2024-2025學(xué)年湖南省長沙市周南梅溪湖中學(xué)高三5月第四次測評數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
2024-2025學(xué)年湖南省長沙市周南梅溪湖中學(xué)高三5月第四次測評數(shù)學(xué)試題含解析_第2頁
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文檔簡介

2024-2025學(xué)年湖南省長沙市周南梅溪湖中學(xué)高三5月第四次測評數(shù)學(xué)試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.為了貫徹落實黨中央精準(zhǔn)扶貧決策,某市將其低收入家庭的基本情況經(jīng)過統(tǒng)計繪制如圖,其中各項統(tǒng)計不重復(fù).若該市老年低收入家庭共有900戶,則下列說法錯誤的是()A.該市總有15000戶低收入家庭B.在該市從業(yè)人員中,低收入家庭共有1800戶C.在該市無業(yè)人員中,低收入家庭有4350戶D.在該市大于18歲在讀學(xué)生中,低收入家庭有800戶2.已知四棱錐中,平面,底面是邊長為2的正方形,,為的中點,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.3.設(shè)a,b都是不等于1的正數(shù),則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4.設(shè)拋物線上一點到軸的距離為,到直線的距離為,則的最小值為()A.2 B. C. D.35.為虛數(shù)單位,則的虛部為()A. B. C. D.6.過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點,若為線段的中點,且(為坐標(biāo)原點),則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.7.已知為拋物線的焦點,點在拋物線上,且,過點的動直線與拋物線交于兩點,為坐標(biāo)原點,拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點為.給出下列四個命題:①在拋物線上滿足條件的點僅有一個;②若是拋物線準(zhǔn)線上一動點,則的最小值為;③無論過點的直線在什么位置,總有;④若點在拋物線準(zhǔn)線上的射影為,則三點在同一條直線上.其中所有正確命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.48.我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢”的長寬比為.在東方文化中通常稱這個比例為“白銀比例”,該比例在設(shè)計和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺和第二展望臺,塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺到塔底的高度之比,第二展望臺到塔底的高度與第一展望臺到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”,若兩展望臺間高度差為100米,則下列選項中與該塔的實際高度最接近的是()A.400米 B.480米C.520米 D.600米9.已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°,則雙曲線C的方程不可能為()A. B. C. D.10.定義在上的函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,設(shè)為坐標(biāo)原點,、、、四點的橫坐標(biāo)依次為、、、,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B. C. D.11.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的概率為A. B. C. D.12.下列函數(shù)中,在區(qū)間上單調(diào)遞減的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知全集為R,集合,則___________.14.函數(shù)的最小正周期為________;若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值為________.15.在中,內(nèi)角的對邊長分別為,已知,且,則_________.16.設(shè)平面向量與的夾角為,且,,則的取值范圍為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)等差數(shù)列中,,,分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且其中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)請選擇一個可能的組合,并求數(shù)列的通項公式;(2)記(1)中您選擇的的前項和為,判斷是否存在正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,若有,請求出的值;若沒有,請說明理由.18.(12分)設(shè)等差數(shù)列的首項為0,公差為a,;等差數(shù)列的首項為0,公差為b,.由數(shù)列和構(gòu)造數(shù)表M,與數(shù)表;記數(shù)表M中位于第i行第j列的元素為,其中,(i,j=1,2,3,…).記數(shù)表中位于第i行第j列的元素為,其中(,,).如:,.(1)設(shè),,請計算,,;(2)設(shè),,試求,的表達(dá)式(用i,j表示),并證明:對于整數(shù)t,若t不屬于數(shù)表M,則t屬于數(shù)表;(3)設(shè),,對于整數(shù)t,t不屬于數(shù)表M,求t的最大值.19.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為.且經(jīng)過點(1,),A,B分別為橢圓C的左、右頂點,過左焦點F的直線l交橢圓C于D,E兩點(其中D在x軸上方).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若△AEF與△BDF的面積之比為1:7,求直線l的方程.20.(12分)的內(nèi)角所對的邊分別是,且,.(1)求;(2)若邊上的中線,求的面積.21.(12分)如圖,已知拋物線:與圓:()相交于,,,四個點,(1)求的取值范圍;(2)設(shè)四邊形的面積為,當(dāng)最大時,求直線與直線的交點的坐標(biāo).22.(10分)在四棱椎中,四邊形為菱形,,,,,,分別為,中點..(1)求證:;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

根據(jù)給出的統(tǒng)計圖表,對選項進(jìn)行逐一判斷,即可得到正確答案.【詳解】解:由題意知,該市老年低收入家庭共有900戶,所占比例為6%,則該市總有低收入家庭900÷6%=15000(戶),A正確,該市從業(yè)人員中,低收入家庭共有15000×12%=1800(戶),B正確,該市無業(yè)人員中,低收入家庭有15000×29%%=4350(戶),C正確,該市大于18歲在讀學(xué)生中,低收入家庭有15000×4%=600(戶),D錯誤.故選:D.本題主要考查對統(tǒng)計圖表的認(rèn)識和分析,這類題要認(rèn)真分析圖表的內(nèi)容,讀懂圖表反映出的信息是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.2.B【解析】

由題意建立空間直角坐標(biāo)系,表示出各點坐標(biāo)后,利用即可得解.【詳解】平面,底面是邊長為2的正方形,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,由題意:,,,,,為的中點,.,,,異面直線與所成角的余弦值為即為.故選:B.本題考查了空間向量的應(yīng)用,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.3.C【解析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解a,b的范圍,再利用充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由“”,得,得或或,即或或,由,得,故“”是“”的必要不充分條件,故選C.本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法,考查指數(shù),對數(shù)不等式的解法,是基礎(chǔ)題.4.A【解析】

分析:題設(shè)的直線與拋物線是相離的,可以化成,其中是點到準(zhǔn)線的距離,也就是到焦點的距離,這樣我們從幾何意義得到的最小值,從而得到的最小值.詳解:由①得到,,故①無解,所以直線與拋物線是相離的.由,而為到準(zhǔn)線的距離,故為到焦點的距離,從而的最小值為到直線的距離,故的最小值為,故選A.點睛:拋物線中與線段的長度相關(guān)的最值問題,可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動線段的長度轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線或焦點的距離來求解.5.C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】,故虛部為.故選:C.本題考查復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)的概念,注意復(fù)數(shù)的虛部為,不是,本題為基礎(chǔ)題,也是易錯題.6.C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.∵為線段的中點,∴,則為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得∴∴,即.∴雙曲線的離心率為故選C.點睛:本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì),考查了離心率的求解,同時涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關(guān)系應(yīng)用,對于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).7.C【解析】

①:由拋物線的定義可知,從而可求的坐標(biāo);②:做關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點為,通過分析可知當(dāng)三點共線時取最小值,由兩點間的距離公式,可求此時最小值;③:設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,結(jié)合韋達(dá)定理,可知焦點坐標(biāo)的關(guān)系,進(jìn)而可求,從而可判斷出的關(guān)系;④:計算直線的斜率之差,可得兩直線斜率相等,進(jìn)而可判斷三點在同一條直線上.【詳解】解:對于①,設(shè),由拋物線的方程得,則,故,所以或,所以滿足條件的點有二個,故①不正確;對于②,不妨設(shè),則關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點為,故,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立,故②正確;對于③,由題意知,,且的斜率不為0,則設(shè)方程為:,設(shè)與拋物線的交點坐標(biāo)為,聯(lián)立直線與拋物線的方程為,,整理得,則,所以,則.故的傾斜角互補,所以,故③正確.對于④,由題意知,由③知,則,由,知,即三點在同一條直線上,故④正確.故選:C.本題考查了拋物線的定義,考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了拋物線的性質(zhì),考查了直線方程,考查了兩點的斜率公式.本題的難點在于第二個命題,結(jié)合初中的“飲馬問題”分析出何時取最小值.8.B【解析】

根據(jù)題意,畫出幾何關(guān)系,結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺和第二展望臺的距離,進(jìn)而由比例即可求得該塔的實際高度.【詳解】設(shè)第一展望臺到塔底的高度為米,塔的實際高度為米,幾何關(guān)系如下圖所示:由題意可得,解得;且滿足,故解得塔高米,即塔高約為480米.故選:B本題考查了對中國文化的理解與簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】

判斷出已知條件中雙曲線的漸近線方程,求得四個選項中雙曲線的漸近線方程,由此確定選項.【詳解】兩條漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與軸的夾角時要分為兩種情況.依題意,雙曲漸近線與軸的夾角為30°或60°,雙曲線的漸近線方程為或.A選項漸近線為,B選項漸近線為,C選項漸近線為,D選項漸近線為.所以雙曲線的方程不可能為.故選:C本小題主要考查雙曲線的漸近線方程,屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】

先辨別出圖象中實線部分為函數(shù)的圖象,虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,由,得出,只需在圖中找出滿足不等式對應(yīng)的的取值范圍即可.【詳解】若虛線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)只有一個極值點,但其導(dǎo)函數(shù)圖象(實線)與軸有三個交點,不合乎題意;若實線部分為函數(shù)的圖象,則該函數(shù)有兩個極值點,則其導(dǎo)函數(shù)圖象(虛線)與軸恰好也只有兩個交點,合乎題意.對函數(shù)求導(dǎo)得,由得,由圖象可知,滿足不等式的的取值范圍是,因此,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選:B.本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象,考查推理能力,屬于中等題.11.B【解析】

求得基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,利用古典概型及其概率的計算公式,即可求解.【詳解】由題意,現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,基本事件的總數(shù)為,其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為,故選B.本題主要考查了排列組合的應(yīng)用,以及古典概型及其概率的計算問題,其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個數(shù),利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】

由每個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到本題答案.【詳解】因為函數(shù)和在遞增,而在遞減.故選:C本題主要考查常見簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

先化簡集合A,再求A∪B得解.【詳解】由題得A={0,1},所以A∪B={-1,0,1}.故答案為{-1,0,1}本題主要考查集合的化簡和并集運算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.14.【解析】

直接計算得到答案,根據(jù)題意得到,,解得答案.【詳解】,故,當(dāng)時,,故,解得.故答案為:;.本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性,意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.15.4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得:,即∵∴∵∴故答案為416.【解析】

根據(jù)已知條件計算出,結(jié)合得出,利用基本不等式可得出的取值范圍,利用平面向量的數(shù)量積公式可求得的取值范圍,進(jìn)而可得出的取值范圍.【詳解】,,,由得,,由基本不等式可得,,,,,因此,的取值范圍為.故答案為:.本題考查利用向量的模求解平面向量夾角的取值范圍,考查計算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析,或;(2)存在,.【解析】

(1)滿足題意有兩種組合:①,,,②,,,分別計算即可;(2)由(1)分別討論兩種情況,假設(shè)存在正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,即,解方程是否存在正整數(shù)解即可.【詳解】(1)由題意可知:有兩種組合滿足條件:①,,,此時等差數(shù)列,,,所以其通項公式為.②,,,此時等差數(shù)列,,,所以其通項公式為.(2)若選擇①,.則.若,,成等比數(shù)列,則,即,整理,得,即,此方程無正整數(shù)解,故不存在正整數(shù),使,,成等比數(shù)列.若選則②,,則,若,,成等比數(shù)列,則,即,整理得,因為為正整數(shù),所以.故存在正整數(shù),使,,成等比數(shù)列.本題考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和,涉及到等比數(shù)列的性質(zhì),是一道中檔題.18.(1)(2)詳見解析(3)29【解析】

(1)將,代入,可求出,,可代入求,,可求結(jié)果.(2)可求,,通過反證法證明,(3)可推出,,的最大值,就是集合中元素的最大值,求出.【詳解】(1)由題意知等差數(shù)列的通項公式為:;等差數(shù)列的通項公式為:,得,則,,得,故.(2)證明:已知.,由題意知等差數(shù)列的通項公式為:;等差數(shù)列的通項公式為:,得,,.得,,,.所以若,則存在,,使,若,則存在,,,使,因此,對于正整數(shù),考慮集合,,,即,,,,,,.下面證明:集合中至少有一元素是7的倍數(shù).反證法:假設(shè)集合中任何一個元素,都不是7的倍數(shù),則集合中每一元素關(guān)于7的余數(shù)可以為1,2,3,4,5,6,又因為集合中共有7個元素,所以集合中至少存在兩個元素關(guān)于7的余數(shù)相同,不妨設(shè)為,,其中,,.則這兩個元素的差為7的倍數(shù),即,所以,與矛盾,所以假設(shè)不成立,即原命題成立.即集合中至少有一元素是7的倍數(shù),不妨設(shè)該元素為,,,則存在,使,,,即,,,由已證可知,若,則存在,,使,而,所以為負(fù)整數(shù),設(shè),則,且,,,,所以,當(dāng),時,對于整數(shù),若,則成立.(3)下面用反證法證明:若對于整數(shù),,則,假設(shè)命題不成立,即,且.則對于整數(shù),存在,,,,,使成立,整理,得,又因為,,所以且是7的倍數(shù),因為,,所以,所以矛盾,即假設(shè)不成立.所以對于整數(shù),若,則,又由第二問,對于整數(shù),則,所以的最大值,就是集合中元素的最大值,又因為,,,,所以.本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用,以及反證法,求最值,屬于難題.19.(1)(2).【解析】

(1)利用離心率和橢圓經(jīng)過的點建立方程組,求解即可.(2)把面積之比轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)之間的關(guān)系,聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可求.【詳解】解:(1)設(shè)焦距為2c,由題意知:;解得,所以橢圓的方程為.(2)由(1)知:F(﹣1,0),設(shè)l:,D(,),E(,),<0<①,,,②;③;由①②得:,,代入③得:,又,故,因此,直線l的方程為.本題主要考查橢圓方程的求解及橢圓中的面積問題,橢圓方程一般利用待定系數(shù)法,建立方程組進(jìn)行求解,面積問題的合理轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).20.(1),(2)【解析】

(1)先由正弦定理,得到,進(jìn)而可得,再由,即可得出結(jié)果;(2)先由余弦定理得,,再根據(jù)題中數(shù)據(jù),可得,從而可求出,得到,進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】(1)由正弦定理得,所以,因為,所以,即,所以,又因為,所以,.(2)在和中,由余弦定理得,.因為,,,,又因為,即,所以,所以,又因為,所以.所以的面積.本題主要考查解三角形,靈活運用正弦定理和余弦定理即可,屬于常考題型.21.(1)(2)點的坐標(biāo)為【解析】

將拋物線方程與圓方程聯(lián)立,消去得到關(guān)于的一元二次方程,拋物線與圓有四個交點需滿足關(guān)于的一元二次方程在上有兩個不等的實數(shù)根,根據(jù)二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)即可得到關(guān)于的不等式組,解不等式即可.不妨設(shè)拋物線與圓的四個交點坐標(biāo)為,,

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