初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-《圓》教案

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初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)一《圓》

【知識結(jié)構(gòu)】

淀義

點與圓的位置關(guān)系

三點定圓定理

,垂徑定理及推論

圓的有關(guān)性質(zhì)，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

基本性質(zhì)-

圓周角定理

.圓內(nèi)接四邊形

點的軌跡

反證法

相離

?判定

直線和圓的位置關(guān)系■相切■

性質(zhì)

'相交弦定理及推論

相交＜

圓＜.切割線定理及推論

'外離

外切

圓和圓的位置關(guān)系,相交

內(nèi)切

內(nèi)含

概念

..一J半徑、邊心距、中心角計算

正多邊形?計算《一

［邊長、面積的計算

正多邊形與圓?,圓周長、弧長、組合圖形周長計算

畫法應(yīng)用?

圓面積、扇形、組合圖形面積計算

.定義

圓柱和圓錐側(cè)面展開圖

側(cè)面積、全面積計算

第一節(jié)圓和圓的基本性質(zhì)

【知識回顧】

1.圓的定義（兩種）

2.有關(guān)概念：弦、直徑;弧、等弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同

心圓。

3“三點定圓”定理

4.垂徑定理及其推論

5.“等對等”定理及其推論

【考點分析】

1、確定條件：

圓心確定位置；半徑確定大小。

2、圓的對稱性：

圓是軸對稱圖形也是中心對稱圖形。

對稱軸是直徑，對稱中心是圓心。

3、垂徑定理：

4、點與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓的半徑為R,一點到圓心的距離為

點在圓外點在圓上=d=R;點在圓內(nèi)

【典型例題】

例1⑴下列語句中正確的有（）

①相等的圓心角所對的弧相等；

②平分弦的直徑垂直于弦；

③長度相等的兩條弧是等??；

④經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸；

A.1個B.2個C.3個D.4個

⑵如圖1,AB為。。的直徑，CD是弦，AE_LCD于E點，BF_LCD于F點，

BF交。0于G點，下面的結(jié)論：①EC=DF；②AE+BF=AB；③AE=GF；（4）

FG-FB=EC?ED,其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

圖3

例2⑴圓弧形橋拱的跨度AB=40cm,拱高CD=8cm,則橋拱的半徑是。

⑵已知：如圖3,。。的半徑為5,AB所對的圓心角為120°,則弦AB的長是

（）

A.B.C.5D.8

例3已知：。。的半徑OA=1,弦AB、AC的長分別是、，

求NBAC的度數(shù)。

例4已知：F是以O(shè)為圓心、BC為直徑的半圓上的一點，A是BF的中點，AD

_LBC于點D,求證：AD=BF.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1、如圖5,乒乓球的最大截口。O的直徑AB1.弦CD,P為垂足，若CD=32mm,

AP：PB=1：4,則AB=.

2、平面上一點P到。。上一點的距離最長6cm,最短為2cm,則。O的半徑為

_______cm.

3、已知：如圖6,RtAABC中，ZC=90°,AC=,BC=1.

若以C為圓心，CB長為半徑的圓交AB于P,則AP=.

4、已知一個直角三角形的面積為12cm2,周長為12cm,那么這個直角三角形外

接圓的半徑是cm.

5、如圖7,已知AB是。。的直徑，D為弦AC的中點，BC=6cm,則

OD=cm.

6、如圖8,在。。中，弦AB=CD,圖中的線段、角、弦分別具有相等關(guān)系的

量有（不包括AB=CD）（）

A.6組B.5組C.4組D.3組

7、圓的直徑是26cm,圓中一一條弦的長是24cm,則這條弦的弦心距是（）

A.5cmB.6cmC.lOcm

D.12cm

8、如圖9,在。O中，直徑MN1AB,垂足是C,則下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.AC=CBB.AN=BNC.AM=BMD.OC=CN

9、如圖10,已知：在。O中，AB為弦，C、D兩點在AB上，且AC=BD.

求證：aOCD為等腰三角形.

【能力創(chuàng)新】

10、等腰4ABC內(nèi)接于半徑為10cm的圓內(nèi)，其底邊BC的長為16cm,則SA

ABC為（）

A.32cmB.128cmC.32cm或8cmD.32cm或128cm

11、已知：如圖11,在。。中CD過圓心。，且CDJ_AB,垂足為D,過點C

任作一弦CF交。O于F,交AB于E,求證：CB2=CF-CE.

12、如圖12,AM是。。的直徑，過。0上一點B作BN_LAM,垂足為N,其

延長線交。0于C點，弦CD交AM于點E.⑴如果CD±AB,求證EN=NM；⑵

如果弦CD交AB于點F,且CD=AB,求證：CE2=EF-ED；⑶如果弦CD、AB

的延長線交于點F,且CD=AB,那么⑵的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；

若不成立，請說明理由。

第二節(jié)直線和圓的位置關(guān)系

【知識回顧】

1.三種位置及判定與性質(zhì)：

d>R]「直線與圓相離

d=RUc

直線與圓相切

d<R-I直線與圓相交

2.切線的性質(zhì)（重點）

3.切線的判定定理（重點）。圓的切線的判定有⑴…⑵…

4.切線長定理

【考點分析】

1、直線和圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征:

直線和圓相交相切相離

的位置

D與r的d<rd=rd>r

關(guān)系

公共點個210

數(shù)

公共點名交占切點無

稱

直線名稱割線切線無

2、有關(guān)定理E和概念

切線的判定定理：

判定方法：①②③

切線的性質(zhì)定理及推論：

切線長定理：

三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心：

【典型例題】

例1、如圖80303,已知AB是。O的直徑，C在AB的延長線上，CD切。O于

D,DE±AB于-E,求證：ZEDB=ZCDBo

例2、如圖80304,已知AB是。O的一條直80303徑，過

A作圓的切線AC,連結(jié)OC交。O于D;連結(jié)BD并延長交AC于E,AC=AB

①求證：CD是△ADE外接圓的切線。

ADFA

②若CD的延長線交。O于F,求證：~福

UIr\D

③若。O的直徑AB=2,求tgZCDE的值。

④若ACHAB結(jié)論①還成立嗎？

.80304

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1、若。。的半徑為3cm,點P與圓心O的距離為6cm,則過點P和。。相切的

兩條切線的夾角為度。

2、已知圓的直徑為13cm,如果直線和圓只有一個公共點，那么直線和圓心的距

離為o

3、已知PA與。O相切于A點，PA=73,ZAPO=45°，則PO的長

為=

4、已知△ABC中，NA=70°,點O是內(nèi)心，則NBOC的度數(shù)為。

5、已知OC平分NAOB,D是OC上任意一點，OD與OA相切于點E且DE=2cm,

則點D到OB的距離為。

6、如圖80301,AE、AD和BC分別切。O于E、D、F,如果AD=20,則AABC

的周長為o

7、如圖80302,梯形ABCD中，AD〃BC,過A、B、D三點的。。交BC于E,

且圓心。在BC上，①四邊形ABED是什麼四邊形？請證明你的結(jié)論。②若N

B=60°,AB：AD：BC=1：1：3則有哪些結(jié)論？至少寫出兩個并加以證明。

【發(fā)展探究】

1、如圖80305,設(shè)PMN是。O通過圓心的一條割線，①若PT切。O于點T,求

、丁TM2PM

證：元產(chǎn)PN

AM?BM

②若將PT繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)使其與。O相交于A、B兩點，試探求AZRZ與

AN-D1N

FN間的關(guān)系。

2、如果上題中的割線PMN不通過圓心，上述結(jié)論是否仍然成立?

【優(yōu)化評價】

1、OO的半徑是8,OO的一條弦AB長為8小，以4為半徑的同心圓與AB的位

置關(guān)系是o

2、在RtAABC中,NC=90°,AC=3,BC=4,若以C為圓心，R為半徑新作的圓與

斜邊AB只有一個公共點，則R的取值范圍是:

3、在直角梯形ABCD中，AD〃BC,NB=90°，以CD為直徑的圓切AB于E點,

AD=3,BC=4,則。O的直徑為o

4、RtAABC中，ZA=90°,。0分別與AB、AC相切于點E、F,圓心O在BC

上，若AB=a,AC=b，則。。的半徑等于()o

r—ra+b一ab-a+b

A、vabB、C^—~rD、-r

v2a+bab

5、如圖80306,△ABC是。。的內(nèi)接三角形，DE切圓于F點，且DE〃BC,那

么圖中與NBFD相等的角的個數(shù)是（）。

A、5B、3C、4D、2

8030680307

6、如圖80307,ABLBC,且AB=BC,以AB為直徑作半圓O交AC于D,則圖中

陰影部分的面積是△ABC面積的（）。

A、1倍B、；倍C>|倍D、1倍

7、如圖80308,OA和OB是。O的半徑，并且OA，OB,P是OA上的任一點，

BP的延長線交。O于點Q,點R在OA的延長線上，且RP=RQ。

①求證：RQ是。O的切線。

②求證：OB2=PB-PQ+OP2O

③當(dāng)RAWOA時，試確定NB的范圍。

8、如圖80309,點A在。O外，射線AO與。。交于F,G兩點，點H在。O上,

弧FH=MGH,點D是弧FH上一個動點（不運動至F）,BD是。。的直徑，連結(jié)

AB,交。O于點C,連結(jié)CD,交AO于點E,且OAM，OF=1,設(shè)AC=x,AB=y。

①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。

②若DE=2CE,求證：AD是。。的切線。

③當(dāng)DE,DC的長是方程x2-ax+2=0的兩根時，

求sinNDAB的值。

第三節(jié)與圓有關(guān)的角

【知識回顧】

與圓有關(guān)的角：⑴圓心角定義（等對等定理）

⑵圓周角定義（圓周角定理，與圓心角的關(guān)系）

⑶弦切角定義（弦切角定理）

【考點分析】

圓心角定理，圓周角定理，弦切角定理，圓內(nèi)接四邊形定理以及相關(guān)概念，能熟

練地運用這些知識進行有關(guān)證明與計算。

【典型例題】

例1」1）已知：人、8、（3、口任/、6、11順次是。0的八等分點，則NHDF=.

⑵如圖1,AC是。0的直徑，BD是。0的弦，EC〃AB交。0于E,則圖中與

ZBOC的一半相等的角共有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

例2、⑴下列命題正確的是（）

A.相等的角是對頂角；B.相等的圓周角所對的弧相等;

C.等弧所對的圓周角相等角；D.過任意三點可能確定一個圓。

⑵如圖2,經(jīng)過。0上的點A的切線和弦BC的延長線相交于點P,

若NCAP=40°,ZACP=100°,則NBAC所對的弧的度數(shù)為（）

A.40°B.100°C.120°D.30°

⑶如圖3,AB、AC是。O的兩條弦，延長CA到D,使AD=AB,若NADB=35°,

則NBOC=.

例3、⑴如圖4,CD是。O的直徑，AE切。O于B點，DC的延長線交AB于

點A,ZA=20°，貝UNDBE=.

⑵如圖5,AB是。0的直徑，點D在AB的延長線上，BD=OB,CD與。O切

于C,那么NCAB=度。

例4、已知，如圖6,AB是。O的直徑，C是。O上一點，連結(jié)AC,過點C作

直線CD_LAB于D（ADVDB=,點E是DB上任意一點（點D、B除外），直

線CE交。0于點F,連結(jié)AF與直線CD交于點Go⑴求證：AC2=AG-AF；

⑵若點E是AD（點A除外）上任意一點，上述結(jié)論是否任然成立？若成立，請

畫出圖形并給予證明；若不成立，請說明理由。

W-

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1、填空題：⑴如圖7,OA、0B是。0的兩條半徑，BC是。0的切線，

且NAOB=84°,則NABC的度數(shù)為.

⑵如圖8,C是。。上的一點，AB為100°,則NAOB=度，

ZACB=度。

⑶圓內(nèi)結(jié)四邊形ABCD中，如果NA:NB:NC=2：3：4,那么ND=度。

⑷如圖9,z^ABC中，ZC=90°,切AB于D,切BC于E,切AC于F,

貝U/EDF=。

(8)

2、選擇題：⑴如圖10,四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，E為AB延長線上

一點，ZCBE=40°,NAOC等于（）

A.20°B,40°C.80°D.100°

⑵AABC內(nèi)接于。0,NA=30°,若BC=4cm,則。0的直徑為（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm

⑶如圖11,AB為半圓0的直徑，弦AD、BC相交于點P,若CD=3,AB=4,

則tanNBPD等于（）

77453

A.3B.3c.3D.4

⑷如圖12,AB是半圓0的直徑，C、D是半圓上的兩點，半圓O的切線

PC交AB的延長線于點P,ZPCB=29°,則NADC=()

A.109°B.119°C.120°D.129°

3、如圖13,aABC內(nèi)接于OO,AB=AC,直線XY切。O于點C,弦BD

〃XY,AB、BD相交于點Eo⑴求證：AABD^AACD；⑵若AB=6cm,BC=4cm,

求AE的長。

【能力創(chuàng)新】

5、如圖14,AB是。。的直徑，弦CDJ_AB于P。⑴已知：CD=8cm,

NB=30°,求。O的半徑；⑵如果弦AE交CD于F,求證：AC2=AF-AE.

(14)

第四節(jié)與圓有關(guān)的比例線段

【知識回顧】

與圓有關(guān)的比例線段

1.相交弦定理

2.切割線定理

【考點分析】

1、和圓有關(guān)的線段間的比例關(guān)系可列表如下:

相交弦定理及切割線定理及推

推論1論2

條弦弦CDPT是。PAB、

件AB,CD±直0的切PCD

相交于徑AB線，均為

▲P八占、、交于PPAB是。0的

OO的割線

割線

圖圖圖圖圖

形80401804028040380404

22

結(jié)PA?PPC=PPT=PAPA?P

論B=PCA?PB*PBB=PC

?PD?PD

2、可深化得出的結(jié)論：PA-PB為常數(shù)。設(shè)。0的半徑為R,對于相交弦則有

22

PA?PB=R2-Op2,對于切割線則有PA-PB=OP-RO

3、解題方法：①直接應(yīng)用相交弦定理，切割線定理及其推論；②找相似三角形,

當(dāng)不能直接運用定理和推論時，通常用添加輔助線的方式以證明三角形相似得

證。

【典型例析】

例1、如圖80406,已知4ABC是。O的內(nèi)接三角形，PA是切線，PB交AC于

E點，交。。于D點，且PE=PA,/ABC=60°,PD=1,BD=8。求CE的長。

例2、如圖80407,已知PA切。。于A點，PBC為割線，弦CD〃AP,AD交BC

于E點，F(xiàn)在CE上，且ED2=EF?EC。

求證：①NEDF=NP②求證：CE?EB=EF-EP

③若CE：EB=3：2,DE=6,EF=4,求PA的長。

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1、已知：AB?CD為。0得兩條弦，AB與CD交于點P且點P為CD得中點，

PC=4,則PA?PB=o

2、已知RtAABC的兩條直角邊AC,BC得長分別為3cm,4cm。以AC為直徑作

圓于斜邊AB交于點D,則BD得長為o

3、已知割線PBC與。0交于點B點C且PB=BCo如果0P與。0交于點A,

且OA=7,AP=2,則PC的長為o

4、已知PA為。0的切線，A為切點，PBC時過點0得割線，PA=10cm,PB=5cm,

則O0的半徑為o

5、OO的一弦AB=10cm,P是AB上一點，PA=4cm,OP=5cm,則。0的直徑

為o

6^如圖80405,已知△ABC中，AD平分/BAC,過A、B、D作。O,EF切。

O于D點，交AC于E點。求證：CD2=CE?AC。

80405

【發(fā)展探究】

如圖80408,正方形ABCD的邊長為2a,H是以BC為直徑的半圓上的一點，過

H與半圓相切的直線交AB于點E,交CD于點E①當(dāng)H在半圓上移動時，切

線EF在AB、CD上的兩個交點分別在AB、CD上移動（E與A不重合，F(xiàn)與D

不重合），試問四邊形AEFD的周長是否也在變化？請證明你的結(jié)論；②若N

BEF=60°，求四邊形BCFE的周長;③設(shè)四邊形BCFE的面積為Si,正方形ABCD

的面積為So

當(dāng)H在什么位置時，S尸1分3So

【優(yōu)化評價】

1、已知AEB、ADC是。0的兩條割線，且AB〉A(chǔ)E,AC>AD,AT切。0于T,若

AD=4,DE=2,AE=3,AT=6,則BC=。

2、已知P為圓外一點,PA切。0于A點,PA=8,直線PCB交圓于C、B且PC=4,AD

sinx

1BC于D點，ZABC=x,ZACB=B，則一y的值為。

olllR

3、等邊三角形的內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑和高的比為（）。

A、1：^2：小B、1：S：2

C、1：2：3D、1：2：/

4、已知梯形ABCD外切于。0,AD〃BC,NB=60°,NC=45°,00的半徑為

10,則梯形的中位線長為（）。

20

A、10B、y小+1即C、20D、2072

5、在半徑為r的。0中，一條弦AB等于r,則以0為圓心，坐r為半徑的圓與

AB的位置關(guān)系是（）。

A、相離B、相切C、相交D、不能確定

6、如圖80409,PT為。。的切線，T為切點，PA為割線，它與。。的交點是B、

A與直線CT的交點是D,已知DD=2,AD=3,BD=4,求PB的長。

7、如圖80410,PA是。0的直徑，PC是。0的弦，過弧AC中點H作PC的垂

線交PC的延長線于點B。若HB=6,BC=4。求。0的直徑。

8、如圖80411,。。是以AB為直徑的△ABC的外接圓，D是劣弧弧BC中點,

r）pRD2

連AD并延長與過C點的切線交于點P。①求證：痂=彳2

②當(dāng)AC=6,AB=10時，求切線PC的長。

第五節(jié)圓和圓的位置關(guān)系

【知識回顧】

1.五種位置關(guān)系及判定與性質(zhì)：（重點：相切）

d>R+r]r外離

d=R+r外切

K-r<d<K+r相父

d=R-r內(nèi)切

d<R-r)〔內(nèi)含

2.相切（交）兩圓連心線的性質(zhì)定理

3.兩圓的公切線：（1）定義⑵性質(zhì)

【考點分析】

1、五種位置關(guān)系及其數(shù)量特征（注意“數(shù)形結(jié)合”）。

相切相離

兩圓位置相交外切內(nèi)切外離內(nèi)含

關(guān)系

R-r<d<R+rd=d=d>d<

d與R、r(R>r)R+rR-rR+rR-r

的關(guān)系(R>r)(R>r)

公共點個21100

數(shù)

外公切線22120

條數(shù)

內(nèi)公切線01020

條數(shù)

公切線條23140

數(shù)

★記憶方法：

0R-rR+r

>★d

洞內(nèi)含p

外離

4巳

2、有關(guān)定理：

連心線的性質(zhì):當(dāng)兩圓相交時，連心線垂直平分公共弦；當(dāng)兩圓相切時，連心線

過切點；當(dāng)兩圓外離時，連心線過內(nèi)(外)公切線的交點且連心線平分兩條公切

線的夾角；當(dāng)兩圓內(nèi)含時，連心線是對稱軸。

公切線的性質(zhì):兩圓的兩條外(內(nèi))公切線的長相等；兩條外(內(nèi))公切線的交

點在連心線上且夾角被連心線平分。

公切線長的計算公式:

1外公切線荻了

1內(nèi)公切線RdL(R+r)2.

.兩個圓是軸對稱圖形，兩圓的連心線是它的對稱軸。

3、思想方法：

(1)抓住“切點”，明辨圓與圓的相切及圓與直線的相切，并充分、合理地運用

有關(guān)“切”的定理。

(2)全面思考問題：如兩圓無公共點，則為外離或內(nèi)含；相切分“外切”和''內(nèi)

切”；兩個圓心可在公共弦和同側(cè)或異側(cè)。

(3)發(fā)現(xiàn)和建立兩圓之間的聯(lián)系，注意有些線段或角具有雙重身份，應(yīng)靈活使

用。

【典型例題】

例1、如圖80501,已知。01和。02相交于A,Bo0102交。01于P,PA,PB的延

長線分別是交。02于C,D,求證：AC=BD0

證法一：連AB作02M±AC,02N±BDo

證法二：連AB。

c

80501D

例2、如圖80502,。01和。02外切于點C,外公切線AB交0102的延長線于P，

NA01P=60°,0102=2,求兩圓的半徑。

證法一：連02B。

證法二：作02D_L01A。

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1、若（1）直徑分別為6和8,圓心距為10；（2）只有一條公切線；（3）R2+d2M=2Rd

則兩圓的位置關(guān)系分別為、和o

2、若兩圓既有外公切線，又有內(nèi)公切線，則兩圓半徑R和r及圓心距d的關(guān)系

是（）-

A、d<R+rB、d=R+rC、d>R+rD、d'R+r

3、兩圓外切于A,BC是外公切線，則△ABC為（）o

A、銳角三角形B、直角三角形

C、鈍角三角形D、等邊三角形

4、兩個等圓。01和。02相交于A、B兩點，且02在。01上。則四邊形O1AO2B

是（）。

A、平行四邊形B、菱形

C、正方形D、梯形

5、兩圓外切，當(dāng)兩圓外切時，圓心距為20.那么兩圓內(nèi)切時，圓心距（）0

A、8B、12C、4D、小于4

6、兩園外切，其半徑分別為6和2,則兩條外公切線的夾角等于（）。

A、30°B、45°C、60°D、90°

7、兩圓半徑分別為4和2,一條公切線為4,則兩圓的位置關(guān)系為（）。

A、外切B、內(nèi)切C、外離D、相交

8、三個同心圓的半徑分別為rl,r2,r3,且rl<r2<r3。如果大圓的面積被兩個小圓

三等分，那么rl：r2：r3等于（）。

A、1：2：3B、1：y[2：/C、1：4：6D、2：3：5

9、兩圓的圓心坐標(biāo)分別為（小,0）和（0,1）,它們的半徑分別是4和6,則兩圓

的位置關(guān)系是（）o

A、外離B、外切C、相交D、內(nèi)切

10、相交兩圓的公共弦為6,半徑分別為4和5。則圓心距為（）o

A、4+巾B、4-小

C、4+于或4-巾D、不同于以上答案

【發(fā)展探究】

如圖80503,半徑為R和r的。01和。02外切于P,切點P到外公切線AB的距

離PQ=d，寫出R、r、d之間的一個數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

80503

d**rriio

證明：△CP02SAD0102=>^";==>p+-=彳

K-rK十rKru

?相似是平兒的重要手段。

?掌握“從未知看需知靠攏已知”“（分析法）”和從已知看可推知向未知”（綜合

法）。

【優(yōu)化評價】

1、若IR-d|=i■，則兩圓的位置關(guān)系是（）。

A、相交B、外切C、相切D、內(nèi)切

2、在兩圓的五種位置關(guān)系中，沒有內(nèi)公切線的有（）。

A、4種B、3種C、2種D、1種

3、兩圓相外切，且它們的兩條外公切線互相垂直，其中大圓半徑等于5cm,則外

公切線的長為（）o

A、5（3-26）cmB、5cmC、10（小-1）cm

D、5（5-35cm

4、平面上三個圓兩兩相切，則切點個數(shù)最少是（）。

A、1個B、2個C、3個D、4個

5、圓A,圓B,圓C兩兩外切于D,E,F,則ADEF的外心是AABC的（）。

A、內(nèi)心B、外心C、垂心D、重心

6、和。02交于A,B,P為0102的中點，直線MN過A且垂直于PA交兩圓

于M,N,若MN=26，則AM等于（）。

A、1B、啦C、蟲D、2

7、。01和。02交于A,B,直線EF平行于0102分別交兩圓于E,F,若0102=3,則

0102：EF=（）□

1112

--

A-及uD-

、

234、3

8、圓A,圓B,圓C兩兩外切，半徑分別為陋、小、小，則△ABC為（）0

A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等腰直角三角形。

9、圓01和圓02相外切，又都內(nèi)切于圓03,01、02、03在一條直線上0102=8cm,

則圓03的半徑為（）o

A、4cmB、5cmC、6cmD^8cm

10、定圓O的半徑為4cm,動圓P的半徑為1cm,若兩圓外切，則PO=,

點P在上移動。

第六節(jié)正多邊形和圓

【知識回顧】

1.圓的內(nèi)接、外切多邊形（三角形、四邊形）

2.三角形的外接圓、內(nèi)切圓及性質(zhì)

3.圓的外切四邊形、內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

4.正多邊形及計算

360°

an=------=2a（右圖）

中心角：n

（"2）180。/

內(nèi)角的一半：?2（右圖）

（解Rt^OAM可求出相關(guān)元素,S"、2等）

5、一組計算公式

（1）圓周長公式

（2）圓面積公式

（3）扇形面積公式

（4）弧長公式

（5）弓形面積的計算方法

（6）圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖及相關(guān)計算

【考點分析】

1、任何一個正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，而且是同心圓。

2、一個正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時，它是一個軸對稱圖形，且有n條對稱軸；當(dāng)

n為偶數(shù)時，它同時也是一個中心對稱圖形，其對稱中心為其外（內(nèi)）心。

3、弧長公式1弧AB=7^TnRo

1ou

4、扇形面積公式：S扇形=就ITR2=；1RO

5、弓形面積公式：

6、正n邊形：

7、立體圖形圓柱和圓錐，可將它們轉(zhuǎn)化為平面圖形進行研究。要掌握圓柱和圓

錐轉(zhuǎn)化成相關(guān)平面圖形的特征，以及與圓柱和圓錐的聯(lián)系。

?圓柱與它相關(guān)平面圖形的關(guān)系

圓柱可以看成是由旋轉(zhuǎn)得到的圖形，圓柱沿軸的剖面圖是矩形，圓柱的側(cè)面展開

圖是矩形。設(shè)圓柱的母線長為1,底面圓半徑為R,圓柱與它的旋轉(zhuǎn)面、軸剖面、

側(cè)面展開圖元素間的關(guān)系如下表：

圓柱旋轉(zhuǎn)面軸剖面?zhèn)让嬲?/p>

（矩形）（矩形）開圖（矩

形）

母線長軸上的平行軸一邊長

（高）1邊1的邊11;

底面圓垂直于垂直軸另一邊

半徑R軸的邊的邊2R長2JTR

2R

?圓錐與它相關(guān)平面圖形的關(guān)系

圓錐可以看成是直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的圖形，圓錐沿軸的剖面圖是等腰三角形，

圓錐的側(cè)面展開圖是扇形。設(shè)圓錐的母線長為1,底面圓半徑為r,錐角為a,高為

h,圓錐與它的旋轉(zhuǎn)面、軸剖面、側(cè)面展開圖元素間的關(guān)系如下表：

圓錐旋轉(zhuǎn)面軸剖面?zhèn)让嬲?/p>

（直角三（等腰開圖（扇

角形）三角形）

形）

母線長斜邊長1腰長1半徑1

1

底面圓垂直軸的底邊長弧長2r

半徑r直角邊r2r

斜邊與軸圓心角

錐角a上的直角頂角a360°

邊夾角ga.a

sin2

高h軸上的直底邊上—

角邊h的高h

8、

邊內(nèi)中牛邊邊周面

數(shù)角心徑長心長積

nQ角Rnan距PnS

rnn

31

41

61

9、結(jié)論及方法：

(1)正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形。

(2)正多邊形的有關(guān)計算問題，常轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題來研究。

(3)常用“隔離法”來按各元素之間的數(shù)量關(guān)系。

(4)求陰影部分面積常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來求，或采用“重疊法”及“代數(shù)法”。

【典型例題】

如圖80505,在半徑等于R的圓內(nèi)，引兩條在圓心同旁且平行的弦，它們所對的

弧分別是120。和60°。求兩平行弦間所夾的圖形的面積和周長。

S等邊梯形ABDCq311,2?周長是(1+小+9)R

80505

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1、已知ABCDE是正五邊形，貝ljNADB=()。

A、35°B、36°C、40°D、54°

2、下列正多邊形中，既是軸對稱，又是中心對稱的圖形是()o

A、正三角形B、正方形

C、正五邊形D、正七邊形

3、若正方形的內(nèi)切圓的面積是n,則其外接圓的面積是()。

9925

A、2nB、］mC、4nD、gn

4、弧長為1圓心角為120°,那么它所對的弦長為

)o

A"

R1J21r1J31n1J21

A、4nB、4nC、2nD、21t

5、圓柱的底面積為9口,側(cè)面積為48n,那么它的母線長為（）□

A、8B、16C、8nD、16n

6、圓錐的高是8,母線長為10,則它的側(cè)面積是（）。

A、40JrB、50"C、60nD、70n

7、同一個圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形的邊長之比為（）。

A、啦：1B、2：3C、3：2D、6：2

8、一個扇形的面積是12n,弧長是4n,則它的半徑為（）。

A、3B、4C、5D、6

9、弓形的弦長為2仍,弓形高為1,則弦長為（）。

124

A>q兀B^C、兀D^］兀

10、如圖80504,正方形邊長為a,弧的半徑為a,陰影部分面積為（）。

、O兀1）1lo

A、（n-1）a*B、（2-1）a~C、］（n-1）a~D、丁31a"

【發(fā)展探究】

如圖80506,在邊長為23cm的正方形ABCD中，剪下一個扇形AEF和一個圓O

分別作為圓錐的側(cè)面和底面做成一個圓錐，求此圓錐的表面積。

2

S&=S惻+S底=5口（5^/2-2）0

【優(yōu)化評價】

1、正三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、高之比為（）。

A、1：S：2B、2：3：4

C、1：啦：小D、1：2：3

2、圓外切正六邊形與圓內(nèi)接正六邊形邊長之比為（）。

A、事:2B、2^3：3

C、3仍：2D、S：2

3、圓錐的錐角為60°,軸截面面積為小cn?,則圓錐的表面積為（）。

A、兀cm2B、2ncm2

C、3ncm2D、4ncm2

4、圓錐的錐角是90°，則圓錐側(cè)面展開圖的扇形的圓心角的度數(shù)為

A、90B、90^2

C、180D>18(h/2

5、如圖80507,半圓O的半徑為R,C,D把半圓三等分，則圖中陰影部分的面積

為。

6、半徑為13的半徑為5的兩個圓相交于A,B圓心距0102=12,則公共弦AB的

長為。

第七節(jié)軌跡和作圖

【知識回顧】

一、點的軌跡

六條基本軌跡

二、有關(guān)作圖

1.作三角形的外接圓、內(nèi)切圓

2.平分已知弧

3.作已知兩線段的比例中項

4.等分圓周：4、8;6、3等分

【考點分析】

1、軌跡：條件FO圖形C

2、五條基本軌跡：

①圓：到定點距離等于定長的點的軌跡。②中垂線：到線段兩個端點距離相等的

點的軌跡。③角平分線：到角的兩邊距離相等的點軌跡。④平行線：到一直線距

離為定值的點的軌跡是一條到該直線距離為定值的平行線。⑤平行線：到兩平行

線距離相等的點的軌跡是平行與兩條直線且到兩直線距離相等的直線。

3、相切在作圖中應(yīng)用

直線和圓弧在切點處連接；圓弧與圓弧在切點處外連接和內(nèi)連接。

【典型例題】

例1已知圓弧AB,過B點作以半徑為R的圓弧在B點外連結(jié)。

例2說明下點的軌跡：

①一邊固定的菱形的對角線交點的軌跡；

②已知圓內(nèi)等弦的中點軌跡；

③已知圓內(nèi)平行弦的中點軌跡；

④四邊形ABCD是已知圓0的內(nèi)接梯形，且AB〃CD,若AB固定，寫出

這個梯形的對角線交點的軌跡；

⑤已知定長/及半徑，的圓0,若圓0外一點P向圓所作的切線長為。試

寫出點P的軌跡；

⑥A、B為兩定點，且爐一定值，試寫出動點P的軌跡；

⑦AB、CD是已給的兩條平行線，E、F分別是AB、CD上的動點，連接

EF,試寫出EF中點P的軌跡；

⑧/ABC為一已知的等邊三角形，P為一動點，若PA=PB+PC,試求點P

的軌跡；

⑨已知/ABC及一動點P,若S/PAB=S“PAC，試求動點P的軌跡；

⑩動點P與定圓0的最短距離等于該圓的半徑R,試寫出動點P的軌跡；

例3P、Q分別是已知NX0Y的兩邊OX、0Y上的兩動點，且0P+0Q=%為一

定值，試求動點P的軌跡。

4、在互相垂直相交的兩條直線XX'、YY'上分別取任意一點A、B,以AB為底

邊的等腰直角/PAB,試求直角頂點P的軌跡。

《圓》測試題

一、填空題。（3分X12=36分）

1、和已知線段兩個端點距離相等的點的軌跡是—。

2、一個半徑是5cm的圓，它的一條弦長是6cm,則弦心距是。

3、已知，等邊△ABC內(nèi)接于。O,AB=10cm,則。。的半徑是。

4、一條弦把圓分成2：3兩部分，那么這條弦所對的圓心角的度數(shù)

是。

5、已知PA切。0于A,PBC交。0于B、C,PA=4小,PC=12,則PB=。

6、已知圓0的弦AB經(jīng)過弦CD的中點P,若AP=2cm,CD=8cm,則PB的長

是o

7、如圖80001,①在ABC中，AB=AC,ZBAC=120°，②A與BC相切點D。與

AB相交于點E,則NEDB=（1度。

8、已知。01與。O,的直徑分別為4cm和2cm,圓心距為6cm,則兩圓的公切

線

有條。

9^如圖80002,。0］與。。2相交于A和B,PQ交。Ch于M和Q,切。。2于P,

交AB延長線于N,MN=3,QN=15,則PN=。

10、彎制管道時，先按中心線計算“展直長度”，再下料。根據(jù)右圖可算得管道

的展直長度為o（單位：mm,精確到1mm。）

11、如圖80004,。。的半徑為1,圓周角NABC=30°,則圖中陰影部分的面積

是（結(jié)果用n表示）。

12、數(shù)學(xué)課上，學(xué)生動手將面積為400cm2的正方形硬紙片圍成圓柱的側(cè)面，則

此圓柱的底面直徑為o

二、選擇題。（3分X10=30分）

1、下列命題中，錯誤的是（）

A、在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等；

B、到圓心的距離等于半徑的點在圓上；

C、全等的兩個三角形必定相似；

D、相等的兩個角是對頂角。

2、如圖80005,點C在以AB為直徑的半圓O上，NBAC=20°,則NBOC等

于（）。

A、20°B、30°；C、40°D、50°

8000580006

3、在半徑為R的圓中有一條長度為R的弦，則該弦所對的圓周角的度數(shù)是

（）o

A、30°B、30°或150°；C、60°D、60°或120°

4、如圖80006,OO的直徑為12cm,弦AB垂直平分半徑OC,那么弦AB的

長為（）□

A、3)-\f3cmB、6cm；C、6小cmD、12小