考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷1（共276題）

考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷1（共9套）（共276題）考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)A為m×n階矩陣，B為n×m階矩陣，且m＞n，令r(AB)＝r，則()．A、r＞mB、r＝mC、r＜mD、r≥m標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然AB為m階矩陣，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B))≤n＜m，所以選C．2、設(shè)A為四階非零矩陣，且r(A*)＝1，則()．A、r(A)＝1B、r(A)＝2C、r(A)＝3D、r(A)＝4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閞(A*)＝1，所以r(A)＝4－1＝3，選C．3、設(shè)A，B都是n階矩陣，其中B是非零矩陣，且AB＝O，則()．A、r(B)＝nB、r(B)＜nC、A2－B2＝(A＋B)(A－B)D、｜A｜＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳B＝O，所以r(A)＋r(B)≤n，又因?yàn)锽是非零矩陣，所以r(B)≥1，從而r(A)＜n，于是｜A｜＝0，選D．4、設(shè)A，B分別為m階和n階可逆矩陣，則的逆矩陣為()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A，B都是可逆矩陣，因?yàn)?，所以，故選D．5、設(shè)則A，B的關(guān)系為()．A、B＝P1P2AB、B＝P2P1AC、B＝P2AP1D、B＝AP2P1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：P1＝E12，P2＝E23(2)，顯然A首先將第2列的兩倍加到第3列，再將第1及第2列對(duì)調(diào)，所以B＝AE23(2)E12＝AP2P1，選D．6、設(shè)，又P1＝，P2＝，則()．A、B＝P1AP2B、B＝P2AP1C、B＝P1-1AP1D、B＝P1-1AP2-1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：顯然B＝＝P1AP2-1，因?yàn)镻1-1＝P1，所以應(yīng)選D．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)7、設(shè)A＝，則A-1＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)，則A＝．于是A-1＝．8、設(shè)A＝，則(A*)-1＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜＝10，因?yàn)锳*＝｜A｜A-1，所以A*＝10A-1，故(A*)-1＝9、設(shè)A＝，則A(A－2E)-1＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)n階矩陣A滿早A2＋A＝3E，則(A－3E)-1＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－(A＋4E)知識(shí)點(diǎn)解析：由A2＋A－3E，得A2＋A－3E＝O，(A－3E)(A＋4E)＝－9E，(A－3E)[－(A＋4E)]＝E，則(A－3E)-1＝－(A＋4E)．11、設(shè)A＝，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令A(yù)＝(α1，α2，α3)，因?yàn)椋麬｜＝2．所以A*A＝｜A｜E＝2E，而A*A＝(A*a1，A*α2，A*α3)，所以A*α1＝，A*α2＝，A*α1＝于是12、設(shè)n維列向量α＝(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A＝E－ααT，B＝E＋ααT，且B為A的逆矩陣，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－1知識(shí)點(diǎn)解析：由AB＝(E－aaT)(E＋ααT)＝E＋ααT－ααT－2aααT＝E且ααT≠O，得－1－2a＝0，解得a＝－113、設(shè)三階矩陣A，B；滿足關(guān)系A(chǔ)-1BA＝6A＋BA，且A＝，則B＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由A*BA＝6A＋BA，得A-1B＝6E＋B，于是(A-1－E)B＝6E14、設(shè)A是4×3階矩陣且r(A)＝2，B＝，則r(AB)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋麭｜＝10≠0，所以r(AB)＝r(A)＝2．15、設(shè)A＝，B為三階非零矩陣，且AB＝O，則r(A)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳B＝O，所以r(A)＋r(B)≤3，又因?yàn)锽≠O，所以r(B)≥1，從而有r(A)≤2，顯然A有兩行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)＝2．16、，則P12009P2-1＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：P1＝＝E23，因?yàn)镋ij-1＝Eij，所以Eij2＝E，于是P12009P2-1＝P1P2-1＝三、解答題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)17、設(shè)n階矩陣A滿足A2＋2A－3E＝O．求：(1)(A＋2E)-1；(2)(A＋4E)-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由A2＋2A－3E＝O得A(A＋2E)＝3E，A.(A＋2E)＝E，根據(jù)逆矩陣的定義，有(A＋2E)-1＝A．(2)由A2＋2A－3E＝O得(A＋4E)(A－2E)＋5E＝O，則(A＋4E)-1＝－(A－2E)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)A為n階矩陣，且Ak＝O，求(E－A)-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：Ek－Ak＝(E－A)(E＋A＋A2＋…＋Ak-1)，又Ek－Ak＝E，所以(E－A)-1＝E＋A＋A2＋…＋Ak-1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)A，B為n階矩陣，(1)求P.Q；(2)證明：當(dāng)P可逆時(shí)，Q也可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：PQ＝＝｜A｜｜B｜E2n(2)因?yàn)椋黀｜＝｜A｜｜B｜，所以當(dāng)P可逆時(shí)，｜A｜｜B｜≠0，而PQ＝｜A｜｜B｜E．即PQ＝E，于是Q可逆且Q-1＝P．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)A為n階可逆矩陣，A2＝｜A｜E．證明：A＝A*．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳A*＝｜A｜E，又已知A2｜A｜E，所以AA*＝A2，而A可逆，故A＝A*．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)A為n階矩陣，且A2－2A－8E＝O．證明：r(4E－A)＋r(2E＋A)＝n．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A2－2A－8E＝O得(4E－A)(2E＋A)＝O，根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)得r(4E－A)＋r(2E＋A)≤n．又r(4E－A)＋r(2E＋A)≥r(4E－A)＋(2E＋A)]＝r(6E)＝n，所以有r(4E－A)＋r(2E＋A)＝n．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、證明：若矩陣A可逆，則其逆矩陣必然唯一．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)存在可逆陣B，C，使得AB＝AC＝E，于是A(B－C)＝O，故r(A)＋r(B－C)≤n，因?yàn)锳可逆，所以r(A)＝n，從而r(B－C)＝0，B－C＝O，于是B＝C，即A的逆矩陣是唯一的．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)A是m×n階矩陣，若ATA＝O，證明：A＝O．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閞(A)＝r(ATA)，而ATA＝O，所以r(A)＝0，于是A＝O．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)n維行向量α＝(，0，…，0，)，A＝E－αTα，B＝E＋2αTα，則AB為()．A、0B、－EC、ED、E＋αTα標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由ααT＝，得AB＝(E－αTα)(E＋2αTα)＝E，選C．2、設(shè)A，B為n階矩陣，則下列結(jié)論正確的是()．A、若A，B可逆，則A＋B可逆B、若A，B可逆，則AB可逆C、若A＋B可逆，則A－B可逆D、若A＋B可逆，則A，B都可逆標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：若A，B可逆，則｜A｜≠0，｜B｜≠0，又｜AB｜＝｜A｜｜B｜，所以｜AB｜≠0，于是AB可逆，選B．3、設(shè)A，B為n階對(duì)稱矩陣，下列結(jié)論不正確的是()．A、AB為對(duì)稱矩陣B、設(shè)A，B可逆，則A-1＋B-1為對(duì)稱矩陣C、A＋B為對(duì)稱矩陣D、kA為對(duì)稱矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由(A＋B)T＝AT＋BT＝A＋B，得A＋B為對(duì)稱矩陣；由(A-1＋B-1)T＝(A-1)T＋(B-1)T＝A-1B-1，得A-1＋B-1為對(duì)稱矩陣；由(kA)T＝kAT＝kA，得kA為對(duì)稱矩陣，選A．4、設(shè)A，B皆為n階矩陣，則下列結(jié)論正確的是()．A、AB＝O的充分必要條件是A＝O或B＝OB、AB≠O的充分必要條件是A≠O且B≠OC、AB＝O且r(A)＝n，則B＝OD、若AB≠O，則｜A｜≠0或｜B｜≠0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：取A＝≠O，B＝≠O，顯然AB＝O，故A、B都不對(duì)，取A＝，B＝，顯然AB＝，但｜A｜＝0且｜B｜＝0，故D不對(duì)；由AB＝O得r(A)＋r(B)≤n，因?yàn)閞(A)＝n，所以r(B)＝0，于是B＝O，所以選C．5、n階矩陣A經(jīng)過(guò)若干次初等變換化為矩陣B，則()．A、｜A｜＝｜B｜B、｜A｜≠｜B｜C、若｜A｜＝0則｜B｜＝0D、若｜A｜＞0則｜B｜＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳經(jīng)過(guò)若干次初等變換化為B，所以存在初等矩陣P1，…，Ps，Q1，…，Qt，使得B＝Ps…P1AQ1…Qt，而P1，…，Ps，Qs，…，Qt都是可逆矩陣，所以r(A)＝r(B)，若｜A｜＝0，即r(A)＜n，則r(B)＜n，即｜B｜＝0，選C．6、設(shè)A為m×n階矩陣，C為，2階矩陣，B＝AC，且r(A)＝r，r(B)＝r1，則()．A、r＞r1B、r＜r1C、r≥r1D、r與r1的關(guān)系依矩陣C的情況而定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閞1＝r(B)＝r(AC)≤r(A)＝r，所以選C．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)7、設(shè)A為n階可逆矩陣(n≥2)，則[(A*)*]-1＝_______(用A*表示)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由A*＝｜A｜A-1得(A*)*＝｜A*｜.(A*)-1＝｜A｜n-1.(｜A｜A-1)-1＝｜A｜n-1A，故[(A*)*]-1＝．8、設(shè)α＝(1，－1，2)T，β＝(2，1，1)T，A＝αβT，則An＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：βTα＝3，A2＝αβT.αβT＝3αβT＝3A，則An＝3n-1A＝3n-19、A＝，且n≥2，則An－2An-1＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：O知識(shí)點(diǎn)解析：由A2＝2A得An＝2n-1A，An-1＝2n-2A，所以An－2An-1＝O．10、設(shè)A＝，則(A＋3E)-1(A2一9E)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：(A＋3E)-1(A2－9E)＝(A＋3E)-1(A＋3E)(A－3E)＝A－3E＝11、A2－B2＝(A＋B)(A－B)的充分必要條件是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：AB＝BA知識(shí)點(diǎn)解析：A2－B2＝(A＋B)(A－B)＝A2＋BA－AB－B2的充分必要條件是AB＝BA．12、設(shè)A是三階矩陣，且｜A｜＝4，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：＝｜2A-1｜＝23｜A-1｜＝2．13、設(shè)A為三階矩陣，且｜A｜＝4，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由A*＝｜A｜A-1＝4A-1得14、設(shè)A為四階矩陣，｜A*｜＝8，則｜－3A*｜＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：8知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳為四階矩陣，且｜A*｜＝，所以｜A*｜＝｜A｜3＝8，于是｜A｜＝2．又AA*＝｜A｜E＝2E，所以A*＝2A-1，故｜(A)-1＝3A*｜4A-1－6A-1｜＝(－2)A-1｜＝(－2)4｜A-1｜＝16×＝8．15、設(shè)A為三階矩陣，且｜A｜＝3，則｜(－2A)*｜＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：576知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?－2A)*＝(－2)2A*＝4A*，所以｜(－2A)*｜＝｜4A*｜＝43｜A｜2＝64×9＝576．16、設(shè)A＝，則A-1＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)17、設(shè)求(1)｜－2B｜；(2)AB－BA．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)｜－2B｜＝(－2)3｜B｜＝－8；則AB－BA＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)A，B為n階矩陣，且A2＝A，B2＝B，(A＋B)2＝A＋B．證明：AB＝O．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A2＝A，B2＝B及(A＋B)2＝A＋B＝A2＋B2＋AB＋BA得AB＋BA＝O或AB＝－BA，AB＝－BA兩邊左乘A得AB＝－ABA，再在AB＝－BA兩邊右乘A得ABA＝－BA，則AB＝BA，于是AB＝O．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)AX＝A＋2X，其中A＝，求X．標(biāo)準(zhǔn)答案：由AX＝A＋2X得(A－2E)X＝A，其中A－2E＝因?yàn)椋麬－2E｜＝－1≠0，所以X＝(A－2E)-1A，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)A＝，且AX＋｜A｜E＝A*＋X，求X．標(biāo)準(zhǔn)答案：由AX＋｜A｜E＝A*＋X得(A－E)X＝A*＝｜A｜E＝A*－AA*＝(E－A)A*，因?yàn)椋麰－A｜＝－3≠0，所以E－A可逆，于是X＝－A*，由｜A｜＝6得X＝－6A-1，得A-1＝，于是X＝－6A-1＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)四階矩陣B滿足(A*)-1BA-1＝2AB＋E，且A＝，求矩陣B．標(biāo)準(zhǔn)答案：｜A｜＝4，(÷A*)-1BA-1＝2AB＋E(｜A｜A-1)-1BA-1＝2AB＋EABA-1＝2AB＋EB＝2BA＋EB＝(E－2A)-1＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)A，B滿足A*BA＝2BA－8E，且A＝，求B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A*BA＝2BA－8E得AA*BA＝2ABA－8A，即－2BA＝2ABA－8A，整理得(A＋E)B＝4E，所以B＝4(A＋E)-1＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)B＝，求B-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)A＝(ai≠0，i＝1，2，…，n)，求A-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：令B＝，C＝(an)，則A＝，從而A-1＝知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)A，B均為n階矩陣，則必有()A、｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。B、AB=BA。C、｜AB｜=｜BA｜。D、(A+B)—1=A—1+B—1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋麬B｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜B｜=｜BA｜，所以C項(xiàng)正確。取B=一A，則｜A+B｜=0，而｜A｜+｜B｜不一定為零，故A項(xiàng)錯(cuò)誤。由矩陣乘法不滿足交換律知，B項(xiàng)不正確。因(A+B)(A—1+B—1)≠E，故D項(xiàng)也不正確。故選C。2、設(shè)A，B均為n階可逆矩陣，則下列等式中必定成立的是()A、(A+B)(A—B)=A2一B2。B、(A+B)—1=A—1+B—1。C、｜A+B｜=｜A｜+｜B2。D、(AB)*=B*A*。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)伴隨矩陣的定義可知(AB)*=｜AB｜(AB)—1=｜A｜｜B｜B—1A—1=B*A*。故選D。3、設(shè)A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣。若A3=D，則()A、E一A不可逆，E+A不可逆。B、E—A不可逆，E+A可逆。C、E一A可逆，E+A可逆。D、E—A可逆，E+A不可逆。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：已知(E一A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E，故E—A，E+A均可逆。故選C。4、設(shè)A，B均為n階矩陣，且AB=A+B，則①若A可逆，則B可逆；②若B可逆，則A+B可逆；③若A+B可逆，則AB可逆；④A一E恒可逆。上述命題中，正確的個(gè)數(shù)為()A、1。B、2。C、3。D、4。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由AB=A+B，有(A—E)B=A。若A可逆，則｜(A—E)B｜=｜A—E｜×｜B｜=｜A｜≠0，所以｜B｜≠0，即矩陣B可逆，從而①正確。同①類似，由B可逆可得出A可逆，從而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故②正確。因?yàn)锳B=A+B，若A+B可逆，則有AB可逆，即③正確。對(duì)于④，用分組因式分解，即AB一A一B+E=E，則有(A—E)(B一E)=E，所以得A—E恒可逆，④正確。故選D。5、設(shè)A為n階可逆矩陣，且n≥2，則(A—1)*=()A、｜A｜A—1。B、｜A｜A。C、｜A—1｜A—1。D、｜A—1｜A。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)伴隨矩陣的定義可知(A—1)*=｜A—1｜(A—1)—1=｜A—1｜A。故選D。6、設(shè)則必有()A、AP1P2=B。B、AP2P1=B。C、P1P2A=B。D、P2P1A=B。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于對(duì)矩陣Am×n施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)Am×n作一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣。經(jīng)過(guò)觀察A，B的關(guān)系可以看出，矩陣B是矩陣A先把第一行加到第三行上，再把所得的矩陣的第一、二兩行互換得到的，這兩次初等變換所對(duì)應(yīng)的初等矩陣分別為題中條件的P2與P1。故選C。7、設(shè)n階矩陣A，B等價(jià)，則下列說(shuō)法中不一定成立的是()A、若｜A｜＞0，則｜B｜＞0。B、如果A可逆，則存在可逆矩陣P，使得PB=E。C、如果A與E合同，則｜B｜≠0。D、存在可逆矩陣P與Q，使得PAQ=B。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：兩個(gè)矩陣等價(jià)的充要條件是兩個(gè)矩陣的秩相同。當(dāng)A可逆時(shí)，r(A)=n，所以r(B)=n，即B是可逆的，故B—1B=E，選項(xiàng)B成立。矩陣的合同是一種等價(jià)關(guān)系，若A與E合同，則r(A)=r(B)=n，由選項(xiàng)B可知，選項(xiàng)C成立。矩陣A，B等價(jià)的充要條件是存在可逆矩陣P與Q，使得PAQ=B，選項(xiàng)D成立。事實(shí)上，當(dāng)｜A｜＞0(即A可逆)時(shí)，我們只能得到｜B｜≠0(即B可逆)。故選A。8、設(shè)A為m×n矩陣，B為n×m矩陣，若AB=E，則()A、r(A)=m，r(B)=m。B、r(A)=m，r(B)=n。C、r(A)=n，r(B)=m。D、r(A)=n，r(B)=n。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳B=E，所以r(AB)=m。又r(AB)=m≤min{r(A)，r(B)}，即r(A)≥m，r(B)≥m，而r(A)≤m，r(B)≤m，所以r(A)=m，r(B)=m。故選A。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)9、設(shè)α，β均為三維列向量，βT是β的轉(zhuǎn)置矩陣，如果αβT=，則αβT=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，則αβT=而有αTβ=(a1，a2，a3)=a1b1+a2b2+a3b3，可以看出αTβ就是矩陣αβT的主對(duì)角線元素的和，所以αTβ=1+6+(一2)=5。10、設(shè)α=(1，2，3)T，β=(1，，0)T，A=αβT，則A3=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：A=αβT=，又因?yàn)棣娄罷=，且矩陣的乘法滿足結(jié)合律，所以A3=(αβT)(αβT)(αβT)=α(βTα)(βTα)βT=4αβT=4A=。11、設(shè)方陣A滿足A2一A一2E=O，并且A及A+2E都是可逆矩陣，則(A+2E)—1=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：一(A一3E)知識(shí)點(diǎn)解析：由A2一A一2E=O，可得(A+2E)(A一3E)=一4E，于是有(A+2E)—1(A+2E)(A一3E)=一4(A+2E)—1，因此(A+2E)—1=一(A一3E)。12、設(shè)A，B均為三階矩陣，E是三階單位矩陣，已知AB=2A+3B，A=，則(B一2E)—1=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用已知條件AB=2A+3B，通過(guò)移、添加項(xiàng)構(gòu)造出B一2E，于是有AB一2A—3B+6E=6E，則有(A一3E)(B一2E)=6E。從而(B一2E)—1=13、設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*=，則A=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由AA*=｜A｜E可得A=｜A｜(A*)—1，對(duì)等式兩端取行列式并結(jié)合已知條件，可得｜A*｜=一8=｜A｜3，因此｜A｜=一2，又所以A=｜A｜(A*)—1=14、已知，矩陣X滿足A*X=A—1+2X，其中A*是A的伴隨矩陣，則X=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：左乘矩陣A，并把等式AA*=｜A｜E代入已知矩陣方程，得｜A｜X=E+2AX，移項(xiàng)可得(｜A｜E一2A)X=E，因此X=(｜A｜E一2A)—1。已知｜A｜=4，所以X=(4E一2A)—1=15、設(shè)三階方陣A，B滿足A—1BA=6A+BA，且，則B=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將A—1BA=6A+BA變形可得(A—1一E)BA=6A，即B=6(A—1一E)—1。又因?yàn)锳—1=，A—1一E=，所以16、設(shè)矩陣，則A3的秩為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：依矩陣乘法直接計(jì)算得A3=故r(A3)=1。17、設(shè)A是4×3矩陣，且A的秩r(A)=2，而，則r(AB)=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗跃仃嘊可逆，因此r(AB)=r(A)=2。18、設(shè)，B是三階非零矩陣，且AB=O，則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳B=O，則有r(A)+r(B)≤3，又已知矩陣B≠O，因此r(B)≥1，那么r(A)＜3，則行列式｜A｜=0。而所以。三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)19、已知，求An。標(biāo)準(zhǔn)答案：首先觀察由此推測(cè)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明此結(jié)論成立。當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)n=k時(shí)成立，則n=k+1時(shí)，Ak+1=Ak·A=由數(shù)學(xué)歸納法知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知PA=BP，其中，求A2008。標(biāo)準(zhǔn)答案：｜P｜=6，則矩陣P可逆。由PA=BP，可得A=P—1BP，于是A2008=P—1B2008P。又因?yàn)锽2008==E，所以A2008=P—1P=E。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*，證明：21、若｜A｜=0，則｜A*｜=0；標(biāo)準(zhǔn)答案：假設(shè)｜A*｜≠0，則有A*(A*)—1=E。又因?yàn)锳A*=｜A｜E，且｜A｜=0，故A=AE=AA*(A*)—1=｜A｜E(A*)—1=0，所以A*=O。這與｜A*｜≠0矛盾，故當(dāng)｜A｜=0時(shí)，有｜A*｜=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、｜A*｜=｜A｜n—1。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于AA*=｜A｜E，兩端同時(shí)取行列式得｜A｜｜A*｜=｜A｜n。當(dāng)｜A｜≠0時(shí)，｜A*｜=｜A｜n—1；當(dāng)｜A｜=0時(shí)，｜A*｜=0。綜上，有｜A*｜=｜A｜n—1成立。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)A為n階可逆矩陣，A*為A的伴隨矩陣。證明(A*)T=(AT)*。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳可逆，所以｜A｜=｜AT｜，且AA—1=E。在AA—1=E兩邊同時(shí)取轉(zhuǎn)置可得(A—1)TAT=E，即(AT)—1=(A—1)T，所以(A*)T=(｜A｜A—1)T=｜A｜(A—1)T=｜AT｜(AT)—1=(AT)*。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)A為n階方陣，且n≥2。證明｜A*｜=｜(一A)*｜。標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：設(shè)A=(aij)，｜A｜中元素aij的代數(shù)余子式為Aij，則｜一A｜中一aij的代數(shù)余子式Bij=(一1)n—1Aij。于是，(一A)*=(一1)n—1A*。所以｜(一A)*｜=｜(一1)n—1A*｜=[(一1)n—1]n｜A*｜=｜A*｜。方法二：若A不可逆，則(一A)和A*也不可逆，從而(一A)*也不可逆，故｜A*｜=｜(一A)*｜=0。若A可逆，則由AA*=｜A｜E可得(一A)(一A)*=｜—A｜E，于是(一A)*=｜—A｜(一A)—1=(一1)n｜A｜·(一1)A—1=(一1)n—1A*，故有｜(一A)*｜=｜(一1)n—1A*｜=(一1)(n—1)n｜A*｜=｜A*｜。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知A為n(n≥3)階非零實(shí)矩陣，Aij為A中元素aij的代數(shù)余子式。證明：25、aij=Aij＜=＞ATA=E，且｜A｜=1；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)aij=Aij，有AT=A*，則ATA=A*A=｜A｜E。由于A*為n階非零實(shí)矩陣(aij不全為零)，所以tr(ATA)=aij2＞0，tr(ATA)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，故｜A｜＞0。在ATA=｜A｜E兩邊取行列式，得｜A｜n—2=1，從而｜A｜=1。反之，若ATA=E且｜A｜=1，則A*A=｜A｜E=ATA，于是AT=A*，即aij=Aij。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、aij=一Aij＜=＞ATA=E，且｜A｜=一1。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)aij=一Aij時(shí)，有AT=一A*，則ATA=一A*A=一｜A｜E，此時(shí)n｜A｜tr(一ATA)=一aij2＜0，即｜A｜＜0。在ATA=一｜A｜E兩邊取行列式，得｜A｜=一1。反之，若ATA=E且｜A｜=一1，則A*A=｜A｜E=一E=一ATA=(一AT)A，于是AT=一A*，即aij=一Aij。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*=，且ABA—1=BA—1+3E，其中E為四階單位矩陣，求矩陣B。標(biāo)準(zhǔn)答案：AA*=A*A=｜A｜E，知｜A*｜=｜A｜n—1，因此有8=｜A*｜=｜A｜3，于是｜A｜=2。在等式ABA—1=BA—1+3E兩邊先右乘A，再左乘A*，得2B=A*B+3A*A，即(2E—A*)B=6E。于是B=6(2E—A*)—1=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、已知矩陣A的伴隨矩陣A*=diag(1，1，1，8)，且ABA—1=BA1+3E，求矩陣B。標(biāo)準(zhǔn)答案：在A*=｜A｜A—1兩端取行列式可得｜A*｜=｜A｜4｜A—1｜=｜A｜3，因?yàn)锳*=diag(1，1，1，8)，所以｜A*｜=8，即｜A｜=2。由ABA—1=BA—1+3E移項(xiàng)并提取公因式得(A—E)BA—1=3E，右乘A得(A—E)B=3A，左乘A—1得(E一A—1)B=3E。由已求結(jié)果｜A｜=2，知E—A—1=diag(1，1，1，1)一得(E—A—1)—1=因此B=3(E—A—1)—1=diag(6，6，6，—1)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)A，B滿足A*BA=2BA一8E，其中，求矩陣B。標(biāo)準(zhǔn)答案：｜A｜=一2，利用恒等式AA*=｜A｜E，在等式A*BA=2BA一8E兩邊同時(shí)左乘A右乘A—1得｜A｜B=2AB一8E，移項(xiàng)合并得(A+E)B=4E，則B=4(A+E)—1=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)A，B，C都是n階矩陣，滿足B=E+AB，C=A+CA，則B-C為A、E．B、-E．C、A．D、-A．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由B=E+AB得(E-A)B=E，由C=A+CA得C(E-A)=A，則C(E-A)B=AB，得C=ABR-C=E+AB-AB=E.2、A和B都是n階矩陣．給出下列條件①是數(shù)量矩陣．②A和B都可逆．③(A+B)2=A2+2AB+B2．④AB=CE．⑤(AB)2=A2B2．則其中可推出AB=BA的有()A、①②③④⑤．B、①③⑤．C、①③④．D、①③．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：①和③的成立是明顯的．②是不對(duì)的，如④AB=cE，在c≠0時(shí)可推出AB=BA，但是c=0時(shí)則推不出AB=BA．如⑤(AB)2=A2B2推不出AB=BA．對(duì)于④中的A和B，(AB)2和A2B2都是零矩陣，但是AB≠BA．3、設(shè)n維行向量α=，矩陣A=E-αTα，B=E+αTα，則AB=A、0．B、E．C、-E．D、E+αTα．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：AB=(E-αTα)(E+2αTα)=E+2αTα-αTα-2αTααTα=E+αTα-2αT(ααT)α．注意ααT=，故AB=E．應(yīng)選(B)．4、設(shè)A是任一n階矩陣，下列交換錯(cuò)誤的是A、A*A=AA*．B、AmAP=ApAm．C、ATA=AAT．D、(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳A*=A*A=｜A｜E，AmAp=ApAm=Am+p，(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)=A2-E，所以(A)、(B)、(D)均正確．而AAT=，ATA=，故(C)不正確．5、設(shè)A，B，A+B，A-1+B-1均為n階可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1=A、A+B．B、A-1+B-1．C、A(A+B)-1B．D、(A+B)-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：(A-1+B-1)-1=(EA-1+B-1)-1=(B-1BA-1+B-1)-1=[B-1(BA-1+AA-1)]-1=[B-1(B+A)A-1]-1=(A-1)-1(B+A)-1(B-1)-1=A(A+B)-1B．故應(yīng)選(C)．6、設(shè)A，B均是忍階矩陣，下列命題中正確的是A、AB=0A=0或B=0．B、AB≠0A≠0且B≠0．C、AB=0｜A｜=0或｜B｜=0．D、AB≠0｜A｜≠0且｜B｜≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A=≠0．B=≠0，但AB=0，所以(A)，(B)均不正確．又如A=，有AB≠0，但｜A｜=0且｜B｜=0．可見(jiàn)(D)不正確．由AB=0有｜AB｜=0，有｜A｜.｜B｜=0．故｜A｜=0或｜B｜=0．應(yīng)選(C)．7、設(shè)A=P1=，P2=，P3=，則B=A、AP1P2．B、AP1P3．C、AP3P1．D、AP2P3．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：把矩陣A的第2列加至第1列，然后第1，3兩列互換可得到矩陣B，表示矩陣A的第2列加至第1列，即AP1，故應(yīng)在(A)、(B)中選擇．而P3=表示第1和3兩列互換，所以選(B)．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)8、若A=，則A2=________，A3=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：A2=A3=A2A=9、若A=．則A*=________，(A*)*=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：用定義．A11=-3，A12=6，A13=-3，A21=6，A22=-12，A23=6，A31=-3，A32=6，A33=-3，故因?yàn)閞(A*)=1，A*的二階子式全為0，故(A*)*=0．10、設(shè)A=，則A-1=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用和A-1=A*易見(jiàn)11、設(shè)矩陣A=，B=A2+5A+6E，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因B=(A+2E)(A+3E)，又=5B-1，故=5(A+3E)-1(A+2E)-112、設(shè)A是n階矩陣，滿足A2-2A+E=0，則(A+2E)-1=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(4E-A)知識(shí)點(diǎn)解析：由(A+2E)(A-4E)+9E=A2-2A+E=0有(A+2E).(4E-A)=E．所以(A+2E)-1=(4E-A)．13、若A=，則(A*)-1=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?A*)-1=所以(A*)-1=14、若A-1=，則(3A)*=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?kA)*=kn-1A*，故(3A)*=32A*，又A*=｜A｜A-1，而｜A-1｜=從而(3A)*=9A*=15、設(shè)A=不可逆，則x=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：4或-5知識(shí)點(diǎn)解析：A不可逆｜A｜=0．而=-8(x-4)(x+5)，故x=4或x=-5．16、設(shè)A，B均為3階矩陣，且滿足AB=2A+B，其中A=，則｜B-2E｜=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識(shí)點(diǎn)解析：由AB-2A-B+2E=2E，有A(B-2E)-(B-2E)=2E，則(A-E)(B-2E)=2E．于是｜A-E｜.｜B-2E｜=｜2E｜=8，而｜A-E｜==-4．所以｜B-2E｜=-2．17、設(shè)A2-BA=E，其中A=，則B=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于BA=A2-E，又A可逆，則有B=(A2-E)A-1=A-A-1．故18、設(shè)XA=AT+X，其中A=，則X=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由XA-X=AT有X(A-E)=AT，因?yàn)锳可逆，知X與A-E均可逆．故X=AT(A-E)-1=19、已知A=，矩陣X滿足A*X=A-1+2X，其中A*是A的伴隨矩陣，則X=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：左乘A并把AA*=｜A｜E代入得｜A｜X=E+2AX，移項(xiàng)得(｜A｜E-2A)X=E．故X=(｜A｜E-2A)-1．由｜A｜=4知X=(4E-2A)-1=(2E-A)-1=三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)20、設(shè)A，b都是n階矩陣，證明E-AB可逆E-BA可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：用線性方程組的克拉默法則．證明“”方向．設(shè)E-AB可逆，要證明E-BA可逆，為此只要證明齊次線性方程組(E-BA)X=0只有零解．設(shè)η是(E-BA)X=0的解，即η-BAη=0，則Aη-ABAη=0，即(E-AB)Aη=0，由于E-AB可逆，得Aη=0，再?gòu)摩?BAη=0得η=0．證明完畢．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)A，B是3階矩陣，A可逆，它們滿足2A-1B=B-4E．證明A-2E可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：用A左乘2A-1B=B-4E兩側(cè)得2B=AB-4A，即(A-2E)B=4A．由A可逆，得A-2E可逆．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)n階矩陣A，B滿足AB=aA+bB．其中ab≠0，證明(1)A-bE和B-aE都可逆．(2)AB=BA．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)A-bE和B-aE都可逆(A-bE)(B-aE)可逆．直接計(jì)算(A-bE)(B-aE)．(A-bE)(B-aE)=AB-aA-bB+abE-abE．因?yàn)閍b≠0，得(A-bE)(B-aE)可逆．(2)利用等式(A-bE)(B-aE)=abE，兩邊除以ab，得于是再兩邊乘ab，得(B-aE)(A-bE)=abE，即BA-aA-bE+abE=abE．BA=aA+bB=AB．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、A，B都是n階矩陣，并且B和E+AB都可逆，證明：B(E+AB)-1B-1=E-B(E+AB)-1A．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)此等式進(jìn)行恒等變形：B(E+AB)-1B-1=E-B(E+AB)-1AB(E+AB)-1=B-B(E+AB)-1AB(用B右乘等式兩邊)B(E+AB)-1+B(E+AB)-1AB=BB(E+AB)-1(E+AB)=B．最后的等式顯然成立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)A，B都是對(duì)稱矩陣，并且E+AB可逆，證明(E+AB)-1A是對(duì)稱矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(E+AB)-1A對(duì)稱，就是[(E+AB)-1A]T=(E+AB)-1A．[(E+AB)-1A]T=A[(E+AB)-1]T=A[(E+AB)T]-1=A(E+BA)-1．于是要證明的是(E+AB)-1A=A(E+BA)-1．對(duì)此式作恒等變形：(E+AB)-1A=A(E+BA)-1A=(E+AB)A(E+BA)-1(用E+AB左乘等式兩邊)A(E+BA)=(E+AB)A(用E+BA右乘等式兩邊)．等式A(E+BA)=(E+AB)A．顯然成立，于是(E+AB)-1A=A(E+BA)-1成立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)A，b都是n階矩陣，使得A+B可逆，證明B(A+B)-1A=A(A+B)-1B．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩邊都加A(A+E)-1A后，都等于A：B(A+E)-1A+A(A+B)-1A=(B+A)(A+B)-1A=A.A(A+B)-1B+A(A+B)-1A=A(A+B)-1(B+A)=A．因此B(A+B)-1A=A(A+B)-1B．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)A，B都是n階矩陣，并且A是可逆矩陣．證明：矩陣方程AX=B和XA=B的解相同AB=BA．標(biāo)準(zhǔn)答案：AX=B的解為A-1B，XA=B的解為BA-1．AX=B和XA=B的解相同即A-1B=BA-1．作恒等變形：A-1B=BA-1B=ABA-1BA=AB．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)A=，求與A乘積可交換的所有矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：與A乘積可交換的矩陣一定是2階矩陣．設(shè)X=則AX=XA即：ax1+x3=ax1+x2，ax2+x4=x1，x1=ax3+x4，x2=x3，整理得x1，x2，x3，x4的齊次線性方程組解得通解為c1(a，1，1，0)T+c2(1，0，0，1)T，c1，c2任意．則與A乘積可交換的矩陣的一般形式為c1A+c2E，c1，c2任意．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、(1)設(shè)A是對(duì)角矩陣，并且對(duì)角線上元素兩兩不相等．證明和A乘積可交換的一定是對(duì)角矩陣．(2)n階矩陣C如果和任何n階矩陣乘積可交換，則C必是數(shù)量矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)B和A乘積可交換，要證明B是對(duì)角矩陣，即要說(shuō)明B的對(duì)角線外的元素bij(i≠j)都為0設(shè)A的對(duì)角線元素為λ1，λ2，…，λn．則AB的(i，j)位元素為λibij，而B(niǎo)A的(i，j)位元素為λjbij.因?yàn)锳B=BA，得aibij=λjbij．因?yàn)棣薸≠λj，所以bij=0．(2)先說(shuō)明C一定是對(duì)角矩陣．由于C與對(duì)角線上元素兩兩不相等的n階對(duì)角矩陣乘積可交換，由(1)的結(jié)論得出C是對(duì)角矩陣．再說(shuō)明C的對(duì)角線元素c11，c22，…，cnn都相等．構(gòu)造n階矩陣A，使得其(i，j)位元素為1，i≠j，則CA的(i，j)位元素為cii，AC的(i，j)位元素為cjj．于是cii=cjj．這里的i，j是任意的，從而c11=c22=…=cnn．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)A-1=，求(A*)-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?A*)-1=A，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、設(shè)A=，求An．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)矩陣A分塊，記A=，則由r(B)=1，知B2=2B，Bn=2n-1B=而C=．于是有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、設(shè)A，B均為n階矩陣，E+AB可逆，化簡(jiǎn)(E+BA)[E-B(E+AB)-1A]．標(biāo)準(zhǔn)答案：(E+BA)[E-B(E+AB)-1A]=E+BA-E(E+AB)-1A-BAB(E+AB)-1A=E+BA-B(E+AB)(E+AB)-1A=E+BA-BA=E．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、設(shè)A，B，C均為n階矩陣，其中C可逆，且ABA=C-1，證明BAC=CAB．標(biāo)準(zhǔn)答案：由C可逆，知｜ABA｜≠0，故矩陣A，B均可逆．因ABAC=E，即A-1=BAC．又CABA=E，得A-1=CAB．從而B(niǎo)AC=CAB．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、若A是對(duì)稱矩陣，B是反對(duì)稱矩陣，則AB是反對(duì)稱矩陣的充要條件是AB=BA．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳T=A，BT=-B，那么(AB)T=BTAT=-BA．若AB是反對(duì)稱矩陣，則(AB)T=-AB，從而AB=BA．反之，若AB=BA，則(AB)T=-BA=-AB，即AB是反對(duì)稱矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、設(shè)A是n階矩陣，Am=0，證明E-A可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：由Am=0，有E-Am=E．于是(E-A)(E+A+A2+…+Am-1)=E-Am=E．所以E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2+…+Am-1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、設(shè)A為n階可逆矩陣，α為n維列向量，b為常數(shù)，記分塊矩陣P=其中A*是A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣．(Ⅰ)計(jì)算并化簡(jiǎn)PQ；(Ⅱ)證明矩陣Q可逆的充分必要條件是αTA-1α≠b．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由AA*=A*A=｜A｜E及A*=｜A｜A-1有(Ⅱ)用拉普拉斯展開(kāi)式及行列式乘法公式，有=｜A｜2(b-αTA-1α)．因?yàn)榫仃嘇可逆，行列式｜A｜≠0，故｜Q｜=｜A｜(b-αTA-1α)．由此可知，Q可逆的充分必要條件是b-αTA-1α≠0，即αTA-1α≠b．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析36、設(shè)A是n階實(shí)反對(duì)稱矩陣，證明(E-A)(E+A)-1是正交矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：[(E-A)(E+A)T][(E-A)(E+A)-1]T=(E-A)(E+A)-1[(E+A)-1]T(E-A)T=(E-A)(E+A)-1[(E+A)T]-1(E+A)=(E-A)(E+A)-1(E-A)-1(E+A)=(E-A)[(E-A)(E+A)]-1(E+A)=(E-A)[(E+A)(E-A)]-1(E+A)=(E-A)(E-A)-1(E+A)-1(E+A)=E．所以(E-A)(E+A)-1是正交矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、則A，B的關(guān)系為()．A、B＝P1P2AB、B＝P2P1AC、B＝P2AP1D、B＝AP2P1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：P1＝E12，P2＝E23(2)，顯然A首先將第2列的兩倍加到第3列，再將第1及第2列對(duì)調(diào)，所以B＝AE23(2)E12＝AP2P1，選D．2、設(shè)又，則()．A、B＝P1AP2B、B＝P2AP1C、B＝P2-1AP1D、B＝P1-1AP2-1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：顯然B＝＝P1AP2-1，因?yàn)镻1-1＝P1，所以應(yīng)選D．3、設(shè)A是m×n階矩陣，B是n×m階矩陣，則()．A、當(dāng)m＞n時(shí)，必有｜AB｜≠0B、當(dāng)m＞n時(shí)，必有｜AB｜＝0C、當(dāng)n＞m時(shí)，必有｜AB｜≠0D、當(dāng)n＞m時(shí)，必有｜AB｜＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：AB為m階矩陣，因?yàn)閞(A)≤min{m，n}，r(B)≤min{m，n}，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故當(dāng)m＞n時(shí)，r(AB)≤n＜m，于是｜AB｜＝0，選B．4、設(shè)A，B，A＋B，A-1＋B-1皆為可逆矩陣，則(A-1＋B-1)-1等于()．A、A＋BB、A-1＋B-1C、A(A＋B)-1BD、(A＋B)-1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A(A＋B)-1B(A-1＋B-1)＝[(A＋B)A-1]-1(BA-1＋E)＝(BA-1＋＋E)-1(BA-1＋E)＝E，所以選C．5、設(shè)A，B都是n階可逆矩陣，則()．A、(A＋B)*＝A*＋B*B、(AB)*＝B*A*C、(A－B)*＝A*－B*D、(A＋B)*一定可逆標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?AB)*＝｜AB｜(AB)-1＝｜A｜｜B｜B-1A-1＝｜B｜B-1.｜A｜A-1＝B*A*，所以選B．6、設(shè)A為n階矩陣，k為常數(shù)，則(kA)*等于()．A、kA*B、knA*C、kn-1A*D、kn(n-1)A*標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?kA)*的每個(gè)元素都是kA的代數(shù)余子式，而余子式為，n－1階子式，所以(kA)*＝kn-1A*，選C．7、設(shè)A為n階矩陣，A2＝A，則下列成立的是()．A、A＝OB、A＝EC、若A不可逆，則A＝OD、若A可逆，則A＝E標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳2＝A，所以A(E－A)＝O，由矩陣秩的性質(zhì)得r(A)＋r(E－A)＝n，若A可逆，則r(A)＝n，所以r(E－A)＝0，A＝E，選D．8、設(shè)A為m×n階矩陣，且r(A)＝m＜n，則()．A、A的任意m個(gè)列向量都線性無(wú)關(guān)B、A的任意m階子式都不等于零C、非齊次線仕方程組AX＝b一定有無(wú)窮多個(gè)解D、矩陣A通過(guò)初等行變換一定可以化為(EmO)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然由r(A)＝m＜n，得r(A)＝r()＝m＜n，所以方程組AX＝b有無(wú)窮多個(gè)解．故選C．9、設(shè)，若P1mAP2n＝，則m，n可取()．A、m＝3，n＝2B、m＝3，n＝5C、m＝2，n＝3D、m＝2，n＝2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：P1mA2nP＝經(jīng)過(guò)了A的第1，2兩行對(duì)調(diào)與第1，3兩列對(duì)調(diào)，且Eij2＝E，P1nAP2n＝P1AP2，則m＝3，n＝5，即選B．10、設(shè)則B-1為()．A、A-1P1P2B、P1A-1P2C、P1P2A-1D、P2A-1P1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：B＝AE14E23或B＝AE23E14即B＝AP1P2或B＝AP2P1，所以B-1＝P2-1P1-1A-1或B-1＝P1-1P2-1A-1，注意到Eij-1＝Eij，于是B-1＝P2P1A-1或B-1＝P1P2A-1，選C．11、設(shè)P＝，Q為三階非零矩陣，且PQ＝O，則()．A、當(dāng)t＝6時(shí)，r(Q)＝1B、當(dāng)t＝6時(shí)，r(Q)＝2C、當(dāng)t≠6時(shí)，r(Q)＝1D、當(dāng)t≠6時(shí)，r(Q)＝2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镼≠O，所以r(Q)≥1，又由PQ＝O得r(P)＋r(Q)≤3，當(dāng)t≠6時(shí)，r(P)≥2，則r(Q)≤1，于是r(Q)＝1，選C．二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)12、設(shè)n階矩陣A滿足A2＋A＝3E，則(A－3E)-1＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－(A＋4E)知識(shí)點(diǎn)解析：由A2＋A＝3E，得A2＋A－3E＝O，(A－3E)(A＋4E)＝－9E，(A－3E)[－(A＋4E)]＝E，則(A－3E)-1＝－(A＋4E)．13、設(shè)A＝，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令A(yù)＝(α1，α2，α3)，因?yàn)椋麬｜＝2，所以A*A＝｜A｜E＝2E，而A*A＝(A*α1，A*α2，A*α3)，14、設(shè)n維列向量α＝(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A＝E－ααT，B＝E＋ααT，且B為A的逆矩陣，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－1知識(shí)點(diǎn)解析：由AB＝(E－ααT)(E＋ααT)＝E＋ααT－ααT－2aααT＝E且ααT≠O，得－1－2a＝0，解得a＝－1．15、設(shè)三階矩陣A，B滿足關(guān)系A(chǔ)-1BA＝6A＋BA，且A＝，則B＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由A-1BA＝6A＋BA，得A-1B＝6E＋B，于是(A-1－E)B＝6E，B＝6(A-1－E)-1＝16、設(shè)A是4×3階矩陣且r(A)－2，B＝，則r(AB)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋麭｜＝10≠0，所以r(AB)＝r(A)＝2．17、設(shè)A＝，B為三階非零矩陣，且AB＝O，則r(A)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳B＝O，所以r(A)＋r(B)≤3，又因?yàn)锽≠O，所以r(B)≥1，從而有r(A)≤2，顯然A有兩行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)＝2．18、，則P12009P2-1＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：P1＝＝E23，因?yàn)镋ij-1＝Eij，所以Eij2＝E，于是19、設(shè)A，B都是三階矩陣，A＝，且滿足(A*)-1B＝ABA＋2A2，則B＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜＝－3，A*＝｜A｜A-1＝－3A-1，則(A*)-1B＝ABA＋2A2化為－AB＝ABA＋2A2，注意到A可逆，得－B＝BA＋2A或－B＝3BA＋6A，則B＝－6A(E＋3A)-1，20、設(shè)矩陣A，B滿足A*BA＝2BA－8E，且A＝，則B＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由A*BA＝2BA－8E，得AA*BA－2ABA－8A，即＝2BA－2ABA－8A，于是－2B＝2AB－8E，(A＋E)B＝4E，所以B＝4(A＋E)-1＝21、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镋ij-1＝Eij，所以Eij2＝E，于是22、設(shè)A＝，B為三階矩陣，r(B*)＝1且AB＝O，則t＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閞(B*)＝1，所以r(B)＝2，又因?yàn)锳B＝O，所以r(A)＋r(B)≤3，從而r(A)≤1，又r(A)≥1，r(A)＝1，于是t＝6．23、設(shè)A＝，B≠O為三階矩陣，且BA＝O，則r(B)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)24、證明：若矩陣A可逆，則其逆矩陣必然唯一．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)存在可逆陣B，C，使得AB＝AC＝E，于是A(B－C)＝O，故r(A)＋r(B－C)≤n，因?yàn)锳可逆，所以r(A)＝n，從而r(B－C)＝0，B－C＝O，于是B＝C，即A的逆矩陣是唯一的．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)A是m×n階矩陣，若ATA＝O，證明：A＝O．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閞(A)＝r(ATA)，而ATA＝O，所以r(A)＝0，于是A＝O．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)A＝E＝ααT，其中α為n維非零列向量．證明：(1)A2＝A的充分必要條件是α為單位向量；(2)當(dāng)α是單位向量時(shí)A為不可逆矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令αTα＝k，則A2＝(E－ααT)(E－ααT)＝E－2ααT＋kααT，因?yàn)棣翞榉橇阆蛄?，所以ααT≠O，于是A2＝A的充分必要條件是k＝1，而αTα＝｜α｜2，所以A2＝A的充要條件是α為單位向量．(2)當(dāng)α是單位向量時(shí)，由A2＝A得r(A)＋r(E－A)＝n，因?yàn)镋－A＝ααT≠O，所以r(E－A)≥1，于是r(A)≤n－1＜n，故A是不可逆矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)A為n階非奇異矩陣，α是n維列向量，b為常數(shù)，P＝，Q＝．(1)計(jì)算PQ；(2)證明PQ可逆的充分必要條件是αTA-1α≠b．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(2)｜PQ｜＝｜A｜2(b－αTA-1α)，PQ可逆的充分必要條件是｜PQ｜≠0，即αTA-1α≠b．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)矩陣A滿足(2E－C-1B)AT＝C-1，且求矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：由(2E－C-1B)AT＝C-1，得AT＝(2E－C-1B)-1C-1＝[C(2E－C-1B)]-1＝(2C－B)-1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)α，β是n維非零列向量，A＝αβT＋βαT．證明：r(A)≤2．標(biāo)準(zhǔn)答案：r(A)＝r(αβT＋βαT)≤r(αβT)＋r(βαT)，而r(αβT)≤r(α)＝1，r(βαT)≤r(β)＝1，所以r(A)≤r(αβT)＋r(βαT)≤2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、設(shè)α是n維單位列向量，A＝E－ααT．證明：r(A)＜n．標(biāo)準(zhǔn)答案：A2＝(E－ααT)(E－ααT)＝E－2ααT＋ααT.ααT，因?yàn)棣翞閱挝涣邢蛄浚驭罷α＝1，于是A2＝A．由A(E－A)＝O得r(A)＋r(E－A)≤n，又由r(A)＋r(E－A)≥r[A＋(E－A)]＝r(E)＝n，得r(A)＋r(E－A)＝n．因?yàn)镋－A＝ααT≠0，所以r(E－A)＝r(ααT)＝r(α)＝1，故r(A)＝n－1＜n．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、設(shè)A為n階矩陣，證明：r(A*)＝，其中n≥2．標(biāo)準(zhǔn)答案：AA*＝A*A＝｜A｜E．當(dāng)r(A)＝n時(shí)，｜A｜≠0，因?yàn)椋麬*｜＝｜A｜n-1，所以｜A*｜≠0，從而r(A*)＝n；當(dāng)r(A)＝n－1時(shí)，由于A至少有一個(gè)n－1階子式不為零，所以存在一個(gè)Mij≠0，進(jìn)而Aij≠0，于是A*≠O，故r(A*)≥1，又因?yàn)椋麬｜＝0，所以AA*＝｜A｜E＝O，根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)有r(A)＋r(A*)≤n，而r(A)＝n－1，于是得r(A*)≤1，故r(A*)＝1；當(dāng)r(A)＜n－1時(shí)，由于A的所有n－1階子式都為零，所以A*＝O，故r(A*)＝0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、設(shè)A為n階矩陣，證明：r(A)＝1的充分必要條件是存在n維非零列向量α，β，使得A＝αβT．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)r(A)＝1，則A為非零矩陣且A的每行元素都成比例，故A＝αβT，顯然α，β為非零向量．設(shè)A＝αβT，其中α，β為非零向量，則A為非零矩陣，于是r(A)≥1，又r(A)＝r(αβT)≤r(α)＝1，故r(A)＝1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、設(shè)A為n階矩陣且，r(A)＝n－1．證明：存在常數(shù)k，使得(A*)2＝kA*．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閞(A)＝n－1，所以r(A*)＝1，于是A*＝(b1…bn)其中為非零向量，故其中k＝aibi．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、設(shè)A是n(n≥3)階矩陣，證明：(A*)*＝｜A｜n-2A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(A*)*A*＝｜A*｜E＝｜A｜n-1E，當(dāng)r(A)＝n時(shí)，r(A*)＝n，A*＝｜A｜A-1，則(A*)*A*＝(A*)*｜A｜A-1＝｜A｜n-1E，故(A*)*＝｜A｜n-2A．當(dāng)r(A)＝n－1時(shí)，｜A｜＝0，r(A*)＝1，r[(A*)*]＝0，即(A*)*＝O，原式顯然成立．當(dāng)r(A)＜n－1時(shí)，｜A｜＝0，r(A*)＝0，(A*)*＝O，原式也成立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、設(shè)A，B分別為m×n及n×s階矩陣，且AB＝O．證明：r(A)＋r(B)≤n．標(biāo)準(zhǔn)答案：令B＝(β1，β2，…，βs)，因?yàn)锳B＝O，所以B的列向量組β1，β2，…，βs為方程組AX＝0的一組解，而方程組AX＝0的基礎(chǔ)解系所含的線性無(wú)關(guān)的解向量的個(gè)數(shù)為n－r(A)，所以向量組β1，β2，…，βs的秩不超過(guò)n－r(A)，又因?yàn)榫仃嚨闹扰c其列向量組的秩相等，因此r(B)≤n－r(A)，即，r(A)＋r(B)≤n．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、兩個(gè)4階矩陣滿足A2=B2，則A、A=B．B、A=-B．C、A=B或A=-B．D、｜A｜=｜B｜或｜A｜=-｜B｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)A2=B2兩邊取行列式，得｜A｜2=｜B｜2｜A｜2-｜B｜2=0(｜A｜-｜B｜)(｜A｜+｜B｜)=0｜A｜-｜B｜=0或｜A｜+｜B｜=0即｜A｜=｜B｜或｜A｜=-｜B｜．2、設(shè)A是3階矩陣，將A的第2行加到第1行上得B，將B的第1列的-1倍加到第2列上得C．則C=()．A、P-1AP．B、PAP-1．C、PTAP．D、PAPT．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)初等矩陣的有關(guān)性質(zhì)，則B=PA，C=BP-1，得C=PA-1．3、設(shè)A為3階矩陣，P=(α1，α2，α3)為3階可逆矩陣，Q=(α1+α2，α2，α3)．已知PTAP=則QTAQ=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：顯然關(guān)鍵是Q和P的關(guān)系．由矩陣分解，有Q=，則QT=PT．于是QTAQ=PTAP=QTAQ=4、設(shè)A是3階可逆矩陣，交換A的1，2行得B，則A、交換A*的1，2行得到B*．B、交換A*的1，2列得到B*．C、交換A*的1，2行得到-B*．D、交換A*的1，2列得到-B*．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：B=因?yàn)锳是可逆矩陣，所以B也可逆，則B*=｜B｜｜-1．｜B｜=｜A｜=-｜A｜，B*=A*于是B*=-A*得結(jié)論：交換A*的1，2列得到-B*．5、設(shè)矩陣A=(aij)3×3滿足A*=AT，a11，a12，a13為3個(gè)相等的正數(shù)，則它們?yōu)锳、B、3．C、1／3．D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)6、已知α1，α2都是3階矩陣A的特征向量，特征值分別為-1和1，又3維向量α3滿足Aα3=α2+α3.記P=(α1，α2，α3)，求P-1AP=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、已知α1，α2為2維列向量，矩陣A=(2α1+α2，α1-α2)，B=(α1，α2)．若｜A｜=6，｜B｜=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、α1，α2，α3是線性無(wú)關(guān)的3維向量組，3階矩陣A滿足Aα1=α1+2α2，Aα2=α2+2α3，Aα3=α3+2α1．｜A｜=_____.標(biāo)準(zhǔn)答案：9知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、設(shè)3階矩陣A的各行元素之和都為3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T都是齊次線性方程組AX=0的解．A=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析三、解答題(本題共26題，每題1.0分，共26分。)10、(1)證明兩個(gè)上三角矩陣A和B的乘積AB還是上三角矩陣；并且AB對(duì)角線元素就是A和B對(duì)應(yīng)對(duì)角線元素的乘積．(2)證明上三角矩陣A的方冪Ak與多項(xiàng)式f(A)也都是上三角矩陣；并且Ak的對(duì)角線元素為a11k，a22k，…，a33k；f(A)的對(duì)角線元素為f(a11)，f(a22)，…，f(ann)．(a11，a22，…，ann是A的對(duì)角線元素．)標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)方法一設(shè)A和B都是n階上三角矩陣，C=AB，要說(shuō)明C的對(duì)角線下的元素都為0，即i＞j時(shí)，cij=0．cij=A的第i個(gè)行向量和B的第j個(gè)列向量對(duì)應(yīng)分量乘積之和．由于A和B都是n階上三角矩陣，A的第i個(gè)行向量的前面i-1個(gè)分量都是0，B的第j個(gè)列向量的后面n-j個(gè)分量都是0，而i-1+n-j=n+(i-j-1)≥n，因此cij=0．cii=ai1b1i+…+aii-1bi-1i+aiibii+aii+1+bi+1i+…+ainbni=aiibii(ai1=…=aii-1=0，bi+1i=…=bni=0)．方法二設(shè)A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，C=(γ1，γ2，…，γn)．要證明每個(gè)γi下面的n-i個(gè)分量都是0．由(2．1)，γi=Aβi．而βi的下面n-i個(gè)分量都是0，于是用(2．2)γi=b1iα1+b2iα2+…+biiαi．則因?yàn)棣?，α2，…，αi的下面n-i個(gè)分量都是0，所以γi的下面n-i個(gè)分量也都是0．并且γi的第i個(gè)分量是(C的一個(gè)對(duì)角線元素)ci=b1iai1+b2iai2+…+biiaii=aiibii．(因?yàn)閍i1=ai2=…=aii-1=0．)(2)設(shè)A是上三角矩陣．由(1)，直接可得Ak是上三角矩陣，并且對(duì)角線元素為a11k，a22k，…，annk．設(shè)f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E.aiAi都是上三角矩陣，作為它們的和，f(A)也是上三角矩陣．f(A)的對(duì)角線元素作為它們的對(duì)角線元素的和，是f(a11)，f(a22)，…，f(ann)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、n維向量α=(a，0，…，0，a)T，a＜0，A=E-ααT，A-1=E+a-1ααT，求a．標(biāo)準(zhǔn)答案：(E-ααT)(E+a-1ααT)=EE+a-1ααT-ααT-a-1ααTααT=Ea-1ααT-ααT-a-1ααTααT=0，(αTα=2a2)(a-1-1-2a)ααT=0，a-1-1-2a=0，(因?yàn)棣力罷不是零矩陣．)1-a-2a2=0，a=-1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、A=E-αβT，其中α，β都是n維非零列向量，已知A2=3E-2A，求αTβ．標(biāo)準(zhǔn)答案：A2=3E-2A，A2+2A-3E=0．(A+3E)(A-E)=0，(4E-αβT)(-αβT)=0，4αβT-αβTαβT=0，(βTα是數(shù)!)(4-βTα)αβT=0，(由于α，β都是非零列向量，αβT不是零矩陣)4-βTα=0，βTα=4，從而αTβ=βTα=4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)A=αβT，其中α和β都是n維列向量，證明對(duì)正整數(shù)k，Ak=(βTα)k-1A=(tr(A))k-1A．(tr(A)是A的對(duì)角線上元素之和，稱為A的跡數(shù)．)標(biāo)準(zhǔn)答案：Ak=(αβT)k=αβTαβT…αβTαβT=α(βTα)(βTα)…(βTα)βT=(βTα)k-1A．βαT=a1b1+a2b2+…+a2b2，而a1b1，a2b2，…，abnn正好的A=αβT的對(duì)角線上各元素，于是βTα=tr(A)，Ak=(tr(A))k-1A．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、ααT=，求αTα．標(biāo)準(zhǔn)答案：(ααT)2=(αTα)ααT，計(jì)算(ααT)2==3ααT．得αTα=3．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)A=，求An．標(biāo)準(zhǔn)答案：A的秩為2，不符合例2．5注的條件，不能用例2．5的方法直接求A的方冪．我們先求A2．A2==2A．A2=2A即AA=2A，A在乘A上的作用相當(dāng)于2乘A，于是An=An-1A=2n-1A．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求標(biāo)準(zhǔn)答案：記此矩陣為A．A2=A3==-2A．即A2A=-2A．則A2017=(A2)1008A=(-2)1008A=21008A．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)A=(1)證明當(dāng)n＞1時(shí)An=An-2+A2-E．(2)求An．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)An=An-2+A2-E即A2-An-2=A2-E．An-2(A2-E)=A2-E．只要證明A(A2-E)=A2-E．此式可以直接檢驗(yàn)：A(A2-E)==A2-E．(2)把An=An-2+A2-E作為遞推公式求An．n是偶數(shù)2k時(shí)：A2k=A2k-2+A2-E=A2k+4+2(A2-E)=……=k(A2-E)+E．n是奇數(shù)2k+1時(shí)：A2k+1=AA2k=A[k(A2-E)+E]=k(A2-E)+A．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求標(biāo)準(zhǔn)答案：記此矩陣為A，記B=，則A=B+E．因?yàn)锽和E乘積可交換，對(duì)A10=(B+E)10可用二項(xiàng)展開(kāi)式：(B+E)10=C10iB10-i．注意矩陣B滿足：B2=，而當(dāng)n＞2時(shí)Bn是零矩陣．于是A10=C108B2+C109B+E=45B2+10B+E=.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、3階矩陣A，B滿足ABA*=2BA*+E，其中A=，求｜B｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：用A從右側(cè)乘ABA*=2BA*+E的兩邊，得｜A｜AB=2｜A｜B+A，｜A｜(A-2E)B=A，兩邊取行列式｜A｜3｜A-2E｜｜B｜=｜A｜，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)A為3階矩陣，α1，α2，α3是線性無(wú)關(guān)的3維列向量組，滿足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．求作矩陣B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于α1，α2，α3，線性無(wú)關(guān)，矩陣P=(α1，α2，α3)可逆，并且E=P-1(α1，α2，α3)=(P-1α1，P-1α2，P-1α3)，則P-1α1=(1，0，0)T，P-1α2=(0，1，0)T，P-1α3=(0，0，1)T，于是B=P-1AP=P-1A(α1，α2，α3)=P-1(α1+α2+α3，2α1+α3，2α2+α3，2α2+3α3)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、A是3階矩陣，α是3維列向量，使得P=(α，Aα，A2α)可逆，并且A3α=3Aα-2A2α．(1)求B，使得A=PBP-1．(2)求｜A+E｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)A=PBP-1即AP=PB或A(α，Aα，A2α)=(α，Aα，A2α)B．A(α，Aα，A2α)=(Aα，A2α，A3α)=(Aα，A2α，3A-2A2α)=(α，Aα，A2α)(矩陣分解法)(2)A+E=P(B+E)P-1．則｜A+E｜=｜P｜｜B+E｜｜P-1｜=｜B+E｜==-4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)3階矩陣A=(α1，α2，α3)，｜A｜=1，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3)，求｜B｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：B=(α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3)=(α1，α2，α3)｜B｜=｜α1，α2，α3｜=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、已知標(biāo)準(zhǔn)答案：記α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，γ=(c1，c2，c3)T，所求行列式相應(yīng)的矩陣為：(λα+μβ，λβ+μγ，λγ+μα)．將它對(duì)(α，β，γ)做矩陣分解，得(λα+μβ，λβ+μγ，λγ+μα)=(α，β，γ)兩邊求行列式，得所求行列式的值：｜λα+μβ，λβ+μγ，λγ+μα｜=｜α，β，γ｜=3(λ3+μ3)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)A，B和C都是n階矩陣，其中A，B可逆，求下列2n階矩陣的逆矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳，B都可逆，所以這幾個(gè)矩陣都可逆．①的逆矩陣可用初等變換法計(jì)算：②的逆矩陣也可用初等變換法計(jì)算：③的逆矩陣用“待定系數(shù)法”計(jì)算：即設(shè)它的逆矩陣為，求Dij．由則BD21=0，得D21=0(因?yàn)锽可逆)．BD22=E，得D22=B-1．AD11+CD21=E，即AD11=E，得D11=A-1．AD12+CD22=0，得D12=-A-1CB-1．④用③的方法，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)3階矩陣A=A-1XA=XA+2A，求X．標(biāo)準(zhǔn)答案：A-1XA=XA+2AA-1X=X+2EX=AX+2A(E-A)X=2A，用初等變換法解此基本矩陣方程：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、矩陣A=，求解矩陣方程2A=XA-4X．標(biāo)準(zhǔn)答案：化2A=XA-4X得X(A-4E)=2A．用初等變換法解此矩陣方程：(AT-4E｜2AT)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、4階矩陣A，B滿足ABA-1=BA-1+3E，已知A*=，求B．標(biāo)準(zhǔn)答案：用A右乘ABA-1=BA-1+3E的兩邊，得AB=B+3A；再用A*從左乘兩邊，得｜A｜B=A*B+3｜A｜E，由｜A*｜=8，得｜A｜=2，代入上式：(2E-A*)B=6E，用初等變換法求得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、已知A=，XA+2B=AB+2X，求X2017．標(biāo)準(zhǔn)答案：由XA+2B=AB+2X化得：X(A-2E)=(A-2E)B，即X=(A-2E)B(A-2E)-1，則X2017=(A-2E)B2017(A-2E)-1=(A-2E)B(A-2E)-1=X，再?gòu)年P(guān)于X的矩陣方程X(A-2E)=(A-2E)B用初等變換法求解X：((A-2E)T｜B(A-2E)T)=(AT-2E｜B(AT-2E))知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)3階矩陣A的各行元素之和都為2，向量α1=(-1，1，1)T，α2=(2，-1，1)T都是齊次線性方程組AX=0的解．求A．標(biāo)準(zhǔn)答案：令α3=(1，1，1)T，則Aα3=(2，2，2)T，建立矩陣方程：A(α1，α2，α3)=(0，0，2α3)，用初等變換法解得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、設(shè)A是3階矩陣，交換A的1，2列得B，再把B的第2列加到第3列上，得C．求Q，使得C=AQ．標(biāo)準(zhǔn)答案：用矩陣分解．記A=(α1，α2，α3)，則B=(α2，α1，α3)，C=(α2，α1，α1+α3)．于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、設(shè)A，B和C都是n階矩陣，其中A，B可逆，求下列2n階矩陣的伴隨矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳，B都可逆，所以這幾個(gè)矩陣都可逆．于是可利用公式A*=｜A｜A-1來(lái)求伴隨矩陣．①=｜A｜｜B｜，②=(-1)n｜A｜｜B｜，③=｜A｜｜B｜，④=(-1)n｜A｜｜B｜，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、設(shè)A是n階非零實(shí)矩陣，滿足A*=AT．證明｜A｜＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：把條件A*=AT寫(xiě)出，則aij=Aij，于是｜A｜=aijAij=aij2，(也可從AAT=AA*=｜A｜E，也可得到｜A｜=aij2，)由于A是實(shí)矩陣，其元素的平方≥0，又A有非0元素，得｜A｜＞0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、設(shè)A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)都是3階矩陣．規(guī)定3階矩