2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明章末綜合檢測(cè)二新人教B版選修1-2

PAGEPAGE1章末綜合檢測(cè)(二)(時(shí)間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列表述正確的是()①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特別的推理；④類比推理是由特別到一般的推理；⑤類比推理是由特別到特別的推理．A．①②③ B．②③④C．②④⑤ D．①③⑤解析：選D．由推理的定義可知，歸納推理是由部分到整體的推理；類比推理是由特別到特別的推理；演繹推理是由一般到特別的推理．2．用反證法證明命題：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被3整除”時(shí)，假設(shè)應(yīng)為()A．a(chǎn)，b都能被3整除 B．a(chǎn)，b都不能被3整除C．a(chǎn)，b不都能被3整除 D．a(chǎn)不能被3整除解析：選B．反證法證明命題時(shí)，應(yīng)假設(shè)命題的反面成立．“a，b中至少有一個(gè)能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故應(yīng)假設(shè)a，b都不能被3整除．3．把下列在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比到空間，結(jié)論不成立的是()A．假如一條直線與兩條平行線中的一條相交，則必與另一條相交B．假如一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則必與另一條垂直C．假如兩條直線與第三條直線都不相交，則這兩條直線不相交D．假如兩條直線同時(shí)與第三條直線垂直，則這兩條直線平行解析：選D．類比A的結(jié)論為：假如一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)相交，成立．類比B的結(jié)論為：假如一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直，則必與另一個(gè)垂直，成立．類比C的結(jié)論為：假如兩個(gè)平面與第三個(gè)平面都不相交，則這兩個(gè)平面不相交，成立．類比D的結(jié)論為：假如兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面平行，不成立．4．若a>0，b>0，則有()A．eq\f(b2,a)>2b－a B．eq\f(b2,a)<2b－aC．eq\f(b2,a)≥2b－a D．eq\f(b2,a)≤2b－a解析：選C．因?yàn)閑q\f(b2,a)－(2b－a)＝eq\f(b2－2ab＋a2,a)＝eq\f((b－a)2,a)≥0，所以eq\f(b2,a)≥2b－a.5．證明命題：“f(x)＝ex＋eq\f(1,ex)在(0，＋∞)上是增函數(shù)”．現(xiàn)給出的證法如下：因?yàn)閒(x)＝ex＋eq\f(1,ex)，所以f′(x)＝ex－eq\f(1,ex).因?yàn)閤>0，所以ex>1，0<eq\f(1,ex)<1.所以ex－eq\f(1,ex)>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，運(yùn)用的證明方法是()A．綜合法 B．分析法C．反證法 D．以上都不是解析：選A．這是從已知條件動(dòng)身利用已知的定理證得結(jié)論的，是綜合法，故選A．6．下面是一段“三段論”推理過程：若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則在(a，b)內(nèi)，f′(x)>0恒成立．因?yàn)閒(x)＝x3在(－1，1)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，所以在(－1，1)內(nèi)，f′(x)＝3x2>0恒成立．以上推理中()A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤C．結(jié)論正確 D．推理形式錯(cuò)誤解析：選A．f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則在(a，b)內(nèi)，f′(x)≥0恒成立，故大前提錯(cuò)誤，故選A．7．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”索的因應(yīng)是()A．a(chǎn)－b>0 B．a(chǎn)－c<0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：選C．要證明eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a，只需證b2－ac<3a2，只需證(a＋c)2－ac<3a2，只需證－2a2＋ac＋c2<0，即證2a2－ac－c2>0，即證(a－c)·(2a＋c)>0，即證(a－c)(a－b)>0.8．若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，則△ABC是()A．等邊三角形B．有一個(gè)內(nèi)角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一個(gè)內(nèi)角是30°的等腰三角形解析：選C．因?yàn)閑q\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，由正弦定理得，eq\f(sinA,a)＝eq\f(sinB,b)＝eq\f(sinC,c)，所以eq\f(sinB,b)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)＝eq\f(sinC,c).所以sinB＝cosB，sinC＝cosC，所以∠B＝∠C＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形．9．視察數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特點(diǎn)，則第100項(xiàng)為()A．10 B．14C．13 D．100解析：選B．設(shè)n∈N＋，則數(shù)字n共有n個(gè)，所以eq\f(n(n＋1),2)≤100，即n(n＋1)≤200.又因?yàn)閚∈N＋，所以n＝13，到第13個(gè)13時(shí)共有eq\f(13×14,2)＝91項(xiàng)，從第92項(xiàng)起先為14，故第100項(xiàng)為14.10．已知a＋b＋c＝0，則ab＋bc＋ca的值()A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0解析：選D．因?yàn)?a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝0，又因?yàn)閍2＋b2＋c2≥0，所以2(ab＋bc＋ac)≤0.故選D．11．如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為eq\f(1,n)(n≥2)，每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如eq\f(1,1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)，eq\f(1,2)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)，eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,12)，…，則第7行第4個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))為()eq\f(1,1)eq\f(1,2)eq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)eq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,5)eq\f(1,20)eq\f(1,30)eq\f(1,20)eq\f(1,5)…A．eq\f(1,140) B．eq\f(1,105)C．eq\f(1,60) D．eq\f(1,42)解析：選A．由“第n行有n個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為eq\f(1,n)”可知，第7行第1個(gè)數(shù)為eq\f(1,7)，由“每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和”可知，第7行第2個(gè)數(shù)為eq\f(1,6)－eq\f(1,7)＝eq\f(1,42).同理易知，第7行第3個(gè)數(shù)為eq\f(1,30)－eq\f(1,42)＝eq\f(1,105)，第7行第4個(gè)數(shù)為eq\f(1,60)－eq\f(1,105)＝eq\f(1,140).故選A．12．已知點(diǎn)A(x1，xeq\o\al(2,1))，B(x2，xeq\o\al(2,2))是函數(shù)y＝x2圖象上隨意不同的兩點(diǎn)，依據(jù)圖象知，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論eq\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2),2)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))eq\s\up12(2)成立，運(yùn)用類比方法可知，若點(diǎn)A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函數(shù)y＝sinx(x∈(0，π))圖象上不同的兩點(diǎn)，則類似地有結(jié)論()A．eq\f(sinx1＋sinx2,2)>sineq\f(x1＋x2,2)B．eq\f(sinx1＋sinx2,2)<sineq\f(x1＋x2,2)C．eq\f(sinx1＋sinx2,2)≥sineq\f(x1＋x2,2)D．eq\f(sinx1＋sinx2,2)≤sineq\f(x1＋x2,2)解析：選B．畫出y＝x2的圖象，由已知得AB的中點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2),2)))恒在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))\s\up12(2)))的上方，畫出y＝sinx，x∈(0，π)的圖象可得A，B的中點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(sinx1＋sinx2,2)))恒在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，sin\f(x1＋x2,2)))的下方，故B正確．二、填空題：本題共4小題，每小題5分．13．設(shè)正實(shí)數(shù)a、b、c滿意a＋b＋c＝1，則a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)不小于________．解析：假設(shè)a、b、c都小于eq\f(1,3)，則a＋b＋c<1，“假設(shè)錯(cuò)誤，故a、b、c中至少有一個(gè)數(shù)不小于eq\f(1,3)”．答案：eq\f(1,3)14．已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函數(shù)f(x)＝ax，若實(shí)數(shù)m，n滿意f(m)>f(n)，則m，n的大小關(guān)系為________．解析：因?yàn)楫?dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)＝ax為減函數(shù)，a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0，1)，所以函數(shù)f(x)＝(eq\f(\r(5)－1,2))x為減函數(shù)．故由f(m)>f(n)得m<n.答案：m<n15．有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是________．解析：為便利說明，不妨將分別寫有1和2，1和3，2和3的卡片記為A，B，C.從丙動(dòng)身，由于丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，則丙只可能是卡片A或B，無論是哪一張，均含有數(shù)字1，再由乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1可知，乙所拿的卡片必定是C，最終由甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，知甲所拿的卡片為B，此時(shí)丙所拿的卡片為A.答案：1和316.如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝2eq\r(2)，過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為A1，過點(diǎn)A1作AC的垂線，垂足為A2；過點(diǎn)A2作A1C的垂線，垂足為A3；…，以此類推，設(shè)BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，則a7＝________．解析：依據(jù)題意易得a1＝2，a2＝eq\r(2)，a3＝1，所以{an}構(gòu)成以a1＝2，q＝eq\f(\r(2),2)的等比數(shù)列，所以a7＝a1q6＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(6)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)視察圖，可以發(fā)覺：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝421＋3＋5＋7＋9＝25＝52，…由上述詳細(xì)事實(shí)能得出怎樣的結(jié)論？解：將上述事實(shí)分別敘述如下：對(duì)于正整數(shù)，有前2個(gè)奇數(shù)的和等于2的平方；前3個(gè)奇數(shù)的和等于3的平方；前4個(gè)奇數(shù)的和等于4的平方；前5個(gè)奇數(shù)的和等于5的平方；…由此猜想：前n(n∈N＋)個(gè)奇數(shù)的和等于n的平方，即1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.18．(本小題滿分12分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿意an＝2－Sn(n∈N＋)．(1)求a1，a2，a3，a4的值并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)依據(jù)(1)猜想出的通項(xiàng)公式，用三段論證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列．解：(1)由an＝2－Sn，得a1＝1，a2＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(1,4)，a4＝eq\f(1,8).猜想an＝(eq\f(1,2))n－1(n∈N＋)．(2)對(duì)于數(shù)列{an}，若eq\f(an＋1,an)＝p，p是非零常數(shù)，則{an}是等比數(shù)列． 大前提因?yàn)閍n＝(eq\f(1,2))n－1，n∈N＋，且eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2)， 小前提所以通項(xiàng)公式為an＝(eq\f(1,2))n－1的數(shù)列{an}是等比數(shù)列． 結(jié)論19．(本小題滿分12分)已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)；sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2)，通過視察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出對(duì)隨意角度α都成立的一般性的命題，并賜予證明．解：一般形式為sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝eq\f(3,2).證明：左邊＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1－cos(2α＋120°),2)＋eq\f(1－cos(2α＋240°),2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(cos2α－\f(1,2)cos2α－\f(\r(3),2)sin2α－\f(1,2)cos2α＋))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2α))＝eq\f(3,2)＝右邊．eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(將一般形式寫成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝\f(3,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2(α－240°)＋sin2(α－120°)＋sin2α＝\f(3,2)等均正確))20.(本小題滿分12分)已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點(diǎn)．(1)證明：PF⊥FD.(2)推斷并說明PA上是否存在點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD.解：(1)證明：連接AF，則AF＝eq\r(2)，DF＝eq\r(2)，又AD＝2，所以DF2＋AF2＝AD2，所以DF⊥AF，又PA⊥平面ABCD，所以DF⊥PA，又PA∩AF＝A，所以eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(DF⊥平面PAF,PF?平面PAF))?DF⊥PF.(2)過點(diǎn)E作EH∥FD，交AD于點(diǎn)H，則EH∥平面PFD，且有AH＝eq\f(1,4)AD，再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，則HG∥平面PFD且AG＝eq\f(1,4)AP.所以平面EHG∥平面PFD，所以EG∥平面PFD.從而線段AP上滿意AG＝eq\f(1,4)AP的點(diǎn)G即為所求．21．(本小題滿分12分)已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且其中隨意兩邊長(zhǎng)均不相等，若eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列．(1)比較eq\r(\f(b,a))與eq\r(\f(c,b))的大小，并證明你的結(jié)論；(2)求證：角B不行能是鈍角．解：(1)eq\r(\f(b,a))<eq\r(\f(c,b)).證明如下：要證eq\r(\f(b,a))<eq\r(\f(c,b))，只需證eq\f(b,a)<eq\f(c,b).因?yàn)閍，b，c>0，所以只需證b2<ac.因?yàn)閑q\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，所以eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(1,ac))，所以b2≤ac.又a，b，c均不相等，所以b2<ac.故所得大小關(guān)系正確．(2)證明：法一：在△ABC中，由余弦定理得，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)≥eq\f(2ac－b2,2ac)>eq\f(ac－b2,2ac)>0，所以角B不行能是