1列上，再2至4行都減去第1行，知識點解析：暫無解析18、計算行列式標準答案：先提出第5行的公因子a，再把上面4行依次加上它的－2a倍，a倍，－a倍和2倍：知識點解析：暫無解析19、已知(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)線性相關，并且a≠1，求a．標準答案：這4個向量線性相關<=>以它們?yōu)樾?或列)向量構成的4階行列式為0．得a=1／2．知識點解析：暫無解析20、計算4階行列式標準答案：先把2至4列都加到第1列上，再2至4行都減去第1行，就可化為上三角行列式：知識點解析：暫無解析21、計算行列式標準答案：先把2至5列都加到第1列上，再自下而上2至4行各減去上行：知識點解析：暫無解析22、計算行列式標準答案：此題用定義，或用對行(列)的展開都不難計算．下面介紹的方法容易推廣．用行、列的交換容易把此行列式化為分塊的形式，第4列依次與3，2列交換，第4行依次和3，2行交換：知識點解析：暫無解析23、設A=，計算行列式｜A｜．標準答案：對第1列展開：｜A｜=A11+aA41=M11－aM41=1－a4．知識點解析：暫無解析24、計算n階行列式標準答案：先建立遞推公式：記此行列式為Dn．當n≥3時，對第1列(或行)展開，得Dn=A11+A21=Dn－1－M21，M21的第1行為(1，0，…，0)，它對第1行展開得M21=Dn－2于是得遞推公式Dn=Dn－1－Dn－2，于是用它可以從D1，D2的值求得Dn．事實上當n≥4時，Dn=Dn－1－Dn－2=Dn－2－Dn－3－Dn－2=－Dn－3．再由D1=1，D2=0，D3=D2－D2=－1推得知識點解析：暫無解析25、證明n階行列式標準答案：記此行列式為Dn，對第1行展開，得到一個遞推公式Dn=(1－a)Dn－1+aDn－2．下面用數(shù)學歸納法證明本題結論．(1)驗證n=1，2時對：D1=1－a，D2==(1－a)2+a=1－a+a2．(2)假設對n－1和n－2結論都對，證明對n也對：Dn－1=1－a+a2－a3+…+(－a)n－1，Dn－2=1－a+a2－a3+…+(－a)n－2，則由遞推公式Dn=(1－a)Dn－1+aDn－2=Dn－1－a(Dn－1－Dn－2)=Dn－1+(－a)n=1－a+a2－a3+…+(－a)n－1+(－a)n．知識點解析：暫無解析26、證明=(n+1)an．標準答案：本題以證明題的形式出現(xiàn)，容易誘導想到用數(shù)學歸納法．記此行列式為Dn，對第1行展開，得遞推公式Dn=2aDn－1－a2Dn－2．用數(shù)列技巧計算．Dn=2aDn－1－a2Dn－2．改寫為Dn－aDn－1=a(Dn－1－aDn－2)，記Hn=Dn－aDn－1(n≥2)，則n≥3時Hn=aHn－1，即{Hn}是公比為a的等比數(shù)列．而H2=D2－aD1=3a2－2a2=a2，得到Hn=an，于是得到一個新的遞推公式Dn=aDn－1+an，兩邊除以an，得Dn／an=Dn－1／an－1+1．于是{Dn／an}是公差為1的等差數(shù)列．D1／a=2，則Dn／an=n+1，Dn=(n+1)an．知識點解析：暫無解析27、證明標準答案：對第1行展開得遞推公式Dn=(a+b)Dn－1－abDn－2．然后用數(shù)學歸納法的程序證明結論．下面用數(shù)列技巧計算．把Dn=(a+b)Dn－1－abDn－2改寫為Dn－bDn－1=a(Dn－1－bDn－2)，則{Dn－bDn－1}是公比為a的等比數(shù)列．D2－bD1=a2，得Dn－bDn－1=an，于是得到一個更加簡單的遞推公式：Dn=bDn－1+an，(1)當a=b時，則Dn=aDn－1+an，得Dn=(n+1)an．當a≠b時，和(1)對稱地有Dn=aDn－1+bn，(2)a(1)－b(2)，得(a－b)Dn=an－1－bn－1，知識點解析：暫無解析28、證明標準答案：本題和下題在有的教材里稱為“爪形行列式”，它們都可以用數(shù)學歸納法證明．如本題對第n列展開就可得到遞推公式Dn=cnDn－1+(－1)n－1b1b2…bn－1an．然后容易進行歸納證明．下面要說明的是對這類行列式的一個事實：只要對第1行展開就可以求值！把要證明的值的表達式和對第1行的展開式對照：就可看出結論也就是對每個i，有M1i=b1…bi－1ci+1…cn．而這個等式只要寫出M1i就可得到：于是M1i=｜Gi｜×｜Hi｜=b1…bi－1ci+1……cn．知識點解析：暫無解析29、證明標準答案：對第1行展開．a0的代數(shù)余子式A11=M11=i≥1時ai的代數(shù)余子式A1i+1…=(－1)iM1i+1M1i+1=，其中于是M1i+1=｜Gi｜×｜Hi｜i=(－1)i+1bic1…ci－1ci+1…cn．知識點解析：暫無解析30、計算標準答案：各行減上行，a(a－b)4－b(c－a)(a－b)3+b(c－a)2(a－b)2－b(c－a)3(a－b)+b(c－a)4．知識點解析：暫無解析31、計算標準答案：如果每個xi都不是0，各列提出公因子xi：=x1x2x3x4x5(1+x1－1+x2－1+x3－1+x4－1+x5－1)=x1x2x3x4x5+x2x3x4x5+x1x3x4x5+x1x2x4x5+x1x2x3x5+x1x2x3x4．如果有xi=0，則可直接計算．如x1=0，則第1列的元素都為1，其他各列都減第1列，求出值為x2x3x4x5．(上面答案中x1=0的情形)知識點解析：暫無解析32、計算n階行列式標準答案：對第一列展開：其中Gi是一個對角線元素都是－1的i－1階下三角矩陣，Hi是一個對角線元素都是x的n－i階上三角矩陣，于是Mi1=｜Gi｜｜Hi｜=(－1)i－1xn－i．代入得D=aixn－i．知識點解析：暫無解析33、若行列式的某個元素aij加1，則行列式的值增加Aij．標準答案：修改后的行列式第j列為(a1j，…，aij+1，…，anj)T=(a1j，…，aij，…，anj)T+(0，…，1，…，0)T，對它分解(性質⑤)，分為兩個行列式之和，一個就是原行列式，另一個的值為Aij．知識點解析：暫無解析34、若行列式的第j列的每個元素都加1，則行列式的值增加．標準答案：修改后的行列式第j列為(a1j+1，…，aij+1，…，anj+1)T=(a1j，…，aij，…，anj)T+(1，…，1，…，1)T，對它分解(性質⑤)，分為兩個行列式之和，一個就是原行列式，另一個的第j列元素都是1，增加量就是它的值，等于．知識點解析：暫無解析35、若行列式的每個元素都加1，則行列式值的增量為所有代數(shù)余子式之和．標準答案：設原來行列式的列向量依次為α1，α2，…，αs，記β=(1，1，…，1)T．則改變后的行列式為｜α1+β，α2+β，…，αs+β｜．對它分解(用性質⑤，先分解第1列，分為2個行列式，它們都對第2列分解，成4個行列式，…)分為2n個行列式之和，這些行列式的第j列或為β，或為αj，考慮到當有兩列為β時值為0，除去它們，｜α1+β，α2+β，…，αs+β｜是n+1個行列式之和，它們是：恰有1列為β，而其它各列都不是(這樣的有n個)，還有一個是｜α1，α2，…，αs｜即原來行列式．于是知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（行列式）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、行列式D==0，則a，b應滿足()A、a=b或a=—bB、a=2b且b≠0C、b=2a且a≠0D、a=1，b=標準答案：A知識點解析：先將行列式按第3列展開，再按對角線法則計算二階行列式，得D==a2—b2=0，于是a=b或a=—b，故選A。2、設2n階行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，則D=()A、0B、a2C、—a2D、na2標準答案：A知識點解析：假設這一列是第j列，按該列展開，D=a1jA1j+a2jA2j+…+a2njA2nj=aA1j+aA2j+…+aA2nj，并注意到這一列元素的代數(shù)余子式中有n個為a，n個為—a，從而行列式的值為零，故選A。3、若=()A、30mB、—15mC、6mD、—6m標準答案：D知識點解析：故選D。4、設4階行列式的第2列元素依次為2，m，k，3，第2列元素的余子式依次為1，—1，1，—1，第4列元素的代數(shù)余子式依次為3，1，4，2，且行列式的值為1，則m，k的取值為()A、m=—4，k=—2B、m=4，k=—2C、D、標準答案：A知識點解析：由行列式展開定理及推論，得解得m=—4，k=—2，故選A。5、設多項式f(x)=，則x4的系數(shù)和常數(shù)項分別為()A、6，16B、—6，6C、6，6D、—6，—6標準答案：D知識點解析：由行列式的定義知，主對角線元素的乘積就是關于x4的項，x.2x(—x).3x=—6x4，即x4的系數(shù)為—6。當x=0時行列式的值就是常數(shù)項，經計算f(0)=—6，即常數(shù)項為—6，故選D。6、設D1==()A、mB、—8mC、2mD、—2m標準答案：D知識點解析：或將行列式D1的第一列加到第二列上之后再互換二、三列，再將第一列乘以2就可得到行列式D2。根據(jù)行列式的性質知D2=—2D1=—2m，故選D。7、下列m階行列式中，其值必為—1的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：A選項中行列式的值等于的奇偶性不定，行列式可能為1，也可能為—1。B選項中行列式按第一列展開得1+(—1)m+1，一定不等于—1。C選項中行列式按第一行展開得(—1)m+1，行列式等于1或—1。D選項中的行列式按第一列展開之后，對n—1階行列式再按第一列展開得1.(—1)m+1.1.(—1)m—1+1=—1?？梢奃選項為正確答案，故選D。8、的值等于()A、a1a2a3a4—b1b2b3b4B、a1a2a3a4+b1b2b3b4C、(a1a2—b1b2)(a3a4—b3b4)D、(a2a3—b2b3)(a1a4—b1b4)標準答案：D知識點解析：根據(jù)行列式的拉普拉斯展開法則，將此行列式第2，3行(列)展開，得D==(a2a3—b2b3)(a1a4—b1b4)，故選D。二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)9、在一個n階行列式D中等于“0”的元素個數(shù)大于n2—n，則D=________。標準答案：0知識點解析：n階行列式D共有n2個元素，由于“0”元素的個數(shù)大于n2—n，所以非“0”元素的個數(shù)小于n(因為n2—(n2—n)=n)。由n階行列式的概念可知，D的每一項均為0(因為每一項中至少有一個“0”元素)，故D=0。10、D==________。標準答案：—2000!知識點解析：D=(—1)r(n—1,n—2…,1,n)，a1,n—1a2,n—2…an—1,1ann=1×2×3×…×1999×2000=—2000!。11、D==_______。標準答案：—294×105知識點解析：本題主要考查三階行列式的計算。如果選用三階行列式的概念計算，由于行列式各元素的數(shù)值太大，則運算量過大。觀察題干元素特征，可見第二列和第三列相差100，因此可以運用行列式的性質，使本題計算量減小。一般情況，考試中應用行列式性質進行問題的求解情況較多，這就需要考生牢固掌握行列式的性質。12、已知D==0，則λ=_______。標準答案：1—a或a+4或a—3知識點解析：將第3行的—1倍加至第1行，有D==(λ+a—1)[(λ—a)2—(λ—a)—12]=(λ+a—1)(λ—a—4)(λ—a+3)，所以λ1=1—a，λ2=a+4，λ3=a—3。13、=________。標準答案：24知識點解析：根據(jù)行列式的性質作恒等變形，可得14、=________。標準答案：知識點解析：每行元素的和均是a1+a2+a3+a4+b，故把每列均加到第一列，并提出公因式，得15、設D=，則行列式第1列各元素的代數(shù)余子式之和A11+A21+A31+A41=_______。標準答案：0知識點解析：將行列式按第1列展開得A11+A21+A31+A41==0。16、行列式Dn==________。標準答案：知識點解析：將第k行的公因子k提到行列式外，其中k=2，3，…，n，再轉置，利用范德蒙德行列式的計算公式得17、函數(shù)f(x)=中x3的系數(shù)為________，x2的系數(shù)為_________。標準答案：—2，—1知識點解析：方法一：將行列式按對角線法則展開為多項式，得f(x)==—2x3+4x+3—(—2x)—x2—12x=—2x3—x2—6x+3，于是函數(shù)f(x)中x3的系數(shù)為—2，x2的系數(shù)為—1。方法二：利用行列式的性質，先把行列式的第2行乘以(—2x)加到第1行，再把行列式的第2行乘以(—2)加到第3行，然后按第1列展開，利用對角線法則計算二階行列式，即有f(x)==(—1)[(2x2+x)(x—4)—(1—4x)(2x+3)]=—2x3—x2—6x+3，于是函數(shù)f(x)中x3的系數(shù)為—2，x2的系數(shù)為—1。方法三：把行列式的第2行加到第1行，則行列式中只有主對角線上的元素包含字母x，得根據(jù)對角線法則可知，行列式展開后只有主對角線上三個元素的乘積才出現(xiàn)x3和x2項，而行列式主對角線上三個元素的乘積為(2x+1)(—x)x=—2x3—x2，所以函數(shù)f(x)中x3的系數(shù)為—2，x2的系數(shù)為—1。18、設f(x)=，則f(x+1)—f(x)=________。標準答案：6x2知識點解析：19、已知=0，則λ=________。標準答案：12，15，18知識點解析：所以λ的值為12或15或18。三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)計算下列二階行列式：20、標準答案：=sinθ.(—sinθ)—cosθ.cosθ=—(sin2θ+cos2θ)=—1。知識點解析：暫無解析21、標準答案：=ab2—a2b。知識點解析：暫無解析22、計算Dn=標準答案：利用行列式的性質得Dn==xDn—1+=xDn—1+anxn—1=x(xDn—2+an—1xn—2)+anxn—1=x2Dn—2+an—1xn—1+anxn—1=xn—1D1+a2xn—1+…+an—1xn—1+anxn—1=xn+a1xn—1+a2xn—1+…+an—1xn—1+anxn—1=xn—1+。知識點解析：暫無解析23、計算行列式。標準答案：將2至n行的所有元素均加至第一行對應元素上，得再將第一行的—i倍加至第i行(i=2，3，…，n)得知識點解析：暫無解析24、設n階行列式Dn=，求Dn完全展開后的n!項中正項的總數(shù)。標準答案：=(—1)n+1.2.(—1)1+(n—1).(—2)Dn—2=4Dn—2=22Dn—2=24Dn—4=…=2n—1，又因為Dn展開后各項的值為1或—1，而n!項的和為2n—1，故正項個數(shù)比負項個數(shù)多2n—1個，于是正項總數(shù)為個。知識點解析：暫無解析25、計算D2n=，其中未寫出的元素都是0。標準答案：該行列式只有兩條對角線上有元素，其余均為0，可以按照其中一行展開，找出遞推關系式。將按照第一行展開，得將兩個行列式分別按照最后一行展開，得=andnD2n—2—bncnD2n—2，由此得遞推公式D2n=(andn—bncn)D2n—2。按照遞推公式逐層代入得而D2==a1d1—b1c1。因此原行列式D2n=。知識點解析：暫無解析26、D=，證明行列式D=(n+1)an。標準答案：用數(shù)學歸納法，記n階行列式的值為Dn。當n=1時，D1=2a，命題正確；當n=2時，D2==3a2，命題正確；設n＜k時，Dn=(n+1)an，命題正確；當n=k時，按第一列展開，則有Dk==2aDk—1—a2Dk—2=2a(kak—1)—a2(k—1)ak—2=(k+1)ak，所以D=(n+1)an，命題得證。知識點解析：暫無解析27、設a＞b＞c＞0，證明：D=＜0。標準答案：將行列式D的第1列乘a+b+c之后再加到第3列得因為a＞b＞c＞0，故D=(ab+ac+bc)(b—a)(c—a)(c—b)＜0。知識點解析：暫無解析28、計算n階行列式標準答案：當n＞3時，第2行減第1行，然后第4行減第2行，變?yōu)榉謮K行列式。即Dn==—Dn—3且易求出D1=1，D2=0，D3=—1，于是其中k=0，1，2，…。知識點解析：暫無解析29、計算n階行列式Dn=標準答案：知識點解析：暫無解析計算下列二階行列式30、標準答案：=(λ—a)(λ—d)—(—b)(—c)=λ2—(a+d)λ+ad—bc。知識點解析：暫無解析31、標準答案：=(x—1)(x2+x+1)—(—x).1=x3—1+x。知識點解析：暫無解析32、計算行列式Dn=的值。標準答案：將原行列式Dn按第n行展開，有=xDn—1+an(—1)n+1.(—1)n—1=xDn—1+an，遞推得到Dn—1=xDn—2+an—1(—1)n.(—1)n—2=xDn—2+an—1，Dn—2=xDn—3+an—2，……D2=a1x+a2。對以上n—1個等式分別用1，x，x2，…，xn—2相乘，然后相加，得到D=a1xn—1+a2xn—2+a3xn—3+…+an—1x+an。知識點解析：暫無解析33、證明：=(a—b)(b—c)(c—a)。標準答案：按對角線法則展開行列式，得=ab2+bc2+ca2—b2c—a2b—ac2=(ab2—a2b)+(bc2—ac2)+(ca2—b2c)=ab(b—a)+(b—a)c2+c(a—b)(a+b)=(a—b)(—ab—c2+ac+bc)=(a—b)[(ac—ab)+(bc—c2)]=(a—b)(a—c)(c—b)=(a—b)(b—c)(c—a)。知識點解析：暫無解析34、計算Dn=標準答案：由于該行列式每一行及每一列都只有兩個非零元，根據(jù)展開定理將該行列式按照第一行展開得=a1a2…an+(—1)n+1b1b2…bn。知識點解析：暫無解析35、證明Dn==an+an—1b+…+bn。標準答案：將行列式按照第一行展開得Dn=(a+b)Dn—1—再將后一個行列式按照第一列展開，即得Dn=(a+b)Dn—1—abDn—2。且易得D1=a+b，D2=a2+ab+b2。下面用數(shù)學歸納法證明：假設當n=k及n=k—1時，等式成立，即Dk=ak+ak—1b+…+bk，Dk—1=ak—1+ak—2b+…+bk—1，則Dk+1=(a+b)Dk—abDk—1=(a+b)(ak+ak—1b+…+bk)—ab(ak—1+ak—2b+…+bk—1)=ak+1+akb+…+bk+1。故Dn=an+an—1b+…+bn對所有的正整數(shù)成立。知識點解析：暫無解析36、設x＞y＞z＞0，證明：標準答案：將不等式中的行列式第1列乘以(x+y+z)，第2列乘以(—1)，并且均加到第3列，得由于x＞y＞z＞0，有x—y＞0，y—z＞0，z—x＜0。故不等式成立。知識點解析：暫無解析37、計算Dn=，其中x1，x2，…，xn≠0。標準答案：將行列式適當添加一行一列變成n+1階行列式，其中行元素全部為1，列的第一個元素是1，其余元素是0，利用行列式的性質化簡為“爪型”行列式和上三角形行列式，得知識點解析：暫無解析38、已知=d，計算行列式標準答案：利用行列式的分解法進行計算：知識點解析：暫無解析39、計算f(x+1)—f(x)，其中標準答案：由行列式的分解法可知知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（行列式）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、若A、30m．B、-15m．C、6m．D、-6m．標準答案：D知識點解析：故應選(D)．2、設A是n階矩陣，則｜｜A*｜｜A｜=A、｜A｜n2．B、｜A｜n2-n．C、｜A｜n2-n+1．D、｜A｜n2+n．標準答案：C知識點解析：因為｜A*｜是一個數(shù)，由｜kA｜=kn｜A｜及｜A*｜=｜A｜n-1有｜｜A*｜A｜=｜A*｜n｜A｜=(｜A｜n-1)n｜A｜=｜A｜n2-n+1．故應選(C)．3、設A是n階矩陣，則｜(2A)*｜=A、2n｜A*｜．B、2n1｜A*｜．C、2n2-n｜A*｜．D、2n2｜A*｜．標準答案：C知識點解析：｜(2A)*｜=｜2A｜n-1=(2n｜A｜)n-1=2n(n-1)｜A｜=2n(n-1)｜A*｜．或利用(kA)*=kn-1A*，那么｜(2A)*｜=｜2n-1A*｜=(2n-1)n｜A*｜=2n2-n｜A*｜．故應選(C)．4、設A是m階矩陣，B是n階矩陣，且｜A｜=0a，｜B｜=b，若C=，則｜C｜=A、-3ab．B、3mab．C、(-1)mn3mab．D、(-1)(m+1)n3mab．標準答案：D知識點解析：用性質⑨有｜C｜==(-1)mn｜3A｜｜-｜B｜=(-1)mn3m｜A｜(-1)n｜B｜=(-1)(m+1)n3mab．故應選(D)．5、x=-2是=0的A、充分必要條件．B、充分而非必要條件．C、必要而非充分條件．D、既不充分也非必要條件．標準答案：B知識點解析：對于范德蒙行列式D==(x-1)(-2-1)(-2-x)=3(x-1)(x+2)，因為x=-2時，行列式的值為0．但D=0時，x可以為1．所以x=-2是D=0的充分而非必要條件．故應選(B)．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)6、計算n階行列式，對角線上煩人元素都為0，其他元素都為1.n=_______．標準答案：(-1)n-1(n-1)知識點解析：暫無解析7、計算n階行列式=_______．標準答案：[a+(n-1)b](a-b)n-1知識點解析：暫無解析8、計算n階行列式=_______．標準答案：[a+n(n+1)／2]an-1知識點解析：暫無解析9、計算6階行列式=_______．標準答案：(a1d1-b1c1)(a2d2-b2c2)(a3d3-b3c3)知識點解析：暫無解析10、若的代數(shù)余予式A12=-1，則代數(shù)余子式A21=________．標準答案：2知識點解析：按代數(shù)余子式定義A12=(-1)1+2=-(5x-4)=-1z=1．故A21=(-1)2+1=2．11、若A=(4，5，6)，則｜A｜=______．標準答案：0知識點解析：利用公式“r(AB)≤r(B)及A≠0，則r(A)≥1”，易見本題中r(A)=1，所以｜A｜=0．或作矩陣乘法A=(4，5，6)=，由A中兩行元素成比例而知｜A｜=0．12、設A=，則｜-2A-1｜=______．標準答案：-4知識點解析：用｜kA｜=kn｜A｜及｜A-1｜=，可知｜-2A-1｜=(-2)3｜A-1｜=-8.．又｜A｜=2，從而｜-2A-1｜=-4．13、設α，β，γ1，γ2，γ3都是4維列向量，且｜A｜=｜α，γ1，γ2，γ3｜=4，｜B｜=｜β，γ1，γ2，γ3｜=21，則｜A+B｜=________．標準答案：600知識點解析：因A+B=(α+β，3γ1，4γ2，2γ3)，故｜A+B｜=｜α+β，3γ1，4γ2，2γ3｜=24｜α，γ1，γ2，γ3｜+24｜β，γ1，γ2，γ3｜=24｜A｜+24｜B｜=600．14、已知Dn=，若Dn=anDn-1+kDn-2，則k=______．標準答案：1知識點解析：=anDn-1+(-1)2n-1.(-1)=anDn-1+(-1)2n-2Dn-2=anDn-1+Dn-2，從而k=1．三、解答題(本題共26題，每題1.0分，共26分。)15、求f(x)=的x3的系數(shù)．標準答案：在完全展開式的24項中除了對角線元素乘積這一項外，其他23項x的次數(shù)都不超過2，因此(x-3)(x-8)(x+1)x中x3的系數(shù)-10就是所求．知識點解析：暫無解析16、A=，證明｜xE-A｜的4個根之和等于a11+a22+a43+a44．標準答案：設4個根為x1，x2，x3，x4．因為｜xE-A｜是x的4次多項式，并且x4的系數(shù)為1，所以｜xE-A｜=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)．考察x3的系數(shù)．從右側看為-(x1+x2+x3+x4)；再從左側看，因為｜xE-A｜對角線外的元素都是不含x的常數(shù)，所以在其展開式的24項中，只有對角線元素的乘積(x-a11)(x-a22)(x-a33)(x-a44)這一項包含x3的，并且系數(shù)為-(a11+a22+a33+a44).于是x1+x2+x3+x4=a11+a22+a33+a44.知識點解析：暫無解析17、設A與b分別是m，n階矩陣，證明=(-1)mn｜A｜｜B｜．標準答案：把此行列式的左右兩部分交換，辦法如下：先把右部分的第1列依次和左部分的各列鄰換(共進行了n次)，再把右部分的第2列依次和左部分的各列鄰換，……，最后把右部分的第m列依次和左部分的各列鄰換．一共進行了mn次鄰換．于是=(-1)mn｜A｜｜B｜．=(-1)mn｜A｜｜B｜．知識點解析：暫無解析18、設4階矩陣A=(α，γ1，γ2，γ3)，B=(β，γ1，γ2，γ3)，｜A｜=2，｜B｜=3，求｜A+B｜．標準答案：A+B=(α+β，2γ1，2γ2，2γ3)，(注意這里是矩陣的加法，因此對應列向量都相加)｜A+B｜=｜α+β，2γ1，2γ2，2γ3｜=8｜α+β，γ1，γ2，γ3｜(用性質③，二，三，四列都提出2)=8(｜α，γ1，γ2，γ3｜+｜β，γ1，γ2，γ3｜)=8(2+3)=40．知識點解析：暫無解析19、設4階矩陣A=(α，γ1，γ2，γ3)，B=(β，γ1，γ2，γ3)，｜A｜=a，｜B｜=b，求｜A+B｜．標準答案：A+B=(α+β，γ1+γ2，γ2+γ3，γ3+γ1)，｜A+B｜=｜α+β，γ1+γ2，γ2+γ3，γ3+γ1｜=｜α+β，2γ1+γ2+γ3，γ2+γ3，γ3+γ1｜(把第4列加到第2列上)=｜α+β，2γ1，γ2+γ3，γ3+γ1｜(第2列減去第3列)=2｜α+β，γ1，γ2+γ3｜=2｜α+β，γ1，γ2，γ3｜=2(｜α，γ1，γ2，γ3｜+｜β，γ1，γ2，γ3｜)=2(｜α，γ1，γ2，γ3｜+｜β，γ1，γ2，γ3｜)=2a+2b．｜A+B｜=2a+2b．知識點解析：暫無解析20、設D=求-A13-A23+2A33+A43．標準答案：所求的是此行列式第3列元素的代數(shù)余子式A13，A23，A33，A43依次乘-1，-1，2，1后的和．A13，A23，A33，A43和行列式的第3列元素是無關的，因此如果把第3列元素改為-1，-1，2，1，則A13，A23，A33，A43不改變.于是修改后的行列式的值=它對第3列的展開式=-A13-A23+A33+A43．-A13-A23+2A33+A43=9．知識點解析：暫無解析21、計算行列式標準答案：=[a2-(b+c)2][a2-(b-c)2]=(a+b+c)(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)．知識點解析：暫無解析22、計算行列式標準答案：先提出第5行的公因子ai再把上面4行依次加上它的-2a倍，a倍，-a倍和-2倍：知識點解析：暫無解析23、已知(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)線性相關，并且a≠1，求a．標準答案：這4個向量線性相關以它們?yōu)樾?或列)向量構成的4階行列式為0．得a=1／2．知識點解析：暫無解析24、計算4階行列式標準答案：先把2至4列都加到第1列上，再2至4行都減去第1行，就可化為上三角行列式：D==(x+3)(x-1)3．知識點解析：暫無解析25、計算行列式標準答案：先把2至5列都加到第1列上，再自下而上2至4行各減去上行：知識點解析：暫無解析26、計算行列式標準答案：此題用定義，或用對行(列)的展開都不難計算．下面介紹的方法容易推廣．用行、列的交換容易把此行列式化為分塊的形式，第4列依次與3，2列交換，第4行依次和3，2行交換：=(ah-bg)(cf-de)．知識點解析：暫無解析27、設A=，計算行列式｜A｜．標準答案：對第1列展開：｜A｜=A11+aA41=M11-aM41=1-a4．知識點解析：暫無解析28、計算n階行列式=_______．標準答案：an+(-1)n+1bn.知識點解析：暫無解析29、計算n階行列式標準答案：先建立遞推公式：記此行列式為Dn．當n≥3時，對第1列(或行)展開，得Dn=A11+A21=Dn-1-M21，M21的第1行為(1，0，…，0)，它對第1行展開得M21=Dn-2．于是得遞推公式Dn=Dn-1-Dn-2，于是用它可以從D1，D2的值求得Dn．事實上當n≥4時，Dn=Dn-1-Dn-2=Dn-2-Dn-3-Dn-2=Dn-3．再由D1=1，D2=0，D3=D2-D1=-1推得Dn=知識點解析：暫無解析30、證明n階行列式=1-a+a2-a3+…+(-a)n．=1-a+a2-a3+…+(-a)2．標準答案：記此行列式為Dn，對第1行展開，得到一個遞推公式Dn=(1-a)Dn-1+aDn-2．方法一：下面用數(shù)學歸納法證明本題結論．(1)驗證n=1，2時對：D1=1-a，Dn==(1-a)2+a=1-a+a2．(2)假設對n-1和n-2結論都對，證明對n也對：Dn1=1-a+a2-a3+…+(-a)n-1，Dn-2=1-a+a2-a3+…+(-a)n-2，則由遞推公式Dn=(1-a)Dn-1+nDn-2=Dn-1-a(Dn-1-Dn-2)=Dn-1+(-a)n=1-a+a2-a3+…+(-a)n-1+(-a)n．方法二用數(shù)列的技巧計算．Dn=(1-a)Dn-1+aDn-2改寫為Dn-Dn-1=-a(Dn-1-Dn-2)，記Hn=Dn-Dn-1(n≥2)，則n≥3時Hn=-aHn-1，即{Hn}是公比為-a的等比數(shù)列．而H2=D2-D1=(1-a+a2)-(1-a)=a2，得到Hn=(-a)n，于是得到一個新的遞推公式Dn=Dn-1+(-a)n，再由D1=1-a，用此遞推公式不難得到Dn=1-a+an-a3+…+(-a)n．知識點解析：暫無解析31、證明=(n+1)an．標準答案：本題以證明題的形式出現(xiàn)，容易誘導想到用數(shù)學歸納法．記此行列式為Dn，對第1行展開得遞推公式Dn=2aDn-1-a2Dn-2．Dn=2aDn-1-a2Dn-2.改寫為Dn-aDn-1=a(Dn-1-aDn-2)，記Hn=Dn-aDn-1(n≥2)，則n≥3時Hn=aHn-1，即{Hn}是公比為a的等比數(shù)列．而H2=D2-aD1=3a2-2a2=a2，得到Hn=an，于是得到一個新的遞推公式Dn=aDn-1+an，兩邊除以an，得Dn／an=Dn-1／an-1+1．于是{Dn／an}是公差為1的等差數(shù)列．D1／a=2，則Dn／an=n+1，Dn=(n+1)an．知識點解析：暫無解析32、證明標準答案：對第1行展開得遞推公式Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2.然后用數(shù)學歸納法的程序證明結論．下面用數(shù)列技巧計算．把Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2改寫為Dn-bDn-1=a(Dn-1-bDn-2)，則{Dn-bDn-1}是公比為a的等比數(shù)列．D2-bD1=a2，得Dn-bDn-1=an，于是得到一個更加簡單的遞推公式：Dn=bDn-1+an，(1)當a=b時，則Dn=aDn-1+an，得Dn=(n+1)an．當a≠b時，和(1)對稱地有Dn=aDn-1+bn，(2)a(1)-b(2)，得(a-b)Dn=an+1-bn+1，Dn=知識點解析：暫無解析33、證明(-1)i-1b1…bi-1aicici+1…cn．標準答案：本題和下題在有的教材里稱為“爪形行列式”，它們都可以用數(shù)學歸納法證明．如本題對第n列展開就可得到遞推公式Dn=cnDn-1+(-1)n-1b1b2…bn-1an．然后容易進行歸納證明．下面要說明的是對這類行列式的一個事實：只要對第1行展開就可以求值!把要證明的值的表達式和對第1行的展開式對照：(-1)i-1b1…bi-1aicici+1…cn=(-1)i+1…aiM1i=(-1)i-1aiM1i，就可看出結論也就是對每個i，有M1i=b1…bi-1ci+1…cn．而這個等式只要寫出M1i就可得到：M1i=，其中Gi=，Hi=，分別是上，下三角矩陣．于是M1i=｜Gi｜×｜Hi｜=b1…bi-1ci+1…cn．知識點解析：暫無解析34、證明c1…ci-1aibici+1…cn．標準答案：對第1行展開．a0的代數(shù)余子式A11=M11=ci.i≥1時ai的代數(shù)余子式A1i+1=(-1)iM1i+1M1i+1=，其中｜Gi｜=，｜Hi｜=于是M1i+1=｜Gi｜×｜Hi｜i=(-1)i+1bic1…ci-1ci+1…cn．=a0ci+(-1)iaiM1i+1=a0ci-c1…ci-1aibici+1…cn知識點解析：暫無解析35、計算標準答案：各行減上行，a(a-b)4-b(c-a)(a-b)3+b(c-a)2(a-b)2-b(c-a)3(a-b)+b(c-a)4．知識點解析：暫無解析36、計算標準答案：如果每個xi都不是0，各列提出公因子xi：=x1x2x3x4x5=x1x2x3x4x5(1+x1-1x2-1x3-1x4-1x5-1)=x1x2x3x4x5+x2x3x4x5+x1x3x4x5+x1x2x4x5+x1x2x3x5+x1x2x3x4．如果有xi=0，則可直接計算．如x1=0，則第1列的元素都為1，其他各列都減第1列，求出值為x2x3x4x5．知識點解析：暫無解析37、計算n階行列式標準答案：對第一列展開：D=aiAi1=(-1)i+1aiMi1．Mi1=其中Gi是一個對角線元素都是-1的i-1階下三角矩陣，Hi是一個對角線元素都是x的n-i階上三角矩陣，于是Mi1=｜Gi｜｜Hi｜=(-1)i-1xn-i．代入得D=aixn-t．知識點解析：暫無解析38、若行列式的某個元素aij加1，則行列式的值增加Aij．標準答案：修改后的行列式第j列為(a1j，aij，…，anj+1，…，a)T=(a1j，…，aij，…，anj)T+(0，…，1，…，0)T，對它分解(性質⑤)，分為兩個行列式之和，一個就是原行列式，另一個的值為Aij．知識點解析：暫無解析39、若行列式的第j列的每個元素都加1，則行列式的值增加Aij．標準答案：修改后的行列式第j列為(a1j+1，…，aij+1，…，anj+1)T=(a1j，…，aij，…，anj)T+(1，…，1，…，1)T，對它分解(性質⑤)，分為兩個行列式之和，一個就是原行列式，另一個的第j列元素都是1，增加量就是它的值，等于Aij．知識點解析：暫無解析40、若行列式的每個元素都加1，則行列式值的增量為所有代數(shù)余子式之和．標準答案：設原來行列式的列向量依次為α1，α2，…，αs，記β=(1，1，…，1)T．則改變后的行列式為｜α1+β，α2+β，…，αs+β｜．對它分解(用性質⑤，先分解第1列，分為2個行列式，它們都對第2列分解，成4個行列式，…)分為2n個行列式之和，這些行列式的第j列或為β，或為αj，考慮到當有兩列為β時值為0，除去它們，｜α1+β，α2+β，…，αs+β｜是n+1個行列式之和，它們是：恰有1列為β，而其它各列都不是(這樣的有n個)，還有一個是｜1，α2，…，αs｜即原來行列式．于是｜α1+β，α2+β，…，αs+β｜-｜α1，α2，…，αs｜=α1，…，αj+β，…，αn=Aij．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（行列式）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、=()A、22。B、23。C、24。D、25。標準答案：C知識點解析：第一行加到第二行，然后第二行加到第三行，最后第三行再加到第四行，得到上對角線行列式，故該行列式值為24。故選C。2、四階行列式的值等于()A、a1a2a3a4一b1b2b3b4。B、a1a2a3a4+b1b2b3b4。C、(a1a2一b1b2)(a3a4一b3b4)。D、(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)。標準答案：D知識點解析：根據(jù)行列式的按k行(列)展開法則，將此行列式第二、三行(列)展開，得=(a2a3—b2b3)(a1a4—b1b4)。故選D。3、設2n階行列式D的某一列元素及其余子式都等于a，則D=()A、0。B、a2。C、一a2。D、na2。標準答案：A知識點解析：按這一列展開，D=a1jA1j+a2jA2j+…+a2njA2nj=aA1j+aA2j+…+aA2nj，并注意到這一列元素的代數(shù)余子式中有n個為a，n個為一a，從而行列式的值為零。故選A。4、設，且｜A｜=m，則｜B｜=()A、m。B、一8m。C、2m。D、一2m。標準答案：D知識點解析：故選D。5、設f(x)=，則f’(x)=0的根的個數(shù)為()A、0。B、1。C、2。D、3。標準答案：C知識點解析：按行列式展開得f(x)=，所以有f’(x)=5(x2一4)=0，因此根的個數(shù)為2。故選C。6、設α1，α2，α3，β1，β2均為四維列向量，且｜A｜=｜α1，α2，α3，β1｜=m，｜B｜=｜α1，α2，β2，α3｜=n，則｜α1，α2，α3，(β1+β2)｜=()A、m+n。B、m—n。C、一(m+n)。D、n—m。標準答案：D知識點解析：由行列式運算法則｜α3，α2，α1，(β1+β2)｜=｜α3，α2，α1，β1｜+｜α3，α2，α1，β2｜，且｜α3，α2，α1，β2｜=一｜α1，α2，α3，β2｜=｜α1，α2，β2，α3｜=｜B｜=n，故可得｜α3，α2，α1，(β1+β2)｜=一｜A｜+｜B｜=一m+n。故選D。7、α1，α2，α3，β1，β2均為四維列向量，A=(α1，α2，α3，β1)，B=(α3，α1，α2，β2)，且｜A｜=1，｜B｜=2，則｜A+B｜=()A、9。B、6。C、3。D、1。標準答案：B知識點解析：由矩陣加法公式，得A+B=(α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2)，結合行列式的性質有｜A+B｜=｜α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2｜=｜2(α1+α2+α3)，α2+α1，α3+α2，β1+β2｜=2｜α1+α2+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2｜=2｜α1+α2+α3，一α3，一α1，β1+β2｜=2｜α2，一α3，一α1，β1+β2｜=2｜α1，α1，α3，β1+β2｜=2(｜A｜+｜B｜)=6。8、設A=(α1，α2，α3)是三階矩陣，則｜A｜=()A、｜α1一α2，α2一α3，α3一α1｜。B、｜α1+α2，α2+α3，α3+α1｜。C、｜α1+2α2，α3，α1+α2｜。D、｜α1，α2+α3，α1+α2｜。標準答案：C知識點解析：｜α1+2α2，α3，α1+α2｜=｜α1，α2，α3｜=｜A｜。故選C。9、設n階矩陣A=(α1，α2，…，αn)，B=(αn，α1，…，αn—1)，若｜A｜=1，則｜A—B｜=()A、0。B、2。C、1+(一1)n+1。D、1+(一1)n。標準答案：A知識點解析：對于行列式｜A一B｜，將第2～n列都加到第一列上，即｜A一B｜=｜一α1，αn一α1，…，αn一αn—1｜=｜0，α2一α1，…，αn一αn—1｜=0。故選A。10、設矩陣，矩陣B滿足AB+B+A+2E=0，則｜B+E｜=()A、一6。B、6。C、。D、。標準答案：C知識點解析：化簡矩陣方程，構造B+E，用因式分解法，則有A(B+E)+(B+E)=一E，即(A+E)(B+E)=一E，兩邊取行列式，由行列式乘法公式得｜A+E｜·｜B+E｜=1，又有故｜B+E｜=。故選C。11、設A為三階矩陣，，則｜4A一(3A*)—1｜=()A、。B、3。C、6。D、9。標準答案：D知識點解析：｜4A一(3A*)—1｜=｜4A一(3｜A｜A—1)—1｜=｜4A—A｜=｜3A｜=9。故選D。二、填空題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)12、行列式=______。標準答案：一2(x3+y3)知識點解析：將后兩列加到第一列上=一2(x3+y3)。13、行列式=______。標準答案：(a1c2—a2c1)(b1d2一b2d1)知識點解析：根據(jù)行列式按行(列)展開法則，按照第一行展開，有=a1c2(b1d2一b2d1)一a2c1(b1d2一b2d1)=(a1c2—a2c1)(b1d2一b2d1)。14、行列式=______。標準答案：120知識點解析：將行列式第四行的各元素加到第一行相應元素上后，提出公因子10，然后將第四行逐行換至第二行，即原式=10(2—1)(3—1)(4—1)(3—2)(4—2)(4—3)=120。15、在xOy平面上，平面曲線方程，則平面曲線與x軸的交點坐標是______。標準答案：(2，0)，(3，0)知識點解析：曲線與x軸(即y=0)的交點為方程組的解，行列式為范德蒙德行列式，即有=(3—2)(x一2)(x一3)=0，解得x=2或3，故曲線與x軸的交點坐標為(2，0)，(3，0)。16、設三階行列式D3的第二行元素分別為1，一2，3，對應的代數(shù)余子式分別為一3，2，1，則D3=______。標準答案：一4知識點解析：根據(jù)行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素與其相應的代數(shù)余子式乘積之和。故D3=a21A21+a22A22+a23A23=1×(一3)+(一2)×2+3×1=一4。17、設行列式，則第四行元素余子式之和的值為______。標準答案：0知識點解析：第四行余子式之和M41+M42+M43+M44=一A41+A42一A43+A44==0。18、已知三階行列式=6，則=______。標準答案：知識點解析：結合行列式的性質：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面。即所以19、設A=(α1，α2，α3，β)，B=(α1，α2，α3，γ)，｜A｜=0，｜B｜=6，則｜A+B｜=______。標準答案：2(a+b)知識點解析：由題意A+B=(α1+α2，α2+α3，α3+α1，β+γ)，即有｜A+B｜=｜α1+α2，α2+α3，α3+α1，β+γ｜，將該行列式的第一列的一1倍加到第二列得｜A+B｜=｜α1+α2，α3一α1，α3+α1，β+γ｜，再將新的行列式的第二列加到第三列可得｜A+B｜=｜α1+α2，α3一α1，2α3，β+γ｜=2｜α1+α2，一α1，α3，β+γ｜=一2｜α1+α2，α1，α3，β+γ｜=一2｜α2，α1，α3，β+γ｜=一2(｜α2，α1，α3，β｜+｜α2，α1，α3，γ｜)，其中｜α2，α1，α3，β｜=一｜A｜=一a，｜α2，α1，α3，γ｜=一｜B｜=一b，故｜A+B｜=2(a+b)。20、設A=(α1，α2，α3)是三階矩陣，且｜A｜=4。若B=(α1一3α2+2α3，α2一2α3，2α2+α3)，則｜B｜=______。標準答案：20知識點解析：利用行列式的性質｜B｜=｜α1一3α2+2α3，α2一2α3，5α3｜=5｜α1—3α2+2α3，α2一2α3，α3｜=5｜α1一3α2，α2，α3｜=5｜α1，α2，α3｜=5｜A｜=20。21、設A，B是三階矩陣，滿足AB=A—B，其中，則｜A+E｜=______。標準答案：知識點解析：由題設，AB=A—B，則(A+E)(E—B)=E，因此22、設，矩陣B滿足AB+B+A+2E=0，則｜B+E｜=______。標準答案：知識點解析：由AB+B+A+2E=0可知A(B+E)+B+E=一E，即(A+E)(B+E)=一E。取行列式可得｜A+E｜｜B+E｜=｜—E｜=1，由于故23、設A為奇數(shù)階矩陣，且AAT=ATA=E。若｜A｜＞0，則｜A—E｜=______。標準答案：0知識點解析：｜A—E｜=｜A—AAT｜=｜A(E—AT)｜=｜A｜·｜E一AT｜=｜A｜·｜E—A｜。由AAT=ATA=E，可知｜A｜2=1，因為｜A｜>0，所以｜A｜=1，即｜A—E｜=｜E—A｜。又A為奇數(shù)階矩陣，所以｜E—A｜=｜一(A—E)｜=一｜A—E｜=一｜E—A｜，故｜A—E｜=0。24、已知A，B，C都是行列式值為2的三階矩陣，則=______。標準答案：知識點解析：根據(jù)行列式按行(列)展開法則，得25、已知A為三階方陣，A2一A一2E=O，且0＜｜A｜＜5，則｜A+2E｜=______。標準答案：4知識點解析：設A的特征值λi對應的特征向量是xi(xi≠0，i=1，2，3)，則Axi=Axi。由A2一A一2E=O可知，特征向量xi滿足(A2一A一2E)xi=0，從而有λi2一λi一2=0，解得λi=一1或λi=2。再根據(jù)｜A｜=λ1λ2λ3及0＜｜A｜＜5可得，λ1=λ2=一1，λ3=2。由Axi=λxi可得(A+2E)xi=(λi+2)xi，即A+2E的特征值μi(i=1，2，3)滿足μi=λi+2，所以μ1=μ2=1，μ3=4，故｜A+2E｜=1×1×4=4。26、設三階方陣A與B相似，且｜2E+A｜=0。已知λ1=1，λ2=一1是方陣B的兩個特征值，則｜A+2AB｜=______。標準答案：18知識點解析：由｜2E+A｜=0，可得｜一2E一A｜=0，即λ=一2是A的一個特征值。因A與B相似，且由相似矩陣具有相同的特征值可知，λ1=1，λ2=一1也是A的特征值，所以A，B的特征值均為λ1=1，λ2=一1，λ3=一2，則E+2B的三個特征值分別為3，一1，一3。從而可得｜A｜=λ1λ2λ3=2，｜E+2B｜=3×(一1)×(一3)=9，故｜A+2AB｜=｜A(E+2B)｜=｜A｜·｜E+2B｜=18。27、已知A，B為三階相似矩陣，λ1=1，λ2=2為A的兩個特征值，行列式｜B｜=2，則行列式=______。標準答案：知識點解析：設λ3為A的另一特征值。由A與B相似知，｜A｜=｜B｜=2，且λ1λ2λ3=｜A｜=2，則有λ3=1，從而A，B有相同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=1。于是有｜A+E｜=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=12，｜(A+E)—1｜=，｜(2B)*｜=｜22B*｜=43｜B｜2=43｜B2｜=256。故有三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)28、計算行列式標準答案：把第一行的一1倍分別加至其余各行，然后將第2～n列依次加至第一列，得=[a+(n一1)b](a一b)n—1。知識點解析：暫無解析29、計算行列式Dn=標準答案：把第二行的一1倍分別加至其余各行，再把第一行的2倍加至第二行，得知識點解析：暫無解析30、計算行列式標準答案：把第一行的一1倍分別加至其余各行，得知識點解析：暫無解析31、計算行列式Dn=標準答案：利用行列式的性質，得=nDn—1+(n一1)!an2。同理可得Dn—1=(n一1)Dn—2+(n一2)an—12，所以Dn=n[(n一1)Dn—2一2+(n一2)an—12]+(n一1)!an2=n(n一1)Dn—2+依次遞推可得知識點解析：暫無解析32、計算行列式D2n=，其中未寫出的元素都是0。標準答案：該行列式只有兩條對角線上元素不為0，可以按其中一行展開，找出遞推關系式。按第一行展開，得將以上兩個行列式分別按最后一行展開，得=andnD2n—2一bncnD2n—2。由此得遞推公式D2n=(andn一bncn)D2n—2。按遞推公式逐層代入得D2n=(aidi一bici)D2，又由D2==a1d1一b1c1，因此原行列式D2n=(aidi—bici)。知識點解析：暫無解析33、證明=anxn+an—1xn—1+…+a1x+a0。標準答案：本題可利用遞推法證明。記Dn=，則左邊=xDn+(一1)n+2a0=xDn+(—1)2n+2a0=xDn+a0。顯然D1=an，根據(jù)上面的結論有左邊=xDn+a0=x(xDn—1+a1)+a0=x2Dn—1+xa1+a0=…=xnD1+an—1xn—1+…+a1x+a0=anxn+an—1xn—1+…+a1x+a0=右邊，所以，命題成立。知識點解析：暫無解析34、設n階矩陣證明行列式｜A｜=(n+1)an。標準答案：數(shù)學歸納法。記Dn=｜A｜=，以下用數(shù)學歸納法證明Dn=(n+1)an。當n=1時，D1=2a，結論成立。當n=2時，D2==3a2，結論成立。假設結論對小于n的情況成立，將Dn按第一行展開，則有=2aDn—1—a2Dn—2=2anan—1—a2(n—1)an—2=(n+1)an，故｜A｜=(n+1)an。知識點解析：暫無解析35、計算n階行列式，其中α≠β。標準答案：令Dn=，則將該行列式按第一行展開得再將上式中后面的n一1階行列式按照第一列展開得Dn=(α+β)Dn—1一αβDn—2，則Dn一αDn—1=β(Dn—1一αDn—2)=β2(Dn—2一αDn—3)=…=βn一2(D2一αD1)=βn—2[(α2+αβ+β2)一α(α+β)]=β’’，即Dn一αDn—1=βn，(1)類似地Dn一βDn—1=αn，(2)(1)×β一(2)×α可得(β一α)Dn=βn+1一αn+1，所以Dn=。(其中上式還可以進一步化簡為Dn==βn+βn—1α+βn—2α2+…+βαn—1+…+αn=βn—iαi)。知識點解析：暫無解析36、計算行列式Dn=標準答案：將第一行的一1倍加到其余各行可得當n≥3時，上述行列式第2到n行是成比例的，故Dn=0。當n=2時，有Dn==(x1一x2)(y1—y2)。當n=1時，Dn=1+x1y1。知識點解析：暫無解析37、計算行列式Dn=，其中n＞2。標準答案：把第1行的(一x)倍分別加到第2，3，…，n行，得當x≠0時，再把第j(j=2，3，…，n)列的倍加到第1列，Dn化成了上三角行列式Dn==(一1)n—1(n—1)xn—2。當x=0時，顯然有Dn=0，所以當n＞2時，總有Dn=(一1)n—1(n—1)xn—2。知識點解析：暫無解析38、設矩陣，三階矩陣B滿足ABA*=E一BA—1，試計算行列式｜B｜。標準答案：矩陣方程中出現(xiàn)了矩陣A的伴隨矩陣A*與A—1，故考慮先將等式化簡。由于A*A=｜A｜E=2E，A—1A=E，故在等式ABA*=E—BA—1兩邊同時右乘A，可得2AB=A—B，則有(2A+E)B=A。以上等式兩邊取行列式得｜2A+E｜｜B｜=｜A｜=2，易求得｜2A+E｜=55，因此｜B｜=。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（行列式）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、四階行列式的值等于()A、a1a2a3a4一b1b2b3b4。B、a1a2a3a4+b1b2b3b4。C、(a1a2一b1b2)(a3a4一b3b4)。D、(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)。標準答案：D知識點解析：根據(jù)行列式的按k行(列)展開法則，將此行列式第二、三行(列)展開，得D==(a2a3—b2b3)(a1a4—b1b4)，所以應選D。2、設，且｜A｜=m，則｜B｜=()A、m。B、一8m。C、2m。D、一2m。標準答案：D知識點解析：將行列式｜A｜的第一列加到第二列上，再將第二