工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)同濟(jì)大學(xué)第五版課后習(xí)題答案

bfcfbcel111114abcdef111

a1001b1001c1001d

解

a10001ab10r1ar21bOb11011c01dO0a01Oc11d

adabac3dc2abalc(l)(l)lclcdO1dO10

adabedabcdad1(1)(1)32ab11cd5證明：

a2abb2

aab2b(ab)3;111

證明

a2abb2c2ca2aba2b2a22aba2b2a2aab2b0111c3cl02abb2a2

3aba(1)(ba)(bal2(ab)ba2b2a3

axbyayxyzaybzazbxax(a3b3y;azbxaxbyaybzzxyi正明axbyay

aybzazbxaxazbxaxbyaybz

xaybzazybxaxzaxbyayxaxbyaybzxaybzzyzazbxayazbzxax

zaxbyyxyaybzabxyz

abzxy(a3b3zxyl)2

1)2

1)2

1)2(a(b(c(d

2a2(a2b2(bc(cd2(d證明2)22)22)22)2(a(b(c(d3)23)20;3)2

3)23)3)(ccccccl得)3)43322

3)222

2

ab2c2d22(a(b(c(d21)1)21)21)2(a(b(c(d2)22)22)22)2(a(b

(c(d

a2ab22bc22cd22da2

b2

c2

d22a2b2c2d

12al2b12cl2d32a32b32c32d5(cccc得)4332512212012

1221111abcda2222bcda4b4c4d4(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a

bed);證明

11ab22aba4b4111lObacadab(ba)c(ca)d(da)

b2(b2a2)c2(c2a2)d2(d2a2111dc(ba)(ca)(da2b22(ba)c(ca)d

(da)111(ba)(ca)(daOcbdb0c(cb)(cba)d(db)(dbal(ba)(ca)(d

a)(cb)(dbc(clba)d(dba=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abed)

x100x111cdc2dc4d0000

000anan1an2x1a2xalxnalxn1anlxan

證明用數(shù)學(xué)歸納法證明

當(dāng)n2時(shí)D2xlx2alxa2命題成立a2xal

假設(shè)對(duì)于(n1)階行列式命題成立即

Dn1xn1alxn2

則Dn按第一列展開(kāi)有an2xanIDnxDn1an(l)n

10x11

1

00x

001

xDn1anxnalxn1

anlxan

因此對(duì)于n階行列式命題成立

6設(shè)n階行列式Ddet(aij),把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90、或依副對(duì)角線翻

轉(zhuǎn)依次得

D1

anlall

ann

aln

n(n1)2

D2

alnall

ann

anlD3

annanl

aln

all證明DID(2

DD3D

證明因?yàn)镈det(aij)所以

D1

anlall

ann

aln

all

(l)nanl

alnann

alla21

n1

(l)nanl(1)

a21

a2naln

a2nann

a31

a3n

(1)同理可證

D2

12

(n2)(n1)

D

n(n1)2

D

T

2

11In

n(n1)2

anl

ann

(1)

2

D(1)

2

D

D3(

D2n(n1)2

(n(n1)

2

n(n1)

DDD(1)

7計(jì)算下列各行列式(Dk為k階行列式)a1(1)Dn

是0

解

1,其中對(duì)角線上元素都是a未寫出的元素都aDn

aOOOaOOOaOOOlOOOlOOOO(按第n行展開(kāi))aOOaOOOaO

0(l)n0a0

000

a

(1)n1(1)n01000(n1)(n1)a(l)2naaa(n1)(n1)

a(n2)(n2)

aa;

xananan2an2(a21)(2)Dn

xaaxaa解將第一行乘(1)分別加到其余各行得

DnxaaaxxaOaxOxaaOO

ax0

00xa再將各列都加到第一列上得x(nl)aaaOxaOOOxaDnaOO

Oxa[x(nl)a](xa)n1000(3)Dn1an(al)nan1(al)n1(an)n(an)n

lan1a1a11;?根據(jù)第6題結(jié)果有

2

Dn11a1a11an

n1(al)n1an(al)n(an)n1(an)n此行列式為范德蒙德行列式

Dn1n(n1)2[(ai1)(aj1)]n1ij1n(n1)2

[(ij)]n1ij1(1)2n1ij1n(n1)21(ij)n1ij1(ij)an(4)

D2n

cn

解alblcldlbn;dnan

D2n

cnbn(按第1行展開(kāi))alblcldldnan1an

alblcldl

bn10

cn10

dn100dn

0an1

(1)

2n1

bnlaiblcldl

bncn1cn

dn0

再按最后一行展開(kāi)得遞推公式

D2nandnD2n2bncnD2n2即D2n(andnbncn)D2n2

于是

D2n

ni2

(aidibici)D2

而

D2D2n

albladbe

cldlllll

所以

n

(aidibici)

i1

(5)Ddet(aij)其中aijij|;

解aij|ij|

0123

1012

210111113210

lllnInnn40

Dndet(aij)

nln2n3n4

rlr2

r2r3

nln2n3n4

111111111111

c2cl

c3cl

n12n32n42n5

11110222002200020000n

(l)nl(nl)2n2

(6)Dn

al111a211

1an

1

1,其中ala2

an0

解

1al111a2

Dn

1

11

1

1an

clc2c2c3

al00a2a200a3a3

000

000000

an1an110an1anO0al100a21

100a3

1

11an1

1011an

000

111

aa12

100

110011

n

000000100010001

ala2an

000000

1a11a21a3

000

01

a

000

a)(1(aal2n

n

001

1nln

aiilai1i

8用克萊姆法則解下列方程組

xlx2x3x45

4xxl2x2x34

(1)

2x13x2x35x43x1x22x311x4

220

解因?yàn)?/p>

11D3

1231

111415211142

D1

5

22012311114121111142D23

5220

所以

1D323Dxl

D

1231

1

xl5x26x30(2)x25x36x40

x35x46x50x45x51

5x16x2

51

24426D

42011

DD2x31x2

DD

1

1231231

1112

11141211

284

3x4

5

21420D1D

解因?yàn)?/p>

560001560OD1560665

001500015

60000560DI15601507D2

00150015

510001060005600015010151145

D3

56100150001060703D4000500115

60015601560212015001156010156001500001000

015395D5所以xx12665665x3665x4665x4665

1x1x2x309問(wèn)1m取何值時(shí)齊次線性方程組xlmx2x30有非零xl2mx2x30

解？

解系數(shù)行列式為

11ID1mmml12nl令D0得

m0或11

于是當(dāng)m0或11時(shí)該齊次線性方程組有非零解

(11)x12x24x3010問(wèn)1取何值時(shí)齊次線性方程組2x1(31)x2x30有xlx2

(11)x30非零解？

解系數(shù)行列式為

1241314D2311211111111011

(11)3(13)4(11)2(11)(31)(11)32(11)213

令D0得

1012或13

于是當(dāng)1012或13時(shí)該齊次線性方程組有非零解

第二章矩陣及其運(yùn)算

1已知線性變換

xx12yl.2y2y3

23yly2x2y5y3

33yl23y3

求從變量Xlx2x3到變量yly2y3的線性變換

解由已知

xl221y

xl

x23135yy2

332

21

故yyl2321x

2xl749yl

y231253x2633274y2

3y3

yyl7x14x29x3

26x13x2y7x3

33x12x24x3

2已知兩個(gè)線性變換

x

12yly3

xyyl3zlz2

x242yyl3y22y3

31y25y3y22zlz3

3z23z3

求從zlz2z3到xlx2x3的線性變換

解由知

xy

xl2012

x2

52yl

232

34142031310

y212520013lzlzz23

613zl1249z210116z3

xl6zlz23z3所以有x212zl4z29z3x3lOzlz216z31113設(shè)A111

111B123124051求3AB2A及ATB

111123111解3AB2A31111242111111051111

0581113056211129011121322217204292

058056290111123ATB111124

111051

4計(jì)算下列乘積

4317(1)12325701

解

43171232570147321117(2)231577201356493(2)

(123)21

3解（123)2(132231)(10)1

2⑶1(12)3解

21(12)32(1)2211)123(1)3231301212

12122412361(4)21400113414

解

12140011341431306782056allal2al3xl(5)(xlx2x3)

al2a22a23x2al3a23a33x3解

allal2al3xl

(xlx2x3)al2a22a23x2

al3a23a33x3

(allxlal2x2al3x3al2xla22x2a23x3

222axaxax1x22al3xlx32a23x2x31112223332al2xxlal3xl

a23x2a33x3)x2x3

5設(shè)A1213

(DABBA嗎？

解ABBAB1012問(wèn)

因?yàn)锳B3446BA1238所以ABBA

(2)(AB)2A22ABB2嗎？解(AB)2A22ABB2

因?yàn)锳B2225(AB)2222225258141429688121034101615

27但A2ABB22

2238411所以(AB)A

(3)(AB)(AB)A2B2嗎?

解(AB)(AB)A2B2

22ABB

因?yàn)锳B2225AB0201

而

(AB)(AB)22020625010913802822AB4113417

故故B)(AB)A2B2

6舉反列說(shuō)明下列命題是錯(cuò)誤的

(1)若A20則A0

解取A0100則A20但A0(2)若A2A貝ijA0或AE

解取A1100則A2A但A0且AE

⑶若AXAY且A0則XY解取

A1000

X11Y111101貝ijAXAY且A0但XY

7設(shè)A

2解A10求A2A311101010

1111211Aki01010A3A2A

21111

311

A

k

kl10

1

8設(shè)A1010

求Ak

0011

1解首先觀察

A2

10101120011101000111020112021112

A3

130312A2A31

013031312

4A4

1041314612

A3

A413

00

A5

A4A0150514

015

Ikklk1Ak

Ik20lk2

klk100Ik

用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)k2時(shí)顯然成立假設(shè)k時(shí)成立，則k1時(shí)，

k

Iklk1

A

k1

Ak

A

0lk2

Ik200

klk1

Ik

10100011Ilk1(kl)lk1

0Ik1

0(kl)kk12(kl)lk1Ik1

由數(shù)學(xué)歸納法原理知

Ik220Ikklk1

00IkIkklk1Ak

9設(shè)AB為n階矩陣，且A為對(duì)稱矩陣，證明BTAB也是對(duì)稱矩陣

證明因?yàn)锳TA所以

(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB

從而BTAB是對(duì)稱矩陣

10設(shè)AB都是n階對(duì)稱矩陣，證明AB是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是ABBA

證明充分性因?yàn)锳TABTB且ABBA所以

(AB)T(BA)TATBTAB

即AB是對(duì)稱矩陣

必要性因?yàn)锳TABTB且(AB)TAB所以

AB(AB)TBTATBA

11求下列矩陣的逆矩陣

(1)1225

1解A221Ali故A1存在因?yàn)?

AA*All21A12A225221故

A1*|Acosqsinq(2)sinqcosq

5221

解AcosqsinqA|10故A1存在因?yàn)閟inqcosq

A*AllA21

A12A22

cosqsinqsinqcosq

所以

A1A*|Acosqsinqsinqcosq121(3)342541

1211|A20故A存在因?yàn)榻釧342541

AllA21A31

A*A12A22A32

A13A23A33420136132142

所以

1A*A|A

ala2132167021

(4)

20an

0(ala2

anan0)解Aal0a2由對(duì)角矩陣的性質(zhì)知1

al0

A1a2

0an

12解下列矩陣方程

(1)2153X4216

解X1251

342163

125

(2)X22111

1111043132

1

解X1132

43221

1101

11

131013432233302

221353

(3)142031

12X1101W1

X114230112110

243110121011261

36010

12121140

(4)10101001

00001X00011024

103

201421620823ft?X

01010000111431002010011200101010143100

10020100100112001021013410213利用逆矩陣解下列線性

方程組xl2x23x31

(1)2x12x25x323x15x2x33

解方程組可表示為

123xl122522351x33

故

1xl12311x222520x335130

從而有

xl1x20x30

xlx2x32(2)2xx23x313x12x25x30解方程組可表示為

111xl

213x2325x3210

1

故

xlx2x3111213325210503

故有xl5x20x33

14設(shè)Ak0(k為正整數(shù))證明(EA)1EAA2Ak1證明因?yàn)锳k0所以EAkE

又因?yàn)?/p>

EAk(EA)(EAA2Ak1)

所以(EA)(EAA2Ak1)E由

定理2推論知(EA)可逆且

(EA)1EAA2Ak1

證明一方面有E(EA)1(EA)

另一方面由Ak0有

E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)

(EAA2Ak1)(EA)

故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)

兩端同時(shí)右乘(EA)1就有

(EA)1(EA)EAA2Ak1

15設(shè)方陣A滿足A2A2E0證明A及A2E都可逆求A1及(A2E)1

證明由A2A2E0得

A2A2E即A(AE)2E

或A

2(AE)E

由定理2推論知A可逆且Al(AE)

2

由A2A2E0得

A2A6E4E即(A2E)(A3E)4E

或(A2E)

4(3EA)E并

由定理2推論知(A2E)可逆且(A2E)1(3EA)4

證明由A2A2E0得A2A2E兩端同時(shí)取行列式得

即

故

由

|A2A|2A||AE2|A|0A2A2E0A(AE)2E所以A可逆而A2EA2|A2E|

A2|A120故A2E也可逆

A1A(AE)2AIEA11AE)2

又由A2A2E0(A2E)A3(A2E)4E

(A2E)(A3E)4E

所以(A2E)1(A2E)(A3E)4(A2E)1

(A2E)11(3EA)4116設(shè)A為3階矩陣|A|求(2A)5A*|2

解因?yàn)锳1A*所以|A|

|(2A)15A*||1A15|AAl|1A15A1|222

|2A1|(2)3|A1|8|A|18216

17設(shè)矩陣A可逆證明其伴隨陣A*也可逆且

(A*)1(A1)*

證明由A1A*得A*|A|A1所以當(dāng)A可逆時(shí)有|A

|A*|A|nA1||A|n10

從而A*也可逆

因?yàn)锳*|AA1所以(A*)1|A|1A

D*所以1又A(A)*|A|(AA1

(A*)1|A1A|A|1|A|(A1)*(A1)*

18設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*證明

⑴若|A|0則|A*|0

(2)A*||An1

證明

(1)用反證法證明假設(shè)IA*|0則有A*(A*)1E由此得

AAA*(A*)1|A|E(A*)10

所以A*0這與|A*|0矛盾，故當(dāng)|A|0時(shí)有|A*|0

⑵由于A1*則AA*|A|E取行列式得到

IA|

|A|A*||An

若|A|0則A*||A|n1

若|A|0由(1)知|A*|0此時(shí)命題也成立

因此|A*||A|n1

19設(shè)A

033110ABA2B求B123解由ABA2E可得(A2E)BA故

B(A2E)lA2331101211033110123033123110

10120設(shè)八020101

(AE)BA2E且ABEA2B求B解由ABEA2B得即

(AE)B(AE)(AE)0因?yàn)锳E1010所以(AE)可逆從而

BAE

201030102

21設(shè)Adiag(l21)A*BA2BA8E求B解由A*BA2BA8E得

(A*2E)BA8E

B8(A*2E)1A1

8[A(A*2E)]1

8(AA*2A)1

8(|A|E2A)1

8(2E2A)1

4(EA)1

4[diag(212)]11,11)22

2diag(l21)

1

22已知矩陣A的伴隨陣A*010

且ABA1BA13E求B000100010308

解由|A*|A|38得|A|2

由ABA1BA13E得

ABB3A

B3(AE)1A3[A(EA1)]1A

3(E1A*)16(2EA*)12100601010103023設(shè)P1AP

0006

1

6000606060300001

1002

求All

11

其中P

1411

解由P1AP

得APP1所以AllA=P1411

11

P1.

|P|3P*

而

11

P114

311100211

33

33

27312732683684

1002

故

All

1410110211

24設(shè)APP

111

其中P102

111

1

1

5

求j(A)A8(5E6AA2)

解j()

8

(5E6

2

)

diag(l158)[diag(555)diag(6630)diag(l125)]diag(l158)diag(1200)

12diag(l00)

j(A)Pj()P1

1Pj()P*Pl

1111002102000111000

222303121

1114111111

25設(shè)矩陣A、B及AB都可逆證明A1B1也可逆并求其逆陣

證明因?yàn)?/p>

A1(AB)B1B1A1A1B1

而A1(AB)B1是三個(gè)可逆矩陣的乘積所以A1(AB)B1可逆即A1B1可逆

26

解

則

而

所以

即

27

解

而

(A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A1210

計(jì)算00010310010021

03101200020

313

設(shè)A1

1

021A22013

B321

1

1

B22

0AlEEBl0AA1A1B1B220B2

0A2B2

A

1B1B2

13

021212

1

0335224

A2B2

02

1

32033

4309

AAOAlEEBB11A1BA1B202B20012220252001044039

012101001021010321012520003

101000

20

3243

01000

40

39

取

AB

CD1001

驗(yàn)證CABD||CA||||DB

10010110

ABl0124

00||CA||B|D

033

故AB|A|B|C||D3404328設(shè)A02022求|A及A

20228434解令A(yù)143

A01A貝I」0A2A2故A8A100A288Ao180A281A8||Al||A811A

8|A|81016212

A

44Aoi40A254000544200642229設(shè)n階矩陣A及s階矩陣B都可

逆求

(1)0A

B01

0A解設(shè)B0

1ClC2C3C4

則

0AClC2B0C3C4

AC3AC4BC1BC2En00Es

由此得AC3EnAC40BC10BC2Es

0AB0111C3AC40Cl0ICB2所以0B1A10

⑵A0CB

1

解設(shè)

CBA0DID

D2則

3D4

A0DID2

CBDADIAD2

3D4CD1BD3CD2BD4

ADIEnDlA1

由此得

CDAD

20D

CD1BDBD30D2011

24EsD3BCA

4B1所以A01

CBA1

B1CA1B01

30求下列矩陣的逆陣5200

(1)2

0100

00

08532

解設(shè)A2512B8

532則

11

A152212125B1853

21于是522

01000A1A121

000080532BB101000

(2)1

22001123104解設(shè)A1012B3c2104112則

11

1022000A01111230

104CBBA1CA1B01

En00Es2583250000020583100000220263824124第

三章矩陣的初等變換與線性方程組

1把下列矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣

1021

(1)20313043

解10212031(下一步r2(2)rlr3(3)rl)3043

1021^0013(下一步r2(1)r3(2))

0020

1021

3(下一步r3r2)'001

0001

1021

3(下一步r33)^0010003

1020013(下一步r23r3)

000

102

"000(下一步rl(2)r2rlr3)

000

100II00100001

023(2)03430471解

0230343(下一步r22(3)rlr3(2)rl)04710231^0013

(下一步■3r2rl3r2)001302010"0013(下一步rl2)0000010

5~00300001(3)32313352334132344223101442

2解133523341000343531(下一步r3rr2rr3r)213141011

"000

~0

00

1

0~0?

2

(4)12

438；(下一?步r(4)r(3)r(5))2346610104322(下一步r3rrrrr)

12322222222003200740313010101100100003

1202：373234解

213：0

~10?

100

31202837112088771110200010012100323474

(下一步r2rr3rr2r)123242031124(下一步r2rr8rr7r)213141912

81112(下一步rl44r2r2(1)r4r3)lO'OlOOOOlO

010000

011021(下一步rr)2340201001002340

1234567890101012設(shè)100A010

001001求A

解

010100是初等矩陣E(12)其逆矩陣就是其本身001101

010是初等矩陣E(12(1))其逆矩陣是

001

E(12(1))

101010001

010123101A100456010001789001

4561011230107890014521227823試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q

求下列方陣的逆矩陣

321(1)315323

解321100321100315010~014110323001002101

"03203/201/2300

00102110121"000101

~010

0011007/6

1/212/33/2

011/22

故逆矩陣為6312

102

22

321

(2)020

1

220113

22

1

3020

解221

01213

22110000

101

000

010

001

1232210

~0

041901022510000

101103000

123

0022010

001

01100

2100

01103041

2

7/221/21019/21/221000100

210032102001001101211012100134610220136

610

20010001000111'11100001000010000110121

1112401366101

故逆矩陣為0121111240136610

4124⑴設(shè)A221311

13B22求X使AXB31解因?yàn)?/p>

41213r100102(A,B)2212201015331131001124

所以

XAIB102153124

⑵設(shè)A

021213334B123求X使XAB231解考慮ATXTBT因?yàn)?/p>

02312r10024(A,B)21323010171343100114TT

所以XT(AT)1BT241714

從而

XBA1211474

5設(shè)A

110011AX2XA求X101解原方程化為(A2E)XA因?yàn)?/p>

(A2E,A)

110110011011101101

100011"010101001110

所以

X(A2E)1A011101110

6在秩是r的矩陣中,有沒(méi)有等于0的r1階子式？有沒(méi)有等于0的r階子式？

解在秩是r的矩陣中可能存在等于0的r1階子式也可能存在等于0的r階

子式

1000例如A0100R(A)30010

0000是等于0的2階子式10是等于0的3階子式0017從矩陣A中劃去

一行得到矩陣B問(wèn)AB的秩的關(guān)系怎樣？

解R(A)R(B)

這是因?yàn)锽的非零子式必是A的非零子式故A的秩不會(huì)小于B的秩8求作一個(gè)秩

是4的方陣它的兩個(gè)行向量是

(10100)(11000)

解用已知向量容易構(gòu)成一個(gè)有4個(gè)非零行的5階下三角矩陣

11100

00001000010000100000此矩陣的秩為4其第2行和第3行是

已知向量

9求下列矩陣的秩并求一個(gè)最高階非零子式

3102

(1)1121;1344

M31021121(下一步rl

1344r2)

1121

3102（下一步r23rlr3rl）

1344

1121

~0465（下一步r3r2）

0465

1121

“0465

0000

矩陣的招方為214是一個(gè)最高階非零子式

32131（2）2131370518解32132

21313（下一步rlr2r22rlr37rl）7051813441~07n950

21332715（下一^步r33r2）

13441^07119500000矩陣的秩是2322-1二-7是一個(gè)最高階非

零子式

2（3）231183307258032750075（下一步r2rr2rr3r）14243

400

132275（下一步r3rr2r）213100解22311833072580321

32026430^001

012"000000103012

"000000103

103

"012000000

17016（下一步r216r4r316r2）0142017010020201701000

7

矩陣的秩為3580700是一個(gè)最高階非零子式320

10設(shè)A、B都是mn矩陣證明A~B的充分必要條件是

R(A)R(B)

證明根據(jù)定理3必要性是成立的

充分性設(shè)R(A)R(B)則A與B的標(biāo)準(zhǔn)形是相同的設(shè)A與B的標(biāo)準(zhǔn)形為D則有

A~DD~B

由等價(jià)關(guān)系的傳遞性有A、B

11設(shè)A123k問(wèn)k為何值可使

k12k233

(l)R(A)1(2)R(A)2(3)R(A)3

解A1

k1223kk233"r100k1

01k

(kk1)(1k2)

⑴當(dāng)k1時(shí)R(A)1

⑵當(dāng)k2且k1時(shí)R(A)2

⑶當(dāng)k1且k2時(shí)R(A)3

12求解下列齊次線性方程組：

(1)x

21x

2x22x3x40

xlx2x3x40

12x2x32x40

解對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換有

A2111211010

221121^0100314/31于是4x134x23x44xx43x4x4

33(k為任意常數(shù))k31故方程組的解為xlx2x3x4

xl2x2x3x40(2)3x16x2x33x405x110x2x35x40解對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初

等行變換有

12111201A3613"0010510150000于是

xl2x2x4x2x20x3x4x4

xl21x2(kk為任意常數(shù))kl1k200012x301x4故方程組的解為

2x13x2x32x3xx231(3)4xlx23x3xl2x24x3

5x47x46x47x40000解對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換有2A34

1

于是xl0

x20

x30x40

xl

x2x3x4000031121234510007^01006001070001

故方程組的解為

3x12x(4)14x17x14x25x37x403x23x32x4011x213x316x402x2x33x4

0解對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換有

3457

A233241113167213

101717^01171700000000

x1

于是x2

x3

x4x317x173x3x4x417x174

故方程組的解為xl1717x2k20(kk為任意常數(shù))122117x3170x411013

求解下列非齊次線性方程組：

4x12x2x32(1)3x11x22x310llxl3x28

解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換有

42121338B31210"0101134

113080006

于是R(A)2而R(B)3故方程組無(wú)解

2x3yz45x2y4z(2)3x8y2z134xy9z6解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變

換有2213961001000021001200

于是

x2zlyz2zz

x2yk11z

即12(k為任意常數(shù))0

2xyzw1(3)4x2y2zw22xyzw1解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換有

2111111/21/20l/2B42212~000102111100000于是

yz222yyzzw0x即

xykz1w221k20010020(klk2為任意常數(shù))00

2xyzw1(4)3x2yz3w4x4y3z5w2解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換有

21111101/71/76/7B32134"015/79/75/71435200

000

于是y

z

w

xyzwz7z7zww7w777BP77kkl7271001

7（kk為任意常數(shù)）1270014寫出一個(gè)以

xcl

23cl202401為通解的齊次線性方程組解根據(jù)已知可得

xl22

x2

xc13c4

x3120

401

與此等價(jià)地可以寫成

xl2clc2

x23cl4c2x

x3c

cl

42

或xl2x

x3x4

23x34x4

或x

xl2x3x40

23x34x40這就是一個(gè)滿足題目要求的齊次線性方程組

151取何值時(shí)非齊次線性方程組

Ixxlxlx2x31

xl2x31

1x21x312

⑴有唯一解(2)無(wú)解(3)有無(wú)窮多個(gè)解?

解B11

11111111112

r011111111(112

~1)

00(11)(21)(11)(11)2

(1)要使方程組有唯一解必須R(A)3因此當(dāng)11且1時(shí)方程組有唯一解.

(2)要使方程組無(wú)解必須R(A)R(B)故

(11)(21)0(11)(11)20

因此12時(shí)方程組無(wú)解2

(3)要使方程組有有無(wú)窮多個(gè)解必須R(A)R(B)3故

(11)(21)0(11)(11)20

因此當(dāng)11時(shí)方程組有無(wú)窮多個(gè)解.

16非齊次線性方程組

2x1x2x32xl2x2x31xlx22x312

當(dāng)1取何值時(shí)有解？并求出它的解

解B121121212(11)1211^011

311212000(11)(12)

要使方程組有解必須(11)(12)0

當(dāng)11時(shí)即11]2

B

方程組解為

211210111211^011011210000

1x31xxlx31或x2x3x2x3x3x3

即

xlx2x31k1110(k為任意常數(shù))0

當(dāng)12時(shí)

B

211210121212~011211240000方程組解為

xx213xlx32或x2x32x2x32x3x3

即xlx2x31k1122(k為任意常數(shù))0

(21)x12x22x3117設(shè)2x(5l)x4x21232x14x2(51)x311

問(wèn)1為何值時(shí)此方程組有唯一解、無(wú)解或有無(wú)窮多解？并在有無(wú)窮多解時(shí)求解

WB2122125142245111

25142"011111100(11)(101)(11)(41)要使方程組有唯一解必須

R(A)R(B)3即必須

(11)(101)0

所以當(dāng)11且110時(shí)方程組有唯一解.

要使方程組無(wú)解必須R(A)R(B)即必須

(11)(101)0且(11)(41)0

所以當(dāng)110時(shí)方程組無(wú)解.

要使方程組有無(wú)窮多解必須R(A)R(B)3即必須

(11)(101)0且(11)(41)0

所以當(dāng)11時(shí)方程組有無(wú)窮多解此時(shí)，增廣矩陣為

122100000000方程組的解為

xlx2x3

或xlx2

x3x2x31x2x3kl221k200110(klk2為任意常數(shù))0

18證明R(A)1的充分必要條件是存在非零列向量a及非

零行向量bT使AabT

證明必要性由R(A)1知A的標(biāo)準(zhǔn)形為

10000010(1,0,,0)

000即存在可逆矩陣P和Q使

PAQ110(1,0,,0)或AP10(1,0,,0)Q1

1

令aP10bT(1000)Q1則a是非零列向量bT是非

零行向量且AabT

充分性因?yàn)閍與bT是都是非零向量所以A是非零矩陣

從而R(A)1

因?yàn)?/p>

1R(A)R(abT)min{R(a)R(bT)}min{l1}1

所以R(A)1

19設(shè)A為mn矩陣證明

(1)方程AXEm有解的充分必要條件是R(A)m

證明由定理7方程AXEm有解的充分必要條件是R(A)R(AEm)