2024-2025學(xué)年湖北省華中師大一附中高三第一次診斷性測試數(shù)學(xué)試題文試題含解析

2024-2025學(xué)年湖北省華中師大一附中高三第一次診斷性測試數(shù)學(xué)試題文試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)，使成立，則正數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-12，則實(shí)數(shù)的值為（）A．-2 B．-3 C．2 D．33．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．4．關(guān)于函數(shù)，有下列三個(gè)結(jié)論:①是的一個(gè)周期；②在上單調(diào)遞增；③的值域?yàn)?則上述結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．5．某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．06．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A．1 B．2 C．3 D．47．命題“”的否定是（）A． B．C． D．8．如圖，點(diǎn)E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)F，M分別在線段AC，BD1（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，則（）A．在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中，存在EF//BC1B．在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，不存在B1M⊥AEC．四面體EMAC的體積為定值D．四面體FA1C1B的體積不為定值9．設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．過拋物線的焦點(diǎn)且與的對稱軸垂直的直線與交于，兩點(diǎn)，，為的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，則的面積為（）A．1 B．2 C．4 D．811．水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．12．已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到次結(jié)束為止．某考生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．動(dòng)點(diǎn)到直線的距離和他到點(diǎn)距離相等，直線過且交點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn)，則以為直徑的圓必過_________.14．曲線在處的切線方程是_________．15．展開式中的系數(shù)為_________.16．某種圓柱形的如罐的容積為個(gè)立方單位，當(dāng)它的底面半徑和高的比值為______.時(shí)，可使得所用材料最省.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，求的最小值.18．（12分）已知函數(shù)（1）求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若且A為銳角，a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面積.19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.20．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）在平面四邊形中，已知，.（1）若，求的面積；（2）若求的長.22．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

根據(jù)實(shí)數(shù)滿足的等量關(guān)系，代入后將方程變形，構(gòu)造函數(shù)，并由導(dǎo)函數(shù)求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，結(jié)合存在性問題的求法，即可求得正數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)，，由題意得，即，令，∴，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴，∴.故選：A.本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，由基本不等式求函數(shù)的最值，存在性成立問題的解法，屬于中檔題.2．C【解析】

先研究的展開式的通項(xiàng)，再分中，取和兩種情況求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：，解得，故選：C.本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.3．D【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體是由一個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱構(gòu)成，利用錐體和柱體的體積公式計(jì)算出體積并相加求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知該幾何體的直觀圖是由一個(gè)三棱錐和三棱柱構(gòu)成，該多面體體積為.故選D.本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查柱體和錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

利用三角函數(shù)的性質(zhì)，逐個(gè)判斷即可求出．【詳解】①因?yàn)?，所以是的一個(gè)周期，①正確；②因?yàn)?，，所以在上不單調(diào)遞增，②錯(cuò)誤；③因?yàn)?，所以是偶函?shù)，又是的一個(gè)周期，所以可以只考慮時(shí)，的值域．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，的值域?yàn)椋坼e(cuò)誤；綜上，正確的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，故選B．本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用．5．C【解析】

由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù).【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，其中，，為直角三角形.∴該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為3.故選：C.本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎(chǔ)題.6．D【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率，列出a的方程即可求解【詳解】因?yàn)椋以邳c(diǎn)處的切線的斜率為3，所以，即.故選：D本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題7．D【解析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,對命題進(jìn)行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“,”的否定是：，．故選D．本題考查全稱命題的否定,難度容易.8．C【解析】

采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)線線、線面之間的關(guān)系以及四面體的體積公式，可得結(jié)果.【詳解】A錯(cuò)誤由平面，//而與平面相交，故可知與平面相交，所以不存在EF//BC1B錯(cuò)誤，如圖，作由又平面，所以平面又平面，所以由//，所以，平面所以平面，又平面所以，所以存在C正確四面體EMAC的體積為其中為點(diǎn)到平面的距離，由//，平面，平面所以//平面，則點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，所以為定值，故四面體EMAC的體積為定值錯(cuò)誤由//，平面，平面所以//平面，則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，所以為定值所以四面體FA1C1B的體積為定值故選：C本題考查線面、線線之間的關(guān)系，考驗(yàn)分析能力以及邏輯推理能力，熟練線面垂直與平行的判定定理以及性質(zhì)定理，中檔題.9．B【解析】

畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：，，，計(jì)算得到答案.【詳解】，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，，故，且.故.故選：.本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.10．C【解析】

設(shè)拋物線的解析式，得焦點(diǎn)為，對稱軸為軸，準(zhǔn)線為，這樣可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程可求得，而到直線的距離為，從而可求得三角形面積．【詳解】設(shè)拋物線的解析式，則焦點(diǎn)為，對稱軸為軸，準(zhǔn)線為，∵直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，，是與的交點(diǎn)，又軸，∴可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，代入，解得，又∵點(diǎn)在準(zhǔn)線上，設(shè)過點(diǎn)的的垂線與交于點(diǎn)，，∴.故應(yīng)選C.本題考查拋物線的性質(zhì)，解題時(shí)只要設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，就能得出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得參數(shù)的值．本題難度一般．11．B【解析】

根據(jù)斜二測畫法的基本原理，將平面直觀圖還原為原幾何圖形，可得，,繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形根據(jù)扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【詳解】根據(jù)“斜二測畫法”可得，，，繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體，它的表面積為.故選:本題考查斜二測畫法的應(yīng)用及組合體的表面積求法,難度較易.12．A【解析】

根據(jù)題意，分別求出再根據(jù)離散型隨機(jī)變量期望公式進(jìn)行求解即可【詳解】由題可知，，，則解得，由可得，答案選A本題考查離散型隨機(jī)變量期望的求解，易錯(cuò)點(diǎn)為第三次發(fā)球分為兩種情況：三次都不成功、第三次成功二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用動(dòng)點(diǎn)到直線的距離和他到點(diǎn)距離相等，,可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線,從而可求曲線的方程,將,代入,利用韋達(dá)定理,可得,從而可知以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意可得，，，可得，設(shè)直線的方程為，代入拋物線可得，，，，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn).故答案為：（0,0）本題考查了拋物線的定義，考查了直線和拋物線的交匯問題，同時(shí)考查了方程的思想和韋達(dá)定理，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.14．【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】求導(dǎo)得，所以，所以切線方程為故答案為：本題考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

變換，根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為：，，取和，計(jì)算得到系數(shù)為：.故答案為：.本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.16．【解析】

設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，根據(jù)容積為個(gè)立方單位可得，再列出該圓柱的表面積，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，從而進(jìn)一步得到圓柱的底面半徑和高的比值．【詳解】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為.∵該圓柱形的如罐的容積為個(gè)立方單位∴，即.∴該圓柱形的表面積為.令，則.令，得；令，得.∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，即材料最省，此時(shí).故答案為：.本題考查函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是寫出表面積的表示式，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）直接利用極坐標(biāo)公式計(jì)算得到答案（2）設(shè)，，根據(jù)三角函數(shù)的有界性得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樗灾本€的直角坐標(biāo)方程為.（2）由題意可設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，故的最小值?本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.18．（1）（2）【解析】

（1）利用降次公式、輔助角公式化簡解析式，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）先由求得，利用正弦定理得到，結(jié)合余弦定理列方程，求得，由此求得三角形的面積.【詳解】（1）函數(shù)，，由，得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)榍覟殇J角，所以.由及正弦定理可得，又，由余弦定理可得，解得，.本小題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于中檔題.19．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）通過證明面，即可由線面垂直推證面面垂直；（2）根據(jù)面，將問題轉(zhuǎn)化為求到面的距離，利用等體積法求點(diǎn)面距離即可.【詳解】（1）因?yàn)槔庵侵比庵?，所以又，所以面又，分別為AB，BC的中點(diǎn)所以//即面又面，所以平面平面（2）由（1）可知////所以//平面即點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離設(shè)點(diǎn)到面的距離為由（1）可知，面且在中，，易知由等體積公式可知即由得所以到平面的距離等于本題考查由線面垂直推證面面垂直，涉及利用等體積法求點(diǎn)面距離，屬綜合中檔題.20．（1）（2）【解析】

（1）求出及其導(dǎo)函數(shù)，利用研究的單調(diào)性和最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和零點(diǎn)定義可得的范圍．（2）令，題意說明時(shí)，恒成立.同樣求出導(dǎo)函數(shù)，由研究的單調(diào)性，通過分類討論可得的單調(diào)性得出結(jié)論．【詳解】解（1）函數(shù)所以討論：①當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.取，則又，所以，此時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，令，解得（舍）或當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增.據(jù)題意，得，所以（舍）或綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）令，根據(jù)題意知，當(dāng)時(shí)，恒成立.又討論：①若，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上是增函數(shù).又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以存在使，不符合題意.②若，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上是增函數(shù)，據(jù)①求解知，不符合題意.③若，則當(dāng)時(shí)，恒有，故在上是減函數(shù)，于是“對任意成立”的充分條件是“”，即，解得，故綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.本題考查函數(shù)零點(diǎn)問題，考查不等式恒成立問題，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．解題關(guān)鍵是通過分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性．本題難度較大，考查掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．21．（1）；（2）.【解析】

（1）在三角形中，利用余弦定理列方程，解方程求得的長，進(jìn)而由三角形的面積公式求得三角形的面積.（2）利用誘導(dǎo)公式求得，進(jìn)而求得，利用兩角差的正弦公式，求得，在三角形中利用正弦定理求得，在三角形中利用余弦定理求得的長.【詳解】（1）在中，，解得，.（2）在中，，..本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于中檔題.22．（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】試題分析：（1）先由公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；進(jìn)而列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)與公差，得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的