新疆2024屆高三下學(xué)期2月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（新課標(biāo)卷）（含答案解析）

絕密★啟用前2024屆高三2月大聯(lián)考（新課標(biāo)卷）（新疆專用）數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)的值分別為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，求得，結(jié)合題意列出方程組，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得且，解得.故選：B.2.設(shè)集合，若，則（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或2【答案】D【解析】【分析】對(duì)分類討論，結(jié)合交集的結(jié)果即可得解.【詳解】若，則或，當(dāng)時(shí)，矛盾，當(dāng)時(shí)，符合題意；若，則或，當(dāng)時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，矛盾；綜上所述，0或2.故選：D.3.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則，所以，所以.故選：C4.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A1012 B.2024 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的周期性及數(shù)列的通項(xiàng)公式列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可得到規(guī)律，再利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期，又，則，，，，，，，，，所以，且，所以.

故選：A5.將拋物線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到拋物線，若拋物線與拋物線交于異于原點(diǎn)的點(diǎn)，記拋物線與的焦點(diǎn)分別為、，且四邊形的面積為8，則（）A.4 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】依題意可得拋物線的方程為，聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，最后由求出.【詳解】由拋物線的性質(zhì)可知拋物線的方程為，由，解得或，即，又，，所以，解得或（舍去）.故選：C6.己知函數(shù)的圖象在兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線相互平行，則的取值可以為（）A. B.1 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，再由、、，即可得到，最后由基本不等式求出的范圍，即可判斷.【詳解】由，則，則，，依題意可得且、、，所以，所以，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)、分別取、時(shí)滿足題意.故選：D7.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的最大負(fù)值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用三角恒等變換化簡，從而得到的解析式，再利用三角函數(shù)的奇偶性求得，從而得解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，即實(shí)數(shù)的最大負(fù)值為，故C正確.故選：C.8.在中，，是的外心，為的中點(diǎn)，，是直線上異于、的任意一點(diǎn)，則（）A.3 B.6 C.7 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)得到，設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，再由數(shù)量積的定義及幾何意義求出，從而得解.【詳解】因?yàn)槭堑耐庑?，為的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，所以，，設(shè)，則，又是的外心，所以，所以.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)外接圓的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，再一個(gè)就是利用數(shù)量積的幾何意義求出.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.連接橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為，記橢圓C的右焦點(diǎn)為，則（）A. B.橢圓的離心率為C.橢圓的焦距為 D.橢圓上存在點(diǎn)P，使【答案】BD【解析】【分析】首先得到橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由三角形的面積求出，即可得到橢圓方程，即可求出，從而判斷A、B、C，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到即可判斷D.【詳解】橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，因?yàn)檫B接橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為，若為左、右頂點(diǎn)與上（下）頂點(diǎn)時(shí)，則，解得，符合題意；若為上、下頂點(diǎn)與左（右）頂點(diǎn)時(shí)，則，解得，符合題意；綜上可得，故A錯(cuò)誤；則橢圓方程為，所以，則橢圓的離心率，故B正確；橢圓的焦距為，故C錯(cuò)誤，因?yàn)闄E圓C的右焦點(diǎn)為，所以，即，所以在橢圓上存在點(diǎn)P，使，故D正確.故選：BD10.己知向量，記，如的夾角為，則，若在正三棱臺(tái)中，．則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用正三棱臺(tái)的性質(zhì)，結(jié)合平面幾何的知識(shí)與新定義即可得解.【詳解】對(duì)于A，在正三棱臺(tái)中，，，故A正確；對(duì)于B，在正三棱臺(tái)中，易知，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，同理可知，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知是腰長為，底邊長為1的等腰三角形，則，故，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（）A. B.4為函數(shù)的一個(gè)周期C.直線為曲線的一條對(duì)稱軸 D.【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)條件，得到，結(jié)合得到，賦值得到；B選項(xiàng)，由得到，求出4為函數(shù)的一個(gè)周期；C選項(xiàng)，得到，求出為曲線的一條對(duì)稱軸；D選項(xiàng)，由函數(shù)性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，由和，求出時(shí)，，求出，進(jìn)而由求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，為偶函數(shù)，故，將換成得，又，故，令得，中，令得，解得，故，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由①得②，式子①②相減得，故4為函數(shù)的一個(gè)周期，B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，用代替，得，即，故，故直線為曲線一條對(duì)稱軸，C正確；D選項(xiàng)，4為函數(shù)的一個(gè)周期，故，由C選項(xiàng)知，直線為曲線的一條對(duì)稱軸，且4為函數(shù)的一個(gè)周期，故為曲線的一條對(duì)稱軸，故，中，令得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，且，所以，即，又，所以，解得，故時(shí)，，故，故，，D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】函數(shù)的對(duì)稱性：若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某芯片制造公司近四年的收入（單位：千萬元）呈增長趨勢(shì)，其中第一年收入為20千萬元，第四年收入為58千萬元，且四年收入的平均數(shù)比中位數(shù)大1千萬元，則該公司近四年的總收入為_______千萬元．【答案】【解析】【分析】設(shè)該公司第二、第三年的收入分別為千萬元、千萬元，依題意可得，從而求出，即可得解.【詳解】設(shè)該公司第二、第三年收入分別為千萬元、千萬元，因?yàn)樗哪晔杖氲钠骄鶖?shù)比中位數(shù)大千萬元，所以，解得，所以該公司近四年的總收入為（千萬元）.故答案為：13.高一（1）班李明在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，用鐵皮制作了一個(gè)高為，體積為的圓錐模型（厚度忽略不計(jì)），則該圓錐模型的底面半徑為_______，該圓錐模型的側(cè)面積為___________．【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)該圓錐模型的底面半徑為，由圓錐的體積求出，再求出其母線，最后根據(jù)側(cè)面積公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)該圓錐模型的底面半徑為，所以其體積為，解得（負(fù)值舍去），所以其母線長為，所以該圓錐模型的側(cè)面積.故答案為：；14.已知將中最小數(shù)記為，最大數(shù)記為，若，則________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，即可得到，再由，即可求出的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，依題意，所以，又，則，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是得到與、、的不等關(guān)系，將多變量問題化為單變量問題.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知是對(duì)數(shù)函數(shù)且圖象過點(diǎn)，數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求m的最小值．【答案】（1）（2）24【解析】【分析】（1）先求出對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式，根據(jù)代入求解即可.（2）根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，從而得出，再由，即可求出m的最小值．【小問1詳解】設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)且，因?yàn)閳D象過點(diǎn)，所以，解得，所以，又?jǐn)?shù)列滿足，所以.【小問2詳解】由（1）得，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，解得，所以m的最小值為24.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得恒成立，當(dāng)時(shí)顯然成立，當(dāng)時(shí)參變分離可得恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，又，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)因?yàn)?，所以恒成立；?dāng)時(shí)，由，即恒成立，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以，所以，又，解得，顯然當(dāng)時(shí)在上也成立，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.如圖，在梯形中，，，，點(diǎn)在以為直徑的半圓上，設(shè)二面角的大小為．（1）若，求證：平面平面；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依題意可得平面平面，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，再由，即可證明平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問1詳解】因?yàn)?，所以平面平面，因?yàn)?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的半圓上，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】如圖以、所在直線為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)，則，，，，因?yàn)?，所以，所以，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，則，所以為二面角的平面角，即，又，，則，，所以，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知雙曲線的一條漸近線的一個(gè)方向向量為，右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）不與軸垂直的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），若直線的斜率之積為，試問：直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）直線過定點(diǎn)【解析】【分析】（1）依題意可知這條漸近線的方程為，即可得到，再由點(diǎn)到直線的距離公式得到方程組，即可求出、；（2）依題意直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與雙曲線，消元、列出韋達(dá)定理，由條件及斜率公式得到與的關(guān)系，即可求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線的一個(gè)方向向量為，所以這條漸近線的方程為，易知，則，解得，所以雙曲線方程為；【小問2詳解】依題意直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，由，得，當(dāng)時(shí)，且，所以，，由（1）知，則，整理得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，直線即，令，解得，即直線過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線即，令，解得，即直線過定點(diǎn)，舍去；綜上所述，直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19.我國某企業(yè)研發(fā)的家用機(jī)器人，其生產(chǎn)共有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道工序是出廠檢測工序，包括智能自動(dòng)檢測與人工抽檢，其中智能自動(dòng)檢測為次品的會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的進(jìn)入流水線進(jìn)行人工抽檢．已知該家用機(jī)器人在生產(chǎn)中前三道工序的次品率分別為．（1）已知某批次的家用機(jī)器人智能自動(dòng)檢測顯示合格率為，求在人工抽檢時(shí)，工人抽檢一個(gè)家用機(jī)器人恰好為合格品的概率（百分號(hào)前保留兩位小數(shù)）；（2）該企業(yè)利用短視頻直播方式擴(kuò)大產(chǎn)品影響力，在直播現(xiàn)場進(jìn)行家用機(jī)器人推廣活動(dòng)，現(xiàn)場人山人海，場面火爆，從現(xiàn)場抽取幸運(yùn)顧客參與游戲，游戲規(guī)則如下：參與游戲的幸運(yùn)顧客，每次都要有放回地從10張分別寫有數(shù)字的卡片中隨機(jī)抽取一張，指揮家用機(jī)器人運(yùn)乒乓球，直到獲得獎(jiǎng)品為止，每次游戲開始時(shí)，甲箱中有足夠多的球，乙箱中沒有球，若抽的卡片上的數(shù)字為奇數(shù)，則從甲箱中運(yùn)一個(gè)乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的數(shù)字為偶數(shù)，則從甲箱中運(yùn)兩個(gè)乒乓球到乙箱，當(dāng)乙箱中的乒乓球數(shù)目達(dá)到9個(gè)時(shí)，獲得獎(jiǎng)品優(yōu)惠券960元；當(dāng)乙箱中的乒乓球數(shù)目達(dá)到10個(gè)時(shí)，獲得獎(jiǎng)品大禮包一個(gè)，獲得獎(jiǎng)品時(shí)游戲結(jié)束．①求獲得“優(yōu)惠券”的概率；②若有16個(gè)幸運(yùn)顧客參與游戲，每人參加一次游戲，求該企業(yè)預(yù)備的優(yōu)惠券總金額的期望值．【答案】（1）（2）①；②元【解析】【分析】（1）根據(jù)條件概率的概率公式計(jì)算可得；（2）①設(shè)乙箱中有個(gè)球的概率為，即可求出、，當(dāng)時(shí)可得，從而得到，即當(dāng)時(shí)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，求出，再用累加法求出，即可求出；②設(shè)參與游戲的個(gè)幸運(yùn)顧客中獲得優(yōu)惠券的人數(shù)為，則，設(shè)優(yōu)惠券的總金額為元，則，再根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式及期望的性質(zhì)計(jì)算可得.【小問1詳解】設(shè)家用機(jī)器人經(jīng)過前三道工序后是合格品的概率為，則，設(shè)家用機(jī)器人智能自動(dòng)檢測合格為事件，人工抽檢合格為事件，則，，所以，即在人工抽檢時(shí)，工人抽檢一個(gè)家用機(jī)器人恰好為合格品的概率約為.【小問2詳解】①設(shè)乙箱中有個(gè)球的概率為，第一次抽到奇數(shù)，家用機(jī)器人運(yùn)個(gè)乒乓球，概率為，即，乙箱中有個(gè)球，有兩類情