考研數(shù)學三（線性代數(shù)）模擬試卷5（共253題）

考研數(shù)學三（線性代數(shù)）模擬試卷5（共9套）（共253題）考研數(shù)學三（線性代數(shù)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設n(n≥2)階矩陣A非奇異，A*是矩陣A的伴隨矩陣，則()．A、(A*)*=|A|n-1AB、(A*)*=|A|n+1AC、(A*)*=|A|n-2AD、(A*)*=|A|n+2A標準答案：C知識點解析：解一(A*)*=|A*|(A*)－1=||A|A1|[A|A－1]-1=|A|n|A－1||A|－1(A－1)－1=|A|n－2A．解二2、設A是任一n(n≥3)階方陣，A*是其伴隨矩陣，又k為常數(shù)，且k≠0，±1，則必有(kA)*=()．A、kA*B、kn-1A*C、knA*D、k-1A*標準答案：B知識點解析：僅(B)入選．對任何n階矩陣都要成立的結論，對特殊的n階可逆矩陣自然也成立．因為當A可逆時，有(kA*)=|kA|(kA)－1=kn|A|A－1／k=kn－1|A|A－1=knA*．3、設矩陣Am×n的秩為秩(A)=m＜n，Em為m階單位矩陣，下述結論中正確的是()．A、A的任意m個列向量必線性無關B、A的任意一個m階子式不等于零C、若矩陣B滿足BA=O，則B=OD、A通過初等行變換，必可化為[Em，O]的形式標準答案：C知識點解析：解一由BA=O知，秩(A)+秩(B)≤m．又秩(A)=m，故秩(B)≤0．又秩(B)≥0，所以秩(B)=0，即B=O．僅(C)入選．解二由BA=O知，A的每列向量均為BX=0的解向量．又由題設知，A的列向量組中有m個線性無關，故BX=0的解集合中至少含有m個線性無關的解向量．因而BX=0的基礎解系中的含解向量的個數(shù)m一秩(B)≥m，故秩(B)≤0．又對于任意矩陣均有秩(B)≥0，故秩(B)=0，所以B=O．僅(C)入選．解三由BA=O有ATBT=O，則BT的每列均為ATX=0的解向量，而AT列滿秩，故ATX=0只有零解．因而BT的每列即B的每行都等于零，于是B=O．僅(C)入選．解四選項(A)和(B)中的“任意”改為“存在”，結論才正確．選項(D)中“通過初等行變換”改為“通過初等行變換和列變換”才正確，因而排除(A)、(B)、(D)．僅(C)入選．4、設A，B為同階可逆矩陣，則()．A、AB=BAB、存在可逆矩陣P，使P-1AP=BC、存在可逆矩陣C，使CTAC=BD、存在可逆矩陣P和Q，使PAQ=B標準答案：D知識點解析：解一因A，B為同階可逆矩陣，故其秩相等，因而A與B等價，再由命題2．2．5．3(4)知，存在可逆矩陣P和Q，使PAQ=B，故僅(D)入選．解二因方陣A可逆，則A與同階單位矩陣E等價(見命題2．2．5．5(1))，則存在可逆矩陣P，使PA=E．同理，由于B可逆，故存在可逆矩陣M，使BM=E(見命題2．2．5．5(3))，故PA=E=BM，因而．PALM-1=B．令M－1=Q，則P，Q可逆，使PAQ=B，于是選項(D)正確．解三A，B為同階可逆矩陣，則由解一知，它們都等價于同階單位矩陣．由等價的傳遞性和對稱性知，(D)成立．但因A，B等價，其特征值可以不一樣，因而未必相似，故(B)不成立．另外，兩個可逆矩陣所對應的二次型的正、負慣性指數(shù)可以不同，因此它們也未必合同，故(C)也不對．因為A，B等價，即A與B等秩，這只是A，B相似的必要條件，但非充分條件．同樣也只是A與B合同的必要條件，但非充分條件．因矩陣乘法不滿足交換律，故(A)也不成立．解四因A，B為同階可逆矩陣，故A，B的秩相等，則A與B等價．因而A可以通過有限次初等行或列變換為B，而這些初等行或列變換對應的初等矩陣的乘積分別用P與Q表示，則P，Q可逆，且使PAQ=B．僅(D)入選．注：命題2．2．5．3設A，B為m×n階矩陣，下述條件之一為A與B等價的充要條件．(4)存在兩個可逆矩陣P與Q，使B=PAQ．命題2．2．5．5(1)方陣A可逆的充要條件是A與單位矩陣等價．(3)方陣A可逆的充要條件是存在可逆矩陣P，使PA－E，或存在可逆矩陣Q，使AQ－E．5、設向量β可由向量組α1，α2，…，αm線性表出，但不能由向量組(I)：α1，α2，…，αm－1線性表出．記向量組(Ⅱ)：α1，α2，…，αm－1，β，則()．A、αm不能由向量組(I)線性表出，也不能由向量組(Ⅱ)線性表出B、αm不能由向量組(I)線性表出，但可由向量組(Ⅱ)線性表出C、αm可由向量組(I)線性表出，也可由向量組(Ⅱ)線性表出D、αm可由向量組(I)線性表出，但不可由向量組(Ⅱ)線性表出標準答案：B知識點解析：解一由題設有β=k1α1+k2α2+…+kmαm，①因β不能由α1，α2，…，αm－1線性表示，則必有km≠0．否則，如km=0，則β可由向量組(I)線性表出，這與題設矛盾．由于km≠0，則αm=β／km－(k1／km)α1－…－(km-1／km)αm－1，②即αm可由向量組(Ⅱ)：α1，α2，…，αm－1，β線性表出．且αm不能由向量組(I)線性表出．如果能，不妨設αm=λ1α1+λ2α2+…+λm-1αm－1，代入式①得β=(k1+kmλ1)α1+(k2+kmλ2)α2+…+(km-1+kmλm-1)αm－1．③即β可由向量組(I)線性表出，這與已知條件矛盾．因而僅(B)入選．解二由解一中的式②知，αm可由向量組(Ⅱ)線性表示，據(jù)此可排除(A)、(D)．如果αm可由向量組(I)線性表示，這與題設矛盾．因此又排除(C)．僅(B)入選．解三用向量組的秩與線性表出的關系判別之．因β可由α1，α2，…，αm線性表出，由命題2．3．1．2(1)知，秩([α1，α2，…，αm-1，αm])=秩([α1，α2，…，αm，β])，又β不能由α1，α2，…，αm－1線性表出，由命題2．3．1．2(3)知秩([α1，α2，…，αm－1，β)=秩([α1，α2，…，αm－1])+1．因這時αm可由α1，α2，…，αm－1，β線性表出，而β又可由α1，α2，…，αm線性表出，故秩([α1，α2，…，αm－1，β])=秩([α1，α2，…，αm－1，αm，β])=秩([α1，α2，…，αm])，故αm可由向量組(Ⅱ)線性表出．因而秩([α1，…，αm－1，αm])=秩([α1，…，αm，β])=秩([α1，…，αm-1，β])=秩([α1，α2，…，αm－1])+1，即αm不能由α1，α2，…，αm－1，即向量組(I)線性表出．僅(B)入選．注：命題2．3．1．2設A=[α1，α2，…，αm]，B=[α1，α2，…，αm，β]，其中α1，α2，…，αm，β均為n維列向量，則(1)β可由α1，α2，…，αm線性表示的充要條件是秩(A)=秩(B)，即秩([α1，α2，…，αm])=秩([α1，α2，…，αm，β])；(3)β不能由α1，α2，…，αm線性表示的充要條件是秩(A)<秩(B)，即秩(B)=秩(A)+1；6、設向量組α，β，γ線性無關，α，β，σ線性相關，則()．A、α必可由β，γ，σ線性表示B、β必不可由α，γ，σ線性表示C、σ必可由α，β，γ線性表示D、α必不可由α，β，γ線性表示標準答案：C知識點解析：解一因α，β，γ線性無關，故α，β也線性無關．而α，β，σ線性相關，由命題2．3．1．1知，σ必可由α，β線性表示，即σ必可由α，β，γ線性表示．僅(C)入選．解二可用向量組的秩判別．因α，β線性無關，故秩([α，β])=2．而α，β，σ線性相關，α，β線性無關，故秩([α，β，σ])=2，故秩([α，β，σ])=秩([α，β])．由命題2．3．1．2(1)知，σ可由α，β線性表示，因而σ也可由α，β，γ線性表示．僅(C)入選．解三因α，β，γ線性無關，故秩([α，β，γ])=3，而α，β線性無關，α，β，σ線性相關，故σ為α，β的線性組合，也為α，β，γ的線性組合，由命題2．3．1．2(1)知，秩([α，β，γ，σ])=3．于是秩([α，β，γ])=秩([α，β，γ，σ])．再由命題2．3．1．2(1)知，σ可由α，β，γ線性表出．僅(C)入選．注：命題2．3．1．1α1，α2，…，αs線性無關，而β，α1，α2，…，αs線性相關，則β可由α1，α2，…，αs線性表示，且表示法唯一．命題2．3．1．2設A=[α1，α2，…，αm]，B=[α1，α2，…，αm，β]，其中α1，α2，…，αm，β均為n維列向量，則(1)β可由α1，α2，…，αm線性表示的充要條件是秩(A)=秩(B)，即秩([α1，α2，…，αm])=秩([α1，α2，…，αm，β])；二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)7、設α1，α2，α3均為三維列向量，記矩陣A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α1+4α3，α1+3α2+9α3]如果|A|=1，那么|B|=__________．標準答案：2知識點解析：解一B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]①利用命題2．1．2．1(2)得到解二用行列式性質對B的列向量進行運算找出與A的行列式的關系，即|B|=|α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3||α1+α2+α3，α2+3α3，α2+5α3||α1+α2+α3，α2+3α3，2α3|=2|α1+α2+α3，α2+3α3，α3||2|α1+α2+α3，α2，α3|2|α1，α2，α3|=2|A|=2．(注：命題2．1．2．1設A=[aij]n×n，B=[bij]n×n，E為n階單位矩陣，k為常數(shù)．(2)|AB|=|A||B|，|AB|=|BA|，但AB≠BA；)8、設n階矩陣則|A|=_________．標準答案：(n－1)(－1)n－1知識點解析：解一解二因|A|的各列列和相等，故把第2，3，…，n各行均加至第1行，則第1行元素全為n－1，提取公因式n－1后，再把第1行的一1倍加至第2，3，…，n行可化為上三角行列式：9、n階行列式標準答案：an+(－1)n+1bn知識點解析：按第1列展開，有10、齊次線性方程組只有零解，則λ應滿足的條件是__________．標準答案：λ≠1知識點解析：暫無解析11、設而n≥2為正整數(shù)，則An－2An－1=___________．標準答案：O知識點解析：解一當n=2時，A2=2A，即A2－2A=O，當n>2時，原式=An－2(A2－2A)=An－2O=O，故當n≥2時，有An－2An－1=O．解二易求得A2=2A=22－1A，A3=A2·A=2A2=2×2A=22A=23－1A，因而An=2n－1A，An－1=2n－2A，則An－2An－1=2n－1A－2·2n－2A=2n－1A－2n－1A=O．解三由于A為實對稱矩陣，可用相似對角化求出An．由|λE－A|=λ(λ－2)2得到A的特征值為λ1=λ2=2，λ3=0．由于A為實對稱矩陣，必存在可逆矩陣P，使P－1AP=diag(2，2，0)=Λ．于是A=PΛP－1，An=PΛnP－1，2An－1=P(2Λn－1)P－1=PΛnP－1，故An－2An－1=O．12、設其中ai≠0(i=1，2，…，n)，則A－1=___________．標準答案：知識點解析：解一而故解二用初等行變換求之．13、設E為四階單位矩陣，且B=(E+A)－1(E－A)則(E+B)－1=_____________．標準答案：知識點解析：解一用單位矩陣恒等變形法，得到B+E=(E+A)－1(E－A)+(E+A)－1(E+A)=(E+A)－1(E－A+E+A)=2(E+A)－1．故解二在B=(E+A)－1(E－A)兩邊左乘E+A，得到(E+A)B=E－A，即AB+A+B－E=0，由命題2．2．1．5即得(A+E)(B+E)=[1×1－(－1)]E=2E(其中a－b=1，C=－1)，故注：命題2．2．1．5設同階方陣A，B滿足AB+aA+bB+cE=O，其中a，b，c為常數(shù)，則(A+bE)(B+aE)=(ab－c)E．(1)當ab－c≠0時，A+bE與B+aE均為可逆，且(A+bE)－1=(B+aE)／(ab－c)，(B+aE)－1=(A+bE)／(ab－c)．(2)AB=BA，因而對滿足BA+aA+bB+cE=O的矩陣A，B同樣也有上述結論，即A+bE，B+aE可逆，且(A+bE)－1=(B+aE)／(ab－c)，(B+aE)－1=(A+bE)／(ab－c)．14、設A*是A的伴隨矩陣，則(A*)－1=___________．標準答案：知識點解析：由式2．2．2．1：(A*)－1=(A－1)*=A/|A|和|A|=10，即得15、設四階方陣A的秩為2，則其伴隨矩陣A*的秩為_____________．標準答案：0知識點解析：由題設知A的秩為2，因而A的所有三階子式等于0．于是A的所有元素的代數(shù)余子式均為0，即A*=0，故秩(A*)=0．16、設矩陣A，B滿足A*BA=2BA－8E，其中E為單位矩陣，A*為A的伴隨矩陣，則B=__________．標準答案：知識點解析：解一在所給矩陣方程兩邊左乘A，右乘A－1得到A(A*BA)A－1=A(2BA)A－1－A(8E)A-1，即|A|B=2AB一8E．易求得|A|=一2，則B+AB=4E，即B(E+A)=4E，故解二由所給方程得(A*－2E)BA=－8E，因而A*－2E及A都可逆．兩端左乘(A*－2E)－1，兩端右乘A－1得到解三由解二得到B－1=－8(A*－2E)－1A－1．而故三、解答題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)設A為n階非奇異矩陣，α為n維列向量，b為常數(shù)，記分塊矩陣其中A*是矩陣A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣．17、計算并化簡PQ；標準答案：因AA*=A*A=|A|E，故其中αTA－1α為一階矩陣，即為一個數(shù)．知識點解析：暫無解析18、證明矩陣Q可逆的充分必要條件是αTA－1α≠b．標準答案：由上題可得即|P||Q|=|A|2(b－αTA-1α．又因|P|=|E||A|=|A|≠0，代入上式，得|Q|=|A|(b－αTA－1α)．由此可知，矩陣Q可逆(即|Q|≠0)的充分必要條件是αTA－1α≠b．知識點解析：暫無解析19、設向量α1，α2，…，αt是齊次線性方程組．AX=0的一個基礎解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．試證明：向量組β，β+α1，β+α2，…，β+αt線性無關．標準答案：證一設有一組數(shù)k1，k2，k3，…，kαt，使得即因已知Aβ≠0，為利用此條件，用A左乘上式兩邊得因為Aβ≠0，所以下面利用向量組α1，α2，…，αt的線性無關性證明待證的向量組線性無關．由式①和式②得到由于α1，α2，…，αt是AX=0的一個基礎解系，故該向量組線性無關，必有k1=k2=…=kt=0，于是因此，向量組β，β+α1，β+α2，…，β+αt線性無關．證二下面用向量組秩的性質證明．因向量組的秩經(jīng)初等變換不變，則于是秩(β，β+α1，β+α2，…，β+αt])=秩(β，α1，α2，…，αt])．因α1，α2，αt為AX=0的基礎解系，故線性無關．而β又不能由α1，α2，…，αt線性表出．事實上，如果β=k1α1+…+k1αt，則Aβ=A(k1α1+k2α2+…+ktαt)=k1α1+k2Aα2+…+ktAαt=0．這與Aβ≠0矛盾，故β不能由α1，α2，…，αt線性表出．所以α1，α2，…，αt，β線性無關，即向量組β，β+α1，β+α2，…，β+αt線性無關．知識點解析：暫無解析20、設αi=[ai1,ai2,…，ain]T(i=1，2，…，r；r1，α2，…，αr線性無關．已知β=[b1，b2，…，bn]T是線性方程組的非零解向量，試判斷向量組α1，α2，…，αr，β的線性相關性．標準答案：解一因β是線性方程組AX=0的解，即Aβ=0，而由得α1Tβ=α2Tβ=…=αrTβ=0．因而βTα1=βTα2=…=βTαr=0．設k1α1+k2α2+…+krαr+kβ=0．①左乘βT，利用βTαi=0(i=1，2，…，r)得k1βTα1+k2βTα2+…+krβTαr+kβTβ=kβTβ=0，但β≠0，所以βTβ=b1+b2+…+bn>0，于是k=0．代入式①得k1α1+k2α2+…+krαr=0．因α1，α2，…，αr線性無關，所以k1=k2=…=kr=0，故α1，α2，…，αr，β線性無關．解二用反證法證之．若α1，α2，…，αr，β線性相關，則β=k1α1+k2α2+…+krαr．于是βTβ=k1βTα1+k2βTα2+…+krβTαr=0，從而β=0，這與β是非零解向量矛盾，故α1，α2，…，αr，β線性無關．知識點解析：暫無解析21、已知向量組(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量組的秩分別為秩(I)=秩(Ⅱ)=3，秩(Ⅲ)=4．證明：向量組α1，α2，α3，α5－α4的秩為4．標準答案：證一轉化為矩陣證明．設A=[α1，α2，α3，α5]，B=[α1，α2，α3，α5一α4]．注意α1，α2，α3線性無關，α1，α2，α3，α4線性相關，由命題2．3．1．1知，α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3，則因而矩陣B與A等價，故秩(B)=秩(A)=4，即α1，α2，α3，α5一α4線性無關．證二利用兩向量組等價必等秩的結論證之．因且|K|=1≠0，故α1，α2，α3，α5可由α1，α2，α3，α5—α4線性表出．顯然α1，α2，α3，α5一α4可由α1，α2，α3，α5線性表出，因而這兩個向量組等價．等價必等秩，故秩([α1，α2，α3，α5一α4])=4．注：命題2．3．1．1α1，α2，…，αs線性無關，而β，α1，α2，…，αs線性相關，則β可由α1，α2，…，αs線性表示，且表示法唯一．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（線性代數(shù)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設A，B為n階可逆矩陣，則()．A、存在可逆矩陣P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2為對角矩陣B、存在正交矩陣Q1，Q2，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2為對角矩陣C、存在可逆矩陣P，使得P-1(A+B)P為對角矩陣D、存在可逆矩陣P，Q，使得．PAQ=B標準答案：D知識點解析：因為A，B都是可逆矩陣，所以A，B等價，即存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ=B；選(D)．2、n階實對稱矩陣A正定的充分必要條件是()．A、A無負特征值B、A是滿秩矩陣C、A的每個特征值都是單值D、A-1是正定矩陣標準答案：D知識點解析：正定的充分必要條件是A的特征值都是正數(shù)，(A)不對；若A為正定矩陣，則A一定是滿秩矩陣，但A是滿秩矩陣只能保證A的特征值都是非零常數(shù)，不能保證都是正數(shù)，(B)不對；(C)既不是充分條件又不是必要條件；顯然(D)既是充分條件又是必要條件．3、下列說法正確的是()．A、任一個二次型的標準形是唯一的B、若兩個二次型的標準形相同，則兩個二次型對應的矩陣的特征值相同C、若一個二次型的標準形系數(shù)中沒有負數(shù)，則該二次型為正定二次型D、二次型的標準形不唯一，但規(guī)范形是唯一的標準答案：D知識點解析：(A)不對，如f=x1x2，令則f=y12一y22；若令則f=y12一9y22；(B)不對，兩個二次型標準形相同只能說明兩個二次型正、負慣性指數(shù)相同，不能得到其對應的矩陣的特征值相同；(C)不對，若一個二次型標準形系數(shù)沒有負數(shù)，只能說明其負慣性指數(shù)為0，不能保證其正慣性指數(shù)為n；選(D)，因為二次型的規(guī)范形由其正、負慣性指數(shù)決定，故其規(guī)范形唯一．4、設A為可逆的實對稱矩陣，則二次型XTAX與XTA-1X()．A、規(guī)范形與標準形都不一定相同B、規(guī)范形相同但標準形不一定相同C、標準形相同但規(guī)范形不一定相同D、規(guī)范形和標準形都相同標準答案：B知識點解析：因為A與A-1合同，所以XTAX與XTA-1X規(guī)范形相同，但標準形不一定相同，即使是同一個二次型也有多種標準形，選(B)．5、設n階矩陣A與對角矩陣合同，則A是()．A、可逆矩陣B、實對稱矩陣C、正定矩陣D、正交矩陣標準答案：B知識點解析：因為A與對角陣A合同，所以存在可逆矩陣P，使得PTAP=A，從而A=(PT)-1AP-1=(P-1)TAP-1，AT=[(P-1)TAP-1]T=(P-1)TAP-1=A，選(B)．6、設A，B都是n階矩陣，且存在可逆矩陣P，使得AP=B，則()．A、A，B合同B、A，B相似C、方程組AX=0與BX=0同解D、r(A)=r(B)標準答案：D知識點解析：因為P可逆，所以r(A)=r(B)，選(D)．7、設A，B為n階實對稱矩陣，則A與B合同的充分必要條件是()．A、r(A)=r(B)B、|A|=|B|C、A～BD、A，B與同一個實對稱矩陣合同標準答案：D知識點解析：因為A，B與同一個實對稱矩陣合同，則A，B合同，反之若A，B合同，則A，B的正負慣性指數(shù)相同，從而A，B與合同，選(D)．8、設則A與B()．A、相似且合同B、相似不合同C、合同不相似D、不合同也不相似標準答案：C知識點解析：由|λE—A|=0得A的特征值為1，3，一5，由|λE—B|=0得B的特征值為1，1，一1，所以A與B合同但不相似，選(C)．9、設A，B為三階矩陣，且特征值均為一2，1，1，以下命題：(1)A～B；(2)A，B合同；(3)A，B等價；(4)|A|=|B|中正確的命題個數(shù)為()．A、1B、2C、3D、4標準答案：B知識點解析：因為A，B的特征值為一2，1，1，所以|A|=|B|=一2，又因為r(A)=r(B)=3，所以A，B等價，但A，B不一定相似或合同，選(B)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)10、二次型f(x1，x2，x3)=(x1一2x2)2+4x2x3的矩陣為_______．標準答案：因為f(x1，x2，x3)=x12+4x22一4x1x2+4x2x3，所以知識點解析：暫無解析11、設則α1，α2，α3經(jīng)過施密特正交規(guī)范化后的向量組為___________．標準答案：令β3=α3，正交規(guī)范化的向量組為知識點解析：暫無解析12、設二次型2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3的秩為2，則a=___________．標準答案：該二次型的矩陣為因為該二次型的秩為2，所以|A|=0，解得知識點解析：暫無解析13、設5x12+x22+tx32+4x1x2一2x1x3一2x2x3為正定二次型，則t的取值范圍是__________．標準答案：二次型的矩陣為因為二次型為正定二次型，所以有5＞0，|A|＞0，解得t＞2．知識點解析：暫無解析三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)14、用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+x2x3為標準二次型．標準答案：令即X=PY，其中則知識點解析：暫無解析15、用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x1x3一4x32為標準形．標準答案：f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x1x3一4x32=(x1+x2+x3)2一(x2+x3)2一432，知識點解析：暫無解析設二次型f(x1，x2，x3)一XT．AX，A的主對角線上元素之和為3，又AB+B=O，其中16、求正交變換X=QY將二次型化為標準形；標準答案：由AB+B=O得(E+A)B=O，從而r(E+A)+r(B)≤3，因為r(B)=2，所以r(E+A)≤1，從而λ=一1為A的特征值且不低于2重，顯然λ=一1不可能為三重特征值，則A的特征值為λ1=λ2=一1，λ3=5．由(E+A)B=0得B的列組為(E+A)X=0的解，故為λ1=λ2=一1對應的線性無關解．令為λ3=5對應的特征向量，因為AT=A，所以解得令正交化得令Q=(γ1，γ2，γ3)，則知識點解析：暫無解析17、求矩陣A．標準答案：由得知識點解析：暫無解析設二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，tr(A)=1，又且AB=O．18、求正交矩陣Q，使得在正交變換X=QY，下二次型化為標準形．標準答案：(1)由AB=O得為λ=0的兩個線性無關的特征向量，從而λ=0為至少二重特征值，又由tr(A)=1得λ3=1，即λ1=λ2=0，λ3=1．令λ3=1對應的特征向量為因為AT=A，所以解得λ#=1對應的線性無關的特征向量為令所求的正交矩陣為且知識點解析：暫無解析19、求矩陣A．標準答案：知識點解析：暫無解析20、用正交變換法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一4x1x2一4x1x3一4x2x3為標準二次型．標準答案：f(x1，x2，x3)=XTAX，其中由得λ1=一3，λ2=λ3=3．由(一3E—A)X=0得λ1=一3對應的線性無關的特征向量為由(3E—A)X=0得λ2=λ3=3對應的線性無關的特征向量為將α2，α3正交化得單位化得知識點解析：暫無解析設二次型f(x1，x2，x3)=(a一1)x12+(a一1)x22+2x32+2x1x2(a>0)的秩為21、設二次型f(x1，x2，x3)=(a一1)x12+(a一1)x22+2x32+2x1x2(a>0)的秩為標準答案：知識點解析：暫無解析22、求a；標準答案：因為二次型的秩為2，所以r(A)=2，從而a=2．知識點解析：暫無解析23、用正交變換法化二次型為標準形．標準答案：由|λE一A|=0得λ1=λ2=2，λ3=0．當λ=2時，由(2E—A)X=0得λ=2對應的線性無關的特征向量為當λ=0時，由(0E—A)X=0得λ=0對應的線性無關的特征向量為因為α1，α2兩兩正交，單位化得知識點解析：暫無解析設n階實對稱矩陣A的秩為r，且滿足A2=A(A稱為冪等陣)．求：24、二次型XTAX的標準形；標準答案：因為A2=A，所以|A||E—A|=0，即A的特征值為0或者1，因為A為實對稱矩陣，所以A可對角化，由r(A)=r得A的特征值為λ=1(r重)，λ=0(n-r重)，則二次型XTAX的標準形為y12+y22+…+yr2．知識點解析：暫無解析25、|E+A+A2+…+An|的值．標準答案：令B=E+A+A2+…+An，則B的特征值為λ=n+1(r重)，λ=1(n一r重)，故|E+A+A2+…+An|=|B|=(n+1)r．知識點解析：暫無解析設A為n階實對稱可逆矩陣，26、記X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)寫成矩陣形式；標準答案：因為r(A)=n，所以|A|≠0，于是顯然A*，A-1都是實對稱矩陣．知識點解析：暫無解析27、二次型g(x)=XTAX是否與f(x1，x2，…，xn)合同?標準答案：因為A可逆，所以A的n個特征值都不是零，而A與A-1合同，故二次型f(x1，x2，…，xn)與g(X)=XTAX規(guī)范合同．知識點解析：暫無解析設A是三階實對稱矩陣，且A2+2A=O，r(A)=2．28、求A的全部特征值；標準答案：由A2+2A=O得r(A)+r(A+2E)≤3，從而A的特征值為0或一2，因為A是實對稱矩陣且r(A)=2，所以λ1=0，λ2=λ3=一2．知識點解析：暫無解析29、當k為何值時，A+kE為正定矩陣?標準答案：A+kE的特征值為k，k一2，k一2，當k＞2時，A+kE為正定矩陣．知識點解析：暫無解析30、設二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3為正定二次型，求t的范圍．標準答案：二次型的矩陣為因為該二次型為正定二次型，所以有解得知識點解析：暫無解析31、設A是n階正定矩陣，證明：|E+A|＞1．標準答案：方法一因為A是正定矩陣，所以存在正交陣Q，使得其中λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0，因此于是|QT(A+E)Q|=|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1．方法二因為A是正定矩陣，所以A的特征值λ1＞0,λ2＞0，…，λn＞0，因此A+E的特征值為λ1+l＞1，λ2+1＞1，…，λn+1＞1，故|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1．知識點解析：暫無解析32、用配方法化下列二次型為標準形：f(x1，x2，x3)=x12+2x22一5x32+2x1x2—2x1x3+2x2x3．標準答案：令則f(x1，x2，x3)=XTAX，f(x1，x2，x3)=x12+2x22一5x32+2x1x2—2x1x3+2x2x3=(x1+x2一x3)2+(x2+2x3)2一10x32，知識點解析：暫無解析33、用配方法化下列二次型為標準形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3．標準答案：令或X=P1Y，其中且P1可逆，知識點解析：暫無解析二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32一4x1x2一8x1x3一4x2x3經(jīng)過正交變換化為標準形5y12+6y22一4y32，求：34、常數(shù)a，b；標準答案：令則f(x1，x2，x3)=XTAX，矩陣A的特征值為λ1=5，λ2=b，λ3=一4，從而特征值為λ1=λ2=5，λ3=一4．知識點解析：暫無解析35、正交變換的矩陣Q．標準答案：將λ1=λ2=5代入(λE—A)X=0，即(5E—A)X=0，由得λ1=λ2=5對應的線性無關的特征向量為將λ3=一4代入(λE—A)X=0，即(4E+A)X=0，由得λ3=一4對應的線性無關的特征向量為令單位化得所求的正交變換矩陣為知識點解析：暫無解析設為正定矩陣，令36、求PTCP；標準答案：因為為正定矩陣，所以AT=A，DT=D，知識點解析：暫無解析37、證明：D—BA-1BT為正定矩陣．標準答案：因為C與合同，且C為正定矩陣，所以為正定矩陣，故A與D—BA-1BT都是正定矩陣．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（線性代數(shù)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設n階非奇異矩陣A的列向量為α1，α2，…，αn，n階矩陣B的列向量為β1，β2，…，βn，若β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βn=αn+α1，則矩陣B的秩()．A、必為nB、必為n—1C、為n或n—1D、小于n—1．標準答案：C知識點解析：當n為奇數(shù)時，r(B)=n；當n為偶數(shù)時，r(B)=n一1．故選C．2、已知向量組α1，α2，α3，α4線性無關，則向量組2α1+α3+α4，α2—α4，α3+α4，α2+α3，2α1+α2+α3的秩是()．A、1B、2C、3D、4標準答案：D知識點解析：記r(2α1+α3+α4，α2一α4，α3+α4，α2+α3，2α1+α2+α3)=r(β1，β2，β3，β4，β5)，[β1，β2，β3，β4，β5]=[α1，α2，α3，α4]．因r[α1，α2，α3，α4]=4，故r[β1，β2，β3，β4，β5]==4．故選D．3、已知A是三階矩陣，r(A)=1，則λ=0()．A、必是A的二重特征值B、至少是A的二重特征值C、至少是A的三重特征值D、一重、二重、三重特征值都可能標準答案：B知識點解析：A是三階矩陣，r(A)=1，r(0E—A)=1．(0E—A)X=0有兩個線性無關特征向量，故λ=0至少是二重特征值，也可能是三重，例如A=，r(A)=1，λ=0是三重特征值．故選B．4、已知ξ1，ξ2是方程組(λE一A)X=0的兩個不同的解向量，則下列向量中必是A的對應于特征值λ的特征向量是()．A、ξ1B、ξ2C、ξ1—ξ2D、ξ1+ξ2標準答案：C知識點解析：因ξ1≠ξ2，故ξ1—ξ2≠0，且仍有關系A(ξ1—ξ2)=λξ1—λξ2=λ(ξ1—ξ2)，故ξ1—ξ2是特征向量．而(A)中ξ1，(B)中ξ2，(D)中ξ1+ξ2均有可能是零向量而不成為A的特征向量．故選C．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)5、已知A～B=，則r(A)+r(A—E)+r(A一2E)=__________．標準答案：9．知識點解析：由A～B知A+kE～B+kE，又因相似矩陣有相同的秩．故r(A)+r(A—E)+r(A一2E)=r(B)+r(B—E)+r(B一2E)=2+4+3=9．6、已知4維列向量α1，α2，α3線性無關，若βi(i=1，2，3，4)非零且與α1，α2，α3均正交．則秩r(β1，β2，β3，β4)=__________．標準答案：1．知識點解析：記A=，A是秩為3的3×4階矩陣，由于βi(i=1，2，3，4)與α1，α2，α3均正交．故βi是齊次方程組Ax=0的非零解．又因βi非零，故1≤r(β1，β2，β3，β4)≤n—r(A)=1．所以秩r(β1，β2，β3，β4)=1．7、已知向量組等秩，則x=__________．標準答案：1．知識點解析：[α1，α2，α3]=，知r(α1，α2，α3)=2，由題設，r(β1，β2，β3)=2．因[β1，β2，β3]=，故x=1．8、已知A=，若有兩個不同的三階矩陣B和C，使AB=AC，則a=__________．標準答案：7．知識點解析：由B≠C，A(B—C)=0，知齊次方程組Ax=0有非零解，故｜A｜==4(a一7)2=0，所以a=7．9、已知A=[α1，α2，α3，α4]，其中α1，α2，α3，α4為四維列向量，方程組Ax=0的通解為k(2，一1，2，5)T，則α4可由α1，α2，α3，表示為__________．標準答案：α4=一α3．知識點解析：由題設有2α1—α2+2α3+5α4=0，于是α4=一α3．三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)10、A是三階矩陣，λ1，λ2，λ3是三個不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相應的特征向量，證明：向量組A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)線性無關的充要條件是A是可逆陣．標準答案：A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)線性無關→(λ1ξ1+λ2ξ2，λ2ξ2+λ3ξ3，λ3ξ3+λ1ξ1)=[ξ1，ξ2，ξ3]=2λ1λ2λ3≠0，→｜A｜=λ1λ2λ3≠0，即A是可逆陣．知識點解析：暫無解析11、設A是三階實矩陣，λ1，λ2，λ3是A的三個不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三個對應的特征向量，證明：當λ2λ3≠0時，向量組ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)線性無關．標準答案：因[ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)]=[ξ1，λ1ξ1+λ2ξ2，λ12ξ1+λ22ξ2+λ32ξ3]=[ξ1，ξ2，ξ3]因λ1≠λ2≠λ3，故ξ1，ξ2，ξ3線性無關，由上式可知ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)線性無關→*]=λ2λ32≠0，即λ2λ3≠0．知識點解析：暫無解析12、設A是n階實矩陣，有Aξ=λξ，ATη=μη，其中λ，μ是實數(shù)，且λ≠μ，ξ，η是n維非零向量，證明：ξ，η正交．標準答案：Aξ=λξ，兩邊轉置得ξTAT=λξT，兩邊右乘η，得ξTATη=λξTη，ξTμη=λξTη，(λ一μ)ξTη=0，λ≠μ，故ξTη=0，即ξ，η相互正交．知識點解析：暫無解析13、證明n階矩陣相似．標準答案：因此A與B有相同的特征值λ1=n，λ2=0(n一1重)．因A為實對稱矩陣，所以A相似于n階對角矩陣．又因r(λ2E—B)=r(B)=1，所以B對應于特征值λ2=0有n一1個線性無關的特征向量，即B也相似于n階對角矩陣A，故A與B相似．知識點解析：首先證明兩個矩陣有相同的特征值，然后證明都可以對角化，從而得到它們相似．14、設A，B為同階方陣，(1)如果A，B相似，試證：A，B的特征多項式相等．(2)舉一個二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立．(3)當A，B均為實對稱矩陣時，試證：(1)的逆命題成立．標準答案：(1)若A，B相似，則存在可逆矩陣P，使得P—1AP=B，故｜λE一B｜=｜λE一P—1AP｜=｜P—1(λE一A)P｜=｜P—1｜｜λE一A｜｜P｜=｜λE一A｜．(2)令A=，則｜λE一A｜=｜λE一B｜=(λ一1)2．但A，B不相似．否則，存在可逆矩陣P，使B=P—1AP=P—1P=E，矛盾．(3)由A，B均為實對稱矩陣知，A，B均相似于對角陣．若A，B的特征多項式相等，記特征多項式的根為λ1，λ2，…，λn，則有于是(PQ—1)—1A(PQ—1)=B．故A，B為相似矩陣．知識點解析：暫無解析15、已知非齊次線性方程組有3個線性無關的解．(1)證明：方程組的系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2．(2)求a，b的值及方程組的通解．標準答案：(1)設α1，α2，α3是方程組Ax=β的3個線性無關的解，其中則有A(α1—α2)=0，A(α1—α3)=0．則α1—α2，α1—α3是對應齊次線性方程組Ax=0的解，且線性無關．(否則，易推出α1，α2，α3線性相關，矛盾)所以n一r(A)≥2，即4一r(A)≥2→r(A)≤2．又矩陣A中有一個2階子式≠0，所以r(A)≥2．因此r(A)=2．(2)因為知識點解析：暫無解析16、設a1，a2，…，an—1是n個實數(shù)，方陣(1)若λ是A的特征值，證明：ξ=[1，λ，λ2，…，λn—1]T是A的對應于特征值λ的特征向量．(2)若A有n個互異的特征值λ1，λ2，…，λn，求可逆陣P，使P—1AP—A．標準答案：(1)λ是A的特征值，則λ應滿足｜λE一A｜=0，即｜λE一A｜=0將第2列乘λ，第3列乘λ2，…，第n列乘λn—1，加到第1列，再按第1列展開，得得證ξ=[1，λ，λ2，…，λn—1]T是A的對應于λ的特征向量．(2)因λ1，λ2，…，λn互異，故特征向量ξ1，ξ2，…，ξn線性無關，取可逆陣P=[ξ1，ξ2，…，ξn]，得P—1AP=．知識點解析：暫無解析17、已知A相似于B，即存在可逆陣P，使得P—1AP=B．求證：存在可逆陣Q，使得Q—1AQ=B的充分必要條件是存在與A可交換的可逆陣C，使得Q=CP．標準答案：必要性．P—1AP=Q—1AQ=B，Q可逆，則得QP—1A=AQP—1．令QP—1=C，其中C可逆，且有CA=AC．充分性．已知C可逆，且CA=AC．令Q=CP，則Q—1AQ=(CP)—1ACP=P—1C—1ACP=P—1C—1CAP=P—1AP=B．知識點解析：暫無解析18、設三階實對稱矩陣A的特征值是1，2，3．A的屬于特征值1，2的特征向量分別是α1=[一1，一1，1]T，α2=[1，一2，一1]T．(1)求A的屬于特征值3的特征向量．(2)求矩陣A．標準答案：(1)實對稱矩陣屬于不同特征值對應的特征向量相互正交，設α3=[x1，x2，x3]T，則知識點解析：暫無解析19、已知A是n階實對稱矩陣，λ1，λ2，…，λn是A的特征值，ξ1，ξ2，…，ξn是A對應的n個標準正交特征向量，證明：A可表示為A=λ1ξ1ξ1T+λ2ξ2ξ2T+…+λnξnξnT．標準答案：取Q=[ξ1，ξ2，…，ξn]，則Q—1=QT，且Q—1AQ=QTAQ=diag[λ1，λ2，…，λn]，=λ1ξ1ξ1T+λ2ξ2ξ2T+…+λnξnξnT．知識點解析：暫無解析20、已知n階矩陣A=[aij]n×n有n個特征值分別為λ1，λ2，…，λn，證明：標準答案：(1)設A的n個特征值為λ1，λ2，…，λn，則｜λE一A｜==(λ一λ1)．(λ一λ2)．…．(λ—λn)．①比較①式常數(shù)項的系數(shù)(即令λ=0)．(2)比較①式兩邊λn—1的系數(shù)，左邊λn—1的系數(shù)只能在行列式的主對角元的乘積項(λ一a11)．(λ一a12)．…．(λ一ann)中得到．λn—1系數(shù)為．得tr(A)=．知識點解析：暫無解析21、設n階矩陣A=[aij]，若｜aij｜＜1，i=1，2，…，n，則A的所有特征值i(i=1，2，…，n)的模小于1，即｜λij｜＜1．標準答案：設λ是A的任意一個特征值，其對應的特征向量為ξ=[x1，x2，…，xn]T，則Aξ=λξ．由λ的任意性，｜λi｜＜1，i=1，2，…，n．知識點解析：暫無解析22、設A是n階實對稱矩陣，證明：A可逆的充要條件是存在n階實矩陣B，使得AB+BTA是正定陣．標準答案：必要性，A可逆，記A的逆矩陣為A—1，取B=A—1(要證存在n階實矩陣B，應從已知條件中去找)，則有AB+BTA=AA—1+(A—1)TA=AA—1+(A—1)TAT=2E，2E是正定陣，故存在n階實矩陣B=A—1，使得AB+BTA是正定陣．充分性．已知存在n階實矩陣，使得AB+BTA正定，由定義，對于任給的ξ≠0，有ξT(AB+BTA)ξ=ξTABξ+ξTBTAξ=(Aξ)T(Bξ)+(Bξ)TAξ＞0則對于任給的ξ≠0，應有Aξ≠0，即AX=0唯一零解，故得證A是可逆陣．知識點解析：暫無解析23、設A為m×n矩陣，B是n×m矩陣，證明：AB和BA有相同的非零特征值．標準答案：令λ為BA的一個非零特征值，α是BA的屬于λ的特征向量，則BAα=λα(α≠0)．在此等式兩端左乘矩陣A，則A(BAα)=AB(Aα)=α(Aα)(α≠0)再證Aα≠0．事實上，若Aα=0，則BAα=B．0=0=λα(α≠0)，于是λ=0，矛盾．所以Aα≠0．于是λ為AB的非零特征值，且Aα是AB的屬于λ的特征向量．同理可證，AB的非零特征值λ也是BA的非零特征值，故AB與BA有相同非零特征值．如β是AB的屬于λ的特征向量，則Bβ是BA的屬于λ的特征向量．知識點解析：暫無解析24、設B是n×n矩陣，A是n階正定陣，證明：(1)r(BTAB)=r(B)．(2)BTAB也是正定陣的充要條件為r(B)=n．標準答案：(1)A是正定陣，存在可逆陣D，使得A=DTD，r(BTAB)=r(BTDTDB)=r[(DB)T(DB)]=r(DB)=r(B)．(2)必要性．A正定，且BTAB正定，由(1)知，r(B)=r(BTAB)=n，故r(B)=n．充分性．A正定，r(B)=n，則BTAB=BTDTDB=(DBT)(DB)，因r(B)=n，D可逆，故DB可逆，從而BTAB正定．知識點解析：暫無解析25、設A是階反對稱陣，B是主對角元均大于零的n階對角陣，證明：A+B是可逆陣．標準答案：A+B是正定陣→A+B是可逆陣．因AT=一A，對任給X≠0，XTAX=(XTAX)T=XTATX=一XTAX→XTAX=0，B=diag[d1，d2，…，dn]其中di＞0，i=1，2，…，咒，對X≠0，有XTBX=d1x12+d2x22+…+dnxn＞0．故，X≠0，XT(A+B)X=XTAXT+XTBX＞0，從而知A+B是正定陣，所以A+B是可逆陣．知識點解析：暫無解析26、設n階方陣A≠0，滿足Am=0(其中m為某正整數(shù))．(1)求A的特征值．(2)證明：A不相似于對角矩陣．(3)證明：｜E+A｜=1．(4)若方陣B滿足AB=BA，證明：｜A+B｜=｜B｜．標準答案：(1)設λ為A的任一特征值，x為對應的特征向量，則Ax=λx，兩端左乘A，得A2x=λAx=λ2x，兩端再左乘A，得A3x=λ2Ax=λ3x，如此做下去，可得Amx=λmx．因為Am=0，得λmx=0，又x≠0，故有λ=0，所以冪零矩陣A的特征值全為零．(2)A的特征向量為方程組(0．E一A)x=0的非零解，因為A≠0，有r(一A)≥1，故方程組Ax=0的基礎解系所含向量的個數(shù)，即A的線性無關特征向量的個數(shù)為n一r(一A)≤n一1＜n，所以n階方陣A不相似于對角矩陣．(3)要證明｜E+A｜=1，由特征值的性質知，只要證明E+A的特征值全部為1即可．設λ為E+A的任一特征值，x為對應的特征向量，則有(E+A)x=λx，即Ax=(λ一1)x，故λ一1為A的特征值，(1)中已證A的特征值全為零，故有λ一1=0，得λ=1，由λ的任意性知E+A的特征值全為1，因此E+A的全部特征值的乘積等于1，即｜E+A｜=1．(4)當方陣B可逆時，欲證的等式為｜A+B｜=｜B｜→B—1｜｜A+B｜=1→｜B—1A+E｜=1．利用(3)，要證｜B—1A+E｜=1，只要證B—1A為冪零矩陣即可，等式AB=BA兩端左乘B—1，得B—1AB=A，兩端右乘B—1，得B—1A=AB—1，即A與B—1可交換，故由Am=0，得(B—1A)m=(B—1)mAm=0，所以，當方陣B可逆時結論成立．當B不可逆時，即｜B｜=0時，欲證的等式成為｜A+B｜=0．因為｜B｜=0，故B有特征值0，即存在非零列向量ξ，使Bξ=0，故對任意正整數(shù)k，有Bkξ=0．注意A與B可交換，有即齊次線性方程組(A+B)mx=0有非零解x=ξ，故該方程組的系數(shù)行列式為零，即｜(A+B)m｜=｜A+B｜m=0，故｜A+B｜=0，因此當B不可逆時結論也成立．故得證．知識點解析：暫無解析27、設n階方陣A、B可交換，即AB=BA，且A有n個互不相同的特征值，證明：A與B有相同的特征向量．B相似于對角矩陣．標準答案：由于n階方陣A有n個互不相同的特征值，故A有n個線性無關的特征向量，若A與B有相同的特征向量，則n階方陣B有n個線性無關的特征向量，故B相似于對角矩陣．設α為A的特征向量，對應的特征值為λ，則Aα=λα，兩端左乘B，并利用AB=BA，得A(Bα)=λ(Bα)，若Bα≠0，則Bα亦為A的屬于特征值λ的特征向量，由題設條件知λ為單特征值，因此向量α及Bα又成比例，即存在數(shù)μ，使得Bα=μα，因此α也是B的特征向量；若Bα=0，則Bα=0α，即α為B屬于特征值0的特征向量，總之，α必為B的特征向量．由于α的任意性，知A的特征向量都是B的特征向量，同理可證B的特征向量也都是A的特征向量，所以A與B有相同的特征向量．知識點解析：暫無解析28、在R4中求一個單位向量，使它與α1=(1，1，一1，1)T，α2=(1，一1，一1，1)T，α3=(2，1，1，3)T都正交．標準答案：設x=(x1，x2，x3，x4)T與αi(i=1，2，3)都正交，則αiTx=0(i=1，2，3)，即解此齊次線性方程組，得其基礎解系為ξ=(4，0，1，一3)T，故與αi(i=1，2，3)都正交的向量全體為x=kξ(k為任意實數(shù))．當k≠0時，將非零向量x=kξ單位化，得所求的單位向量為(4，0，1，一3)T．知識點解析：暫無解析29、設實矩陣A=(aij)n×n的秩為n一1，αi為A的第i個行向量(i=1，2，…，n)．求一個非零向量x∈Rn，使x與α1，α2，…，αn均正交．標準答案：欲求與A的行向量都正交的非零向量，即求齊次線性方程組Ax=0的非零解，因為r(A)=n—1＜n，所以n元齊次線性方程組Ax=0必有非零解．因為r(A)=n—1，即A中非零子式的最高階數(shù)為n—1，故｜A｜中存在某元素aij的代數(shù)余子式Aij≠0(記元素aij的代數(shù)余子式為Aij，i，j=1，2，…，n)．于是向量ξ=(Ak1，Ak2，…，Akn)T≠0，由行列式的展開法則，有故x1=Ak1，x2=Ak2，…，xn=Akn滿足方程組Ax=0的每個方程aijxj=0(i=1，2，…，n)，即非零向量ξ是Ax=0的一個解，故ξ就是所求的一個向量．知識點解析：暫無解析30、設分塊矩陣P=是正交矩陣，其中A、C分別為m，n階方陣，證明：A、C均為正交矩陣，且B=0．標準答案：由于P為正交矩陣，有PPT=Em+n，所以有AAT+BBT=Em①BCT=0②CBT=0③CCT=En④由④式即知C為正交矩陣，因此C可逆，用C—1左乘③兩端，得BT=0，從而B=0，于是由①式得AAT=Em，所以，A也是正交矩陣．知識點解析：暫無解析31、設A、B都是n階實對稱矩陣，證明：存在正交矩陣P，使得P—1AP=B的充分必要條件是A與B有相同的特征多項式．標準答案：必要性是顯然的，下面證明充分性．設A與B有相同的特征多項式，則A與B有相同的特征值λ1，λ2，…，λn，因為A、B都是實對稱矩陣，故存在適當?shù)恼痪仃嘠1，Q2，使得Q1—1AQ1==Q2—1BQ2，故B=Q2Q2—1=Q2(Q1—1AQ1)Q2—1=(Q1Q2—1)—1A(Q1Q2—1)．令矩陣P=Q1Q2—1，則由于正交矩陣的逆矩陣及正交矩陣的乘積仍是正交矩陣，知P為正交矩陣，且使B=PAP，故充分性得證．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（線性代數(shù)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設對方陣A施行初等初換得到方程B，且|A|≠0，則()A、必有|B|=|A|．B、必有|B|≠|A|．C、必有|B|≠0．D、|B|=0或|B|≠0依賴于所作初等變換．標準答案：C知識點解析：暫無解析2、設A、B、A+B、A－1+B－1均為n階可逆陣，則(A－1+B－1)－1=()A、A－1+B－1B、A+BC、A(A+B)－1BD、(A+B)－1標準答案：C知識點解析：由(A－1+B－1)[A(A+B)－1B]=(E+B－1A)(A+B)－1B=B－1(B+A)(A+B)－1B=B－1B=E，或A(A+B)－1B=[B－1(A+B)A－1]－1=(B－1AA－1+B－1BA－1)－1=(B－1+A－1)－1=(A－1+B－1)－1即知只有C正確．3、設α1，α2，…，αm均為n維向量，則()A、若k1α1+k2α2+…+kmαm=0，則α1，α2，…，αm線性相關．B、若對任意一組不全為零的數(shù)k1，k2，…，km，都有k1α1+k2α2+…kmαm≠0，則α1，α2，…，αm線性無關．C、若α1，α2…，αm線性相關，則對任意一組不全為零的數(shù)k1，k2，…，km，都有k1α1+k2α1+…+kmαm。=0．D、若0α1+0α2+…+0αm=0，則α1，α2，…，αm線性無關．標準答案：B知識點解析：暫無解析4、已知β1，β2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個不同的解，α1，α2是對應齊次線性方程組Ax=0的基礎解系，k1，k2為任意常數(shù)，則方程組Ax=b的通解(一般解)是()A、k1α1+k2(α1+α2)+(β1－β2)．B、k1α1+k2(α1－α2)+(β1+β2)．C、k1α1+k2(β1+β2)+(β1－β2)．D、k1α1+k2(β1－β2)－(β1+β2)．標準答案：B知識點解析：注意α1，α1－α2亦為Ax=0的基礎解系，而1／2(β1+β2)為Ax=b的一個特解．由通解的結構即知B正確．5、則A與B()A、合同且相似．B、合同但不相似．C、不合同但相似．D、不合同且不相似．標準答案：A知識點解析：A的特征值為4，0，0，0，A為實對稱矩陣，故存在正交矩陣P，使P－1AP=PTAP=B，即A與B既合同又相似．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、標準答案：n!(2－n)．知識點解析：從第j列提出公因子j，再將第j列的(－1)倍加到第1列(j=2，3，…，n)，則化成了上三角行列式．7、設3階方陣A、B滿足關系式A－1BA=6A+BA，其中A=，則B=_______．標準答案：知識點解析：B=(A－1－E)－16AA－1=6(A－1－E)－18、設A、B均為3階矩陣，E是3階矩陣，已知AB=2A+B，B=，則(A－E)－1=_______．標準答案：知識點解析：(A－E)B－2A=O，(A－E)B－2(A－E)=2E，(A－E)(B－2E)=2E，(A－E)[1／2(B－2E)1=E，(A－E)－1=1／2(B－2E)9、若向量組(Ⅰ)：α1=(1，0，0)T，α2=(1，1，0)T，α3=(1，1，1)T可由向量組(Ⅱ)：β1，β2，β3，β4線性表示，則(Ⅱ)的秩為_______．標準答案：3．知識點解析：由條件，有3=r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤3，r(Ⅱ)=3．10、設α1=(1，2，0)T和α2=(1，0，1)T都是方陣A的對應于特征值2的特征向量．又β=(－1，2，－2)T，則Aβ=_______．標準答案：(－2，4，－4)T．知識點解析：β=α1－2α2仍是A的屬于特征值λ=2的特征向量，故Aβ=2β=(－2，4，－4)T．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、實α為實的n維非零列向量，E為n階單位矩陣，證明：矩陣A=E－為對稱的正交矩陣．標準答案：記正常數(shù)b=2／αTα．則A=E－bααT，AT=ET－b(αT)TαT=E－bααT=A，故A為對稱矩陣，又由αTα=2／b，得AAT=AA=(E－bααT)(E－bααT)=E－bααT－bααT+b2α(αTα)αT=E，故A為正交矩陣．知識點解析：暫無解析設矩陣A=I－ααT，其中I是n階單位矩陣，α是n維非零列向量，證明：12、A2=A的充要條件是αTα=1；標準答案：A2=A(I－ααT)(I－ααT)=I－ααTI－2ααT+α(αTα)αT=I－ααT－ααT+(αTα)ααT=O(αTα－1)ααT=O(注意ααT≠O)αTα=1．知識點解析：暫無解析13、當αTα=1時，A是不可逆矩陣．標準答案：當αTα=1時，A2=A，若A可逆，則有A－1A2=A－1A，即A=I，αTα=O，這與αTα≠O，矛盾，故A不可逆．知識點解析：暫無解析設A是n階可逆方陣，將A的第i行與第j行對換后所得的矩陣記為B．14、證明B可逆；標準答案：因|A|≠0，而|B|=－|A|≠0，故B可逆；知識點解析：暫無解析15、求AB－1．標準答案：記Eij是n階單位矩陣的第i行和第j行對換后所得的初等方陣，則B=EijA，因而AB－1=A(EijA)－1=AA－1Eij－1=Eij．知識點解析：暫無解析16、設3階方陣A的逆陣為A－1=．求(A*)－1．標準答案：(A*)－1=1／|A|A=|A－1|(A－1)－1知識點解析：暫無解析17、已知3階矩陣A與3維向量x，使得向量組x，Ax，A2x線性無關．且滿足A3x=3Ax－2A2x．(1)記矩陣P=[x，Ax，A2x]，求3階矩陣B，使A=PBP－1；(2)計算行列式|A+E|．標準答案：(1)AP=A[xAxA2x]=[AxA2xA3x]=[AxA2x3Ax－2A2x]=[xAxA2x]=PB其中使AP=PB，或A=PBP－1(2)由(1)有A=PBP－1A+E=P(B+E)P－1|A+E|=|B+E|=－4．知識點解析：暫無解析18、若矩陣Am×n、Bn×p滿足是AB=O，則有r(A)+r(B)≤n．標準答案：AB=O說明B的每一列都是齊次線性方程組Ax=0的解向量，在B的列向量中有r(B)個線性無關的向量，故方程組Ax=0至少有r(B)個線性無關的解向量，因而其基礎解系至少含r(B)個向量，從而有n－r(A)≥r(B)，或r(A)+r(B)≤n．知識點解析：暫無解析19、設α1，α2，…，αm為線性方程組Ax=0的一個基礎解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βm=t1αm+t22α1，其中t1，t2為實常數(shù)，試問t1，t2滿足什么關系時，β1，β2，…，βm也為Ax=0的一個基礎解系．標準答案：由Ax=0的解的線性組合都是Ax=0的解，知β1，…，βm均為Ax=0的解．已知Ax=0的基礎解系含m個向量，故β1，β2，…，βm也為Ax=0的基礎解系β1，β2，…，βm線性無關m階行列式=t1m+(－1)m+1t2m≠0，即所求關系式為t1m+(－1)m+1t2m≠0，即當m為奇數(shù)時，t1≠－t2；當m為偶數(shù)時，t1≠±t2．知識點解析：暫無解析20、參數(shù)p、t取何值時，方程組有解、無解；當有解時，試用其導出組的基礎解系表示通解．標準答案：由增廣矩陣的初等行變換：=B(1)當t≠－2時，r(A)≠r()，方程組無解；(2)當t=－2且p=－8時，由得通解為x=(－1，1，0，0)T+c1(4，－2，1，0)T+c2(－1，－2，0，1)T．(3)當t=－2且p≠－8時，由得通解為x=(－1，1，0，0)T+c(－1，－2，0，1)T．知識點解析：暫無解析已知非齊次線性方程組有3個線性無關的解．21、證明方程組系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2；標準答案：若ξ1，ξ2，ξ3是Ax=b的3個線性無關解，則ξ1－ξ2，ξ1－ξ3是Ax=0的兩個線性無關解，故Ax=0的基礎解系所含向量個數(shù)4－r(A)≥2，r(A)≤2，又顯然有r(A)≥2，r(A)=2；知識點解析：暫無解析22、求a，b的值及方程組的通解．標準答案：a=2，b=－3，通解x=(2，－3，0，0)T+k1(－2，1，1，0)T+k2(4，－5，0，1)T．知識點解析：暫無解析23、設有4階方陣A滿條件|I+A|=0，AAT=2I，|A|＜0，其中I是4階單位矩陣．求A的伴隨矩陣A*的一個特征值．標準答案：由AAT=2I取行列式得|A|=24=16，因|A|＜0，得|A|=－4，A有一個特征值為λ=－A*有一個特征值為|A|／λ=2．知識點解析：暫無解析24、設n階矩陣A，B可交換、即AB=BA，且A有n個互不相同的特征值．證明：(1)A的特征向量都是B的特征向量；(2)B相似于對角矩陣．標準答案：由于A有n個互不相同特征值，故A有n個線性無關的特征向量，因此，如果(1)成立，則(2)成立，故只需證明(1)。下證(1)：設α為A的特征向量，則有數(shù)λ使Aα=λα，兩端左乘B，并利用AB=BA，得A(Bα)=λ(Bα)，若Bα≠0，則Bα亦為A的屬于特征值λ的特征向量，因方程組(λE－A)x=0的解空間為1維的，故有數(shù)μ，使Bα=μα，故α亦為B的特征向量；若Bα=0，則Bα=0α，即α為B的屬于特征值0的特征向量，總之，α必為B的特征向量，由于α的任意性，知A的特征向量都是B的特征向量．知識點解析：暫無解析已知二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32－2x1x2+6x1x3－6x2x3的秩為2．25、求參數(shù)c及f所對應矩陣的特征值；標準答案：的秩為2，c=3．由|λE－A|=(λ－4)λ(λ－9)，得A的特征值為λ1=0，λ2=4，λ3=9．知識點解析：暫無解析26、指出方程f(x1，x2，x3)=1表示何種二次曲面．標準答案：標準方程為4y22+9y32=1，故曲面為橢圓柱面．知識點解析：暫無解析27、設A、B為同階正定矩陣，且AB=BA，證明：AB為正定矩陣．標準答案：(AB)T=BTAT=BA=AB，故AB也是實對稱矩陣．因A正定，有正定陣S，使A=S2．于是S－1(AB)S=S－1SSBS=SBS=STBS由B正定，知STBS正定，故STBS的特征值全大于0，故與之相似的矩陣AB的特征值全大于0，因此AB正定．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學三（線性代數(shù)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設A，B皆為n階矩陣，則下列結論正確的是()．A、AB＝O的充分必要條件是A＝O或B＝OB、AB≠O的充分必要條件是A≠O且B≠OC、AB＝O且r(A)＝n，則B＝OD、若AB≠O，則｜A｜≠0或｜B｜≠0標準答案：C知識點解析：取，顯然AB＝O，故(A)，(B)都不對，取A＝，但｜A｜＝0且｜B｜＝0，故(D)不對；由AB＝O得r(A)+r(B)≤n，因為r(A)＝n，所以r(B)＝0，于是B＝O，所以選(C)．2、設則A，B的關系為()．A、B＝P1P2AB、B＝P2P1AC、B＝P2AP1D、B＝AP2P1標準答案：D知識點解析：P1＝E12，P2＝E23(2)，顯然A首先將第2列的兩倍加到第3列，再將第1及第2列對調，所以B＝AE23(2)E12＝AP2P1，選(D)．3、設α1，α2，α3線性無關，β1可由α1，α2，α3線性表示，β2不可由α1，α2，α3線性表示，對任意的常數(shù)k有()．A、α1，α2，α3，kβ1＋β2線性無關B、α1，α2，α3，kβ1＋β2線性相關C、α1，α2，α3，β1＋kβ2線性無關D、α1，α2，α3，β1＋kβ2線性相關標準答案：A知識點解析：因為β1可由α1，α2，α3線性表示，β2不可由α1，α2，α3線性表示，所以kβ1＋β2一定不可以由向量組α1，α2，α2線性表示，所以α1，α2，α3，kβ1＋β2線性無關，選(A)．4、設α1，α2，α3，α4為四維非零列向量組，令A＝(α1，α2，α3，α4)，AX＝0的通解為X＝k(0，－1，3，0)T，則A*X＝0的基礎解系為()．A、α1，α3B、α2，α3，α4C、α1，α2，α4D、α3，α4標準答案：C知識點解析：因為AX＝0的基礎解系只含一個線性無關的解向量，所以r(A)＝3，于是r(A*)＝1．因為A*A＝｜A｜E＝0，所以α1，α2，α3，α4為A*X＝0的一組解，又因為－α2＋3α3＝0，所以α2，α3線性相關，從而α1，α2，α3線性無關，即為A*X＝0的一個基礎解系，選(C)．5、設A為可逆的實對稱矩陣，則二次型XTAX與XTA－1X()．A、規(guī)范形與標準形都不一定相同B、規(guī)范形相同但標準形不一定相同C、標準形相同但規(guī)范形不一定相同D、規(guī)范形和標準形都相同標準答案：B知識點解析：因為A與A－1合同，所以XTAX與XTA－1X規(guī)范形相同，但標準形不一定相同，即使是同一個二次型也有多種標準形，選(B)．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)6、設A為n階可逆矩陣(n≥2)，則[(A*)*]－1＝______(用A*表示)．標準答案：知識點解析：由A*＝｜A｜A－1得(A*)*＝｜A*｜．｜(A*)－1＝｜A｜n－1．(｜A｜A－1)－1＝｜A｜n－2A，7、設A為四階矩陣，｜A*｜＝8，則＝______．標準答案：8知識點解析：因為A為四階矩陣，且｜A*｜＝8，所以｜A*｜＝｜A｜3＝8，于是｜A｜＝2．又AA*＝｜A｜E＝2E，所以A*＝2A－1，故｜－3A*｜＝｜4A－1－6A－1｜＝｜(－2)A－1｜＝(－2)4｜A－1｜＝16×＝8．8、設A＝＝______.標準答案：知識點解析：令A＝(α1，α2，α3)，因為｜A｜＝2，所以A*A＝｜A｜E＝2E，而A*A＝(A*α1，A*α2，A*α3)，所以9、設向量組α1，α2，α3線性無關，且α1＋aα2＋43，2α1＋α2－3，α2＋α3線性相關，則a＝______．標準答案：5知識點解析：(α1＋aα2＋4α3,2α1＋α2－α3，α2＋α3)＝(α1,α2,α3)因為α1，α2，α3線性無關，而α1＋aα2＋4α3，2α1＋α2－α3，α2＋α3線性相關，所以10、設B≠O為三階矩陣，且矩陣B的每個列向量為方程組的解，則k＝______，｜B｜＝______．標準答案：1，0知識點解析：令A＝，因為B的列向量為方程組的解且B≠O，所以AB＝O，且方程組有非零解，故｜A｜＝0，解得K＝1．因為AB＝O，所以r(A)＋r(B)≤3且r(A)≥1，于是r(B)≤2＜3，故｜B｜＝0．11、設A為三階實對稱矩陣，且為A的不同特征值對應的特征向量，則a＝______．標準答案：3知識點解析：因為實對稱矩陣不同特征值對應的特征向量正交，所以有6＋3a＋3－6a＝0，a＝3．12、設二次型2x12＋x22＋x32＋2x1x2＋ax23的秩為2，則a＝______．標準答案：＝±知識點解析：該二次型的矩陣為A＝，因為該二次型的秩為2，所以｜A｜＝0，解得a＝±．13、設A為n階實對稱矩陣，下列結論不正確的是()．A、矩陣A與單位矩陣E合同B、矩陣A的特征值都是實數(shù)C、存在可逆矩陣P，使PAP－1為對角陣D、存在正交陣Q，使QTAQ為對角陣標準答案：A知識點解析：根據(jù)實對稱矩陣的性質，顯然(B)，(C)，(D)都是正確的，但實對稱矩陣不一定是正定矩陣，所以A不一定與單位矩陣合同，選(A)．三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)14、計算D＝．標準答案：知識點解析：暫無解析15、設四階矩陣B滿足(A*)－1BA－1＝2AB＋E，且A＝求矩陣B．標準答案：｜A｜＝4，BA－1＝2AB＋E｜A｜A－1)－1BA－1＝2AB＋E知識點解析：暫無解析16、設A為n階可逆矩陣，A2＝｜A｜E．證明：A＝A*．標準答案：因為AA*＝｜A｜E，又已知A2＝｜A｜E，所以AA*＝A2而A可逆，故A＝A*．知識點解析：暫無解析17、設α1，…，αm為n個m維向量，且m＜n．證明：α1，