【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【易錯(cuò)點(diǎn)歸納總結(jié)】【專題12】選擇題解題策略（教師版）

PAGE第1頁(yè)【專題12】選擇題的解題策略數(shù)學(xué)選擇題在當(dāng)今高考試卷中，不但題目多，而且占分比例高，即使江蘇試題的題量發(fā)生了一些變化，選擇題由原來的12題改為10題，但其分值仍占到試卷總分的三分之一．?dāng)?shù)學(xué)選擇題具有概括性強(qiáng)，知識(shí)覆蓋面廣，小巧靈活，且有一定的綜合性和深度等特點(diǎn)，考生能否迅速、準(zhǔn)確、全面、簡(jiǎn)捷地解好選擇題，成為高考成功的關(guān)鍵．解答選擇題的基本策略是準(zhǔn)確、迅速．準(zhǔn)確是解答選擇題的先決條件，選擇題不設(shè)中間分，一步失誤，造成錯(cuò)選，全題無分，所以應(yīng)仔細(xì)審題、深入分析、正確推演、謹(jǐn)防疏漏，確保準(zhǔn)確；迅速是贏得時(shí)間獲取高分的必要條件，對(duì)于選擇題的答題時(shí)間，應(yīng)該控制在不超過40分鐘左右，速度越快越好，高考要求每道選擇題在1～3分鐘內(nèi)解完，要避免“超時(shí)失分”現(xiàn)象的發(fā)生．高考中的數(shù)學(xué)選擇題一般是容易題或中檔題，個(gè)別題屬于較難題，當(dāng)中的大多數(shù)題的解答可用特殊的方法快速選擇．解選擇題的基本思想是既要看到各類常規(guī)題的解題思想，但更應(yīng)看到選擇題的特殊性，數(shù)學(xué)選擇題的四個(gè)選擇支中有且僅有一個(gè)是正確的，因而，在解答時(shí)應(yīng)該突出一個(gè)“選”字，盡量減少書寫解題過程，要充分利用題干和選擇支兩方面提供的信息，依據(jù)題目的具體特點(diǎn)，靈活、巧妙、快速地選擇解法，以便快速智取，這是解選擇題的基本策略．（一）數(shù)學(xué)選擇題的解題方法1、直接法：就是從題設(shè)條件出發(fā)，通過正確的運(yùn)算、推理或判斷，直接得出結(jié)論再與選擇支對(duì)照，從而作出選擇的一種方法．運(yùn)用此種方法解題需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．例1、某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為，經(jīng)過3次射擊，此人至少有2次擊中目標(biāo)的概率為（）A．B．C．D．【解析】某人每次射中的概率為，3次射擊至少射中兩次屬獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，，故選A．例2、有三個(gè)命題：①垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；②過平面的一條斜線有且僅有一個(gè)平面與垂直；③異面直線、不垂直，那么過的任一個(gè)平面與都不垂直．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【解析】利用立幾中有關(guān)垂直的判定與性質(zhì)定理對(duì)上述三個(gè)命題作出判斷，易得都是正確的，故選D．例3、已知、是橢圓的兩焦點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)的的直線交橢圓于點(diǎn)、，若，則等于（）A．11B．10C．9D．16【解析】由橢圓的定義可得，，兩式相加后將代入，得，故選A．例4、已知在上是的減函數(shù)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【解析】∵，∴是減函數(shù)，∵在上是減函數(shù)，∴，且，∴，故選B．2、特例法：就是運(yùn)用滿足題設(shè)條件的某些特殊數(shù)值、特殊位置、特殊關(guān)系、特殊圖形、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)等對(duì)各選擇支進(jìn)行檢驗(yàn)或推理，利用問題在某一特殊情況下不真，則它在一般情況下也不真的原理，由此判明選項(xiàng)真?zhèn)蔚姆椒ǎ锰乩ń膺x擇題時(shí)，特例取得愈簡(jiǎn)單、愈特殊愈好．（1）特殊值法例5、若（），則（）A．B．C．D．【解析】∵，取代入，滿足條件式，則排除A、C、D，故選B．例6、一個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為48，前項(xiàng)和為60，則它的前項(xiàng)和為（）A．B．84C．72D．36【解析】結(jié)論中不含，故本題結(jié)論的正確性與取值無關(guān)，可對(duì)取特殊值，如，此時(shí)，，，∴前項(xiàng)和為36，故選D．（2）特殊函數(shù)例7、如果奇函數(shù)是上是增函數(shù)且最小值為5，那么在區(qū)間上是（）A．增函數(shù)且最小值為B．減函數(shù)且最小值是C．增函數(shù)且最大值為D．減函數(shù)且最大值是【解析】構(gòu)造特殊函數(shù)，雖然滿足題設(shè)條件，并易知在區(qū)間上是增函數(shù)，且最大值為，故選C．例8、定義在上的奇函數(shù)為減函數(shù)，設(shè)，給出下列不等式：①；②；③；④．其中正確的不等式序號(hào)是（）A．①②④B．①④C．②④D．①③【解析】取，逐項(xiàng)檢查可知①④正確，故選B．（3）特殊數(shù)列例9、已知等差數(shù)列滿足，則有（）A．B．C．D．【解析】取滿足題意的特殊數(shù)列，則，故選C．（4）特殊位置例10、過（）的焦點(diǎn)作直線交拋物線與、兩點(diǎn)，若與的長(zhǎng)分別是、，則（）A．B．C．D．【解析】考慮特殊位置時(shí)，，∴，故選C．例11、向高為的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量與水深的函數(shù)關(guān)系的圖象如右圖所示，那么水瓶的形狀是（）【解析】取，由圖象可知，此時(shí)注水量大于容器容積的，故選B．（5）特殊點(diǎn)例12、設(shè)函數(shù)（），則其反函數(shù)的圖像是（）【解析】由函數(shù)（），可令，得；令，得，則特殊點(diǎn)及都應(yīng)在反函數(shù)的圖像上，觀察得A、C．又因?yàn)榉春瘮?shù)的定義域?yàn)?，故選C．（6）特殊方程例13、雙曲線（）的漸近線夾角為，離心率為，則等于（）A．B．C．D．【解析】本題是考查雙曲線漸近線夾角與離心率的一個(gè)關(guān)系式，故可用特殊方程來考察．取雙曲線方程為，易得離心率，，故選C．（7）特殊模型例14、如果實(shí)數(shù)、滿足等式，那么的最大值是（）A．B．C．D．【解析】題中可寫成．聯(lián)想數(shù)學(xué)模型：過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，可將問題看成圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率的最大值，即得D．3、圖解法：就是利用函數(shù)圖像或數(shù)學(xué)結(jié)果的幾何意義，將數(shù)的問題（如解方程、解不等式、求最值，求取值范圍等）與某些圖形結(jié)合起來，利用直觀幾性，再輔以簡(jiǎn)單計(jì)算，確定正確答案的方法．這種解法貫穿數(shù)形結(jié)合思想，每年高考均有很多選擇題（也有填空題、解答題）都可以用數(shù)形結(jié)合思想解決，既簡(jiǎn)捷又迅速．例15、已知、都是第二象限角，且，則（）A．B．C．D．【解析】在第二象限角內(nèi)通過余弦函數(shù)線找出、的終邊位置關(guān)系，再作出判斷，故選B．例16、已知、均為單位向量，它們的夾角為60°，那么（）A．B．C．D．4【解析】如圖，，在中，∵，，，∴由余弦定理得，故選C．例17、已知是等差數(shù)列，，，那么使其前項(xiàng)和最小的是（）A．4B．5C．6D．7【解析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和可表示為過原點(diǎn)的拋物線，又本題中，，可表示如圖，由圖可知，，是拋物線的對(duì)稱軸，∴是拋物線的對(duì)稱軸，∴時(shí)最小，故選B．4、驗(yàn)證法：就是將選擇支中給出的答案或其特殊值，代入題干逐一去驗(yàn)證是否滿足題設(shè)條件，然后選擇符合題設(shè)條件的選擇支的一種方法．在運(yùn)用驗(yàn)證法解題時(shí)，若能據(jù)題意確定代入順序，則能較大提高解題速度．例18、計(jì)算機(jī)常用的十六進(jìn)制是逢16進(jìn)1的計(jì)數(shù)制，采用數(shù)字09和字母共16個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)，這些符號(hào)與十進(jìn)制的數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：例如：用十六進(jìn)制表示，則（）A．B．72C．D．【解析】采用代入檢驗(yàn)法，用十進(jìn)制數(shù)表示為，而用十進(jìn)制數(shù)表示為；72用十進(jìn)制數(shù)表示為；用十進(jìn)制數(shù)表示為；用十進(jìn)制數(shù)表示為，故選A．例19、方程的解（）A．B．C．D．【解析】若，則，則；若，則，則；若，則，則；若，，則，故選C．5、篩選法（也叫排除法、淘汰法）：就是充分運(yùn)用選擇題中單選題的特征，即有且只有一個(gè)正確選擇支這一信息，從選擇支入手，根據(jù)題設(shè)條件與各選擇支的關(guān)系，通過分析、推理、計(jì)算、判斷，對(duì)選擇支進(jìn)行篩選，將其中與題設(shè)相矛盾的干擾支逐一排除，從而獲得正確結(jié)論的方法．使用篩選法的前提是“答案唯一”，即四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一個(gè)答案正確．例20、若為三角形中的最小內(nèi)角，則函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．【解析】∵為三角形中的最小內(nèi)角，故，由此可得，從而排除B、C、D，故選A．例21、原市話資費(fèi)為每2分鐘元，現(xiàn)調(diào)整為前3分鐘資費(fèi)為元，超過3分鐘的，每分鐘按元計(jì)算，與調(diào)整前相比，一次通話提價(jià)的百分率（）A．不會(huì)提高70%B．會(huì)高于70%，但不會(huì)高于90%C．不會(huì)低于10%D．高于30%，但低于100%【解析】取，，排除C、D；取，，排除A，故選B．例22、給定四條曲線：①，②，③，④，其中與直線僅有一個(gè)交點(diǎn)的曲線是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④【解析】分析選擇支可知，四條曲線中有且只有一條曲線不符合要求，故可考慮找不符合條件的曲線從而篩選，而在四條曲線中②是一個(gè)面積最大的橢圓，故可先看②，顯然直線和曲線是相交的，∵直線上的點(diǎn)在橢圓內(nèi)，對(duì)照選項(xiàng)，故選D．6、分析法：就是對(duì)有關(guān)概念進(jìn)行全面、正確、深刻的理解或?qū)τ嘘P(guān)信息提取、分析和加工后而作出判斷和選擇的方法．（1）特征分析法：根據(jù)題目所提供的信息，如數(shù)值特征、結(jié)構(gòu)特征、位置特征等，進(jìn)行快速推理，迅速作出判斷的方法，稱為特征分析法．例23、如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)，連線標(biāo)的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)向結(jié)點(diǎn)傳送信息，信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳送，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為（）A．26B．24C．20D．19【解析】題設(shè)中數(shù)字所標(biāo)最大通信量是限制條件，每一支要以最小值來計(jì)算，否則無法同時(shí)傳送，則總數(shù)為，故選D．例24、設(shè)球的半徑為、、是球面上北緯圈上的兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)在緯度圈上的劣弧的長(zhǎng)是，則這兩點(diǎn)的球面距離是（）A．B．C．D．【解析】∵緯線弧長(zhǎng)球面距離直線距離，排除A、B、D，故選C．例25、已知，（），則等于（）A．B．C．D．5【解析】由于受條件的制約，故為一確定的值，于是、的值應(yīng)與的值無關(guān)，進(jìn)而推知的值與無關(guān)，又，，∴，故選D．（2）邏輯分析法：通過對(duì)四個(gè)選擇支之間的邏輯關(guān)系的分析，達(dá)到否定謬誤支，選出正確支的方法，稱為邏輯分析法．例26、設(shè)、是滿足的實(shí)數(shù)，那么（）A．B．C．D．【解析】∵A、B是一對(duì)矛盾命題，故必有一真，從而排除錯(cuò)誤支C、D．又由，可令，，代入知B為真，故選B．例27、的三邊、、滿足等式，則此三角形必是（）A．以為斜邊的直角三角形B．以為斜邊的直角三角形C．等邊三角形D．其它三角形【解析】在題設(shè)條件中的等式是關(guān)于、與、的對(duì)稱式，因此選項(xiàng)在A、B為等價(jià)命題都被淘汰，若選項(xiàng)C正確，則有，即，從而C被淘汰，故選D．7、估算法：就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的問題，求出答案的近似值，或把有關(guān)數(shù)值擴(kuò)大或縮小，從而對(duì)運(yùn)算結(jié)果確定出一個(gè)范圍或作出一個(gè)估計(jì)，進(jìn)而作出判斷的方法．例28、農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構(gòu)成，03年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元（其中工資源共享性收入為1800元，其它收入為1350元），預(yù)計(jì)該地區(qū)自04年起的5年內(nèi)，農(nóng)民的工資源共享性收入將以每年的年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，其它性收入每年增加160元．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，08年該地區(qū)人均收入介于（）A．4200元~4400元B．4400元~4460元C．4460元~4800元D．4800元~5000元【解析】08年農(nóng)民工次性人均收入為：（元），又08年農(nóng)民其它人均收入為（元），故08年農(nóng)民人均總收入約為（元），故選B．說明：（1）解選擇題的方法很多，上面僅列舉了幾種常用的方法，這里由于限于篇幅，其它方法不再一一舉例．需要指出的是對(duì)于有些題在解的過程中可以把上面的多種方法結(jié)合起來進(jìn)行解題，會(huì)使題目求解過程簡(jiǎn)單化；（2）對(duì)于選擇題一定要小題小做，小題巧做，切忌小題大做．“不擇手段，多快好省”是解選擇題的基本宗旨．（二）選擇題的幾種特色運(yùn)算1、借助結(jié)論：速算例29、棱長(zhǎng)都為的四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A．B．C．D．【解析】借助立體幾何的兩個(gè)熟知的結(jié)論：（1）一個(gè)正方體可以內(nèi)接一個(gè)正四面體；（2）若正方體的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則正方體的對(duì)角線就是球的直徑．可以快速算出球的半徑，從而求出球的表面積為，故選A．2、借用選項(xiàng)：驗(yàn)算例30、若、滿足，則使得的值最小的是（）A．B．C．D．【解析】把各選項(xiàng)分別代入條件驗(yàn)算，易知B項(xiàng)滿足條件，且的值最小，故選B．3、極限思想：不算例31、正四棱錐相鄰側(cè)面所成的二面角的平面角為，側(cè)面與底面所成的二面角的平面角為，則的值是（）A．1B．2C．D．【解析】當(dāng)正四棱錐的高無限增大時(shí)，，，則，故選C．4、平幾輔助：巧算例32、在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)距離為1，且與點(diǎn)距離為2的直線共有（）A．1條B．2條C．3條D．4條【解析】選項(xiàng)暗示我們，只要判斷出直線的條數(shù)就行，無須具體求出直線方程．以為圓心，1為半徑作圓，以為圓心，2為半徑作圓．由平面幾何知識(shí)易知，滿足題意的直線是兩圓的公切線，而兩圓的位置關(guān)系是相交，只有兩條公切線，故選B．5、活用定義：活算例33、若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)、，則其離心率為（）A．B．C．D．【解析】利用橢圓的定義可得，，故離心率，故選C．6、整體思想：設(shè)而不算例34、若，則的值為（）A．1B．C．0D．2【解析】二項(xiàng)式中含有，似乎增加了計(jì)算量和難度，但如果設(shè)，，則，故選A．7、大膽取舍：估算例35、如圖，在多面體中，已知面是邊長(zhǎng)為3的正方形，，，與面的距離為2，則該多面體的體積為（）A．B．5C．6D．【解析】依題意可計(jì)算，而，故選D．8、發(fā)現(xiàn)隱含：少算例36、與交于、兩點(diǎn)，且，則直線的方程為（）A．B．C．D．【解析】解此題具有很大的迷惑性，注意題目隱含直線的方程就是，它過定點(diǎn)，只有C項(xiàng)滿足，故選C．9、利用常識(shí)：避免計(jì)算例37、我國(guó)儲(chǔ)蓄存款采取實(shí)名制并征收利息稅，利息稅由各銀行儲(chǔ)蓄點(diǎn)代扣代收．某人在2001年9月存入人民幣1萬(wàn)元，存期一年，年利率為%，到期時(shí)凈得本金和利息共計(jì)10180元，則利息稅的稅率是（）A．8%B．20%C．32%D．80%【解析】生活常識(shí)告訴我們利息稅的稅率是20%，故選B．（三）選擇題中隱含信息的挖掘1、挖掘“詞眼”例38、過曲線上一點(diǎn)的切線方程為（）A．B．C．D．或【錯(cuò)解】，，從而以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率為，即所求切線方程為，故選C．【解析】上述錯(cuò)誤在于把“過點(diǎn)的切線”當(dāng)成了“在點(diǎn)處的切線”，事實(shí)上當(dāng)點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，所求的切線方程為，而當(dāng)點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，所求的切線方程為，故選D．2、挖掘背景例39、已知，，為常數(shù)，且，則函數(shù)必有一周期為（）A．B．C．D．【解析】由于，從而函數(shù)的一個(gè)背景為正切函數(shù)，取，可得必有一周期為，故選C．3、挖掘范圍例40、設(shè)、是方程的兩根，且，，則的值為（）A．B．C．或D．或【錯(cuò)解】易得，又，，，從而或，故選C．【解析】事實(shí)上，上述解法是錯(cuò)誤的，它沒有發(fā)現(xiàn)題中的隱含范圍．由韋達(dá)定理知，，故且．從而，，故，故選A．4、挖掘偽裝例41、若函數(shù)（且），滿足對(duì)任意的、，當(dāng)時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【解析】“對(duì)任意的、，當(dāng)時(shí)，”實(shí)質(zhì)上就是“函數(shù)單調(diào)遞減”的“偽裝”，同時(shí)還隱含了“有意義”．事實(shí)上由于在時(shí)遞減，從而，由此得的取值范圍為，故選D．5、挖掘特殊化例42、不等式的解集是（）A．B．大于3的正整數(shù)C．D．【解析】四個(gè)選項(xiàng)中只有答案D含有分?jǐn)?shù)，這是何故？宜引起高度警覺，事實(shí)上，將值取代入驗(yàn)證，不等式成立，這說明正確選項(xiàng)正是D，而無需繁瑣地解不等式．6、挖掘修飾語(yǔ)例43、在紀(jì)念中國(guó)人民抗日戰(zhàn)爭(zhēng)勝利六十周年的集會(huì)上，兩校各派3名代表，校際間輪流發(fā)言，對(duì)日本侵略者所犯下的滔天罪行進(jìn)行控訴，對(duì)中國(guó)人民抗日斗爭(zhēng)中的英勇事跡進(jìn)行贊頌，那么不同的發(fā)言順序共有（）A．72種B．36種C．144種D．108種【解析】去掉題中的修飾語(yǔ)，本題的實(shí)質(zhì)就是學(xué)生所熟悉的這樣一個(gè)題目：三男三女站成一排，男女相間而站，問有多少種站法？因而易得本題答案為種，故選A．7、挖掘思想例44、方程的正根個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【解析】本題學(xué)生很容易去分母得，然后解方程，不易實(shí)現(xiàn)目標(biāo)．事實(shí)上，只要利用數(shù)形結(jié)合的思想，分別畫出，的圖象，容易發(fā)現(xiàn)在第一象限沒有交點(diǎn)，故選A．8、挖掘數(shù)據(jù)例45、定義函數(shù)，，若存在常數(shù)，對(duì)任意的，存在唯一的，使得，則稱函數(shù)在上的均值為．已知，，則函數(shù)在上的均值為（）A．B．C．D．10【解析】，從而對(duì)任意的，存在唯一的，使得為常數(shù)．充分利用題中給出的常數(shù)10、100．令，當(dāng)時(shí)，，由此得，故選A．（四）選擇題解題的常見失誤1、審題不慎例46、設(shè)集合直線，圓，則集合中的元素的個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．0或1或2【錯(cuò)解】∵直線與圓的位置關(guān)系有三種，即交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0或1或2個(gè)，∴中的元素的個(gè)數(shù)為0或1或2，故選D．【解析】本題的失誤是由于審題不慎引起的，誤認(rèn)為集合、就是直線與圓，從而錯(cuò)用直線與圓的位置關(guān)系解題．實(shí)際上，、表示元素分別為直線和圓的兩個(gè)集合，它們沒有公共元素，故選A．2、忽視隱含條件例47、若、分別是與的等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)，則的值為（）A．B．C