【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【易錯(cuò)點(diǎn)歸納總結(jié)】【專題08】圓錐曲線（教師版）

第1頁(yè)【專題08】圓錐曲線1、圓錐曲線的兩個(gè)定義：（1）第一定義中要重視“括號(hào)”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于，當(dāng)常數(shù)等于時(shí)，軌跡是線段，當(dāng)常數(shù)小于時(shí)，無(wú)軌跡；雙曲線中，與兩定點(diǎn)、的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要小于，定義中的“絕對(duì)值”與不可忽視．若，則軌跡是以、為端點(diǎn)的兩條射線，若，則軌跡不存在．若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支．（2）第二定義中要注意定點(diǎn)和定直線是相應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，且“點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母”，其商即是離心率．圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與此點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系，要善于運(yùn)用第二定義對(duì)它們進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化．例1、已知定點(diǎn)、，在滿足下列條件的平面上動(dòng)點(diǎn)的軌跡中是橢圓的是（）A．B．C．D．【答案】C例2、方程表示的曲線是________．【答案】雙曲線的左支例3、已知點(diǎn)及拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．【答案】22、圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程：（1）橢圓：焦點(diǎn)在軸上時(shí)（）（參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點(diǎn)在軸上時(shí)（）．方程表示橢圓的充要條件是什么？（，且、、同號(hào)，）．（2）雙曲線：焦點(diǎn)在軸上：，焦點(diǎn)在軸上：（，）．方程表示雙曲線的充要條件是什么？（，且、異號(hào)）．（3）拋物線：開(kāi)口向右時(shí)（），開(kāi)口向左時(shí)（），開(kāi)口向上時(shí)（），開(kāi)口向下時(shí)（）．例4、已知方程表示橢圓，則的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】例5、若、，且，則的最大值是________，的最小值是________．【答案】；2例6、雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程________．【答案】例7、設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在坐標(biāo)軸上，離心率的雙曲線過(guò)點(diǎn)，則的方程為_(kāi)_______．【答案】3、圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由、分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上．（2）雙曲線：由、項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；（3）拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開(kāi)口方向．特別提醒：①在求解橢圓、雙曲線問(wèn)題時(shí)，首先要判斷焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)、的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個(gè)參數(shù)、，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問(wèn)題時(shí)，首先要判斷開(kāi)口方向；②在橢圓中，最大，；在雙曲線中，最大，．例8、已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是________．【答案】4、圓錐曲線的幾何性質(zhì)：（1）橢圓（以，為例）：①范圍：，；②焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；③對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸，，一個(gè)對(duì)稱中心，四個(gè)頂點(diǎn)，，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線；⑤離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁．（2）雙曲線（以，，為例）：①范圍：或，；②焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)；③對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸，，一個(gè)對(duì)稱中心，兩個(gè)頂點(diǎn)，其中實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)相等時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為，；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線；⑤離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開(kāi)口越小，越大，開(kāi)口越大；⑥兩條漸近線：．（3）拋物線（以，為例）：①范圍：，；②焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)，其中的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；③對(duì)稱性：一條對(duì)稱軸，沒(méi)有對(duì)稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)；④準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線；⑤離心率：，拋物線．例9、若橢圓的離心率，則的值是________．【答案】3或例10、以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1時(shí)，則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為_(kāi)_______．【答案】例11、雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于________．【答案】或例12、雙曲線的離心率為，則________．【答案】4或例13、設(shè)雙曲線（，）中，離心率，則兩條漸近線夾角的取值范圍是________．【答案】例14、設(shè)，，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】5、點(diǎn)和橢圓（）的關(guān)系：（1）點(diǎn)在橢圓外；（2）點(diǎn)在橢圓上；（3）點(diǎn)在橢圓內(nèi)．6、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件．（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切．（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離．例15、若直線與雙曲線的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】例16、直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】例17、過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，若，則滿足條件的直線有________條．【答案】3例18、過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有________．【答案】2例19、過(guò)點(diǎn)與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】例20、對(duì)于拋物線，我們稱滿足的點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，若點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部，則直線與拋物線的位置關(guān)系是________．【答案】相離例21、過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段與的長(zhǎng)分別是、，則________．【答案】1例22、設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為，設(shè)某直線交其左支、右支和右準(zhǔn)線分別于、、，則和的大小關(guān)系為_(kāi)_______．（填大于、小于或等于）【答案】等于例23、求橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離．【答案】例24、直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)．①當(dāng)為何值時(shí)，、分別在雙曲線的兩支上？②當(dāng)為何值時(shí)，以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？【答案】①；②特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交．如果直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交，但只有一個(gè)交點(diǎn)；如果直線與拋物線的軸平行時(shí)，直線與拋物線相交，也只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）過(guò)雙曲線外一點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：①點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線．（3）過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線．7、焦半徑（圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離）的計(jì)算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑，其中表示到與所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離．例25、已知橢圓上一點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______．【答案】例26、已知拋物線方程為，若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于________．【答案】7例27、若該拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】例28、點(diǎn)在橢圓上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】例29、拋物線上的兩點(diǎn)、到焦點(diǎn)的距離和是5，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)_______．【答案】2例30、橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，在橢圓上有一點(diǎn)，使之值最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】8、焦點(diǎn)三角形（橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問(wèn)題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解．設(shè)橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)、的距離分別為、，焦點(diǎn)的面積為，則在橢圓中，①，且當(dāng)，即為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大為；②，當(dāng)，即為短軸端點(diǎn)時(shí)，的最大值為；對(duì)于雙曲線的焦點(diǎn)三角形有：①；②．例31、短軸長(zhǎng)為，離心率的橢圓的兩焦點(diǎn)為、，過(guò)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】6例32、設(shè)是等軸雙曲線（）右支上一點(diǎn)，、是左右焦點(diǎn)，若，，則該雙曲線的方程為_(kāi)_______．【答案】例33、橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是________．【答案】例34、雙曲線的虛軸長(zhǎng)為4，離心率，、是它的左右焦點(diǎn)，若過(guò)的直線與雙曲線的左支交于、兩點(diǎn)，且是與等差中項(xiàng)，則________．【答案】例35、已知雙曲線的離心率為2，、是左右焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，且，．求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】9、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；（2）設(shè)為焦點(diǎn)弦，為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，則；（3）設(shè)為焦點(diǎn)弦，、在準(zhǔn)線上的射影分別為、，若為的中點(diǎn)，則；（4）若的延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線于，則平行于軸，反之，若過(guò)點(diǎn)平行于軸的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，則、、三點(diǎn)共線．10、弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)、，且、分別為、的橫坐標(biāo)，則，若、分別為、的縱坐標(biāo)，則，若弦所在直線方程設(shè)為，則．特別地，焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解．例36、過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，那么等于________．【答案】8例37、過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，已知，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則重心的橫坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】311、圓錐曲線的“中點(diǎn)弦”問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解．在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率；在雙曲線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率；在拋物線（）中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率．例38、如果橢圓弦被點(diǎn)平分，那么這條弦所在的直線方程是________．【答案】例39、已知直線與橢圓（）相交于、兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線上，則此橢圓的離心率為_(kāi)_______．【答案】例40、試確定的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？【答案】特別提醒：因?yàn)槭侵本€與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱問(wèn)題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)！12、你了解下列結(jié)論嗎？（1）雙曲線的漸近線方程為；（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為（為參數(shù)，）．（3）中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為；（4）橢圓、雙曲線的通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦）為，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為，拋物線的通徑為，焦準(zhǔn)距為；（5）通徑是所有焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）中最短的弦；（6）若拋物線（）的焦點(diǎn)弦為，、，則：①；②，；（7）若、是過(guò)拋物線（）頂點(diǎn)的兩條互相垂直的弦，則直線恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．例41、與雙曲線有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線方程為_(kāi)_______．【答案】13、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程：（1）求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍；（2）求軌跡方程的常用方法：①直接法：直接利用條件建立、之間的關(guān)系．例42、已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)和直線的距離之和等于4，求的軌跡方程．【答案】（）或（）②待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)．例43、線段過(guò)軸正半軸上一點(diǎn)（），端點(diǎn)、到軸距離之積為，以軸為對(duì)稱軸，過(guò)、、三點(diǎn)作拋物線，則此拋物線方程為_(kāi)_______．【答案】③定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．例44、由動(dòng)點(diǎn)向圓作兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_______．【答案】例45、點(diǎn)與點(diǎn)的距離比它到直線的距離小于1，則點(diǎn)的軌跡方程是________．【答案】例46、一動(dòng)圓與兩圓⊙和⊙都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為_(kāi)_______．【答案】雙曲線的一支④代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用、的代數(shù)式表示、，再將、代入已知曲線得要求的軌跡方程．例47、動(dòng)點(diǎn)是拋物線上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為，點(diǎn)分所成的比為2，則的軌跡方程為_(kāi)_______．【答案】⑤參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將、均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）．例48、是圓的直徑，且，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，作，垂足為，在上取點(diǎn)，使，求點(diǎn)的軌跡．【答案】例49、若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的軌跡方程是________．【答案】（）例50、過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)的軌跡方程是________．【答案】特別提醒：①如果問(wèn)題中涉及到平面向量知識(shí)，那么應(yīng)從已知向量的特點(diǎn)出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化；②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個(gè)不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時(shí)應(yīng)注意軌跡上特殊點(diǎn)對(duì)軌跡的“完備性與純粹性”的影響；③在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合（如角平分線的雙重身份――對(duì)稱性、利用到角公式）、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等；④如果在一條直線上出現(xiàn)“三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)”，那么可選擇應(yīng)用“斜率或向量”為橋梁轉(zhuǎn)化．例51、已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別是、，