2022年江西省臨川區(qū)重點高中高三下學(xué)期第六次檢測數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
2022年江西省臨川區(qū)重點高中高三下學(xué)期第六次檢測數(shù)學(xué)試卷含解析_第2頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A. B. C. D.842.設(shè),是雙曲線的左,右焦點,是坐標原點,過點作的一條漸近線的垂線,垂足為.若,則的離心率為()A. B. C. D.3.等差數(shù)列中,,,則數(shù)列前6項和為()A.18 B.24 C.36 D.724.在正方體中,球同時與以為公共頂點的三個面相切,球同時與以為公共頂點的三個面相切,且兩球相切于點.若以為焦點,為準線的拋物線經(jīng)過,設(shè)球的半徑分別為,則()A. B. C. D.5.已知等差數(shù)列的前13項和為52,則()A.256 B.-256 C.32 D.-326.a(chǎn)為正實數(shù),i為虛數(shù)單位,,則a=()A.2 B. C. D.17.若的二項式展開式中二項式系數(shù)的和為32,則正整數(shù)的值為()A.7 B.6 C.5 D.48.定義,已知函數(shù),,則函數(shù)的最小值為()A. B. C. D.9.已知四棱錐,底面ABCD是邊長為1的正方形,,平面平面ABCD,當(dāng)點C到平面ABE的距離最大時,該四棱錐的體積為()A. B. C. D.110.設(shè),,則的值為()A. B.C. D.11.已知定點,,是圓上的任意一點,點關(guān)于點的對稱點為,線段的垂直平分線與直線相交于點,則點的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓12.已知復(fù)數(shù),滿足,則()A.1 B. C. D.5二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若隨機變量的分布列如表所示,則______,______.-10114.已知內(nèi)角的對邊分別為外接圓的面積為,則的面積為_________.15.已知拋物線的焦點為,其準線與坐標軸交于點,過的直線與拋物線交于兩點,若,則直線的斜率________.16.已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線上任一點,且的最小值為,則該雙曲線的離心率是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級過濾,使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中,一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯,則一級濾芯每個160元,二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元,二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表,其中表1是根據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表,圖2是根據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.表1:一級濾芯更換頻數(shù)分布表一級濾芯更換的個數(shù)89頻數(shù)6040圖2:二級濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16的概率;(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù),試確定的值.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x+1|.(Ⅰ)解不等式f(x)>1;(Ⅱ)當(dāng)x>0時,若函數(shù)g(x)(a>0)的最小值恒大于f(x),求實數(shù)a的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù)(,),且對任意,都有.(Ⅰ)用含的表達式表示;(Ⅱ)若存在兩個極值點,,且,求出的取值范圍,并證明;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷零點的個數(shù),并說明理由.20.(12分)已知,均為正項數(shù)列,其前項和分別為,,且,,,當(dāng),時,,.(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.21.(12分)已知分別是橢圓的左焦點和右焦點,橢圓的離心率為是橢圓上兩點,點滿足.(1)求的方程;(2)若點在圓上,點為坐標原點,求的取值范圍.22.(10分)某中學(xué)的甲、乙、丙三名同學(xué)參加高校自主招生考試,每位同學(xué)彼此獨立的從五所高校中任選2所.(1)求甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率;(2)若已知甲同學(xué)特別喜歡高校,他必選校,另在四校中再隨機選1所;而同學(xué)乙和丙對五所高校沒有偏愛,因此他們每人在五所高校中隨機選2所.(i)求甲同學(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率;(ii)記為甲、乙、丙三名同學(xué)中選高校的人數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】

畫出幾何體的直觀圖,計算表面積得到答案.【詳解】該幾何體的直觀圖如圖所示:故.故選:.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.2.B【解析】

設(shè)過點作的垂線,其方程為,聯(lián)立方程,求得,,即,由,列出相應(yīng)方程,求出離心率.【詳解】解:不妨設(shè)過點作的垂線,其方程為,由解得,,即,由,所以有,化簡得,所以離心率.故選:B.【點睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解、推理論證能力,屬于中檔題.3.C【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式可得結(jié)果.【詳解】∵等差數(shù)列中,,∴,即,∴,故選C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4.D【解析】

由題先畫出立體圖,再畫出平面處的截面圖,由拋物線第一定義可知,點到點的距離即半徑,也即點到面的距離,點到直線的距離即點到面的距離因此球內(nèi)切于正方體,設(shè),兩球球心和公切點都在體對角線上,通過幾何關(guān)系可轉(zhuǎn)化出,進而求解【詳解】根據(jù)拋物線的定義,點到點的距離與到直線的距離相等,其中點到點的距離即半徑,也即點到面的距離,點到直線的距離即點到面的距離,因此球內(nèi)切于正方體,不妨設(shè),兩個球心和兩球的切點均在體對角線上,兩個球在平面處的截面如圖所示,則,所以.又因為,因此,得,所以.故選:D【點睛】本題考查立體圖與平面圖的轉(zhuǎn)化,拋物線幾何性質(zhì)的使用,內(nèi)切球的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化思想,直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)5.A【解析】

利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)可以求得結(jié)果.【詳解】由,,得.選A.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的等和性應(yīng)用能快速求得結(jié)果.6.B【解析】

,選B.7.C【解析】

由二項式系數(shù)性質(zhì),的展開式中所有二項式系數(shù)和為計算.【詳解】的二項展開式中二項式系數(shù)和為,.故選:C.【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì),掌握二項式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.8.A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得,,則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式,可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得,,則,(當(dāng)且僅當(dāng),即時“”成立.此時,,,的最小值為,故選:A.【點睛】本題考查求分段函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出,再由基本不等式求得最值,屬于中檔題.9.B【解析】

過點E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因為平面ABE,所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.設(shè),將表示成關(guān)于的函數(shù),再求函數(shù)的最值,即可得答案.【詳解】過點E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因為平面平面ABCD,所以平面ABCD,所以.因為底面ABCD是邊長為1的正方形,,所以.因為平面ABE,所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE,所以點H到平面ABE的距離,即為H到EF的距離.不妨設(shè),則,.因為,所以,所以,當(dāng)時,等號成立.此時EH與ED重合,所以,.故選:B.【點睛】本題考查空間中點到面的距離的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力和運算求解能力,求解時注意輔助線及面面垂直的應(yīng)用.10.D【解析】

利用倍角公式求得的值,利用誘導(dǎo)公式求得的值,利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值,進而求得的值,最后利用正切差角公式求得結(jié)果.【詳解】,,,,,,,,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)求值問題,涉及到的知識點有誘導(dǎo)公式,正切倍角公式,同角三角函數(shù)關(guān)系式,正切差角公式,屬于基礎(chǔ)題目.11.B【解析】

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),結(jié)合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點,如下圖所示:所以有,而是中點,連接,故,因此當(dāng)在如下圖所示位置時有,所以有,而是中點,連接,故,因此,綜上所述:有,所以點的軌跡是雙曲線.故選:B【點睛】本題考查了雙曲線的定義,考查了數(shù)學(xué)運算能力和推理論證能力,考查了分類討論思想.12.A【解析】

首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算求出,求出的模即可.【詳解】解:,,故選:A【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)求模問題,考查復(fù)數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

首先求得a的值,然后利用均值的性質(zhì)計算均值,最后求得的值,由方差的性質(zhì)計算的值即可.【詳解】由題意可知,解得(舍去)或.則,則,由方差的計算性質(zhì)得.【點睛】本題主要考查分布列的性質(zhì),均值的計算公式,方差的計算公式,方差的性質(zhì)等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.14.【解析】

由外接圓面積,求出外接圓半徑,然后由正弦定理可求得三角形的內(nèi)角,從而有,于是可得三角形邊長,可得面積.【詳解】設(shè)外接圓半徑為,則,由正弦定理,得,∴,,.故答案為:.【點睛】本題考查正弦定理,利用正弦定理求出三角形的內(nèi)角,然后可得邊長,從而得面積,掌握正弦定理是解題關(guān)鍵.15.【解析】

求出拋物線焦點坐標,由,結(jié)合向量的坐標運算得,直線方程為,代入拋物線方程后應(yīng)用韋達定理得,,從而可求得,得斜率.【詳解】由得,即聯(lián)立得解得或,∴.故答案為:.【點睛】本題考查直線與拋物線相交,考查向量的線性運算的坐標表示.直線方程與拋物線方程聯(lián)立后消元,應(yīng)用韋達定理是解決直線與拋物線相交問題的常用方法.16.【解析】

根據(jù)雙曲線方程,設(shè)及,將代入雙曲線方程并化簡可得,由題意的最小值為,結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標運算化簡,即可求得的值,進而求得離心率即可.【詳解】設(shè)點,,則,即,∵,,,當(dāng)時,等號成立,∴,∴,∴.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線與向量的綜合應(yīng)用,由平面向量數(shù)量積的最值求離心率,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)0.024;(2)分布列見解析,;(3)【解析】

(1)由題意可知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,而由一級濾芯更換頻數(shù)分布表和二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,再由乘法原理可求出概率;(2)由二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,而的可能取值為8,9,10,11,12,然后求出概率,可得到的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)由,且,可知若,則,或若,則,再分別計算兩種情況下的所需總費用的期望值比較大小即可.【詳解】(1)由題意知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16”為事件,因為一個一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,所以.(2)由柱狀圖知,一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,由題意的可能取值為8,9,10,11,12,從而,,.所以的分布列為891011120.040.160.320.320.16(個).或用分數(shù)表示也可以為89101112(個).(3)解法一:記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用(單位:元)因為,且,1°若,則,(元);2°若,則,(元).因為,故選擇方案:.解法二:記分別表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買一級濾芯和二級濾芯所需費用(單位:元)1°若,則,的分布列為128016800.60.488010800.840.16該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買的各級濾芯所需總費用為(元);2°若,則,的分布列為800100012000.520.320.16(元).因為所以選擇方案:.【點睛】此題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用,考查古典概型,考查運算求解能力,屬于中檔題.18.(Ⅰ);(Ⅱ)?!窘馕觥?/p>

(Ⅰ)分類討論,去掉絕對值,求得原絕對值不等式的解集;(Ⅱ)由條件利用基本不等式求得,,再由,求得的范圍.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時,原不等式可化為,此時不成立;當(dāng)時,原不等式可化為,解得,即;當(dāng)時,原不等式可化為,解得.綜上,原不等式的解集是.(Ⅱ)因為,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以.當(dāng)時,,所以.所以,解得,故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題主要考查了絕對值不等式的解法,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想,難度一般;常見的絕對值不等式的解法,法一:利用絕對值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;法二:利用“零點分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想;法三:通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.19.(1)(2)見解析(3)見解析【解析】試題分析:利用賦值法求出關(guān)系,求函數(shù)導(dǎo)數(shù),要求函數(shù)有兩個極值點,只需在內(nèi)有兩個實根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍,再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點的個數(shù).試題解析:(Ⅰ)根據(jù)題意:令,可得,所以,經(jīng)驗證,可得當(dāng)時,對任意,都有,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,且,所以,令,要使存在兩個極值點,,則須有有兩個不相等的正數(shù)根,所以或解得或無解,所以的取值范圍,可得,由題意知,令,則.而當(dāng)時,,即,所以在上單調(diào)遞減,所以即時,.(Ⅲ)因為,.令得,.由(Ⅱ)知時,的對稱軸,,,所以.又,可得,此時,在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,所以最多只有三個不同的零點.又因為,所以在上遞增,即時,恒成立.根據(jù)(2)可知且,所以,即,所以,使得.由,得,又,,所以恰有三個不同的零點:,1,.綜上所述,恰有三個不同的零點.【點睛】利用賦值法求出關(guān)系,利用函數(shù)導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性,要求函數(shù)有兩個極值點,只需在內(nèi)有兩個實根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點的個數(shù)是近年高考壓軸題的熱點.20.(1),(2)【解析】

(1),所,兩式相減,即可得到數(shù)列遞推關(guān)系求解通項公式,由,整理得,得到,即可求解通項公式;(2)由(1)可知,,即可求得數(shù)列的前項和.【詳解】(1)因為,所,兩式相減,整理得,當(dāng)時,,解得,所以數(shù)列是首項和公比均為的等比數(shù)列,即,因為,整理得,又因為,所以,所以,即,因為,所以數(shù)列是以首項和公差均為1的等差數(shù)列,所以;(2)由(1)可知,,,即.【點睛】此題考查求數(shù)列的通項公式,以及數(shù)列求和,關(guān)鍵在于對題中所給關(guān)系合理變形,發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系,裂項求和作為一類常用的求和方法,需要在平常的學(xué)習(xí)中多做積累常見的裂項方式.21.(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)焦點坐標和離心率,結(jié)合橢圓中的關(guān)系,即可求得的值,進而得橢圓的標準方程.(2)設(shè)出直線的方程為,由題意可知為中點.聯(lián)立直線與橢圓方程,由韋達定理表示出,由判別式可得;由平面向量的線性運算及數(shù)量積定義,化簡可得,代入

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