2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章統(tǒng)計(jì)6.2抽樣的基本方法6.2.2分層隨機(jī)抽樣一課一練含解析北師大版必修第一冊

PAGEPAGE6第六章統(tǒng)計(jì)§2抽樣的基本方法2.2分層隨機(jī)抽樣學(xué)問點(diǎn)1分層抽樣的判定與理解1.☉%#78*￥*52%☉(2024·遼寧鞍山測試)下列問題中,最適合用分層抽樣法抽取樣本的是()。A.從10名同學(xué)中抽取3人參與座談會B.某社區(qū)有500戶家庭,其中高收入的家庭125戶,中等收入的家庭280戶,低收入的家庭95戶,為了了解居民生活購買力的某項(xiàng)指標(biāo),要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本C.從1000名工人中,抽取100人調(diào)查上班途中所用時(shí)間D.從生產(chǎn)流水線上,抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量答案：B解析：A中總體所含個(gè)體無差異且個(gè)數(shù)較少,適合用簡潔隨機(jī)抽樣;C和D中總體所含個(gè)體無差異,且個(gè)數(shù)較多,適合用系統(tǒng)抽樣;B中總體所含個(gè)體差異明顯,適合用分層抽樣。2.☉%6##￥50*7%☉(2024·江西崇仁二中單元檢測)某校高三年級有男生500人、女生400人,為了了解該年級學(xué)生的健康狀況,從男生中隨意抽取25人,從女生中隨意抽取20人進(jìn)行調(diào)查。這種抽樣方法是()。A.簡潔隨機(jī)抽樣法B.抽簽法C.隨機(jī)數(shù)表法 D.分層抽樣法答案：D解析：因?yàn)?00∶400=25∶20,即總體中男生與女生的人數(shù)比等于所抽取的樣本中男生與女生的人數(shù)比,所以是按分層抽樣的方法來抽樣的。故選D。3.☉%8*79@@@7%☉(多選)(2024·河北武邑中學(xué)月考)某中學(xué)高一年級有20個(gè)班,每班50人;高二年級有30個(gè)班,每班45人;甲就讀于高一,乙就讀于高二。學(xué)校安排從這兩個(gè)年級中共抽取235人進(jìn)行視力調(diào)查,下列說法中正確的是()。A.應(yīng)當(dāng)采納分層抽樣法B.高一、高二年級應(yīng)分別抽取100人和135人C.乙被抽到的可能性比甲大D.該問題中的總體是高一、高二年級的全體學(xué)生答案：AB解析：由于各年級的年齡段不一樣,因此應(yīng)采納分層抽樣法。由于分層抽樣的抽樣比為23520×50+30×45=110,因此高一年級的1000人中應(yīng)抽100人,高二年級的1350人中應(yīng)抽135人,甲乙被抽到的可能性都是14.☉%3￥￥749￥￥%☉(2024·廣東華僑中學(xué)單元檢測)為了保證分層抽樣時(shí)每個(gè)個(gè)體等可能地被抽取,必需要求()。A.每層等可能抽取B.每層抽取的個(gè)體數(shù)相等C.每層抽取的個(gè)體數(shù)可以不一樣多,但必需滿足抽取n1=n·NiN(i=1,2,…,k)個(gè)個(gè)體(其中i是層數(shù),n為抽取的樣本容量,Ni是第i層中個(gè)體的個(gè)數(shù),ND.只要抽取樣本容量肯定,每層抽取的個(gè)體數(shù)沒有限制答案：C解析：分層抽樣時(shí),在各層中按層中所含個(gè)體在總體中所占的比例進(jìn)行簡潔隨機(jī)抽樣,A中,雖然每層等可能地抽樣,但是沒有指明各層中應(yīng)抽取幾個(gè)個(gè)體,故A不正確;B中,由于每層的個(gè)體數(shù)不肯定相等,若每層抽同樣多的個(gè)體數(shù),明顯從總體來看,各層之間的個(gè)體被抽取的可能狀況就不一樣了,因此B也不正確;C中,對于第i層的每個(gè)個(gè)體,它被抽到的可能性與層數(shù)i無關(guān),即對于每個(gè)個(gè)體來說,被抽取為樣本的可能性是相同的,故C正確,D不正確。學(xué)問點(diǎn)2分層抽樣的相關(guān)計(jì)算5.☉%5036#**#%☉(2024·江西南昌二中高一下學(xué)期期末)某校現(xiàn)有高一學(xué)生210人,高二學(xué)生270人,高三學(xué)生300人。用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級的學(xué)生中隨機(jī)抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。假如已知從高一學(xué)生中抽取的人數(shù)為7,那么從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為()。A.7 B.8 C.9 D.10答案：D解析：由題意知高一學(xué)生210人,從高一學(xué)生中抽取的人數(shù)為7,所以每2107=30人抽取1人,所以從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為30030=10。故選6.☉%6#*01#1￥%☉(2024·江西新余一中入學(xué)測試)某校共1200名學(xué)生,現(xiàn)采納分層抽樣方法抽取一個(gè)容量為200的樣本進(jìn)行健康狀況調(diào)查,若抽到男生比女生多10人,則該校男生共有()。A.700人 B.660人 C.630人 D.610人答案：C解析：設(shè)抽取的樣本中男生共有x人,則女生有(x-10)人,由樣本容量為200,所以x+x-10=200,所以x=105,則該校男生共有105200×1200=630(人),故選C7.☉%@@#69*79%☉(2024·重慶巴蜀中學(xué)高三三模)某單位共有老、中、青年職工430人,其中有青年職工160人,中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍。為了了解職工身體狀況,現(xiàn)采納分層抽樣方法進(jìn)行抽查,在抽取的樣本中有青年職工32人,則該樣本中老年職工的人數(shù)為()。A.9 B.18 C.27 D.36答案：B解析：設(shè)老年職工總共為x人,則430-3x=160,解得x=90。設(shè)抽取的樣本容量為m,則160430m=32,解得m=86故在抽取的樣本中老年職工的人數(shù)為90430×86=18。故選B8.☉%9**#2@43%☉(2024·湖北咸豐一中單元檢測)在120個(gè)零件中,一級品24個(gè),二級品36個(gè),三級品60個(gè),用分層抽樣的方法從中抽取容量為20的樣本,則每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性是()。A.124 B.136 C.160答案：D解析：在分層抽樣中,每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性都相等,均為樣本容量總體容量。所以每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性是20120=169.☉%64*￥@5￥6%☉(2024·湖北武鋼三中月考)一個(gè)總體分為A,B,C三層,用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為50的樣本,已知B層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為112,則總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)為()A.150 B.200 C.500 D.600答案：D解析：運(yùn)用分層抽樣的方法,在不同層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等,都等于樣本容量總體容量。設(shè)總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)為N,則50N=112。解得N=60010.☉%#￥78@￥56%☉(2024·遼寧大連模擬)某單位員工按年齡分為A,B,C三組,其人數(shù)之比為5∶4∶1,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本,已知C組中某個(gè)員工被抽到的概率是19,則該單位員工總?cè)藬?shù)為()A.110 B.100 C.90 D.80答案：C解析：C組中被抽到的人數(shù)為10×15+4+1=1,設(shè)該單位C組中員工的人數(shù)為n,因?yàn)镃組中某個(gè)員工被抽到的概率是19,則1n=19,解得n=9,則該單位員工總?cè)藬?shù)為11.☉%***237#3%☉(2024·河南鄭州一中月考)為了調(diào)查民眾對最新各大城市房產(chǎn)限購政策的了解狀況,對甲、乙、丙、丁四個(gè)不同性質(zhì)的單位做分層抽樣調(diào)查。假設(shè)四個(gè)單位的人數(shù)有如下關(guān)系:甲、乙的人數(shù)之和等于丙的人數(shù),甲、丁的人數(shù)之和等于乙、丙的人數(shù)之和,且丙單位有36人。若在甲、乙兩個(gè)單位抽取的人數(shù)之比為1∶2,則這四個(gè)單位的總?cè)藬?shù)為()。A.96 B.120 C.144 D.160答案：B解析：因?yàn)榧?、乙的人?shù)之和等于丙的人數(shù),丙單位有36人,在甲、乙兩個(gè)單位抽取的人數(shù)之比為1∶2,所以甲單位有12人,乙單位有24人。又甲、丁的人數(shù)之和等于乙、丙的人數(shù)之和,所以丁單位有48人,所以這四個(gè)單位的總?cè)藬?shù)為12+24+36+48=120。故選B。12.☉%269@#￥4#%☉(2024·河北定州高二期中)分層抽樣是將總體分成互不交叉的層,然后依據(jù)肯定的比例,從各層獨(dú)立地抽取肯定數(shù)量的個(gè)體,組成一個(gè)樣本的抽樣方法。在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題:“今有甲持錢五百六十,乙持錢三百五十,丙持錢一百八十,凡三人俱出關(guān),關(guān)稅百錢。欲以錢數(shù)多少衰出之,問各幾何?”其譯文為:今有甲持560錢,乙持350錢,丙持180錢,甲、乙、丙三人一起出關(guān),關(guān)稅共100錢,要依據(jù)各人帶多少的比例進(jìn)行交稅,問三人各應(yīng)付多少稅?則下列說法錯(cuò)誤的是()。A.甲應(yīng)付5141109B.乙應(yīng)付3232109C.丙應(yīng)付1656109D.三者中甲付的錢最多,丙付的錢最少答案：B解析：由分層抽樣可知,抽樣比為100560+350+180=10109,則甲應(yīng)付10109×560=5141109(錢);乙應(yīng)付10109×350=3212109(錢);丙應(yīng)付10109×180=16題型1分層抽樣的圖表題13.☉%71##*0#9%☉(2024·海南農(nóng)墾中學(xué)考前押題)某校三個(gè)愛好小組的學(xué)生人數(shù)分布如下表(每名同學(xué)只參與一個(gè)小組)(單位:人)籃球組書畫組樂器組高一4530a高二151020學(xué)校要對這三個(gè)小組的活動效果進(jìn)行抽樣調(diào)查,按小組進(jìn)行分層抽樣,從參與這三個(gè)愛好小組的學(xué)生中抽取30人,結(jié)果籃球組被抽出12人,則a的值為()。A.10 B.15 C.22 D.30答案：D解析：由題意知1245+15=30120+a,解得a=30,14.☉%￥￥@67￥06%☉(2024·廣東茂名二模)一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號,某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛)。轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類型用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛,則z的值為。答案：400解析：由題意可得50100+300+150+450+z+600=10100+300,15.☉%@*@0822#%☉(2024·山東青島調(diào)考)山東某中學(xué)針對學(xué)生發(fā)展要求,開設(shè)了富有地方特色的“泥塑”與“剪紙”兩個(gè)社團(tuán),已知報(bào)名參與這兩個(gè)社團(tuán)的學(xué)生共有800人,依據(jù)要求每人只能參與一個(gè)社團(tuán),各年級參與社團(tuán)的人數(shù)狀況如下表:高一年級高二年級高三年級泥塑abc剪紙xyz其中x∶y∶z=5∶3∶2,且“泥塑”社團(tuán)的人數(shù)占兩個(gè)社團(tuán)總?cè)藬?shù)的35,為了了解學(xué)生對兩個(gè)社團(tuán)活動的滿足程度,從中抽取一個(gè)50人的樣本進(jìn)行調(diào)查,則從高二年級“剪紙”社團(tuán)的學(xué)生中應(yīng)抽取答案：6解析：方法一:因?yàn)椤澳嗨堋鄙鐖F(tuán)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的35,故“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的25,所以“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)為800×2因?yàn)椤凹艏垺鄙鐖F(tuán)中高二年級人數(shù)比例為yx+y+z所以“剪紙”社團(tuán)中高二年級人數(shù)為320×310=96。由題意知,抽樣比為50800=116,所以從高二年級“剪紙”社團(tuán)中抽取的人數(shù)為96×方法二:因?yàn)椤澳嗨堋鄙鐖F(tuán)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的35,故“剪紙”社團(tuán)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的25,所以抽取的50人的樣本中,“剪紙”社團(tuán)中的人數(shù)為50×2又“剪紙”社團(tuán)中高二年級人數(shù)比例為yx+y+z所以從高二年級“剪紙”社團(tuán)中抽取的人數(shù)為20×310=6題型2分層抽樣在產(chǎn)品中應(yīng)用16.☉%3@#￥8#30%☉(2024·湖北孝感中學(xué)調(diào)研)某工廠生產(chǎn)A,B,C,D四種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2∶3∶5∶1?，F(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本,若樣本中A種型號有16件,那么此樣本的容量n為。

答案：88解析：依據(jù)分層抽樣的特點(diǎn),樣本中A種型號產(chǎn)品應(yīng)是樣本容量的22+3+5+1=211,所以樣本的容量n=16÷217.☉%#3@070￥*%☉(2024·江蘇南京金陵中學(xué)模擬)一工廠生產(chǎn)了16800件某種產(chǎn)品,它們分別來自甲、乙、丙3條生產(chǎn)線。為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量,確定采納分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣。已知從甲、乙、丙3條生產(chǎn)線抽取的產(chǎn)品個(gè)數(shù)分別是a,b,c,且2b=a+c,則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了件產(chǎn)品。

答案：5600解析：設(shè)甲、乙、丙3條生產(chǎn)線各生產(chǎn)了T甲,T乙,T丙件產(chǎn)品,則a∶b∶c=T甲∶T乙∶T丙,即aT甲=bT又2b=a+c,所以T所以T乙=168003=5600題型3分層抽樣的設(shè)計(jì)18.☉%6745##@#%☉(2024·湖北團(tuán)風(fēng)中學(xué)單元訓(xùn)練)某地區(qū)共有5個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn),人口共3萬人,5個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人口比例為3∶2∶5∶2∶3,從3萬人口中抽取一個(gè)300人的樣本,分析某種疾病的發(fā)病率,已知這兩種疾病與地理位置及水土有關(guān),問應(yīng)采納什么樣的抽樣方法?并寫出詳細(xì)過程。答案：解:應(yīng)實(shí)行分層抽樣的方法。過程如下:(1)將3萬人分為五層,其中一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)為一層。(2)依據(jù)樣本容量的比例隨機(jī)抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本。300×315=60(人);300×215=40(人);300×515300×215=40(人);300×315=60(因此各鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽取人數(shù)分別為60人、40人、100人、40人、60人。(3)將300人組到一起即得到一個(gè)樣本。19.☉%9@616*￥@%☉(2024·湖北仙桃中學(xué)單元訓(xùn)練)某單位有2000名職工,老年、中年、青年分布在管理、技術(shù)開發(fā)、營銷、生產(chǎn)各部門中,如下表:部門年齡段人數(shù)管理技術(shù)開發(fā)營銷生產(chǎn)總計(jì)老年40404080200中年80120160240600青年401602807201200總計(jì)16032048010