數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念教案

7.1.1數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念

紹興一中俞一凡

一、教學目標

1、知識與技能

了解引入復數(shù)的必要性；理解虛數(shù)單位i以及i與實數(shù)的四則運算規(guī)律.理解并掌握復數(shù)

的有關概念（復數(shù)集、復數(shù)的代數(shù)形式、實部、虛部、虛數(shù)、純虛數(shù)、復數(shù)相等），通過復

數(shù)概念的引入，培養(yǎng)數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)。

2、過程與方法

通過問題情境，回顧數(shù)學史，了解擴充數(shù)系的必要性，感受數(shù)系擴充的過程，體會引入

虛數(shù)單位i和復數(shù)形式的合理性，使學生通過類比學習對復數(shù)的概念有一個初步的、完整的

認識.

3、情感態(tài)度與價值觀

通過問題情境，體會實際需求與數(shù)學內(nèi)部矛盾在數(shù)系擴充過程中的作用，感受人類理性

思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系.激發(fā)學生的求知欲。

二、教材分析

“7.1.1數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念”是《人教A版第二冊》第七章復數(shù)的起始課。教材

通過三個環(huán)節(jié)完成了對實數(shù)系的擴充過程:（1）提出問題（用什么方法解決方程在實數(shù)集中無

解的問題），引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)學生擴充實數(shù)系的欲望（2）回顧從自然數(shù)集逐步擴充

到實數(shù)集的過程和特點（添加新數(shù);滿足原來的運算律）;（3）類比、設想擴充實數(shù)系的方向及引

入新數(shù)i所滿足的條件（使=-1成立，滿足原來的運算律）.由于學生對數(shù)系擴充的知識并不熟

悉，教學中教師需多作引導.復數(shù)的概念是復數(shù)這一章的基礎，復數(shù)的有關概念都是圍繞復

數(shù)的代數(shù)表示形式展開的.虛數(shù)單位、實部、虛部的命名，復數(shù)相等的概念，以及虛數(shù)、純

虛數(shù)等概念的理解，教學中可結(jié)合具體例子，以促進對復數(shù)實質(zhì)的理解。

三、學情分析

學生從小到大已經(jīng)經(jīng)歷過多次數(shù)系的擴充，所以對數(shù)系如何進行擴充有一定的知識方法

基礎，在學生高中學習的過程中也已經(jīng)多次運用過類比歸納的方法，有一定的方法基礎。學

生在第六章學習了向量的知識，也為學生了解復數(shù)的本質(zhì)打下鋪墊。

四、教學重難點

重點:復數(shù)的概念，虛數(shù)單位i，復數(shù)的分類（實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)）和復數(shù)相等等概念

難點:虛數(shù)單位i的引進及復數(shù)的概念

五、教學過程

環(huán)節(jié)教學流程設計意圖

環(huán)節(jié)一怎樣解方程/+21+2=0?提出一個負數(shù)是否存在平方

限的問題。了解歷史上虛數(shù)

情景引數(shù)學家們通過時光機來到課堂中，演繹一段對話真正引入原因，是

入，拋出15世紀意大利卡爾丹數(shù)學家在解三次

問題方程時用求根公

%式時的矛盾沖突。

我思考了一個問題，如果把10分成兩部分，使其乘積等讓學生體會到引

入虛數(shù)的必要性，

于40,方程是x(10-x)=40,那它的兩個解就是5+Q?

激發(fā)學生的學習

興趣。

和5-7^15，我不能接受這樣的結(jié)果。

16世紀意大利邦貝利

?

卡兄，我用了你的三次方程求根公式，

在求V=15x+4的解時，得到了

也+J-⑵+也-J-⑵=4,讓人難以置信。

17世紀法國笛卡爾

Q■不，我不承認負數(shù)

這類數(shù)的存在，它是虛幻的數(shù)，imaginarynumber.

18世紀瑞士歐拉

1■笛卡爾大哥,起初我還說負數(shù)的平方根不可能包括

在可能的數(shù)(實數(shù))中，它們只存在于想象之中。深入研究

后就發(fā)現(xiàn)它們世界好精彩！

環(huán)節(jié)二回顧以往熟悉擴充的經(jīng)歷當我們遇到一個

在原有數(shù)系中無

溫故知法找到答案的問

新，新知題，就通過引入一

探究類新數(shù)將數(shù)系進

行擴充，從而使得

問題得以解決。

自然數(shù)

整數(shù)

有理數(shù)

x2=21則x=?

京

x2=n，則x=?

讓學生討論現(xiàn)在將如何將數(shù)系進一步擴充

教師給出數(shù)學家引入新數(shù)的規(guī)定

（1）『=—1（2）實數(shù)可以與i進行四則運算，在進行四則

運算時，原有的加法與乘法的運算律（包括交換律、結(jié)合律和

分配律）仍然成立.

環(huán)節(jié)三有了虛數(shù)單位i后，從四個方程的兩

課堂活組結(jié)果中歸納出

動、概念先讓學生解丁+4=0和/+5=0兩個方程，歸納統(tǒng)一形復數(shù)的代數(shù)形式

生成了解復數(shù)的實部、

式瓦（leR）虛部等概念

再解f+2x+5=0和f+2x+3=0兩個方程，歸納統(tǒng)一

形式。+4從而得出了復數(shù)的代數(shù)形式。

定義：形如a+4Q/eR）的數(shù)叫復數(shù)，復數(shù)集

C=[a+b^a,b^火｝.復數(shù)通常用z表示，其中。與匕分別叫

做復數(shù)實部與虛部.

環(huán)節(jié)四討論：復數(shù)集C和實數(shù)集R之間有什么關系？讓學生思考實數(shù)

集和復數(shù)集的關

形式探

得出復數(shù)的分類z=。+端，上L亡會人系引出復數(shù)的分

究、新課b00,虛數(shù)（〃:0,純虛數(shù)）

類問題。

講解

怎樣判斷兩個復數(shù)相等？讓學生思考兩個

復數(shù)相等的條件，

.\a-c

a+bi=c+di并給出規(guī)定。

b-d

環(huán)節(jié)五例1完成下列表格（分類一欄填實數(shù)、虛數(shù)或純虛數(shù)）通過一些例題和

新知應練習，讓學生熟練

用1-3;02+V7i揚+乎掌握復數(shù)的實部、

虛部等概念。會對

實部

復數(shù)進行分類，保

虛部

證復數(shù)在哪一類

分類中。利用兩個復數(shù)

相等的等價條件

例2實數(shù)m取什么值時，復數(shù)z=m+l+（m―是下列

求解兩個帶參數(shù)

數(shù)？的復數(shù)相等的問

題。

（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).

池中試水

若復數(shù)（。2-3.+2）+（“-1》是純虛數(shù)，求實數(shù)4的值.

例3已知（2x-l）+i=y—（3-y）i,其中求x與

江河搏水

若（3—10i）y+（-2+i）x=l-9i,求實數(shù)x,y的值.

大海踏浪

已知關于x的方程/+（女+2『卜+2+內(nèi)=0有實根，求實

數(shù)K的值.

環(huán)節(jié)六以提問的形式讓學生歸納總結(jié)這節(jié)課的學習內(nèi)容，教師在學培養(yǎng)學生自覺回

課堂小生歸納的基礎上進行梳理。顧、善于總結(jié)的習

結(jié)慣，使學生能主動

知識：復數(shù)的代數(shù)形式2=。+初，復數(shù)的分類，復數(shù)相等

構建方法體系

方法：類比，歸納

思想：分類討論，化歸和轉(zhuǎn)化

作業(yè)與課后學習：自行查閱文獻資料深入了解復數(shù)在其他領域的應培養(yǎng)學生文獻閱

思考用價值