新高考數(shù)學一輪復習講義第5章　§5.2　平面向量基本定理及坐標表示（原卷版）

§5.2平面向量基本定理及坐標表示考試要求1.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件．知識梳理1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底．2．平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).4．平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.常用結論已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)的任意兩個向量都可以作為一個基底．()(2)設{a，b}是平面內(nèi)的一個基底，若λ1a＋λ2b＝0，則λ1＝λ2＝0.()(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).()(4)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標不變．()教材改編題1．下列各組向量中，可以作為基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是線段P1P2的一個三等分點(靠近點P1)，則點P的坐標為()A．(2,2) B．(3，－1)C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)3．若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，則下列結論成立的是()A．a(chǎn)－c與b共線 B．b＋c與a共線C．a(chǎn)與b－c共線 D．a(chǎn)＋b與c共線題型一平面向量基本定理的應用例1(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EO,\s\up6(→))，則eq\o(ED,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)) D.eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))(2)已知在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，D，F(xiàn)分別為BC，AC的中點，P為AD與BF的交點，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝xa＋yb，則x＋y＝________.思維升華(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．跟蹤訓練1(1)(多選)下列命題中正確的是()A．若p＝xa＋yb，則p與a，b共面B．若p與a，b共面，則存在實數(shù)x，y使得p＝xa＋ybC．若eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，則P，M，A，B共面D．若P，M，A，B共面，則存在實數(shù)x，y使得eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))(2)如圖，已知平面內(nèi)有三個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝________.題型二平面向量的坐標運算例2(1)已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，C(0,1)，若eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，則點D的坐標為()A．(－2,3) B．(2，－3)C．(－2,1) D．(2，－1)(2)如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為()A.eq\f(6,5) B.eq\f(8,5)C．2 D.eq\f(8,3)思維升華(1)利用向量的坐標運算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運算法則，然后根據(jù)“兩個向量相等當且僅當它們的坐標對應相等”這一原則，化歸為方程(組)進行求解．(2)向量的坐標表示使向量運算代數(shù)化，成為數(shù)與形結合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉化為我們熟知的數(shù)量運算．跟蹤訓練2(1)已知M(－2,7)，N(10，－2)，點P是線段MN上的點，且eq\o(PN,\s\up6(→))＝－2eq\o(PM,\s\up6(→))，則P點的坐標為()A．(2,4) B．(－14,16)C．(6,1) D．(22，－11)(2)已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b))表示c，則()A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3bC．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b題型三向量共線的坐標表示命題點1利用向量共線求參數(shù)例3已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))∥eq\o(DA,\s\up6(→))，則x＋2y的值為()A．－1B．0C．1D．2命題點2利用向量共線求向量或點的坐標例4設點A(2,0)，B(4,2)，若點P在直線AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，則點P的坐標為()A．(3,1) B．(1，－1)C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1)思維升華平面向量共線的坐標表示問題的解題策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)．跟蹤訓練3(1)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，則實數(shù)λ的值為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,3)C.eq\f(7,4)D.eq\f(7,5)(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，C＝eq\f(π,3)，若m＝(c－eq\r(6)，a－b)，n＝(a－b，c＋eq\r(6))，且m∥n，則△ABC的面積為()A．3B.eq\f(9\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),2)D．3eq\r(3)課時精練1．如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一個基底的是()A．e1與e1＋e2B．e1－2e2與e1＋2e2C．e1＋e2與e1－e2D．e1－2e2與－e1＋2e22．已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，則|a－b|等于()A．2B．3C．4D．53．已知點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則()A.eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))D.eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))4．設平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|等于()A.eq\r(5)B.eq\r(6)C.eq\r(17)D.eq\r(26)5.如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D是半圓弧SKIPIF1<0上的兩個三等分點，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)a－b B．a(chǎn)－eq\f(1,2)bC．－eq\f(1,2)a＋b D．－a＋eq\f(1,2)b6．(多選)若k1a＋k2b＝0，則k1＝k2＝0，那么下列對a，b的判斷不正確的是()A．a(chǎn)與b一定共線 B．a(chǎn)與b一定不共線C．a(chǎn)與b一定垂直 D．a(chǎn)與b中至少有一個為07.如圖，在正方形ABCD中，P，Q分別是邊BC，CD的中點，eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BQ,\s\up6(→))，則x等于()A.eq\f(11,13) B.eq\f(6,5)C.eq\f(5,6) D.eq\f(3,2)8．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點A，B，C能構成三角形，則實數(shù)m不可能是()A．－2B.eq\f(1,2)C．1D．－19．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2,0)，若向量ma＋b與2a－nb共線，則mn＝________.10．若在△ABC中，AB＝eq\r(2)，∠ABC＝eq\f(π,4)，BC＝3，AD為BC邊上的高，O為AD上靠近點A的三等分點，且eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ－2μ＝________.11．在平行四邊形ABCD中，M，N分別是AD，CD的中點，eq\o(BM,\s\up6(→))＝a，eq\o(BN,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4)a＋eq\f(2,3)b B.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)a＋eq\f(3,4)b D.eq\f(3,4)a＋eq\f(3,4)b12．在△ABC中，D是直線AB上的點．若2eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋λeq\o(CA,\s\up6(→))，記△AC