浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

PAGE18-浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分）．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集的定義可求得集合.【詳解】，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查并集的計(jì)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.函數(shù)f（x）=log3（2﹣x）的定義域是（）A.[2，+∞） B.（2，+∞） C.（﹣∞，2） D.（﹣∞，2]【答案】C【解析】試題分析：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．解：函數(shù)f（x）=log3（2﹣x）的定義域滿意：2﹣x＞0，解得x＜2．∴函數(shù)f（x）=log3（2﹣x）的定義域是（﹣∞，2）．故選C．考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域．3.已知冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示．若則與曲線，，，對(duì)應(yīng)的的值依次為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解，得到答案.【詳解】由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，在的右側(cè)部分的圖象，圖象由下至上，冪指數(shù)依次增大，曲線，，，對(duì)應(yīng)的的值依次為：故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中熟記冪函數(shù)在第一象限的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向左平移 B.向右平移C.向左平移 D.向右平移【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)圖像的變換原則即可求解.【詳解】，函數(shù)向左平移，可得，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的變換原則、誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.5.已知向量，．若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計(jì)算得出，然后利用平面對(duì)量數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算的值，由此可計(jì)算出的值.【詳解】，，又，，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面對(duì)量的數(shù)量積求向量的模，同時(shí)也考查了利用坐標(biāo)計(jì)算向量的模，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，得，，以及，利用二倍角公式化簡(jiǎn)所求式子，可得答案.【詳解】解：由得，因?yàn)?，所以，則，所以，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系、正余弦的二倍角公式等學(xué)問(wèn)，屬于基礎(chǔ)題.7.若是公差不為的等差數(shù)列，滿意，則該數(shù)列的前項(xiàng)和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，可得，依據(jù)題意求得，然后利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)得出，利用等差數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，可得，，，即，，，所以，，由等差數(shù)列的基本性質(zhì)可得，即，所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列求和，考查了等差數(shù)列基本量和基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.8.如圖，點(diǎn)在圓上，且點(diǎn)位于第一象限，圓與正半軸的交點(diǎn)是，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，若則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】干脆利用兩點(diǎn)間的距離公式求出半徑，再寫出A的坐標(biāo),由A，B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可解得-6sinα+8cosα=5，結(jié)合+=1，即可解得的值．【詳解】半徑r＝|OB|1，由三角函數(shù)定義知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（cosα，sinα）；∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，），|BC|，∴，∴整理可得：-6sinα+8cosα=5，又+=1，∴解得sin或，又點(diǎn)位于第一象限，∴0<<，∴sin，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)定義，兩點(diǎn)間的距離公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．9.若不等式對(duì)隨意實(shí)數(shù)恒成立，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】分類探討，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題得且；當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為或恒成立得且，綜合即可求解.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，即時(shí)，恒成立，所以恒成立，所以且；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，恒成立所以或恒成立，所以且，綜上，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查分類探討和不等式恒成立問(wèn)題，屬中檔題.10.已知平面對(duì)量，，，對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，y都有，成立．若，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】設(shè),,，由題意可得點(diǎn)在以為直徑的圓周上，設(shè)圓心為,作出圖形，過(guò)作,交于點(diǎn),交圓于點(diǎn),向量在上的投影的長(zhǎng)等于向量在上的投影的長(zhǎng).所以向量在上的投影的長(zhǎng)的最大值為（當(dāng)重合時(shí)取最大值.），設(shè),則，則，可得答案.【詳解】設(shè),,,則,對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，y都有，成立即對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，y都有，成立即，.所以點(diǎn)在以為直徑的圓周上.設(shè)圓心為.為向量在上的投影的長(zhǎng).過(guò)作交于點(diǎn),交圓于點(diǎn),如圖,由，則所以向量在上的投影的長(zhǎng)等于向量在上的投影.所以向量在上的投影的長(zhǎng)的最大值為（當(dāng)重合時(shí)取最大值.）.則設(shè),則，則當(dāng)時(shí)，有最大值所以的最大值以為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的最值問(wèn)題，考查向量的幾何意義，考查向量的投影的計(jì)算，屬于難題.二、填空題：（本大題有7小題，11－14每小題6分，15－17每小題4分，共36分）．11.向量，，且，則__________，__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于的等式，可求得的值，然后利用平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可計(jì)算得出的值.【詳解】，，且，，解得，則，因此，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用共線向量的坐標(biāo)表示求參數(shù)，同時(shí)也考查了平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.12.有一扇形其弧長(zhǎng)為6，半徑為3，則該弧所對(duì)弦長(zhǎng)為，扇形面積為．【答案】，．【解析】試題分析：，∴弦長(zhǎng)為，面積．考點(diǎn)：1．弧度制；2．扇形的弧長(zhǎng)面積公式．13.函數(shù)的部分圖像如圖所示．若（點(diǎn)A為圖像的一個(gè)最高點(diǎn)），，則__________，__________．

【答案】(1).(2).【解析】【分析】由點(diǎn)為圖像的一個(gè)最高點(diǎn)，可求出振幅，再由，可求出周期，從而可求出的值，然后代入其中的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可求出的值.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)為圖像的一個(gè)最高點(diǎn)，所以，由圖可知，，得，所以，解得，所以，將點(diǎn)坐標(biāo)代入中，得，所以，，因?yàn)?，所以，故答案為：；【點(diǎn)睛】此題考查了由三角函數(shù)的圖像求解析式，考查了正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)（為常數(shù)），則__________，__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)得出，可求得實(shí)數(shù)的值，然后求出代值計(jì)算即可.【詳解】由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，解得.所以，當(dāng)時(shí)，，因此，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用奇函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)，同時(shí)也考查了函數(shù)值的計(jì)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.15.在數(shù)列中，，，且數(shù)列為等比數(shù)列，則__________．【答案】【解析】【分析】由等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出，然后由累乘法求得．【詳解】∵為等比數(shù)列，由已知，，，∴，∴時(shí)，，也適合此式，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查累乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式．假如已知，則用累加法求通項(xiàng)公式，假如已知，則用連乘法求通項(xiàng)公式．16.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，P，Q分別在邊BC，CD上，且，則的大小為__________．【答案】【解析】【分析】先分別設(shè)，，則在中，由勾股定理得，再分別表示出，，之后利用正切的和角公式求即可解決.【詳解】解：設(shè)，，則，，因?yàn)槭侵苯侨切?，，所以由勾股定理得：，化?jiǎn)得,在中，，在中，，所以，又因?yàn)?，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查正切的和角公式，數(shù)據(jù)處理實(shí)力與運(yùn)算實(shí)力，是中檔題.17.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】因?yàn)椋?，畫出的圖像，通過(guò)分析圖像與x軸交點(diǎn)，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，可求出a的范圍．【詳解】由題意得，即，如圖所示，因?yàn)榍∮袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，即的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．若當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，則令，解得或，則當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，所以．若當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，必有一個(gè)零點(diǎn)，即，綜上【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，將方程求根問(wèn)題，轉(zhuǎn)換成圖像與x軸交點(diǎn)的問(wèn)題，再結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)行分析推斷，屬中檔題．三、解答題：（本大題有5小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）．18.設(shè)集合，．（Ⅰ）若，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）解出集合、，由可求得實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）求得，利用可得出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ），，，且，所以，，解得；（Ⅱ），，則或，又，所以，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查利用集合的運(yùn)算求參數(shù)，同時(shí)也考查了一元二次不等式的求解，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.19.已知函數(shù)，．（1）求的最大值和最小值；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】（1）．又，，即，．（2），，且，，即的取值范圍是．20.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿意，且是，的等差中項(xiàng)．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（1）先依據(jù)得是以2為公比的等比數(shù)列，再依據(jù)是，的等差中項(xiàng)列式解得即可求解；（2）先依據(jù)對(duì)數(shù)求出，再依據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，即?shù)列是以2為公比的等比數(shù)列．又是，的等差中項(xiàng)，所以，即，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．（Ⅱ）由（1）及得，，設(shè)，則①②①－②得：．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義，錯(cuò)位相減法求和，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是中檔題.21.在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，AB邊上中線CD長(zhǎng)為4．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面積．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）由誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式可得；（Ⅱ）在中，由正弦定理得，設(shè)，，，由余弦定理得，再在中，由余弦定理求得，從而得各邊長(zhǎng)，由面積公式可得三角形面積．【詳解】（Ⅰ）∵，，∴，，，∴．（Ⅱ）∵，設(shè)，，，由余弦定理：，，∴，在中，，即，解得（舍去），∴，，．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查兩角和的余弦公式和同角間的三角函數(shù)關(guān)系，誘導(dǎo)公式，三角形面積公式等等公式，駕馭正弦定理、余弦定理是解題關(guān)鍵．22.定義函數(shù)，其中為自變量，為常數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求的值；（Ⅱ）集合，，且，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）令，設(shè)，然后分、、三種狀況探討，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值，結(jié)合已知條件可求得實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）計(jì)算得出，由得出，換元，求出的取值范圍為，將方程變形為，依據(jù)題意可知，關(guān)于的方程在上有解，求得函數(shù)在區(qū)間上的值域，可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，令，則．①若，即，則函數(shù)在上為增函數(shù)，，沖突；②若，即，則函數(shù)在上為減函數(shù)，，解得，沖突；③若