新浙教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)期末考試知識(shí)點(diǎn)及試卷含答案

目錄

第一章三角形的初步知識(shí)...........................2

典例分析....................................5

基礎(chǔ)練習(xí)....................................8

第二章特殊三角形..................................14

典例分析....................................16

第三章一元一次不等式..............................22

典例分析....................................24

基礎(chǔ)練習(xí)....................................27

期中測(cè)試卷(A)....................................35

期中測(cè)試卷(B)....................................40

參考答案..........................................43

第四章圖形與坐標(biāo).................................47

典型分析...................................48

基礎(chǔ)練習(xí)...................................50

第五章一次函數(shù)...................................55

典型分析...................................57

基礎(chǔ)練習(xí)...................................60

期末測(cè)試卷(A)..........................................................................65

期末測(cè)試卷(B)...........................................................................71

參考答案..........................................76

第一章三角形的初步知識(shí)

復(fù)習(xí)總目

1、掌握三角形的角平分線、中線和高線

2、理解三角形的兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)

3、掌握三角形全等的判定方法

知識(shí)點(diǎn)概要

1、三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形.

三角形有三條邊，三個(gè)內(nèi)角，三個(gè)頂點(diǎn).組成三角形的線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊所

組成的角叫做三角形的內(nèi)角；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)，三角形ABC用符號(hào)表

示為△ABC,三角形ABC的邊AB可用邊AB所對(duì)的角C的小寫字母c表示，AC可用b量乩

BC可用a表示.\

注意：(1)三條線段要不在同一直線上，且首尾順次相接；/\

(2)三角形是一個(gè)封閉的圖形；B

(3)AABC是三角形ABC的符號(hào)標(biāo)記，單獨(dú)的△沒有意義.

2、三角形的分類：

(1)按角分類：

，直角三象形

三角形J「

銳角三角形

斜三角形《

'鈍角三角形

(2)按邊分類：

,AAO入C底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形J

三角形.I等邊三角形

、不等邊三角形

3、三角形的主要線段的定義：

(1)三角形的中線A

三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段./A

表示法：LAD是△ABC的BC上的中線./\

2.BD=DC=；BC.//\

注意：①三角形的中線是線段;

②三角形三條中線全在三角形的內(nèi)部；

③三角形三條中線交于三角形內(nèi)部??點(diǎn)；

④中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形.

A

(2)三角形的角平分線必、

三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的/線段

表示法：1.AD是AABC的/BAC的平分線.BDC

1

2.Z1=Z2=-ZBAC.

2

注意：①三角形的角平分線是線段；

②三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部；

③三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；

④用量角器畫三角形的角平分線.

(3)三角形的高A

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段./\^

表示法：1.AD是4ABC的BC上的高線.Z_________\

BDC

2.AD±BC于D.

3.ZADB=ZADC=90°.

注意：①三角形的高是線段；

②銳角三角形三條高全在三角形的內(nèi)部，直角三角形有兩條高是邊，鈍角三角形有兩

條高在形外：

③三角形三條高所在直線交于一點(diǎn).

4、三角形的三邊關(guān)系

三角形的任意兩邊之和大于第三邊;任意兩邊之差小于第三邊.

注意：(1)三邊關(guān)系的依據(jù)是：兩點(diǎn)之間線段是短；

(2)圍成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊.

5、三角形的角與角之間的關(guān)系：

(1)三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°;

(2)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；

(3)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

(4)直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

6、三角形的穩(wěn)定性：

三角形的三邊長確定，則三角形的形狀就唯一確定，這叫做三角形的穩(wěn)定性.

注意：（1）三角形具有穩(wěn)定性；

（2）四邊形沒有穩(wěn)定性.

7、全等三角形

（1）全等三角形的概念

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。。

（2）三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可筒寫成“邊角

邊”或“SAS”）

（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊

角”或“ASA”）

（3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：

對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜

邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）

（3）全等變換

只改變圖形的位置，不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。

全等變換包括一下三種：

（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換。

（2）對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折180°,這種變換叫做對(duì)稱變換。

（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)?定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。

中考規(guī)律盤點(diǎn)及預(yù)測(cè)

三角形的兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)歷年來是經(jīng)?？嫉降奶羁疹}的類型,三角形角度的

計(jì)算也是考到的填空題的類型，三角形全等的判定是很重要的知識(shí)點(diǎn)，在考試中往往會(huì)考到。

典例分析

例1如圖，已知/1=N2,則不一定能使4ABD也Z\ACD的條件是（）

BC

D

A、AB=ACB、BD=CDC、ZB=ZCD、ZBDA=ZCDA

考點(diǎn)：全等三角形的判定。

分析：利用全等三角形判定定理ASA,SAS,AAS對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可得出答案.

解答：證明：A、AD為公共邊，若AB=AC,則△ABDgZXACD(SAS)；故

本選項(xiàng)正確，不合題意.

B,VZ1=Z2,AD為公共邊，若BD=CD,不符合全等三角形判定定理，不能判定4ABD

也2XACD；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意.

C、VZ1=Z2,AD為公共邊，若/B=NC,KlJAABD^AACD(AAS)；故本選項(xiàng)正確，

不合題意.

D、VZ1=Z2,AD為公共邊，若NBDA=NCDA,則4ABD絲ZkACD(ASA)；故本選項(xiàng)

正確，不合題意.故選B.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形判定定理的理解和掌握，此題難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

例21、在AABC中，已知/B=40°,ZC=80°,貝Ij/A=60(度)

2、在aABC中，ZA=60°,ZC=50°,則/B的外角=110°

考點(diǎn)：1、2兩題均為三角形的內(nèi)角之和為180。

點(diǎn)評(píng)：三角形內(nèi)角之和等于180°是學(xué)生必掌握的知識(shí)點(diǎn)，這兩題是基礎(chǔ)題

3、下列長度的三條線段能組成三角形的是(C)

A.3cm,4cm,8cmB.5cm,6cm,11cmC.5cm,6cm,10cmD.3cm,8cm,12cm

4、小華要從長度分別為5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中選出三根擺成一個(gè)三角形，

那么他選的三根木棒的長度分別是」.—11—.—16—.

考點(diǎn)：3、4兩題是三角形的兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)是關(guān)于判定能否組成三角形的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，屬

于基礎(chǔ)題

例3如圖，AD是AABC的角平分線，DFJ_AB,垂足為EDE=DG,4ADG和4AED的

面積分別為50和39,則4EDF的面積為()

C、7D、3.5

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。

分析：作DM=DE交AC于M,作DNLAC,利用角平分線的性質(zhì)得到DN=DF,將三角形

EDF的面積轉(zhuǎn)化為三角形DNM的面積來求.

解答：解：作DM=DE交AC于M,作DNJ_AC,

VDE=DG,

；.DM=DE,

?；AD是aABC的角平分線，DF_LAB,

；.DE=DN,

??.△DEF^ADNM,

AADG和AAED的面積分別為50和39,

??SAMDG=SAADGSAAMG=59039=11,

SADNM=SADEF=錯(cuò)誤！未找到引用源。SZ\MDG=—xl1錯(cuò)誤！未找到引用源。=5.5

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔

助線，將所求的三角形的面積轉(zhuǎn)化為另外的三角形的面積來求.

例4如圖，在下列條件中，不能證明4ABDg4ACD的是（）

A.BD=DC,AB=ACB.ZADB=ZADC,BD=DC

C.ZB=ZC,ZBAD=ZCADD.ZB=ZC,BD=DC

D

B

考點(diǎn)：全等三角形的判定.

分析：兩個(gè)三角形有公共邊AD,可利用SSS,SAS,ASA,AAS的方法判斷全等三角形.

解答：解：VAD=AD,

A.當(dāng)BD=DC,AB=AC時(shí)，利用SSS證明4ABD絲ZiACD,正確；

B.當(dāng)/ADB=/ADC,BD=DC時(shí)，利用SAS證明Z\ABD嶺Z\ACD,正確；

C.當(dāng)NB=/C,NBAD=NCAD時(shí)，利用AAS證明4ABD且AACD,正確；

D.當(dāng)NB=NC,BD=DC時(shí)，符合SSA的位置關(guān)系，不能證明4ABD絲Z\ACD,錯(cuò)誤.

故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的幾種判定方法.關(guān)鍵是根據(jù)圖形條件，角與邊的位置關(guān)系是

否符合判定的條件，逐一檢驗(yàn).

例5如圖，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，點(diǎn)4、。在直線BE的Mfti],AB//DE,BF=CE,

請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：，使得AC=DF.

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).

分析：要使AC=DF,則必須滿足△ABC絲/XOEF,已知A8〃

DE,BF=CE,貝I]可得至BC=EF,從而添力HAB=OE

即可利用SAS判定AABCg△￡)￡：￡

解答：解：添加：AB=DE

'JAB//DE,BF=CE,:.NB=NE,BC=EF,

'：AB=DE,.,.△ABC絲△￡)￡'/,：.AC=DF.

故答案為：AB=DE.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用能力.

基礎(chǔ)練習(xí)

一、精心選一選（每小題3分，共30分）

1、在下列各組圖形中，是全等的圖形是（

△A

2、下列各圖中，正確畫出AC邊上的高的是（）

根據(jù)是（）

A、兩點(diǎn)之間的線段最短：圖

B、三角形具有穩(wěn)定性；i

C、長方形是軸對(duì)稱圖形；

D、長方形的四個(gè)角都是直角;

4、圖2中的三角形被木板遮住了部分，被遮住的兩個(gè)角不可能是（)

A、一個(gè)銳角，一個(gè)鈍角;B、兩個(gè)銳角;

C、一個(gè)銳角，一個(gè)直角;D、一個(gè)直角，一個(gè)鈍角;

5、以下不能構(gòu)成三角形三邊長的數(shù)組是（）

A、（1,V3,2）B、（3,4,5）C、（32,42,52）D、(VL",7?)

6、一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為55°和65°,這個(gè)三角形的外角不可能是（）

A、115°B、120°C、125°D、130°

7、小明不慎將一塊三角形的玻璃碎成如圖3所示的四塊（圖中所標(biāo)1、2、3、4）,你認(rèn)為將

其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來大小一樣的三角形玻璃？應(yīng)該帶（）去

A、第1塊;B、第2塊;

圖3

C、第3塊;D、第4塊;

8、如圖4,在銳角AABC中，CD、BE分別是

AB、AC邊上的高，且CD、BE相交于一點(diǎn)P,若NA=50°,則NBPC=（）

A、150°B、130°

C、120°D、100°

9、用12根火柴棒（等長）拼成一個(gè)三角形，火柴

棒不允許剩余、重疊和折斷，則能擺出不同的

三角形的個(gè)數(shù)是（)

A、1B、2C、3D、4

B

10、如圖5,在AABC中，D、E分別是AC、BC邊上的

E

點(diǎn),??AADB^AEDB^AEDC,則NC的度數(shù)為()

C

A、15°B、20°C、25°D、30°AD

二、耐心填一填（每小題3分，共30分）圖5

11、在aABC中，若/A—NB=90°，則此三角形是三角形；若

ZA=-Zfi=-ZC,由此三角形是_______三角形；

23

12、如圖6,已知AC=BD,要使aABCgZiDCB,

只需增加的一個(gè)條件是:

13、設(shè)AABC的三邊為a、b、c,化簡(jiǎn)

la-b-cl+lb-c-al+lc-a-bl=

14、已知三角形的兩邊長分別是3cm和7cm,第三邊長是偶數(shù)，則這個(gè)三角形的周長為

15、如圖7,在AABC中，已知AD=DE,AB=BE,NA=80°,則NCED=

16、如圖8,把矩形ABCD沿AM折疊，使D點(diǎn)落在BC上的N點(diǎn)處，如果AD=5百cm,

DM=5cm,NDAM=30°,則AN=cm,NM=cm,

ZBNA=度；

17、如圖9,AABC中，AB=AC,BD、CE分別是AC、AB邊上的高，BD、CE交于點(diǎn)O,

且AD=AE,連結(jié)AO,則圖中共有對(duì)全等三角形：

18、如圖10,已知NB=NC,AD=AE,貝I」AB=AC,請(qǐng)說明理由（填空）

解：在AABC和4ACD中，

■ZB=Z()

'ZA=Z()

AE=(_________)

AABE^AACD()

AB=AC(_____________________

19、如圖11所，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=；

20、用一副三角板可以直接得到30°、45。、60°、

90°四種角，利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角,

如75°、120。等，請(qǐng)你拼一拼，用一副三角板還能拼

還能拼出哪些小于平角的角？這些角的度數(shù)是:

C圖11D

三、細(xì)心做一做（共60分）

21、（8分）七年級(jí)某班的籃球啦啦隊(duì)同學(xué)，為了在明天比賽中給同學(xué)加油助威，提前制作了

同規(guī)格的彩旗。小明在放學(xué)回家后，發(fā)現(xiàn)自己的彩旗破損了一角，他想用彩紙重新制作一

面彩旗（如圖12所示），請(qǐng)你幫助小明，用直尺和圓規(guī)在彩紙上作出一個(gè)與破損前完全一樣

的三角形，并解釋你作圖的理由。

理由:

22、（9分）如圖13,四邊形ABCD中，AC垂直平分BD于點(diǎn)O

（1）圖中有多少對(duì)全等三角形？請(qǐng)把它們都寫出來；

（2）任選（1）中的對(duì)三角形對(duì)其全等加以說明；

23、（10分）小明做了一個(gè)如圖14所示的風(fēng)箏，他想去驗(yàn)證NBAC與NDAC是否相等，手

頭只有一把（足夠長）尺子，你能幫助他想個(gè)方法嗎？說明你這樣做的理由。

24、(8分)某產(chǎn)品的商標(biāo)如圖15所示，0是線段AC、DB的交點(diǎn)，且AC=BD,AB=DC,

小華認(rèn)為圖中的兩個(gè)三角形全等，他的思考過程是：

；AC=DB,ZAOB=ZDOC,AB=AC,\/!

.?.△ABO絲△DCOA\\/°

你認(rèn)為小華的思考過程對(duì)嗎？如果正確，指出他用\/

的是判別三角形全等的哪個(gè)條件，如果不正確，B"C

寫出你的思考過程。冏圖1〉5

25、(12分)沒有量角器，利用刻度尺或三角板也能畫出一個(gè)角的平分線嗎？下面是小彬的做

法，他的畫法正確嗎？請(qǐng)說明理由。彳/""

如圖16,角平分線的刻度尺畫法：0

(1)利用刻度尺在NAOB的兩邊上，分別取OD=OC；E

(2)連結(jié)CD,利用刻度尺畫出CD的中點(diǎn)E：

(3)畫射線OEB

所以射線OE為/AOB的角平分線；圖16

26、(13分)如圖17,C在直線BE上，NABC與NACE的角平分線交于點(diǎn)A”

⑴若/A=60°,求的度數(shù)；

(2)若NA=m,求NA1的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，若再作NAjBE、ZA,CE的平分線，交于點(diǎn)A2;再作NA2BE、ZA2CE

的平分線，交于點(diǎn)A3;……；依次類推，則/A2,ZA3,……，NA。分別為多少度？

E

B

C

圖17

參考答案

—>1、C2、D3、B4、D5、C6、D7、B8、B9、C10、D

二、11、鈍角，直角12、NACB=NDBC或AB=CD13、a+b+c

14、16或1815、100°16、5百，5,60°

17、ZC,已知，ZA,公共角，AD,已知，AAS,

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；

18、519、180°

20、15°、105°、135°、150°、165°（寫出三個(gè)即可）

三、21、畫圖略，理由：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;

22、（1）三對(duì)全等三角形：AABC^AADC>Z^ABO絲△ADO、

△CBO^ACDO：（2）略；

23、用尺子量出AB、AD、BC、CD的長度，若AB=AD,BC=CD,

貝U/BAC=/DAC,因?yàn)楫?dāng)AB=AD,BC=CD時(shí)，，另有一AC=AC,

則AABC也△ADC,由此可得/BAC=/DAC；

24、小華的思考不正確，因?yàn)锳C和BD不是這兩個(gè)三角形的邊；

正確的解答是：連結(jié)BC

在AABC和4DBC中，

VAB=CD,AC=BD,BC=BC,

.".△ABC^ADBC

ZA=ZD,

在aAOB和aDOC中，

VZA=ZD,ZAOB=ZDOC,AB=CD,

AAAOB^ADOB

25、小彬的畫法正確，因?yàn)橛僧嫹ㄖ篛D=OC,CE=DE,而OE=OE,所以△COEg

△DOE,.,.ZAOE=ZBOE,；.OE就是/AOB的角平分線;

26、產(chǎn)/AiCE-NA|BC

=-ZACE--ZABC

22

=-(ZACE-ZABC)

2

=1ZA

2

⑴當(dāng)NA=60°時(shí)，ZAi=30°；

(2)當(dāng)NA=m時(shí)，ZAj=-m；

2

n

(3)依次類推NA2=，m,ZA3=—m,ZAn=(—)m

482

第二章特殊三角形

復(fù)習(xí)總目

1、掌握等腰三角形的性質(zhì)及判定定理

2、了解直角三角形的基本性質(zhì)

2、掌握勾股定理的計(jì)算方法

知識(shí)點(diǎn)概要

1、圖形的軸對(duì)稱性質(zhì)：對(duì)稱軸垂直平分連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的線段；成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全

等圖形

2、等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）

推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、

底邊上的中線、底邊上的高重合。

推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。

3、三角形中的中位線

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。

（2）要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

三角形中位線定理的作用：

位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。

數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。

常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：

結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長為原三角形周長的一半。

結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。

結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。

結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等。

4、直角三角形的性質(zhì)

（1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余

(2)在直角三角形中，30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

(3)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

(4)勾股定理：直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方，即

a2+b2^c2

(5)攝影定理

在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中

項(xiàng)，每條直角邊是它們?cè)谛边吷系臄z影和斜邊的比例中項(xiàng)

NACB=90°[rCD2=AD?BD

?=1AC2=AD?AB

CD±ABJIBC2=BD?AB

(6)常用關(guān)系式

由三角形面積公式可得：AB*CD=AC*BC

中考規(guī)律盤點(diǎn)及預(yù)測(cè)

特殊三角形中的等腰三角形與第一章的全等三角形的證明結(jié)合起來這種題型會(huì)常出

現(xiàn)，等腰三角形的性質(zhì)是基礎(chǔ)知識(shí)，必須得掌握并靈活的運(yùn)用到各類題型中去，這類題型中

考也是必考的。

典例分析

例1在△ABC中，AB=AC,Zl=—ZABC,Z2=—ZACB,BD與CE相交于點(diǎn)0,

22

如圖，/B0C的大小與/A的大小有什么關(guān)系？

若/1=』/ABC,Z2=-ZACB,則NB0C與NA大小關(guān)系如何？

33

若/1='/ABC,Z2=-ZACB,則NB0C與/A大小關(guān)系如何？

nn

考點(diǎn)：等腰三角形

分析：在上述條件由特殊到?般的變化過程中,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，Z1=Z2,ZABD=ZACE,

即可得到N1=LZABC,Z2=—NACB時(shí)，ZB0C=90°+—ZA；

222

Zl=-ZABC,/2=，NACB時(shí)，NB0C=120°+-ZA；

333

Zl=-ZABC,N2=』/ACB時(shí)，ZB0C=^—!-?180°+ZA.

nnn

例2如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC,以BP為邊作NPBQ=60°,

且BQ=BP,連結(jié)CQ.

(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(2)若PA：PB：PC=3：4：5,連結(jié)PQ,試判斷△PQC的

形狀，并說明理由.

分析(1)把AABP繞點(diǎn)引1頁時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°即可得到△CBQ.

利用等邊三角形的性質(zhì)證4ABP四△CBQ,得到AP=CQ.(2)連

接PQ,則△PBQ是等邊三角形.PQ=PB,AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：

PB：PC=3：4：5,.?.△PQC是直角三角形.

點(diǎn)評(píng)利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)完成此題

的證明.

例3已知：在AUC中，AB=AC,BD=BC,AD=DB=BE,求NX的度數(shù).

C

分析由條件易得4flD=4De,ZX=ZDSM,ZC=ZCDB,

且NDS4=HD+N5D0=

11

ZEBD=-ZAZC=^BDC=2+Z￡BD=二&

2,又2

3

2--ZA4-Z4=l80P

:.2..4=W

點(diǎn)評(píng)這題運(yùn)用到等腰三角形的等角對(duì)等邊的性質(zhì)，像這類的求角度的題是會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)的類

型，應(yīng)熟練掌握這類題型的解題方法

例4如圖，已知：在中，AB=AC,BB=CD,ZLB=70°,BD—CP.

求：ZEDP的度數(shù).

分析由已知條件易證.：.ZBBD=^CDF

:.ZEDB+^CDP=^DB+^B8D=1800-ZB=110°

,-.Z?Df=180°-110°=70°

點(diǎn)評(píng)這題運(yùn)用到全等三角形的證明與等腰三角形知識(shí)的結(jié)合，比較靈活，要求學(xué)生能靈活

的將兩類知識(shí)結(jié)合起來運(yùn)用，這類題型在考試中也是比較常見的

基礎(chǔ)練習(xí)

一、填空題

1.已知等腰三角形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為30°,那么它的底角的度數(shù)是.

2.等腰三角形的頂角的度數(shù)是底角的4倍，則它的頂角是______.

3.等腰三角形的兩邊長分別為3厘米和6厘米，這個(gè)三角形的周長為一一.

4,如圖，在中，-9T.AD平分\&?7.g-100?.班）-600,則口

點(diǎn)到AB的距離為.

5.如圖，在中，ZC-9ir.JlD平分NMC.Z?14方若NMD=30*,

則一0s.——.

6.如圖，乙但?處，46的垂直平分線交力C于〃則a00

7.如圖，AlfiC中，原垂直平分的周長為13,那么山^的

周長為.

8.如圖，如果點(diǎn)"在4cB的平分線上且厘米，則3”,你的

理由是.

9.如圖，已知邊的垂直平分線交期比于點(diǎn)Q上.腑?6,

則MCff的周長為

二、解答題

1.如圖，AWC中，ZC-2ZflJZl-Z2,試說明：AB-AC^CD

2.如圖，求作一點(diǎn)只使口.?。，并且使點(diǎn)尸到的兩邊的距離相等，并

說明你的理由.

3.老師正敘述這樣一道題：請(qǐng)同學(xué)們畫出一個(gè)A的,然后畫出/3.4C的中垂線,

且交于點(diǎn)P.請(qǐng)同學(xué)們想一下點(diǎn)。到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離如何？小明馬上就說：

“相等.”他是隨便說的嗎？你同意他的說法嗎？請(qǐng)說明你的理由.

4.如圖，已知°中，〃垂直平分4G交。于點(diǎn)￡,交笈于點(diǎn)〃的周

長是20厘米，4c長為8厘米，你能判斷出A3的周長嗎？試試看.

5.有一個(gè)三角形的支架如圖所示，AB-AC，小明過點(diǎn)4和比1邊的中點(diǎn)〃又架了

一個(gè)細(xì)木條，經(jīng)測(cè)量々■處,你在不用任何測(cè)量工具的前提下，能得到4MD和

人讓空的度數(shù)嗎？

BDC

6.請(qǐng)你在紙上畫一個(gè)等腰三角形（如圖），使得=.

（1）請(qǐng)你判斷一下N8與“有什么大小關(guān)系呢？你的依據(jù)是什么？

（2）請(qǐng)你再深入地思考一個(gè)問題：若只知道NB與NC相等，請(qǐng)你判斷一下這個(gè)三

角形是什么形狀的呢？并說明你的探索思路.

（3）由第（2）你會(huì)得到一個(gè)什么結(jié)論呢？請(qǐng)用一句話概括出來.

（4）現(xiàn)在給出兩個(gè)三角形（如圖），請(qǐng)你把圖（1）分割成兩個(gè)等腰三角形，把圖（2）

分割成三個(gè)等腰三角形.動(dòng)動(dòng)腦筋呀！

(1)(2)

參考答案:

30°或75°2.120°3.15厘米5.30°,

6.20°7.198.6cm,角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等9.22.

二、1.提示：在47上截取/用=<(7,易說明AMD^AXCD,從而可說明

8D=CD=3￡,所以=

2.提示：作線段切的垂直平分線和乙<8的角平分線，兩線交點(diǎn)即為所求點(diǎn).

3.我同意小明的說法.如圖，?.?點(diǎn)一是麴的中垂線上一點(diǎn)，...JX-PB.?點(diǎn)P是

是/C中垂線上一點(diǎn)，.=.：.PA=PB=PC.

4."DE垂直平分力c,.VAMID的周長是20厘米，...

AB^BD^AD-20*flC-20即/刃+工?20,又,

AB^BC^AC-28厘米.

5,:M=AC.D為回邊的中點(diǎn)，.?"〃又是比邊的高線和N&JC的角平分線.

ZJWC-9(F.ZJUM-90*"ZMQ.&F

6.(1)相等、依據(jù)，等腰三角形兩底角相等.

(2)等腰三角形.如圖，證明：過點(diǎn)A作■比，在&160和aDC中，

-Z^ZXJ-90*.AD-AD.AABD也&WC：.AB~AC

(3)兩個(gè)底角相等的三角形是等腰三角形.

(4)如圖.

第三章一元一次不等式

復(fù)習(xí)總目

1,理解不等式的三個(gè)基本性質(zhì)

2、會(huì)用不等式的基本性質(zhì)解一元一次不等式并掌握不等式的解題步驟

3、會(huì)解由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組

知識(shí)點(diǎn)概要

一、不等式的概念

1、不等式：用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集：對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，任何一個(gè)適合這個(gè)不等式的未知數(shù)的值,

都叫做這個(gè)不等式的解。

3、對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個(gè)不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱這

個(gè)不等式的解集。

4、求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

5、用數(shù)軸表示不等式的方法

二、不等式基本性質(zhì)

1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。

2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。

3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。

4、說明：①在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號(hào)是不變的，是隨著加或乘的運(yùn)算改

變。②如果不等式乘以0,那么不等號(hào)改為等號(hào)所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，那么

就要看看題中是否出現(xiàn)?元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不等為0,

否則不等式不成立；

三、一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,且

不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的?般步驟：（1）去分母（2）去括號(hào)（3）移項(xiàng)（4）合并同類項(xiàng)（5）

將x項(xiàng)的系數(shù)化為1

四、一元一次不等式組

1、一-元一次不等式組的概念：幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等

式組。

2、幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。

3、求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

4、當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時(shí)成立，我們就說這個(gè)不等式組無解或其解為空集。

5、一元一次不等式組的解法

(1)分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集

(2)利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。

6、不等式與不等式組

不等式：①用符號(hào)〉，=,〈號(hào)連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或減去同

個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不

變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向相反。

7、不等式的解集：

①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

②一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。

③求不等式解集的過程叫做解不等式

中考規(guī)律盤點(diǎn)及預(yù)測(cè)

一元一次不等式(組)的解法及其應(yīng)用，在初中代數(shù)中有比較重要的地位，它是繼一

元一次方程、二元?次方程的學(xué)習(xí)之后，又一次數(shù)學(xué)建模思想的學(xué)習(xí)，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題

和解決問題能力的重要內(nèi)容，在近兒年來的考試中會(huì)出現(xiàn)此類型的題目

典型分析

4+2X>X+3L____0)

例1解不等式組,7+2x2玄+6.……(2)

*4x-l>5x-3L…….C5

分析解不等式⑴得X>-1,

~~：7777；~L

解不等式⑵得xW1,:;:；

-1U14

圖⑴

解不等式(3)得x〈2,

x>-1r~■

二???在數(shù)軸上表示出各個(gè)解為：-1o1

5<2圖⑵

二原不等式組解集為-KxWl

注意：借助數(shù)軸找公共解時(shí)，應(yīng)選圖中陰影部分，解集應(yīng)用小于號(hào)連接，山小到大排列,

解集不包括T而包括1在內(nèi)，找公共解的圖為圖(1),若標(biāo)出解集應(yīng)按圖(2)來畫。

點(diǎn)評(píng)這類題型是常見的解一元一次不等式組，并結(jié)合數(shù)軸解題，在解題過程中要注意運(yùn)算

的準(zhǔn)確性及數(shù)軸的表示法

3^-2>4x-5

例2求不等式組<2x-1?1的正整數(shù)解。

分析解不等式3x-2>4x-5得：x<3,

解不等式竺1W1得xW2,

1、先求出不等式組的解集。

3

]x￡2

2、在解集中找出它所要求的特殊解，正

0123

整數(shù)解。

原不等式組解集為x<2,

，這個(gè)不等式組的正整數(shù)解為x=l或x=2

點(diǎn)評(píng)此類題型關(guān)鍵是正整數(shù)解，這要結(jié)合數(shù)軸將其正整數(shù)解出來，在運(yùn)算過程中要注意正

負(fù)數(shù)的運(yùn)算，這在考試中是會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)的題型

例3m為何整數(shù)時(shí)，方程組的解是非負(fù)數(shù)？

13-癡

*>>-2-

分析解方程組

5x*3jr-l3--13

{-2-

???方程組I：*二的解是非負(fù)數(shù),卜

15x*3>-13

[13-3、-<

-13

即《解不等式組<此不等式組解集為—WmW—,

215353

又?.'m為整數(shù)，；.ni=3或m=4。

fx20

點(diǎn)評(píng)本題綜合性較強(qiáng)，注意審題，理解方程組解為非負(fù)數(shù)概念，即《、門。先解方程組

用m的代數(shù)式表示x,y,再運(yùn)用“轉(zhuǎn)化思想”，依據(jù)方程組的解集為非負(fù)數(shù)的條件

列出不等式組尋求m的取值范圍，最后切勿忘記確定m的整數(shù)值。

例4解不等式-3W3xT<5。

分析解法(1):原不等式相當(dāng)于不等式組L住-12-3

|3x-1<5

解不等式組得-5Wx<2,...原不等式解集為-5<x<2。

解法(2):將原不等式的兩邊和中間都加上1,得-2<3x<6,

將這個(gè)不等式的兩邊和中間都除以3得，

■i-I

-三Wx〈2,原不等式解集為-三Wx<2。

33

點(diǎn)評(píng)這題把不等式拆分成兩個(gè)不等式并組成不等式組，做題很靈活，解法有兩種，在解

題過程中要注意正負(fù)數(shù)移項(xiàng)時(shí)的符號(hào)

例5有一個(gè)兩位數(shù)，它十位上的數(shù)比個(gè)位上的數(shù)小2,如果這個(gè)兩位數(shù)大于20并且小于

40,求這個(gè)兩位數(shù)。

分析解法(1)：設(shè)十位上的數(shù)為x,則個(gè)位上的數(shù)為(x+2),原兩位數(shù)為10x+(x+2),

由題意可得：20<10x+(x+2)<40,

解這個(gè)不等式得，1工々<32，

11It

：X為正整數(shù)，.?」上7<x<353的整數(shù)為x=2或x=3,

1111

.?.當(dāng)x=2時(shí),.*.10x+(x+2)=24,

當(dāng)x=3時(shí)，.?.10x+(x+2)=35,

答：這個(gè)兩位數(shù)為24或35。

解法(2):設(shè)十位上的數(shù)為x,個(gè)位上的數(shù)為y,則兩位數(shù)為10x+y,

由題意可得|工二二：2……二二…咤(這是由一個(gè)方程和?個(gè)不等式構(gòu)成的整體，既

[20<lOx+><40.....(2)

不是方程組也不是不等式組，通常叫做“混合組”)。

將⑴代入⑵得,20<llx+2<40,

75

解不等式得：1—<x<3—,

It11

75

?；x為正整數(shù)，1—〈x<3一的整數(shù)為x=2或x=3,

1111

.?.當(dāng)x=2時(shí)，y=4,A10x+y=24,

當(dāng)x=3時(shí)，y=5,/?10x+y=35?

答：這個(gè)兩位數(shù)為24或35。

解法(3):可通過“心算”直接求解。方法如下：既然這個(gè)兩位數(shù)大于20且小于40,所以

它十位上的數(shù)只能是2和3。當(dāng)十位數(shù)為2時(shí)，個(gè)位數(shù)為4,當(dāng)十位數(shù)為3時(shí)，個(gè)

位數(shù)為5,所以原兩位數(shù)分別為24或35。

點(diǎn)評(píng)這題是一個(gè)數(shù)字應(yīng)用題，題目中既含有相等關(guān)系，又含有不等關(guān)系，需運(yùn)用不等式的

知識(shí)來解決。題目中有兩個(gè)主要未知數(shù)------十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)；一個(gè)相等

關(guān)系：個(gè)位上的數(shù)=十位上的數(shù)+2,一個(gè)不等關(guān)系：20〈原兩位數(shù)〈40。

基礎(chǔ)練習(xí)

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1、a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖1所示，下列式子中正確的有（）

-2-10123

圖1

（t）b+c>0,（2）a+b>a+c,（3）bc>ac,（4）ab>ac

A.1個(gè)；B.2個(gè)；C.3個(gè)；D.4個(gè).

2、不等式2x-5<0的正整數(shù)解有（）