天津市南開中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)10月月考試題含解析

PAGE19-天津市南開中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)10月月考試題（含解析）一、選擇題（共9小題：共45分）1.已知集合，，則等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解出集合、，再利用交集和補(bǔ)集的定義求出集合.【詳解】解不等式，即，得，.解不等式，解得，，則，因此，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算，同時(shí)也考查了指數(shù)不等式和一元二次不等式的解法，解題的關(guān)鍵就是解出問題中所涉及的集合，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.“成立”是“成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】試題分析：由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x（x-3）＜0得0＜x＜3，所以“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的必要不充分條件考點(diǎn)：1．解不等式；2．充分條件與必要條件【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】3.已知，命題，，則（）A.是假命題，B.是假命題，C.是真命題，D.是真命題，【答案】D【解析】試題分析：，當(dāng)，，因此是減函數(shù)，所以，，命題是真命題，是：，故選D．考點(diǎn)：命題的真假，命題的否定．4.已知，，，則A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，，所以，選D.5.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若對(duì)于隨意，恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以不等式可化為，又在上單調(diào)遞增，所以，而的最小值為1，所以，，解得．6.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立，即在恒成立，而在遞減，在遞增，且，即；故選C.7.設(shè)函數(shù)，，若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分析函數(shù)和的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理求出函數(shù)零點(diǎn)的取值范圍，再由函數(shù)的單調(diào)性來得出與的正負(fù).【詳解】，，則函數(shù)為增函數(shù)，，，且，由零點(diǎn)存在定理知.，則，所以，函數(shù)為增函數(shù)，且，，又，由零點(diǎn)存在定理可知.，，因此，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值符號(hào)的推斷，同時(shí)也考查了函數(shù)單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是利用函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理求出零點(diǎn)的取值范圍，考查分析問題的和解決問題的實(shí)力，屬于中等題.8.設(shè)實(shí)數(shù)分別滿意，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，則在上單調(diào)遞增，且，即，在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，由圖象，得，即；故選C.點(diǎn)睛：在涉及超越方程求解問題，往往將其分別成兩個(gè)基本函數(shù)圖象的公共點(diǎn)問題，如本題中判定的根的取值范圍，就轉(zhuǎn)化為和的圖象交點(diǎn)問題.9.已知函數(shù)，若關(guān)于方程有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】關(guān)于的方程有兩個(gè)解，等價(jià)于和有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：作出函數(shù)的圖象，，，，，由圖可得時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可得過原點(diǎn)的直線與有兩個(gè)交點(diǎn)的臨界位置為兩者相切時(shí)，聯(lián)立兩者方程得：，由解得，切點(diǎn)坐標(biāo)為和且，要使直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，直線的斜率應(yīng)滿意，綜上可得，故選A.二、填空題（共6小題：共30分）10.設(shè)復(fù)數(shù)滿意，則__________．【答案】【解析】分析：依據(jù)條件先將z的表達(dá)式求出，再結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可.詳解：點(diǎn)睛：考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.11.綻開式的常數(shù)項(xiàng)為．（用數(shù)字作答）【答案】-160【解析】【詳解】由，令得，所以綻開式的常數(shù)項(xiàng)為.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】12.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e，-1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____.【答案】.【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值可得切點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)，則.又，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)A在曲線上的切線為，即，代入點(diǎn)，得，即，考查函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，留意到，故存在唯一的實(shí)數(shù)根，此時(shí)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)留意的問題：一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特殊留意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不肯定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)．13.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是．【答案】【解析】試題分析：由圖知，當(dāng)時(shí)，,由得即所以不等式解集為考點(diǎn)：利用函數(shù)性質(zhì)解不等式14.已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)g(x)=f(x)-a有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】由題意得直線和函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)在定義域內(nèi)不能是單調(diào)函數(shù)．在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象可得所求的結(jié)果．【詳解】∵有兩個(gè)零點(diǎn)，∴有兩個(gè)零點(diǎn)，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由可得，或．①當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象如圖所示，此時(shí)存在滿意題意，故滿意題意．②當(dāng)時(shí),由于函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞增，故不符合題意．③當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增，故不符合題意．④時(shí),單調(diào)遞增，故不符合題意．⑤當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象如圖所示,此時(shí)存在使得與有兩個(gè)交點(diǎn)．綜上可得或．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法（1）干脆法：干脆求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，運(yùn)用圖象進(jìn)行求解．對(duì)于含有參數(shù)的問題，要留意分類探討的方法在解題中的應(yīng)用，同時(shí)還要留意數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用．15.函數(shù)，若的解集為，且中只有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________。【答案】【解析】由題設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為，即，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，即在時(shí)取得最小值。由于時(shí)，所以結(jié)合圖形可知當(dāng)時(shí)，其解中恰好含一個(gè)整數(shù)，故應(yīng)填答案。點(diǎn)睛：解答本題的思路是先借助導(dǎo)數(shù)這一工具分析探討函數(shù)的圖像的改變規(guī)律，再將不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示出來，然后借助圖形的直觀，數(shù)形結(jié)合建立不等式組，然后通過解不等式組從而使得問題獲解。三、解答題（共5小題：共75分）16.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.【解析】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再依據(jù)余弦定理求出，進(jìn)而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進(jìn)而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）解：在中，因?yàn)?，故由，可?由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值為，的值為.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，.故.考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師點(diǎn)睛】利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，常常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.17.如圖所示，在四棱柱中，側(cè)棱底面，平面，，，，，為棱的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的平面角的正弦值；（3）設(shè)點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出，可證明出；（2）計(jì)算出平面和平面的法向量、，然后利用空間向量法計(jì)算出二面角的余弦定理，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出其正弦值；（3）設(shè)，計(jì)算出，利用空間向量法并結(jié)合條件直線與平面所成角正弦值為，求出的值，即可求出.【詳解】（1）如圖所示，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得，，，，，.易得，，于是，所以；（2）易得.設(shè)平面的法向量為，,則，消去，得，不妨取，可得法向量.由（1）知，又，可得平面，故為平面的一個(gè)法向量.于是，從而，故二面角的平面角的正弦值為；（3）易得，.設(shè)，，則有，可取為平面的一個(gè)法向量，設(shè)為直線與平面所成的角，則，于是（舍去），則，所以.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線垂直、二面角的計(jì)算以及直線與平面所成角的動(dòng)點(diǎn)問題，可以利用空間向量法來進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化與計(jì)算，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中等題.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且.數(shù)列是公差不等于的等差數(shù)列，且滿意：，，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】分析：第一問利用題中的條件，類比著寫出，兩式相減求得相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，從而確定出數(shù)列是等比數(shù)列，再令求得首項(xiàng)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果，對(duì)于，利用題中條件求得首項(xiàng)，建立關(guān)于公差的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，其次問涉及到等差數(shù)列和等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積構(gòu)成新數(shù)列的求和方法錯(cuò)位相減法.詳解：（1）時(shí)，，時(shí)，，，∴（）是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，又得：，，因?yàn)榻獾?，?）點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和問題，在求解的過程中，要明確遞推公式的利用，要牢記等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，其次問應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和，在求和的過程中，肯定要明確整理之后的括號(hào)里的只有項(xiàng).19.設(shè)函數(shù).（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若關(guān)于x的方程f（x）＝x2+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）遞增區(qū)間是（-2,-1）,（0，+∞），遞減區(qū)間是.（2）m＞e2﹣2．（3）2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．【解析】【分析】（1）已知f（x）＝（1+x）2﹣ln（1+x）2求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），然后令f′（x）＝0，解出函數(shù)的極值點(diǎn)，最終依據(jù)導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解；（2）由題意當(dāng)時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立，只要求出f（x）的最大值小于m就可以了，從而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）將原式變形轉(zhuǎn)化得方程g（x）＝x﹣a+1﹣2ln（1+x）＝0在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及圖象，得到，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，由f′（x）＞0，得x＞0或-2<x<-1；由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜0或x<-2．∴f（x）的遞增區(qū)間是（-2,-1）,（0，+∞），遞減區(qū)間是.（2）∵由，得x＝0，x＝﹣2（舍去）由（1）知f（x）在上遞減，在[0，e﹣1]上遞增．又，f（e﹣1）＝e2﹣2，且．∴當(dāng)時(shí)，f（x）最大值為e2﹣2．故當(dāng)m＞e2﹣2時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立．（3）方程f（x）＝x2+x+a，x﹣a+1﹣2ln（1+x）＝0．記g（x）＝x﹣a+1﹣2ln（1+x），∵，由g′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1（舍去）．由g′（x）＜0，得﹣1＜x＜1．∴g（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增．為使方程f（x）＝x2+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，只須g（x）＝0在[0，1]和（1，2]上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根，于是有∵2﹣2ln2＜3﹣2ln3，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)，考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性、最值及方程根的分布問題，考查了運(yùn)算求解實(shí)力、推理論證實(shí)力及分析與解決問題的實(shí)力，考查了數(shù)形結(jié)合的思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．20.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求、；（2）設(shè)曲線與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求證：對(duì)于隨意的實(shí)數(shù)，都有；（3）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入切線方程得出，并求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由求出、的值；（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在點(diǎn)處切線對(duì)應(yīng)的函數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出；（3）求出方程的根，利用函數(shù)的單調(diào)性證明出，設(shè)函數(shù)在原點(diǎn)處的切線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，易得的根為，由函數(shù)的單調(diào)性得出，再利用不等式的性質(zhì)可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）將代入切線方程中，有，所以，即，又，所以，若，則，與沖突，故；（2）由（1）可知，令，有或，故曲線與軸負(fù)半軸的唯一交點(diǎn)為.曲線在