初一數(shù)學動點問題例題集

初一數(shù)學動點問題集錦

1、如圖，已知△A3。中，A8=AC=10厘米，8C=8厘米，點。為

AB得中點.

（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒得速度由B點向C點運

動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動.

①若點Q得運動速度與點P得運動速度相等，

經(jīng)過1秒后，ASP。與△CQP就是否全等，請說明A

理由；（\Q

②若點Q得運動速度與點P得運動速度不相/YzA

PC

等，當點Q得運動速度為多少時、能夠使△取。與

△CQP全等？

（2）若點Q以②中得運動速度從點C出發(fā)，點P以原來得運動

速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運動，求經(jīng)過多長時間

點p與點Q第一次在△A8C得哪條邊上相遇？

解：（1）①1=1秒，

...8P=CQ=3xl=3厘米，

????=10厘米，點。為.得中點，

...即=5厘米.

又?.?厘米，

PC=8—3=5厘米PC=BC—BP,BC=8,

PC=BD.

又

:.NB=2C,

:.△BPD9XCQP（4分）

②...山工也，BP±CQ,

又??△BPD也△CQP,ZB=ZC,貝ijBQ=PC=4,CQ=BD=5

_BP_4

.?.點P,點。運動得時間‘一7一3秒，

CQ515

%=—r=v4=—4

3厘米/秒.（7分）

（2）設(shè)經(jīng)過％秒后點P與點。第一次相遇,

—x=3x+2xlO

由題意，得4

80

X——

解得3秒.

—x3=80

.?.點P共運動了3厘米.

80=2x28+24,

.?.點P、點。在回邊上相遇，

80

???經(jīng)過了秒點P與點。第一次在邊A3上相遇.（12分）

2、直線‘=一工”+6與坐標軸分別交于A、5兩點，動點P、。同時從

。點出發(fā)，同時到達A點，運動停止.點。沿線段。斗運動，速度為每

秒1個單位長度，點尸沿路線。一8一A運動.

（1）直接寫出人3兩點得坐標；

（2）設(shè)點Q得運動時間為/秒，△°PQ得面積為S,求出S與「之

間得函數(shù)關(guān)系式;

S-史

(3)當5時，求出點尸得坐標，

并直接寫出以點°、P、Q為頂點得平行

四邊形得第四個頂點用得坐標.

解(1)A(8,0)B(0,6)1分

(2)OA=8,08=6

A3=10

8。

—=O

點。由。到A得時間就是1(秒)

6+10個

--------=2

???點P得速度就是8(單位/秒)1分

當尸在線段上運動(或0W.W3)時-，OQ=t,OP=2t

s=t21分

當尸在線段曲上運動(或3<fW8)時，OQ=t,AP=6+1。-2，=16-2r,

PDAPp[)_48—6r

如圖，作于點。，由而=茄，得5,1分

I324

"2"=一/+『

1分

(自變量取值范圍寫對給1分，否則不給分.)

3如圖，在平面直角坐標系中，直線1：y=-2x—8分別與x軸，

y軸相交于A,B兩點，點P(0,k)就是y軸得負半軸上得一個動

點，以P為圓心，3為半徑作。P、

(1)連結(jié)PA,若PA=PB,試判斷。P與x軸得位置關(guān)系，并說

明理由；

(2)當k為何值時，以。P與直線1得兩個交點與圓心P為頂點

得三角形就是正三角形？

在RtAAOP中，k2+42=(8+k)2,

.?.k=-3,...OP等于。P得半徑，

二.OP與X軸相切、

(2)設(shè)。P與直線1交于C,D兩點，連"之nV一

結(jié)PC,PD當圓心P在線段OB上時，作PE±

CD于E、

j_3

VAPCD為正三角形，.,.DE=2CD=2,

PD=3,

36

：.PE=~,第(2).

VZAOB=ZPEB=90°,ZABO=ZPBE,

.,.△AOB^APEB,

3>/3

旭=歿，即義=三

ABPB475PB,

PB*,

???2

PO=BO-PB=S-^^-

二.2,

.P(0,*-8)

心亞-8

2、

3至

當圓心P在線段OB延長線上時，同理可得P(0,一丁-8),

3厲

k=-2—8,

3席3A

.?.當卜=丁-8或1<=一丁一80寸，以。P與直線1得兩個交點

與圓心P為頂點得三角形就是正三角形、

4(09哈爾濱)如圖1,在平面直角坐標系中，點O就是坐標

原點，四邊形ABCO就是菱形，點A得坐標為(一3,4),

點C在x軸得正半軸上，直線AC交y軸于點M,AB邊交y軸

于點H.

(1)求直線AC得解析式；

(2)連接BM,如圖2,動點P從點A出發(fā)，沿折線ABC

方向以2個單位/秒得速度向終點C勻速運動，設(shè)△PMB得面積為

S(Sr0),點P得運動時間為t秒，求S與t之間得函數(shù)關(guān)系式(要

求寫出自變量t得取值范圍)；

(3)在(2)得條件下，當t為何值時，ZMPB與NBCO

互為余角，并求此時直線OP與直線AC所夾銳角得正切值.

28.(1)過點A作AE±x軸垂足為E(如圖1)

?■?A(-3,4).-.AE=40E=3.-.OA=VAE2+OEJ=5

?四邊形ABCO為菱形.-.OC=CB=BA=OA=5,-.C(5,0)1分

5k+b=Ok

設(shè)直線AC的解析式為:y=kx+b

-3k+b=44

直線AC的解析式為:y=-f41分

⑵由(1)得M點坐標為(0*)cOM號

如圖1,當P點在AB邊上運動時

由題意得0H=4

.&今BP?MH省5-2t)4

.??s=-1-t+%(ow啥).........2分

當P點在BC邊上運動時，記為P,C\x

vrOCM=￡BCMCO=CBCM=CM

.-.△OMC^ABMC.-.OM=BM=^-ZMOC=zLMBC=90°

圖1

.&匆B?BM=：(2t-5)￥.?.S亭-今/<tW5).?2分

(3)設(shè)OP與AC相交于點Q連接OB交AC于點K?.ZAOC=NABC.?/AOM=4ABM

?1?ZMPB+Z.BC0=90°ZBAO=ZBCOZBAO+rAOH=90°

.'.ZMPB=Z.AOH.,.乙MPB=aMBH

當P點在AB邊上運動時，如圖2

vZ.MPB=Z.MBH,-.PM=BMvMHlPB

.-.PH=HB=2.\PA=AH-PH=1.\t=J-...???i分

2

?.AB#OCAZPAQ=Z.OCQ

.AQ_AP1

???4AQP=2CQ0/.△AQP^ACQO

“CQ-布-亍

在RtAAEC中AC=VAEJ+EC2=V45+8r=4VT

.AQ呼QC=1^L

在RtAOHB中OB=VHB2+HO2xVW=2VT

?.AC10BOK=KBAK=CK圖2

,-.OK=VTAK=KC=2VT.-.QK=AK-AQ=^^.-.tanZ.OQC=^1-=1-……...1分

當P點在BC邊上運動時，如圖3vZ.BHM=zlPBM=90oZ.MPB=ZLMBH

11

..tan乙MPB=tanZMBH鵬

BriiDBP-2

；.BP邛門=3…1分

36

,-.PC=BC-BP=5-4?-=|-

33

由PC〃OA同理可證△PQC-aOQA.CQ_=CP_

*,AQ-A0

/CQ=-J-AC=Vr.-.QK=KC-CQ=Vr

\OK=VTz.tanZOQK=1分

圖3

綜上所述，當t=十時，乙MPB與乙BCO互為余角，直線0P與直線AC所夾銳角的正切值為衣

當t=烏時，4MPB與乙BCO互為余角，直線0P與直線AC所夾銳角的正切值為1

0

5.

得速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來得速度沿AC返回;

點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長得速度向點B勻速運動.伴

隨著P、Q得運動，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于點D,交折線

QB-BC-CP于點E.點P、Q同時出發(fā)，當點Q到達點B時停止運動,

點P也隨之停止.設(shè)點P、Q運動得時間就是t秒(t>0).

(1)當t=2時;AP=,點Q到AC得距離就是；

(2)在點P從C向A運動得過程中，求4APQ得面積S與

t得函數(shù)關(guān)系式；(不必寫出t得取值范圍)

(3)在點E從B向C運動得過程中，四邊形QBED能否成

為直角梯形？若能，求t得值.若不能，請說明理由；

(4)當DE經(jīng)過點C時-，請直接寫出t得值.

8

解：⑴1,5；

(2)作QF_LAC于點F,如圖3,AQ=CP=t,AP=37.

由△AQFs^ABC,BC=7?萬=4,

得45..?/5.

14

,.5=嚴『

S=--t2+-t

即55.

（3）能.

①當DE〃QB時、如圖4.

VDE±PQ,APQIQB,四邊形QBED就是直角梯形.

此時NAQP=90。.

AQAP

由△APQsaABC,得前=麗,B

E

D

t3-t9

即曠了.解得"=W.

②如圖5,當PQ〃BC時，DE1BC,四邊形QBED就是直角梯

形.

此時NAPQ=90°.

AQAP

由△AQPs^ABC,得益=就，

t_3-t

即廣亍.解得"

_5_45

(4)"5或

①點P由C向A運動，DE經(jīng)過點C.

連接QC,作QGLBC于點G,如圖6.

3,4,

M??=[-(5-Z)]2+[4--(5-Z)]2

PC=t,QC=QG+CG255

、345

It2f2=[T(5-O1~+[4--(5-r)]".^=—

由PpCr=QnCr,得55,解得2.

②點P由A向C運動，DE經(jīng)過點C,如圖7.

(6-r)2=[j(5-r)]2+[4-^(5-z)]2r=—_

55,14]

6如圖，在RCABC中，ZACB=90。，4=60。，種

8c=2.點。就是AC得中點，過點。得直線/從與\

AC重合得位置開始，繞點。作逆時針旋轉(zhuǎn)，交AB,

邊于點。.過點C作〃”交直線/于點E,設(shè)直

線/得旋轉(zhuǎn)角為a.

(1)①當。=度時，四邊形口8。就

是等腰梯形，此時A。得長為

②當。=度時，四邊形皿6。就是直角梯形，此時得

長為

(2)當。=90°時，判斷四邊形直WC就是否為菱形，并說明理由.

解(1)①30,1；②60,1、

5；...............................4分

(2)當Na=900時，四邊形EDBC就是菱形、

Za=ZACB=900,「.BC〃ED、

,/CE//AB,四邊形EDBC就是平行四邊

形、................6分

在Rtz\ABC中，ZACB=900,NB=600,BC=2,

.?.NA=300、

二.AB=4,AC=2百、

AO=-2AC=6/o、

...........8分

在Rt^AOD中，ZA=300,，AD=2、

.?.BD=2、

.?.BD=BC、

又二?四邊形EDBC就是平行四邊形,

.?.四邊形EDBC就是菱

形................10分

7如圖，在梯形ABCO中，

A//D,=B>,C,=544~DZ=4

點例從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度得速度向終點C運動；

動點N同時從C點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度得速度向終點

。運動.設(shè)運動得時間為f秒.

(1)求8。得長.

(2)當時-，求f得值.

(3)試探究：/為何值時，AMNC為等腰三角形.

解：(1)如圖①，過人、。分別作AKL8C于K,DH上BC于H,

則四邊形AD"K就是矩形

KH=AD=3.1分

AK=ABsin45°=4=4

在RtAABK中,2

BK=A/?Fcos45°=472=4八

在n△CDH中，由勾股定理得，HC=4^=3

BG=AD=3

GC=10—3=74分

由題意知，當M、'運動到f秒時，CN=t,CM=10-2r.

??DG//MN

ZNMC=ZDGC

又NC=NC

4MNCs4GDC

CNCM

；.CD=~CG5分

t_10-2/

§P5=7

50

解得，"行6分

(3)分三種情況討論:

①當NC=MC時，如圖③，即f=10-2f

10

"了7分

（圖③）七。=為。」（般硼=5-.

由等腰三角形三線合一性質(zhì)得22、

EC5-t

.cosc=-----=------

在RtACEN中，NCt

CH3

cosc-二一

又在RtADWC中，CD5

5-t3

.廠方

_25

解得”58分

解法二：

?；NC=NC,ZDHC=NNEC=90°

ANECs^DHC

NCEC

；.~DC~~HC

t_5-t

即『亍

=25

.J一百8分

__FC=-NC=-

③當政V=MC時，如圖⑤，過M作M/FCN于J點、22

解法一：（方法同②中解法一）

1

g』上=?

MC10—2/5

60

解得七萬

HM

解法二：

（圖⑤）

VZC=ZGZMFC=ZDHC=90°

/.XMFCsXDHC

FCMC

/.HC-DC

1

2f_io-2r

即3—5

60

t=——

17

10_2560

綜上所述，當"不、"百或'=一行時，△MNC為等腰三角形9

分

8如圖1,在等腰梯形AB。中，AD//BC,E就是AB得中點，過

點E作交CO于點F.AB=4,BC=6,N6=60。、

（1）求點后到BC得距離；

（2）點P為線段“上得一個動點，過戶作PM_LEF交BC于點M,

過M作MN〃”交折線ADC于點N,連結(jié)PN,設(shè)EP=x、

①當點N在線段AD上時（如圖2）,△腳得形狀就是否發(fā)生改

變？若不變，求出△尸批得周長；若改變，請說明理由；

②當點N在線段。。上時（如圖3）,就是否存在點P,使△加為

等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求得無得值；若不存在，請

說明理由、

解（1）如圖1,過點E作EG，/于點G.1分

?:E為AB得中點，A,---------------\￡）

BE=gA8=2.-------------------\

Bg_______________

在即AEBG中，ZB=60°,ZBEG=30°.2分G

圖1

BG=-BE=\,EG=A/22-12=A/3.

2

即點E到BC得距離為后3分

（2）①當點N在線段4。上運動時，△PMN得形狀不發(fā)生改變.

?.-PM1EF,EG1EF,：.PM//EG.

?;EF//BC,；,EP=GM,PM=EG=C.

同理MN—AB—4.4分^

如圖2,過點P作于〃，

/NMC=NB=60°,ZPMH=30°.

i6

PH=—PM=二

22

3

MH=PMcos300=工

2

35

NH=MN—MH=4—二=一.

則22

PN=<NH?PH2

在Rt/\PNH中,

APMN得周長=PM+PN+MN=g+b+4.6分

②當點N在線段上運動時，△PMN得形狀發(fā)生改變，但△MNC

恒為等邊三角形.

當PM=PN時-，如圖3,作PR，MN于R,則MH=NR.

3

MR=一.

類似①,2

MN=2MR=3.7分

就是等邊三角形，.?.MC=MN=3.

止匕時，x=EP=GM=BC-BG—MC=6-"3=2.g分

M

圖5

當MP=MN時，如圖4,這時MC=MN-MP=V3.

止匕時，x=EP=GM==5-6.

當NP=NM時，如圖5,/NPM=NPMN=3U°.

則/PMN=120°,又/MNC=60°,

/,ZPNM+/MNC=180°.

因此點P與尸重合，APMC為直角三角形.

MC=PMtan30°=1.

止匕時，％=EP=GM=6-1-1=4.

綜上所述，當》=2或4或"6）時，"MN為等腰三角形.10

分

9如圖①，正方形ABCD中，點A、B得坐標分別為（0,10）,

（8,4）,

點C在第一象限.動點P在正方形ABCD得邊上，從點A出發(fā)

沿A-BfC-D勻速運動,

同時動點Q以相同速度在x軸正半軸上運動，當P點到達D點

時，兩點同時停止運動，

設(shè)運動得時間為t秒.

(1)當P點在邊AB上運動時，點Q得橫坐標x(長度單位)關(guān)于

運動時間t(秒)得函數(shù)圖象如圖②所示，請寫出點Q開始運動時得

坐標及點P運動速度；

(2)求正方形邊長及頂點C得坐標;

(3)在(1)中當t為何值時，△OPQ得面積最大，并求此時P點

得坐標;

(4)如果點P、Q保持原速度不變，當點P沿A-BfCfD勻速

運動時，OP與PQ能否相等，若能，寫出所有符合條件得t得值；若

不能，請說明理由.

(2)過點B作BF±y軸于點F,BE±x軸于點E,貝!J班'=8,

OF=BE=4

；,AF=10-4=6.

在RtZVKFB中，AB=^7e=\o3分

過點C作CG，x軸于點G,與EB得延長線交于點H.

4BC=9°。,AB=8C.-.AABF^ABCH.

?BH=AF=6,CH=BF=8

???

.?.OG=FH=8+6=14,CG=8+4=12.

...所求C點得坐標為(14,12).4分

(3)過點P作PM，y軸于點M,PNJ_x軸于點N,

則△APMs^ABF.

APAMMPtAMMP

/.~AB~~AF~~BF.W~~T~~T.

3434

AM=-/,PM=TPN=OM=10——t,ON=PM=-f

55.：.55.

設(shè)AorQ得面積為S(平方單位)

I34732

S=AX(IO--O(1+/)=5+—r

251010(0</<10)5分

說明:未注明自變量得取值范圍不扣分.

47

,10_47

a=~—2x(-3)6

,/io<0.?.當1。時，△OPQ得面積最大

分

9453

此時P得坐標為(不，10).7分

_5295

(4)當‘或"石時，OP與PQ相等.9分

10數(shù)學課上，張老師出示了問題：如圖1,四邊形ABCD就是

正方形，點E就是邊BC得中點.^EF=90,且EF交正方形外角4DCG

得平行線CF于點F,求證：AE=EF.

經(jīng)過思考，小明展示了一種正確得解題思路：取AB得中點M,

連接ME,則AM=EC,易證△AME烏△瓦為，所以=

在此基礎(chǔ)上，同學們作了進一步得研究：

（1）小穎提出：如圖2,如果把“點E就是邊BC得中點”改

為“點E就是邊BC上（除B,C外）得任意一點”，其它條件不變,

那么結(jié)論"AE=EF”仍然成立，您認為小穎得觀點正確嗎？如果正確,

寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；

（2）小華提出：如圖3,點E就是BC得延長線上（除C點

外）得任意一點，其她條件不變，結(jié)論"AE=EF”仍然成立.您認為

小華得觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明

理由.

解：（1）正確.（1分）

證明：在上取一點M,使AM=EC,連接ME.4卜（2分）

：.BM=BE.:.NBME=45。，二=135°."工

B~EC

b就是外角平分線，

ZDb=45。，

Z￡CF=135°

NAME=ZECF.

ZAEB+NBAE=90°,ZAEB+ZCEF=90°,

...NBAE=ZCEF.

.-.△AME^ABCF（ASA）.（5分）

AE=EF.（6分）

（2）正確.（7分）

證明：在BA得延長線上取一點N.

使AN=CE,連接NE.（8分）

BN=BE.

：.NN=NPCE=45°

四邊形"CD就是正方形,

AD//BE.

??.ZDAE=/BEA.

??.ZNAE=ZCEF

:./\ANE^/\ECF（ASA）.（10分）

..AE=EF.（11分）

11已知一個直角三角形紙片。A,其中

Z4。售X）02.如圖，將該紙片放置在平面直角坐標系中,

折疊該紙片，折痕與邊。8交于點C,與邊相交于點。.

（I）若折疊后使點8與點A重合，淤點C得坐標;

（II）若折疊后點8落在邊0A上得%,?，設(shè)。夕=乙

試寫出，關(guān)于x得函數(shù)解析式，并確定范圍；

0A

（HI）若折疊后點B落在邊0A上得點阪，，且使求此

時點。得坐標.—x

解（I）如圖①，折疊后點B與點A市'

則△ACO會△5CO、JRx

設(shè)點c得坐標為（°,MW>°）、

則BC=0B—0C=4-m、

于就是AC=BC=4-加、

在RtZXAOC中，由勾股定理，得ACJOC2+O4,

3

即（4-加）2=療+22,解得加=5、

二點C得坐標為I2人4分

（II）如圖②，折疊后點8落在0A邊上得點為心

則△B'C。烏△BCD、

由題設(shè)OB'=x，℃=y,

貝I]B'C=BC=OB-OC=4-y,

在RtAB'OC中，由勾股定理，得5。2=0廠+0相、

222

???（4-j）=y+x>

y---x2+2

即’86分

由點方在邊辦上，有0—W2,

12°

???解析式"干（°,<2）為所求、

???當0Wx<2時，>隨比得增大而減小，

%yW2

???、得取值范圍為2-、7分

（III）如圖③，折疊后點B落在。A邊上得點為3",且丁。〃。8、

則NOCB"=NCB"D、

又NCBD=NCB"D,ZOCB"=4CBD,有CB"〃BA、

Rt/XCOB"sRtAfiOA、

OB"OC

有為了=而，得0c=208"、9分

在RtABffOC中,

設(shè)西氣（x>0）,則OC=23

由（II）得結(jié)論，得8°,

解得/=-8±4后.玉>0,.,.飛=-8+4石

???點C得坐標為（°'8逐叫、I。分

12問題解決4蟀

如圖（1）,將正方形紙片ABC。折疊，使點B落在\\

N

圖（1）

CE_1

CO邊上一點E（不與點C,。重合），壓平后得到折痕MN.當而一5

AM

時，求兩得值.

方法指導：

娛肥冕需得值，可先求BN、AM得長，不妨設(shè)：AB=2

CE_1AMCE_1

在圖（1）中，若而=5'則所得值等于若而="則

AMCE1A