新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第4章　§4.8　正弦定理、余弦定理（原卷版）

§4.8正弦定理、余弦定理考試要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.2.理解三角形的面積公式并能應(yīng)用.3.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題．知識梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解3．三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．常用結(jié)論在△ABC中，常有以下結(jié)論：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(3)a>b?A>B?sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面積S＝eq\r(pp－ap－bp－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比．()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，則A>B.()(3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素．()(4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時，△ABC為銳角三角形．()教材改編題1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)2．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為4，a＝2，B＝30°，則c等于()A．8 B．4C．eq\f(8\r(3),3) D．eq\f(4\r(3),3)3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B＝30°，b＝eq\r(2)，c＝2，則C＝.題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知eq\f(cosA,1＋sinA)＝eq\f(sin2B,1＋cos2B).(1)若C＝eq\f(2π,3)，求B；(2)求eq\f(a2＋b2,c2)的最小值．思維升華解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．跟蹤訓(xùn)練1記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)．(1)證明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cosA＝eq\f(25,31)，求△ABC的周長．題型二正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用命題點1三角形的形狀判斷例2(1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形(2)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，eq\f(c－a,2c)＝sin2eq\f(B,2)，則△ABC的形狀為()A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形延伸探究將本例(2)中的條件“eq\f(c－a,2c)＝sin2eq\f(B,2)”改為“eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，試判斷△ABC的形狀．思維升華判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．此時要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個結(jié)論．命題點2三角形的面積例3在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知4a＝eq\r(5)c，cosC＝eq\f(3,5).(1)求sinA的值；(2)若b＝11，求△ABC的面積．思維升華三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式．(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化．命題點3與平面幾何有關(guān)的問題例4如圖，已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，b(1＋cosC)＝eq\r(3)csin∠ABC且△ABC的外接圓面積為eq\f(49π,3).(1)求邊c的長；(2)若a＝5，延長CB至M，使得cos∠AMC＝eq\f(\r(21),7)，求BM.思維升華在平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計等問題時，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函數(shù)思想．跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個命題中正確的是()A．若acosA＝bcosB，則△ABC一定是等腰三角形B．若bcosC＋ccosB＝b，則△ABC是等腰三角形C．若eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，則△ABC一定是等邊三角形D．若B＝60°，b2＝ac，則△ABC是直角三角形(2)在①b2＋eq\r(2)ac＝a2＋c2；②cosB＝bcosA；③sinB＋cosB＝eq\r(2)這三個條件中任選一個填在下面的橫線中，并解決該問題．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，A＝eq\f(π,3)，b＝eq\r(2)，求△ABC的面積．(3)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，在①c(sinA－sinC)＝(a－b)(sinA＋sinB)；②2bcosA＋a＝2c；③eq\f(2\r(3),3)acsinB＝a2＋c2－b2三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．①若，求角B的大??；②求sinA＋sinC的取值范圍；③如圖所示，當(dāng)sinA＋sinC取得最大值時，若在△ABC所在平面內(nèi)取一點D(D與B在AC兩側(cè))，使得線段DC＝2，DA＝1，求△BCD面積的最大值．課時精練1．在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sinA＝6sinB，則c等于()A.eq\r(35)B.eq\r(31)C．6D．52．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(b＋c)sinC，a＝7，則△ABC外接圓的直徑為()A．14B．7C.eq\f(7\r(3),3)D.eq\f(14\r(3),3)3．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若eq\r(3)asinB＝bcosA，且b＝2eq\r(3)，c＝2，則a的值為()A．2eq\r(7) B．2C．2eq\r(3)－2 D．14．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A＝60°，b＝1，S△ABC＝eq\r(3)，則eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)等于()A.eq\f(2\r(39),3)B.eq\f(26\r(3),3)C.eq\f(8\r(3),3)D．2eq\r(3)5．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)(sinB＋sinC)2＝sin2A＋(2－eq\r(2))sinBsinC，eq\r(2)sinA－2sinB＝0，則sinC等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(6)－\r(2),4) D.eq\f(\r(6)＋\r(2),4)6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知2cosB(acosC＋ccosA)＝b，lgsinC＝eq\f(1,2)lg3－lg2，則△ABC的形狀為()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形7．已知△ABC中，點D在邊BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.當(dāng)eq\f(AC,AB)取得最小值時，BD＝.8．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為．9．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bcosC＝(2a－c)cosB.(1)求B；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求△ABC的面積．10．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知eq\r(3)bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))＝asinB.(1)求角A的大??；(2)若b，a，c成等比數(shù)列，判斷△ABC的形狀．11．(多選)對于△ABC，有如下判斷，其中正確的是()A．若cosA＝cosB，則△ABC為等腰三角形B．若A>B，則sinA>sinBC．若a＝8，c＝10，B＝60°，則符合條件的△ABC有兩個D．若sin2A＋sin2B<sin2C，則△ABC是鈍角三角形12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sinAsinBsinC＝eq\f(1,8)，△ABC的面積為2，則下列選項錯誤的是()A．a(chǎn)bc＝16eq\r(2)B．若a＝eq\r(2)，則A＝eq\f(π,3)C．△ABC外接圓的半徑R＝2eq\r(2)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,sinA)＋\f(1,sinB)))2≥32sinC13．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知csinA＝eq\r(3)acosC，c＝2eq\r(3)，ab＝8，則a＋b的值是．14．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC邊的中線AD＝eq\f(7,2)，那么BC＝.15．(多選)已知△ABC滿足sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶eq\r(7