2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時素養(yǎng)檢測五復(fù)數(shù)的幾何意義含解析新人教B版必修第四冊

PAGE五復(fù)數(shù)的幾何意義(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共24分,多選題全部選對得4分,選對但不全對得2分,有選錯的得0分)1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=2i-i2對應(yīng)的點(diǎn)在 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選A.復(fù)數(shù)z=2i-i2=1+2i對應(yīng)的點(diǎn)為(1,2),在第一象限.2.設(shè)z=a+bi(a,b∈R)對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸右側(cè),則 ()A.a>0,b>0 B.a>0,b<0C.b>0,a∈R D.a>0,b∈R【解析】選D.復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸右側(cè),則該復(fù)數(shù)的實(shí)部大于零,虛部可為隨意實(shí)數(shù).3.設(shè)復(fù)數(shù)z=(3m-2)+(m-1)i(m∈R,i為虛數(shù)單位),在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不行能位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.設(shè)復(fù)數(shù)z=(3m-2)+(m-1)i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為P(3m-2,m-1).當(dāng)m>1時,P在第一象限;當(dāng)m<QUOTE時,P在第三象限;當(dāng)QUOTE<m<1時,P在第四象限;當(dāng)m=QUOTE時,P在虛軸上;當(dāng)m=1時,P在實(shí)軸上.4.已知復(fù)數(shù)3-5i,1-i和-2+ai在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在同一條直線上,則實(shí)數(shù)a的值為 ()A.5 B.-2 C.-5 D.2【解析】選A.設(shè)復(fù)數(shù)3-5i,1-i,-2+ai對應(yīng)的向量分別為,,(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則=(3,-5),=(1,-1),=(-2,a).因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以=t+(1-t),即(3,-5)=t(1,-1)+(1-t)(-2,a).所以QUOTE解得QUOTE即a的值為5.5.若i為虛數(shù)單位,圖中網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1,復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z,則QUOTE等于 ()A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2-i【解題指南】先確定復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo),再求其關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo),得到共軛復(fù)數(shù).【解析】選B.點(diǎn)Z(2,1)對應(yīng)復(fù)數(shù)z=2+i,QUOTE與z互為共軛復(fù)數(shù),對應(yīng)的兩點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱,所以QUOTE=2-i.6.(多選題)下列關(guān)于復(fù)數(shù)z=a+bi,a,b∈R的說法正確的是 ()A.QUOTE=a-bi B.若QUOTE=z,則b=0C.若|z|=0,則z=0 D.若|z|≠0,則ab≠0【解析】選ABC.由復(fù)數(shù)z=a+bi,a,b∈R,得QUOTE=a-bi,選項A正確;若QUOTE=z,則a+bi=a-bi,b=-b,所以b=0,選項B正確;若|z|=0,則a2+b2=0,所以a=b=0,z=0,選項C正確;若|z|≠0,則a2+b2≠0,所以a、b至少有一個不為0,選項D不正確.二、填空題(每小題4分,共8分)7.已知復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)(2cos300°,2sin300°)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則z=________,|z|=________.

【解析】由點(diǎn)的坐標(biāo)(2cos300°,2sin300°),得(1,-QUOTE),對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=1-QUOTEi,|z|=2.答案:1-QUOTEi28.已知z=(m+3)+(m-1)i,(m∈R),在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為P,則當(dāng)P在第三象限時,m的取值范圍為________,當(dāng)P在第四象限時,m的取值范圍為________.

【解析】當(dāng)P點(diǎn)在第三象限時,QUOTE解得m<-3;當(dāng)P點(diǎn)在第四象限時,QUOTE解得-3<m<1.答案:(-∞,-3)(-3,1)【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,若z1=2-3i,則z2=________.

【解析】因?yàn)閦1=2-3i,所以z1對應(yīng)的點(diǎn)為(2,-3),關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(-2,3),所以z2=-2+3i.答案:-2+3i三、解答題(每小題14分,共28分)9.已知z=x+yi,x,y∈R,若2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.求:(1)實(shí)數(shù)x,y的值;(2)QUOTE.【解析】(1)因?yàn)閤,y為實(shí)數(shù),所以2x-1,y+1,x-y,-x-y都為實(shí)數(shù),由復(fù)數(shù)相等的充要條件得QUOTE解得QUOTE.(2)QUOTE=x-yi=3+2i.10.已知復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)滿意|(x+1)+(y-1)i|=1,求|z|的最大值和最小值.【解題指南】由題意簡單推斷出z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓,結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求出|z|的最值.【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為Z,由|(x+1)+(y-1)i|=1得(x+1)2+(y-1)2=1,所以動點(diǎn)Z的軌跡是以(-1,1)為圓心,半徑為1的圓,所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以-1+i對應(yīng)的點(diǎn)為圓心,以1為半徑的圓,如圖,而|z|則表示該圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離,由平面幾何學(xué)問可知,使圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離取最大(最小)值的點(diǎn)在直線OC與圓的交點(diǎn)處.所以|z|最大值為|OC|+r=QUOTE+1,最小值為|OC|-r=QUOTE-1.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題4分,共16分,多選題全部選對得4分,選對但不全對得2分,有選錯的得0分)1.過原點(diǎn)和QUOTE-i對應(yīng)的點(diǎn)的直線的傾斜角是 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)镼UOTE-i在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)是(QUOTE,-1),所以tanα=QUOTE=-QUOTE(0≤α<π),所以α=QUOTEπ.2.瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺公式eix=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位),它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集,建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,它在復(fù)變函數(shù)論里占有特別重要的地位.特殊是當(dāng)x=π時,eiπ+1=0被認(rèn)為是數(shù)學(xué)上最美麗的公式,數(shù)學(xué)家們評價它是“上帝創(chuàng)建的公式”.依據(jù)歐拉公式可知,ei表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解題指南】令x=1,則ei=cos1+isin1,又由sin1>0,cos1>0,依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即得答案.【解析】選A.由題意,依據(jù)公式eix=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位),令x=1,則ei=cos1+isin1,又由sin1>0,cos1>0,所以復(fù)數(shù)ei=cos1+isin1表示的點(diǎn)位于第一象限.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知復(fù)數(shù)z=3+4i所對應(yīng)的向量為,把依逆時針旋轉(zhuǎn)θ得到一個新向量為,若對應(yīng)一個純虛數(shù),當(dāng)θ取最小正角時,這個純虛數(shù)是 ()A.3i B.4i C.5i D.-5i【解析】選C.因?yàn)?QUOTE=5,由于新向量對應(yīng)的點(diǎn)Z1在虛軸上,則新向量=(0,5),即新向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5i.3.(多選題)在復(fù)平面內(nèi),下列關(guān)于復(fù)數(shù)的敘述正確的是 ()A.原點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是0B.純虛數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上C.實(shí)軸上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)D.虛軸上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是虛數(shù)【解析】選ABC.復(fù)平面內(nèi),原點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是0,選項A正確;純虛數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上,選項B正確.實(shí)軸上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù),選項C正確.虛軸上除原點(diǎn)以外的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是虛數(shù),選項D錯誤.4.設(shè)A,B為銳角三角形的兩個內(nèi)角,則復(fù)數(shù)z=(cosB-tanA)+tanBi對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.因?yàn)锳,B為銳角三角形的兩個內(nèi)角,所以A+B>QUOTE,即A>QUOTE-B,sinA>cosB.cosB-tanA=cosB-QUOTE<cosB-sinA<0,又tanB>0,所以點(diǎn)(cosB-tanA,tanB)在其次象限.二、填空題(每小題4分,共16分)5.在復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)(2,3)對應(yīng)的復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為________.

【解析】在復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)(2,3)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=2+3i,共軛復(fù)數(shù)為QUOTE=2-3i.答案:2-3i6.復(fù)數(shù)z1=3與z2=2-QUOTEi對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離為________.

【解析】復(fù)數(shù)z1=3與z2=2-QUOTEi對應(yīng)的兩點(diǎn)Z1(3,0),Z2(2,-QUOTE)間的距離為|Z1Z2|=QUOTE=2.答案:27.已知z=x+yi(x,y∈R),且(x-|z|)+yi=-1+i,則復(fù)數(shù)z=________.

【解析】由題意得(x-QUOTE)+yi=-1+i,所以QUOTE解得QUOTE所以z=i.答案:i8.設(shè)(sinθ-1)+(sinθ-cosθ)i對應(yīng)的點(diǎn)在直線x+y+1=0上,則tanθ的值為________.

【解析】(sinθ-1)+(sinθ-cosθ)i的對應(yīng)點(diǎn)為(sinθ-1,sinθ-cosθ),由點(diǎn)(sinθ-1,sinθ-cosθ)在直線x+y+1=0上,得sinθ-1+sinθ-cosθ+1=0,即2sinθ=cosθ,所以tanθ=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(共38分)9.(12分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3+4i,對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2a+i(a∈R).若與共線,求a的值.【解析】因?yàn)閷?yīng)的復(fù)數(shù)為-3+4i,對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2a+i,所以=(-3,4),=(2a,1).因?yàn)榕c共線,所以存在實(shí)數(shù)k使=k,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),所以QUOTE所以QUOTE即a的值為-QUOTE.10.(12分)設(shè)z=log2(1+m)+iloQUOTE(3-m)(m∈R).(1)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限,求m的取值范圍;(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線x-y-1=0上,求m的值.【解析】(1)由已知,得QUOTE解①得,-1<m<0.解②得,m<2.故不等式組的解集為-1<m<0,所以m的取值范圍是-1<m<0.(2)由已知得,點(diǎn)(log2(1+m),loQUOTE(3-m))在直線x-y-1=0上,即log2(1+m)-loQUOTE(3-m)-1=0,所以log2[(1+m)(3-m)]=1,所以(1+m)(3-m)=2,所以m2-2m-1=0,所以m=1±QUOTE,且當(dāng)m=1±QUOTE時都能使1+m>0,且3-m>0,所以m=1±QUOTE.11.(14分)設(shè)復(fù)數(shù)z=(2x+a)+(2-x+a)i,x