考研數(shù)學(xué)一（概率統(tǒng)計）模擬試卷1（共243題）

考研數(shù)學(xué)一（概率統(tǒng)計）模擬試卷1（共9套）（共243題）考研數(shù)學(xué)一（概率統(tǒng)計）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)A，B為任意兩個不相容的事件且P(A)＞0，P(B)＞0，則下列結(jié)論正確的是()．A、B、C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(A一B)=P(A)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為A，B不相容，所以P(AB)=0，又P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(A—B)=P(A)，選(D)．2、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=(a＞0，A為常數(shù))，則P｛a＜X＜a+b｝的值()．A、與b無關(guān)，且隨a的增加而增加B、與b無關(guān)，且隨a的增加而減少C、與a關(guān)，且隨b的增加而增加D、與a無關(guān)，且隨b的增加而減少標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為∫－∞＋∞f(x)dx=1，所以∫0＋∞Ae－xdx=1，解得A=ea，由P(a＜X＜a＋b)=∫aa＋bf(x)dx=∫aa＋beae－xdx=一eae－x｜aa＋b=1一e－b，得P(a＜X＜a＋b)與a無關(guān)，且隨b的增加而增加，正確答案為(C)．3、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)在區(qū)域D：x2+y2≤9a2(a＞0)上服從均勻分布，p=P(X2+9Y2≤9a2)，則()．A、p的值與a無關(guān)，且p=B、p的值與a無關(guān)，且p=C、p的值隨a值的增大而增大D、p的值隨a值的增大而減少標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為(X，Y)在區(qū)域D：x2+y2≤9a2上服從均勻分布，所以(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x，y)=p=P｛X2+9Y2≤9a2｝=，選(B)．4、設(shè)X，Y為兩個隨機(jī)變量，若對任意非零常數(shù)a，b有D(aX+bY)=D(aX—bY)，下列結(jié)論正確的是()．A、D(XY)=D(X)D(Y)B、X，Y不相關(guān)C、X，Y獨立D、X，Y不獨立標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)+2abCov(X，Y)，D(aX一bY)=a2D(X)+b2D(Y)一2abCov(X，Y)，因為D(aX+bY)=D(aX—bY)，所以Cov(X，Y)=0，即X，Y不相關(guān)，選(B)．5、設(shè)X，Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則()．A、X+Y服從正態(tài)分布B、X2+Y2服從χ2分布C、X2，Y2都服從χ2分布D、X2／Y2服從F分布標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為X，Y不一定相互獨立，所以X+Y不一定服從正態(tài)分布，同理(B)，(D)也不對，選(C)．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、設(shè)P(B)=0．5，P(A—B)=0．3，則P(A+B)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．8知識點解析：因為P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(A+B)=P(A—B)＋P(B)=0．8．7、設(shè)事件A，B，C兩兩獨立，滿足ABC=，P(A)=P(B)=P(C)，且P(A+B+C)=，則P(A)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由P(A＋B＋C)=P(A)+P(B)＋P(C)一P(AB)一P(AC)一P(BC)＋P(ABC)且ABC=，P(A)=P(B)=P(C)，得3P(A)一3P2(A)=，因為AA+B＋C，所以P(A)≤P(A+B＋C)=．8、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X～，則c=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由c—c2+c+．9、一工人同時獨立制造三個零件，第k個零件不合格的概率為(k=1，2，3)，以隨機(jī)變量X表示三個零件中不合格的零件個數(shù)，則P(X=2)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：令A(yù)k=｛第k個零件不合格｝(k=1，2，3)，10、設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，σ2)，Y～N(0，4σ2)，且P(X≤1，Y≤一2)=，則P(X＞1，Y＞一2)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：令｛X≤1｝=A，｛Y≤一2｝=B，P(A)=，且P(AB)=，則11、設(shè)隨機(jī)變量X在[一1，2]上服從均勻分布，隨機(jī)變量Y=，則D(Y)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=隨機(jī)變量Y的可能取值為一1，0，1，P(Y=一1)=P(X＜0)=∫－10，P(Y00)=P(X=0)=0，P(Y=1)=P(X＞0)=，Y的分布律為Y～=1，則D(Y)=E(Y2)一[E(Y)]2=．12、設(shè)X，Y為兩個隨機(jī)變量，且D(X)=9，Y=2X+3，則X，Y的相關(guān)系數(shù)為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：D(Y)=4D(X)=36，Cov(X，Y)=Cov(X，2X+3)=2Cov(X，X)+Cov(X，3)=2D(X)+Cov(X，3)，因為Cov(X，3)=E(3X)－E(3)E(X)=3E(X)一3E(X)=0，所以Cov(X，Y)=2D(X)=18，于是=1．13、設(shè)總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是來自總體的簡單隨機(jī)樣本，，則～_________，=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：，＋μ2知識點解析：14、設(shè)(X1，X2，…，Xn，Xn－1，…，Xn－m)為來自總體X～N(0，σ2)的簡單樣本，則統(tǒng)計量U=服從_________分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：因為～χ2(m)相互獨立，所以．15、設(shè)總體X的分布律為X～(θ為正參數(shù))，一1，2，一1，1，2為樣本觀察值，則θ的極大似然估計值為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：L(θ)=θ2×(1—2θ)×θ2=θ4(1—2θ)，lnL(θ)=4lnθ+ln(1—2θ)，令=0，得參數(shù)θ的極大似然估計值為．三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)16、設(shè)X的密度函數(shù)為F(x)=，求k的取值范圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然k＜6，當(dāng)3＜k＜6時，P(X≥k)=∫k6；當(dāng)1≤k≤3時，P(X≥k)=∫36；當(dāng)0≤k＜1時，P(X≥k)=；當(dāng)k＜0時，P(X≥k)=1，所以1≤k≤3．知識點解析：暫無解析設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=17、求常數(shù)A，B；標(biāo)準(zhǔn)答案：因為連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)的，所以有．知識點解析：暫無解析18、求X的密度函數(shù)f(x)；標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)=知識點解析：暫無解析19、求P(x＞)．標(biāo)準(zhǔn)答案：．知識點解析：暫無解析設(shè)(X，Y)的聯(lián)合概率密度為f(x，y)=．求：20、(X，Y)的邊緣密度函數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)0＜x＜1時，fX(x)=∫－∞＋∞f(x，y)dy=∫02xdy=2x．當(dāng)x≤0或x≥1時，fX(x)=0，所以fX(x)=，同理fY(y)=．知識點解析：暫無解析21、Z=2X—Y的密度函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)z≤0時，F(xiàn)(z)=0；當(dāng)z≥2時，F(xiàn)(z)=1；當(dāng)0＜z＜2時．知識點解析：暫無解析設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，令U=X2+Y2．求：22、fU(μ)；標(biāo)準(zhǔn)答案：因為X，Y相互獨立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x，y)=(一∞＜x，y＜+∞)FU(μ)=P(U≤μ)，當(dāng)μ＜0時，F(xiàn)U(μ)=0；當(dāng)μ≥0時，F(xiàn)U(μ)=P(U≤μ)=P(X2+Y2≤μ)==，所以fU(μ)=即U服從參數(shù)為λ=的指數(shù)分布．知識點解析：暫無解析23、P｛U＞D(U)｜U＞E(U)｝．標(biāo)準(zhǔn)答案：E(U)=2，D(U)=4，P｛U＞D(U)｜U＞E(U)｝=P(U＞4｜U＞2)=，因為P(U＞4)=1一P(U≤4)=l－(1一e－2)=e－2．P(U＞2)=1一(1一e－1)=e－1，所以P｛U＞D(U)｜U＞F(U)｝=e－1．知識點解析：暫無解析24、設(shè)隨機(jī)變量X～U(0，1)，Y～E(1)，且X，Y相互獨立，求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度．標(biāo)準(zhǔn)答案：X～U(0．1)，Y～E(1)因為X，Y相互獨立，所以f(x，y)=fX(x)fY(y)=于是FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=．當(dāng)z≤0時，F(xiàn)Z(z)=0；當(dāng)0＜z＜1時，F(xiàn)Z(z)=f(x，y)dxdy=∫0zdx∫0z－xe－ydy=z＋e－z－1；當(dāng)z≥1時，F(xiàn)Z(z)=f(x，y)dxdy=∫0zdx∫0z－xe－ydy=e－z－e1－z＋1．所以FZ(z)=．知識點解析：暫無解析25、設(shè)試驗成功的概率為，失敗的概率為，獨立重復(fù)試驗直到成功兩次為止．求試驗次數(shù)的數(shù)學(xué)期望．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)試驗的次數(shù)為X，則X的分布律為知識點解析：暫無解析26、設(shè)X～U(一1，1)，Y=X2，判斷X，Y的獨立性與相關(guān)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)，E(X)=0，E(XY)=E(X3)=∫－11dx=0，因此Cov(X，Y)=0，X，Y不相關(guān)；判斷獨立性，可以采用試算法知識點解析：暫無解析27、設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)=，X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，求參數(shù)θ的最大似然估計量．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析28、某批木材的直徑服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)抽取20根，測得平均直徑為=32．5cm，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為15，問在顯著性水平為0．05下，是否可以認(rèn)為這批木材的直徑為30cm?標(biāo)準(zhǔn)答案：令H0：μ=30，H1：μ≠30．已知總體X～N(μ，σ2)，=32．5，因為σ2未知，所以取統(tǒng)計量～t(n一1)，查表得t0．025(19)=2．093，則H0的接受域為(一2．093，2．093)，而∈(一2．093，2．093)，所以H0被接受，即可以認(rèn)為這批木材的平均直徑為30cm．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（概率統(tǒng)計）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、下列命題不正確的是()．A、若P(A)=0，則事件A與任意事件B獨立B、常數(shù)與任何隨機(jī)變量獨立C、若P(A)=1，則事件A與任意事件B獨立D、若P(A+B)=P(A)+P(B)，則事件A，B互不相容標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：P(A)=0時，因為ABA，所以P(AB)=0，于是P(AB)=P(A)P(B)，即A，B獨立；常數(shù)與任何隨機(jī)變量獨立；若P(A)=1，則P(，B獨立，則A，B也獨立；因為P(A+B)=P(A)+P(B)，得P(AB)=0，但AB不一定是不可能事件，故選(D)．2、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)，且f(x)為偶函數(shù)，X的分布函數(shù)為F(x)，則對任意實數(shù)a，有()．A、F(－a)=1－∫0af(x)dxB、F(－a)=－∫0af(x)dxC、F(－a)=F(a)D、F(－a)=2F(a)－1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：F(－a)=∫－∞－af(x)dx∫a+∞r(nóng)f(－t)dt=∫a+∞f(t)dt=1－∫－∞af(t)dt=1－(∫－∞－af(t)dt+∫－aaf(t)dt)=1－F(－a)－2∫0af(t)dt則F(－a)=－∫0af(x)dx，選(B)．3、若(X，Y)服從二維正態(tài)分布，則①X，Y一定相互獨立；②若ρXY=0，則X，Y一定相互獨立；③X和Y都服從一維正態(tài)分布；④X，Y的任一線性組合服從一維正態(tài)分布．上述幾種說法中正確的是()．A、①②③B、②③④C、①③④D、①②④標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為(X，Y)服從二維正態(tài)分布，所以X，Y都服從一維正態(tài)分布，aX+bY服從一維正態(tài)分布，且X，Y獨立與不相關(guān)等價，所以選(B)．4、設(shè)X～t(n)，則下列結(jié)論正確的是()．A、X2～F(1，n)B、1／X2～F(1，n)C、X2～χ2(n)D、X2～χ2(n－1)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由X～t(n)，得X=，其中U～N(0，1)，V～χ2(n)，且U，V相互獨立，于是X2=～F(1，n)，選(A)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)5、設(shè)P(A)=0．6，P(A)=0．2，P(B)=0．3，則P(A+)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1／4知識點解析：由P(A)=P(A－B)=P(A)－P(AB)=0．2及P(A)=0．6得P(AB)=0．4，再由P(B)=P(B－A)=P(B)－P(AB)=0．3得P(B)=0．7，6、設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格，從中任取兩件，已知兩件中有一件不合格，則另一件產(chǎn)品也不合格的概率為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1／5知識點解析：令A(yù)={第一件產(chǎn)品合格}，B={第二件產(chǎn)品合格}，則所求概率為7、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合密度為f(x，y)=，則P(X＞5|Y≤3)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：P(X＞5|Y≤3)8、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=，則E(X)=_______，D(X)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1／2知識點解析：因為f(x)所以X～N(1，1／2)，于是E(X)=1，D(X)=1／2．9、設(shè)隨機(jī)變量X，Y不相關(guān)，X～U(－3，3)，Y的密度為fY(y)=根據(jù)切比雪夫不等式，有P{|X－Y|＜3}≥_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2／5知識點解析：E(X)=0，D(X)=3，E(Y)=0，D(Y)=12／5，則E(X－Y)=0，D(X－Y)=D(X)+D(Y)－2Cov(X，Y)=27／5，所以P(|X－Y|＜3)=P(|(X－Y)－E(X－Y)|＜3)≥1－=2／5．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)10、甲、乙兩船駛向不能同時?？績蓷l船的碼頭，它們一天到達(dá)時間是等可能的，如果甲?？?，則?？康臅r間為1小時，若乙?？?，則停靠的時間為2小時，求它們不需要等候的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)甲乙兩船到達(dá)的時刻分別為x，y(0≤x≤24，0≤y≤24)，則兩船不需要等待的充分必要條件是令D={(x，y)|0≤x≤24，0≤y≤24}，則D1={(x，y)|y－x≥1，x－y≥2，(x，y)∈D}，則兩船不需要等待的概率為知識點解析：暫無解析11、有甲、乙兩個口袋，兩袋中都有3個白球2個黑球，現(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取4個球，設(shè)4個球中的黑球數(shù)用X表示，求X的分布律．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A={從甲袋中取出黑球}，X的可能取值為0，1，2，3，令{X=i}=Bi(i=0，1，2，3)，則P(X=0)=P(B0)=P(A)P(B0|A)+P(P(X=1)=P(B1)=P(A)P(B1|A)+P(P(X=2)=P(B2)=P(A)P(B2|A)+P(P(X=3)=P(B3)=P(A)P(B3|A)+P(所以X的分布律為知識點解析：暫無解析設(shè)隨機(jī)變量X滿足|X|≤1，且P(x=－1)=1／8，P(X－1)=1／4，在{－1＜X＜1}發(fā)生的情況下，X在(－1，1)內(nèi)任一子區(qū)間上的條件概率與該子區(qū)間長度成正比．12、求X的分布函數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＜－1時，F(xiàn)(x)=0；當(dāng)x=－1時，F(xiàn)(－1)=1／8；因為P(－1＜X＜1)=1－=5／8，所以在{－1＜X＜1}(－1＜x＜1)發(fā)生下，P(－1＜X≤x|－1＜X＜1)=，于是當(dāng)－1＜x＜1時，P(－1＜X≤x)=P(－1＜X≤x，－1＜x＜1)=P(－1＜X＜1)．P(－1＜X≤x|－1＜x＜1)F(x)=P(X≤x)=P(X≤－1)+P(－1＜X≤x)當(dāng)x≥1時，F(xiàn)(x)=1，知識點解析：暫無解析13、求P(X＜0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：P(X＜0)=F(0)=7／16．知識點解析：暫無解析14、設(shè)求矩陣A可對角化的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：由|λE－A|=(λ－1)(λ－2)(λ－Y)=0得矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=Y．若Y≠1，2時，矩陣A一定可以對角化；當(dāng)Y=1時，λ=1為二重特征值，因為r(E－A)=2，所以A不可對角化；當(dāng)Y=2時，λ=2為二重特征值，因為r(2E－A)=1，所以A可對角化，故A可對角化的概率為P(Y≠1，2)+P(Y=2)=P(Y=0)+P(Y=2)+P(Y=3)=2／3知識點解析：暫無解析15、設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨立，且X～P(1)，Y～P(2)，求P(max{X，Y}≠0)及P(min{X，Y}≠0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：P(max{X，Y}≠0)=1－P(max{X，Y}=0)=1－P(X=0，Y=0)=1－P(X=0)P(Y=0)=1－e－1e－2=1－e－3。P(min{X，Y}≠0)=1－P(rain{X，Y}=0)，令A(yù)={X=0}，B={Y=0}，則(min{X，Y}=0)=A+B，于是P(min{X，Y}=0)=P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=e－1+e－2－e－1．e－2=e－1+e－2－e－3，故P(min{X，Y}≠0)=1－e－1－e－2+e－3．知識點解析：暫無解析n把鑰匙中只有一把可以把門打開，現(xiàn)從中任取一把開門，直到打開門為止，下列兩種情況分別求開門次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差：16、試開過的鑰匙除去；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)X為第一種情況開門次數(shù)，X的可能取值為1，2，…，n．且P(X=k)=1／n，k=1，2，…，n．注意：設(shè)第3次才能打開門，則D(X)=E(X2)－[E(X)]2=(n2－1)／12．知識點解析：暫無解析17、試開過的鑰匙重新放回．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Y為開門次數(shù)，Y的可能取值為1，2，…，n，…，且P(Y=k)=(1－)k－11／n，k=1，2，…．知識點解析：暫無解析18、設(shè)一部機(jī)器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為1／5，機(jī)器發(fā)生故障時全天停止工作．若一周5個工作日無故障，則可獲利10萬元；發(fā)生一次故障獲利5萬元；發(fā)生兩次故障獲利0元；發(fā)生三次及以上的故障虧損2萬元，求一周內(nèi)利潤的期望值．標(biāo)準(zhǔn)答案：用X表示5天中發(fā)生故障的天數(shù)，則X～B(5，1／5)，以Y表示獲利，則則E(Y)=10P(X=0)+5P(X=1)－2[P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)]=10×0．328+5×0．410－2×0．057=5．216(萬元)知識點解析：暫無解析19、電話公司有300臺分機(jī)，每臺分機(jī)有6％的時間處于與外線通話狀態(tài)，設(shè)每臺分機(jī)是否處于通話狀態(tài)相互獨立，用中心極限定理估計至少安裝多少條外線才能保證每臺分機(jī)使用外線不必等候的概率不低于0．95?標(biāo)準(zhǔn)答案：令X表示需要使用外線的分機(jī)數(shù)，則Xi=E(X)=300×0．06=18，D(X)=300×0．0564=16．92．設(shè)至少需要安裝n條外線，由題意及中心極限定理得解得≥1．645，n≥24．8，所以至少要安裝25條外線才能保證每臺分機(jī)需要使用外線時不需要等待的概率不低于0．95．知識點解析：暫無解析20、設(shè)總體X～N(0，1)，(X1，X2，…，Xm，Xm+1，…，Xm－n)為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，求統(tǒng)計量所服從的分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然U=Xi～N(0，m)，V=Xi～N(0，n)，且U，V相互獨立，知識點解析：暫無解析21、設(shè)總體X～N(0，σ2)，X1，X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，Xi，S2=所服從的分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析設(shè)X1，X2，…，Xn(n＞2)是來自總體X～N(0，1)的簡單隨機(jī)樣本，記Yi=Xi－(i=1，2，…，n)．求：22、D(Yi)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由Yi知識點解析：暫無解析23、Cov(Y1，Yn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為X1，X2，…，Xn(n＞2)相互獨立，所以Cov(Y1，Yn)知識點解析：暫無解析24、設(shè)總體X～N(μ，σ12)，Y～N(μ，σ22)，且X，Y相互獨立，來自總體X，Y的樣本均值為，樣本方差為S12，S22．記a=，求統(tǒng)計量U=a的數(shù)學(xué)期望．標(biāo)準(zhǔn)答案：由，S12，S22相互獨立，可知a，b與相互獨立，顯然a+b=1．E(E(U)=μ[E(a)+E(b)]+μE(a+b)=μE(1)=μ．知識點解析：暫無解析25、設(shè)總體X～U[0，θ]，其中θ＞0，求θ的極大似然估計量，判斷其是否是θ的無偏估計量．標(biāo)準(zhǔn)答案：總體X的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為設(shè)x1，x2，…，xn為總體X的樣本觀察值，似然函數(shù)為L(θ)(i=1，2，…，n)．當(dāng)0＜xi＜θ(i=1，2，…，n)時，L(θ)=1／θn＞0且當(dāng)θ越小時L(θ)越大，所以θ的最大似然估計值為=max(x1，x2，…，xn}，θ的最大似然估計量為=max{X1，X2，…，Xn}．因為=max{X1，X2，…，Xn}的分布函數(shù)為(x)=P(max{X1，…，Xn}≤x)=P(X1≤x)…P(Xn≤x)=Fn(x)=max(X1，X2，…，Xn}不是θ的無偏估計量．知識點解析：暫無解析26、某生產(chǎn)線生產(chǎn)白糖，設(shè)白糖重量X～N(μ，152)，現(xiàn)從生產(chǎn)線上任取10袋，s=30．23，在顯著性水平α=0．05下，問機(jī)器生產(chǎn)是否正常?標(biāo)準(zhǔn)答案：令H0：σ2≤152，H1：σ2＞152．因為σ2已知，所以取統(tǒng)計量～χ2(n－1)，χ0．052(9)=16．919，因為=36．554＞16．919，所以H0：σ2≤152被拒絕，即機(jī)器不能正常工作．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（概率統(tǒng)計）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)隨機(jī)變量X～U[1，7]，則方程x2+2Xx＋9=0有實根的概率為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：X～f(x)=，方程x2＋2Xx＋9=0有實根的充要條件為△=4X2一36≥0X2≥9，P(X2≥9)=1一P(X2＜9)=1一P(1＜X＜3)=．2、設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨立，且X～N(0，1)，Y～N(1，1)，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：X，Y獨立，X～N(0，1)，Y～N(1，1)，X+Y～N(1，2)，所以選(B)．3、設(shè)(X1，X2，…，Xn)(n≥2)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體X的簡單隨機(jī)樣本，則()．A、～N(0，1)B、nS2～χ2(n)C、～t(n－1)D、～F(1，n～1)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由X12～χ2(1)，～F(1，n一1)，選(D)．二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)4、設(shè)P(A)=0．4，且P(AB)=，則P(B)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．6知識點解析：因為=1一P(A+B)，所以P(AB)=1一P(A+B)=1一P(A)一P(B)＋P(AB)，從而P(B)=1一P(A)=0．6．5、設(shè)一次試驗中，出現(xiàn)事件A的概率為p，則n次試驗中A至少發(fā)生一次的概率為_________，A至多發(fā)生一次的概率為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1一(1一P)n，(1一P)n－1[1+(n一1)p]；知識點解析：令B={A至少發(fā)生一次}，則P(B)=1—Cn0p0(1一p)n=1一(1一P)n，令C=｛A至多發(fā)生一次｝，則P(C)=Cn0p0(1一p)n+Cn1(1一p)n－1=(1一P)n－1[1+(n一1)p]．6、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P(X=0)=P(X=1)，則P(X≥1)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1一e－2知識點解析：X的分布律為P(X=k)=e－λ(k=0，1，2，…)，由P(X=0)=P(X=1)得λ=2，P(X≥1)=1一P(X=0)=1一e－2．7、設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為FX(x)=則Y=X2+1的分布函數(shù)為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：FY(y)=知識點解析：X的分布律為X～，Y的可能取值為1，2，10，P(Y=1)=P(X=0)=，P(Y=2)=P(X=1)=，P(Y=10)=P(X=3)=，于是Y的分布函數(shù)為FY(y)=8、設(shè)X～P(1)，Y～P(2)，且X，Y相互獨立，則P(X+Y=2)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e－3知識點解析：P(X+Y=2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=0)，由X，Y相互獨立得P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=．9、隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=ke－｜x｜(一∞＜x＜+∞)，則E(X2)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：因為∫－∞＋∞f(x)dx=1，所以∫－∞＋∞ke－｜x｜dx=2k∫0＋∞e－xdx=2k=1，解得k=．于是E(X2)=∫－∞＋∞x2f(x)dx=×2∫0＋∞x2e－xdx==2！=2．10、設(shè)隨機(jī)變量X，Y，Z相互獨立，且X～U[一1，3]，Y～B(10，)，Z～N(1，32)，且隨機(jī)變量U=X+2Y一3Z+2，則D(U)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由X～U[一1，3]，Y～B(10，)，Z～N(1，32)得，D(Z)=9，于是D(U)=D(X)+4D(Y)+9D(Z)=．11、設(shè)D(X)=1，D(Y)=9，ρXY=一0．3，則Cov(X，Y)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一0．9知識點解析：Cov(X，Y)==0．3×1×3=一0．9．12、設(shè)隨機(jī)變量X～N(1，2)，Y～N(一1，2)，Z～N(0，9)且隨機(jī)變量X，Y，Z相互獨立，已知n(X+Y)2+bZ2～χ2(n)(ab≠0)，則a=________，b=________，n=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a=，b=，n=2；知識點解析：由X～N(1，2)，Y～N(－1，2)，Z～N(0，9)，得X＋Y～N(0，4)且～N(0，1)，故，n=2．13、某產(chǎn)品廢品率為3％，采用新技術(shù)后對產(chǎn)品重新進(jìn)行抽樣檢驗，檢查是否產(chǎn)品次品率顯著降低，取顯著性水平為0．05，則原假設(shè)為H0：__________，犯第一類錯誤的概率為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：p≤3％，5％知識點解析：原假設(shè)為H0：p≤3％，犯第一類錯誤的概率為5％．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)10件產(chǎn)品有3件次品，7件正品，每次從中任取一件，取后不放回，求下列事件的概率：14、第三次取得次品；標(biāo)準(zhǔn)答案：P(A3)=；知識點解析：暫無解析15、第三次才取得次品；標(biāo)準(zhǔn)答案：(試驗還沒有開始，計算前兩次都取不到次品，且第三次取到次品的概率)．知識點解析：暫無解析16、已知前兩次沒有取到次品，第三次取得次品；標(biāo)準(zhǔn)答案：(已知前兩次已發(fā)生的結(jié)果，唯一不確定的就是第三次)．知識點解析：暫無解析17、不超過三次取到次品．標(biāo)準(zhǔn)答案：P(A1+A2＋A3)=1－，知識點解析：暫無解析18、一批產(chǎn)品有10個正品2個次品，任意抽取兩次，每次取一個，抽取后不放同，求第二次抽取次品的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)1=｛第一次抽取正品｝，A2=｛第一次抽取次品｝，B=｛第二次抽取次品｝，由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B｜A1)+P(A2)P(B｜A2)=．知識點解析：暫無解析設(shè)起點站上車人數(shù)X服從參數(shù)為λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客中途下車的概率為p(0＜p＜1)，且中途下車與否相互獨立，以Y表示中途下車人數(shù)．19、求在發(fā)車時有n個乘客的情況下，中途有m個乘客下車的概率；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A=(發(fā)車時有n個乘客)，B=(中途有m個人下車)，則P(B｜A)=P(Y=m｜X=n)=Cnmpm(1一p)n－m(0≤m≤n)．知識點解析：暫無解析20、求(X，Y)的概率分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：P(X=n，Y=m)=P(AB)=P(B｜A)P(A)=Cnmpm(1一p)n－m．e－λ(0≤m≤n，n=0．1，2．…)．知識點解析：暫無解析21、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合分布律為則在Y=1的條件下求隨機(jī)變量X的條件概率分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為P(Y=1)=0．6，所以P(X=0｜Y=1)=，P(X=1｜Y=1)=．知識點解析：暫無解析設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合密度為f(x，y)=．求：22、X，Y的邊緣密度；標(biāo)準(zhǔn)答案：fX(x)=∫－∞＋∞f(x，y)dy=．知識點解析：暫無解析23、．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析24、一臺設(shè)備由三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運轉(zhuǎn)過程中各部件需要調(diào)整的概率分別為0．1，0．2，0．3，假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨立，以X表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，求E(X)，D(X)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)i=｛第i個部件需要調(diào)整｝(i=1，2，3)，X的可能取值為0，1，2，3，P(X=0)==0．9×0．8×0．7=0．504，P(X=1)==0．398，P(X=3)=P(A1A2A3)=0．006，P(X=2)=1一0．504—0．398－0．006=0．092，所以X的分布律為X～，E(X)=1×0．398+2×0．092+3×0．006=0．6，D(X)=E(X2)一[E(X)]2=12×0．398+22×0．092+32×0．006－0．36=0．46．知識點解析：暫無解析25、一民航班車上有20名旅客，自機(jī)場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就不停車，以X表示停車次數(shù)，求E(X)(設(shè)每位旅客下車是等可能的)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令Xi=(i=1，2，…，10)，顯然X=X1+X2+…+X10。因為任一旅客在第i個站不下車的概率為0．9，所以20位旅客都不在第i個站下車的概率為0．920，從而第i個站有人下車的概率為1—0．920，即Xi的分布律為Xi～(i=1，2，…，10)，于是E(Xi)=1—0．920(i=1，2，…，10)，從而有E(X)=E(Xi)=10(1－0．920)=8．784．知識點解析：暫無解析26、設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E(X)=μ，D(X)=σ2，用切比雪夫不等式估計P{｜X一μ｜＜3σ}．標(biāo)準(zhǔn)答案：P｛｜X一μ｜＜3σ｝≥1—．知識點解析：暫無解析某保險公司統(tǒng)計資料表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20％，用X表示抽取的100個索賠戶中被盜索賠戶的戶數(shù)．27、求X的概率分布；標(biāo)準(zhǔn)答案：X～B(100，0．2)，即X的分布律為P(X=k)=C100k0．2k．0．8100－k(k=0．1，2，…，100)．知識點解析：暫無解析28、用拉普拉斯定理求被盜戶數(shù)不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值．標(biāo)準(zhǔn)答案：E(X)=20，D(X)=16．P(14≤X≤30)=≈φ(2．5)一φ(一1．5)=0．927．知識點解析：暫無解析29、設(shè)X1，X2，…，X7是總體X～N(0，4)的簡單隨機(jī)樣本，求P(Xi2≤64)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由X1，X2，…，X7與總體服從相同的分布且相互獨立，得Xi2～χ2(7)，于是，查表得χ0．0252(7)=16．014，故P(Xi2≤64)=1—0．025=0．975．知識點解析：暫無解析30、設(shè)總體X的分布律為P(X=k)=(1－p)k－1p(k=1，2，…)，其中p是未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，求參數(shù)p的矩估計量和極大似然估計量．標(biāo)準(zhǔn)答案：E(X)=，L(p)=P(X=x1)…P(X=xn)=，lnL(p)=(一n)ln(1一p)+nlnp，令=0，得參p的極大似然估計量．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（概率統(tǒng)計）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)事件A，B互不相容，且0＜P(A)＜1，則有()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為A，B互不相容，所以P(AB)=0，于是有P(B|B)=P(B)－P(AB)=P(B)選(B)．2、設(shè)A，B是任兩個隨機(jī)事件，下列事件中與A+B=B不等價的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：A+B=B等價于AB=A，AB=A等價于A=A－AB，則A等價于AB=A，所以選(D)．3、設(shè)隨機(jī)變量X，Y的分布函數(shù)分別為F1(x)，F(xiàn)2(x)，為使得F(x)=aF1(x)+bF2(x)為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則有()．A、a=1／2，b=－1／2B、a=1／2，b=3／2C、a=－1／2，b=1／2D、a=－1／2，b=3／2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：根據(jù)性質(zhì)F(+∞)=1，得正確答案為(D)．4、設(shè)隨機(jī)變量X，Y都是正態(tài)變量，且X，Y不相關(guān)，則()．A、X，Y一定相互獨立B、(X，Y)一定服從二維正態(tài)分布C、X，Y不一定相互獨立D、X+Y服從一維正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：只有當(dāng)(X，Y)服從二維正態(tài)分布時，X，Y獨立才與X，Y不相關(guān)等價，由X，Y僅僅是正態(tài)變量且不相關(guān)不能推出X，Y相互獨立，(A)不對；若X，Y都服從正態(tài)分布且相互獨立，則(X，Y)服從二維正態(tài)分布，但X，Y不一定相互獨立，(B)不對；當(dāng)X，Y相互獨立時才能推出X+Y服從一維正態(tài)分布，(D)不對，故選(C)．5、設(shè)總體X～N(0，σ2)，X1，X2，…，Xn為總體X的簡單隨機(jī)樣本，與S2分別為樣本均值與樣本方差，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：應(yīng)選(A)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、獨立投骰子兩次，X，Y表示投出的點數(shù)，令A(yù)={X+Y=10}，B={X＞Y}，則P(A+B)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：17／36知識點解析：P(A)=P{X=4，Y=6}+P{X=5，Y=5}+P{X=6，Y=4}=3×=1／12，P(B)=P{X=2，Y=1}+P{X=3，Y=1}+P{X=3，Y=2}+P{X=4，Y=3}+P{X=4，Y=2}+P{X=4，Y=1}+P{X=5，Y=4}+P{X=5，Y=3}+P(X=5，Y=2}+P{X=5，Y=1}+P{X=6，Y=5}+P{X=6，Y=4}+P{X=6，Y=3}+P{X=6，Y=2}+P{X=6，Y=1}=15／36=5／12P(AB)=P(X=6，Y=4}=1／36，則P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)7、設(shè)X，Y為兩個隨機(jī)變量，且P(X≥0，Y≥0)=3／7，P(X≥0)=P(Y≥0)=4／7，則P(max{X，Y}≥0)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：5／7知識點解析：令{X≥0}=A，{Y≥0}=B，則有P(AB)=3／7，P(A)=P(B)=4／，故P(max{X，Y}≥0)=1－P(max{X，Y}＜0)=1－P(X＜0，Y＜0)=1－P()=P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=5／7．8、設(shè)隨機(jī)變量X～P(λ)，且E[(X－1)(X－2)]=1，則λ=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：因為X～P(λ)，所以E(X)=λ，D(X)=λ，故E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ2+λ．由E[(X－1)(X－2)]=E(X2－3X+2)=E(X2)－3E(X)+2=λ2－2λ+2=1得λ=1．9、(1)將一均勻的骰子連續(xù)扔六次，所出現(xiàn)的點數(shù)之和為X，用切比雪夫不等式估計P(14＜X＜28)=_______．(2)設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，X10相互獨立且Xi～π(i)(i=1，2，…，10)，Y=1／10Xi，根據(jù)切比雪夫不等式，P{4＜Y＜7)≥_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)9／14(2)34／45知識點解析：(1)設(shè)Xi為第i次的點數(shù)(i=1，2，3，4，5，6)，則X=Xi，其中D(Xi)=35／12，i=1，2，3，4，5，6．則E(X)=6×=21，D(X)=6×=35／2，由切比雪夫不等式，有P(14＜X＜28)=P(|X－E(X)|＜7)≥1－=9／14．(2)由Xi～π(i)得E(Xi)=i，E(Di)=i(i=1，2，…，10)，則P(4＜Y＜7)=P(－3／2＜Y－E(Y)＜3／2)=P(|Y－E(Y)|＜3／2)10、設(shè)總體X，Y相互獨立且服從N(0，9)分布，(X1，…，X9)與(Y1，…，Y9)分別為來自總體X，Y的簡單隨機(jī)樣本，則U=～_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：t(9)知識點解析：由X1+X2+…+X9～N(0，81)，得1／9(X1+X2+…+X9)～N(0，1)．因為Y1，…，Y9相互獨立且服從N(0，9)分布，所以(Y1／3)2+(Y1／3)2+…+(Y9／3)2～χ2(9)，即1／9(Y12+…+Y92)～χ2(9)．因此三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)11、某人打電話忘記對方號碼最后一位，因而對最后一位數(shù)隨機(jī)撥號，設(shè)撥完某地區(qū)規(guī)定的位數(shù)才完成一次撥號，且假設(shè)對方不占線，求到第k次才撥通對方電話的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)k={第k次撥通對方電話}(k=1，2，…，10)，知識點解析：暫無解析12、設(shè)一電路由三個電子元件串聯(lián)而成，且三個元件工作狀態(tài)相互獨立，每個元件的無故障工作時間服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，設(shè)電路正常工作的時間為T，求T的分布函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)三個元件正常工作的時間為Ti(i=1，2，3)，T1，T2，T3相互獨立且其分布函數(shù)都是當(dāng)t＞0時，令A(yù)={T1≤t}，B={T2≤t}，C={T3≤t}，且A，B，C獨立，則FT(t)=P(T≤t)=P(A+B+C)．P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)+P(ABC)，P(A)=P(B)=P(C)=1－e－λt，F(xiàn)T(t)=3(1－e－λt)－3(1－e－λt)2+(1－e－λt)3，于是FT(t)知識點解析：暫無解析13、設(shè)隨機(jī)變量X～E(λ)，令Y=求P(X+Y=0)及FY(y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：P(X+Y=0)=P(Y=－X)=P(|X|＞1)=P(X＞1)+P(X＜－1)=P(X＞1)=－1P(X≤1)=1－FX(1)=e－λFY(y)=P(Y≤y)=P(Y≤y，|X|≤1)+P(Y≤y，|X|＞1)=P(X≤y，|X|≤1)+P(－X≤y，X＞1)+P(－X≤y，X＜－1)=P(X≤y，0＜X≤1)+P(X≥－y，X＞1)當(dāng)y＜－1時，F(xiàn)Y(y)=P(X＞－y)=eλy；當(dāng)－1≤y＜0時，F(xiàn)Y(y)=P(X＞1)=e－λ；當(dāng)0≤y≤1時，F(xiàn)Y(y)=P(X≤y)+P(X＞1)=1－e－λy+e－λ；當(dāng)y＞1時，F(xiàn)Y(y)=P(0＜X≤1)+P(X＞1)=1，知識點解析：暫無解析設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x，y)=14、求隨機(jī)變量X，Y的邊緣密度函數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：fX(x)=∫－∞+∞f(x，y)dy．當(dāng)x≤0時，fX(x)=0；當(dāng)x＞0時，fX(x)=∫－∞+∞f(x，y)dy=∫0+∞2e－(x+2y)dy=e－xe－2yd(2y)=e－x，則fX(x)fY(y)=∫－∞+∞f(x，y)dx，當(dāng)y≤0時，fY(y)=0；當(dāng)y＞0時，fY(x)=∫0+∞2e－(x+2y)dx=2e－2y∫0+∞e－xdx=2e－2y，則fY(y)知識點解析：暫無解析15、判斷隨機(jī)變量X，Y是否相互獨立；標(biāo)準(zhǔn)答案：因為f(x，y)=fX(x)fY(y)，所以隨機(jī)變量X，Y相互獨立．知識點解析：暫無解析16、求隨機(jī)變量Z=X+2Y的分布函數(shù)和密度函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+2Y≤z)=f(x，y)dxdy，當(dāng)z≤0時，F(xiàn)Z(z)=0；當(dāng)z＞0時，=∫0ze－xdx∫0(z－x)／2e－2yd(2y)=∫0ze－x(1－ex－z)dx=1－e－z－ze－z，知識點解析：暫無解析17、設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨立，且X～，Y～E(4)，令U=X+2Y，求U的概率密度．標(biāo)準(zhǔn)答案：FU(u)=P(U≤u)=P(X+2Y≤u)=P(X=1)P(X+2Y≤u|X=1)+P(X=2)P(X+2Y≤u|X=2)當(dāng)u≤1時，F(xiàn)U(u)=0；當(dāng)1＜u≤2時，F(xiàn)U(u)=0．5∫0(u－1)／24e－4xdx=1／2(1－e2－2u)；當(dāng)u＞2時，F(xiàn)U(u)=0．5∫0(u－1)／24e－4xdx+0．5∫0(u－1)／24e－4xdx=1／2(1－e2－2u)+(1－e4－2u)．故fU(u)知識點解析：暫無解析18、設(shè)由自動生產(chǎn)線加工的某種零件的內(nèi)徑X(毫米)服從正態(tài)分布N(μ，1)，內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格產(chǎn)品．銷售合格品獲利，銷售不合格產(chǎn)品虧損，已知銷售利潤T(單位：元)與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系：問平均內(nèi)徑μ取何值時，銷售一個零件的平均利潤最大?標(biāo)準(zhǔn)答案：E(T)=－1×P(X＜10)+20×P(10≤X≤12)－5P(X＞12)=－Ф(10－μ)+20[Ф(12－μ)－Ф(10－μ)]－5[1－Ф(12－μ)]=25Ф(12－μ)－21Ф(10－μ)－5≈10．9，所以當(dāng)μ≈10．9時，銷售一個零件的平均利潤最大．知識點解析：暫無解析設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，令U=求：19、(U，V)的分布；標(biāo)準(zhǔn)答案：因為X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，所以X的分布函數(shù)為(U，V)的可能取值為(0，0)．(0，1)，(1，0)，(1，1)．P(U=0，V=0)=P(X≤1，X≤2)=P(X≤1)=F(1)=1－e－2；P(U=0，V=1)=P(X≤1，X＞2)=0；P(U=1，V=1)=P(X＞1，X＞2)=P(X＞2)=1－F(2)=e－4；P(U=1，V=0)=P(X＞1，X≤2)=e－2－e－2．(U，V)的聯(lián)合分布律為知識點解析：暫無解析20、U，V的相關(guān)系數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：E(U)=e－2，E(V)=e－4，E(UV)=e－4，E(U2)=e－2，E(V2)=e－4，則D(U)=E(U2)－[E(U)]2=e－2－e－4，D(V)=E(V2)－[E(V)]2=e－4－e－8．Cov(U，V)=E(UV)－E(U)E(V)=e－4－e－6，知識點解析：暫無解析設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xm+n(m＜n)獨立同分布，其方差為σ2，令Y=Xm+k．求：21、D(Y)，D(Z)；標(biāo)準(zhǔn)答案：因為X1，X2，…，Xm+n相互獨立，所以D(Y)=D(Xi)=nσ2，D(Z)=D(Xm+k)=nσ2知識點解析：暫無解析22、ρYZ．標(biāo)準(zhǔn)答案：Cov(Y，Z)=Cov[(X1+…+Xm)+(Xm+1+…+Xn)，Xm－1+…+Xm+n]=Cov(X1+…+Xm，Xm+1+…+Xm+n)+Cov(Xm+1+…+Xn，Xn+1+…+Xm+n)=D(Xm+1+…+Xn)+Cov(Xm+1+…+Xn，Xn+1+…+Xm+n)=(n－m)σ2，知識點解析：暫無解析23、設(shè)總體X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn+1為總體X的簡單隨機(jī)樣本，記服從的分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為Xn+1～N(μ，σ2)，～N(μ，σ2／n)，且它們相互獨立，相互獨立，所以由t分布的定義，有知識點解析：暫無解析24、設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)=θ＞0為未知參數(shù)，a＞0為已知參數(shù)，求θ的極大似然估計量．標(biāo)準(zhǔn)答案：(θ)=f(x1)f(x2)…f(xn)lnL(θ)=nlnθ+nlna+(a－1)xia=0，得參數(shù)θ的極大似然估計量為知識點解析：暫無解析25、設(shè)總體X在區(qū)間(0，θ)內(nèi)服從均勻分布，X1，X2，X3是來自總體的簡單隨機(jī)樣本．證明：都是參數(shù)θ的無偏估計量，試比較其有效性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為總體X在區(qū)間(0，θ)內(nèi)服從均勻分布，所以分布函數(shù)為FU(u)=P(U≤u)=P(maX{X1，X2，X3}≤u)=P(X1≤u，X2≤u，X3≤u)=P(X1≤u)P(X2≤u)P(X3≤u)FV(u)=P(V≤v)=P(min{X1，X2，X3}≤v)=1－P(min{X1，X2，X3}＞v)=1－P(X1＞v，X2＞v，X3＞v)=1－P(X1＞v)P(X2＞v)P(X3＞v)=1－[1－P(X1≤v)][1－P(X2≤v)][1－P(X3≤v)]則U，V的密度函數(shù)分別為fU(x)因為E(4／3U)=4／3E(U)都是參數(shù)θ的無偏估計量．D(U)=E(U2)－[E(U)]2D(V)=E(V2)－[E(V)]2知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（概率統(tǒng)計）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、若事件A1，A2，A3兩兩獨立，則下列結(jié)論成立的是()．A、A1，A2，A3相互獨立B、兩兩獨立C、P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)D、相互獨立標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：由于A1，A2，A3兩兩獨立，所以也兩兩獨立，但不一相互獨立，選(B)．2、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則隨機(jī)變量Y=min{X，2}的分布函數(shù)()．A、是階梯函數(shù)B、恰有一個間斷點C、至少有兩個間斷點D、是連續(xù)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：FY(y)=P(Y≤y)=P(min{X，2}≤y)=1－P(min{X，2}＞y)=1－P(X＞y，2＞y)=1－P(X＞y)P(2＞y)當(dāng)y≥2時，F(xiàn)Y(y)=1；當(dāng)y＜2時，F(xiàn)Y(y)=1－P(X＞y)=P(X≤y)=FX(y)，而FX(x)=所以當(dāng)0≤y＜2時，F(xiàn)Y(y)=1－e－y；當(dāng)y＜0時，F(xiàn)Y(y)=0，即顯然FY(y)在y=2處間斷，選(B)．3、設(shè)隨機(jī)變量X和Y都服從正態(tài)分布，則()．A、X+Y一定服從正態(tài)分布B、(X，Y)一定服從二維正態(tài)分布C、X與Y不相關(guān)，則X，Y相互獨立D、若X與Y相互獨立，則X－Y服從正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：若X，Y獨立且都服從正態(tài)分布，則X，Y的任意線性組合也服從正態(tài)分布，選(D)．4、設(shè)(X，Y)服從二維正態(tài)分布，其邊緣分布為X～N(1，1)，Y～N(2，4)，X，Y的相關(guān)系數(shù)為ρXY=－0．5，且P(aX+bY≤1)=0．5，則()．A、a=1／2，b=－1／4B、a=1／4，b=－1／2C、a=－1／4，b=1／2D、a=1／2，b=1／4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為(X，Y)服從二維正態(tài)分布，所以aX+bY服從正態(tài)分布，E(aX+bY)=a+2b，D(aX+bY)=a2+4b2+2abCov(X，Y)=a2+4b2－2ab，即aX+bY～N(a+2b，a2+4b2－2ab)，由P(aX+bY≤1)=0．5得a+2b=1，所以選(D)．5、設(shè)X1，X2，…，Xn是來自正態(tài)總體X～N(μ，σ2)的簡單隨機(jī)樣本，記則服從t(n－1)分布的隨機(jī)變量是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：選(D)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、設(shè)A，B是兩個隨機(jī)事件，且P(A)=0．4，P(B)=0．5，P(A|B)=P(A|)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．2知識點解析：因為P(A|B)=P(A|)，所以A，B相互獨立，從而A，相互獨立，故P(A)=P(A)[1－P(B)]=0．4×0．5=0．27、三次獨立試驗中A發(fā)生的概率不變，若A至少發(fā)生一次的概率為19／27，則一次試驗中A發(fā)生的概率為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1／3知識點解析：設(shè)一次試驗中A發(fā)生的概率為p，B={三次試驗中A至少發(fā)生一次}，則P(B)=19／27，又P(B)=1－P()=1－(1－p)3，所以有1－(1－p)3=19／27，解得p=1／3，即一次試驗中A發(fā)生的概率為1／3．8、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x)=(－∞＜x＜+∞)，Y=X2的概率密度為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)．當(dāng)y≤0時，F(xiàn)Y(y)=0；當(dāng)y＞0時，F(xiàn)Y(y)=P(X2≤y)=P(－)9、設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨立，且分布函數(shù)為令U=X+Y，則U的分布函數(shù)為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：FU(u)=P(U≤u)=P(X+Y≤u)，當(dāng)u＜0時，F(xiàn)U(u)=0；當(dāng)0≤u＜1時，F(xiàn)U(u)=P(U≤u)=P(X+Y≤u)=P(X=0，Y≤u)=P(X=0)P(Y≤u)當(dāng)1≤u＜2時，F(xiàn)U(u)=P(X=0，Y≤u)+P(X=1，Y≤u－1)當(dāng)u≥2時，F(xiàn)U(u)=1．所以FU(u)10、設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)=，且Y=X2－1，則E(XY)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－0．6知識點解析：隨機(jī)變量X的分布律為E(XY)=E[X(X2－1)]=E(X3－X)=E(X3)－E(X)，因為E(X3)=－8×0．3+1×0．5+8×0．2=－0．3，F(xiàn)(X)=－2×0．3+1×0．5+2×0．2=0．3，所以E(XY)=－0．6．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)11、袋中有a個黑球和b個白球，一個一個地取球，求第k次取到黑球的概率(1≤k≤a+b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一基本事件數(shù)n=(a+b)!，設(shè)Ak={第k次取到黑球}，則有利樣本點數(shù)為a(a+b－1)!，所以方法二把所有的球看成不同對象，取k次的基本事件數(shù)為n=Aa+bk，第k次取到黑球所包含的事件數(shù)為aAa+b－1k－1，則P(Ak)知識點解析：暫無解析設(shè)一設(shè)備在時間長度為t的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)～P(λt)．12、求相繼兩次故障之間時間間隔T的概率分布；標(biāo)準(zhǔn)答案：T的概率分布函數(shù)為F(t)=P(T≤t)，當(dāng)t＜0時，F(xiàn)(t)=0；當(dāng)t≥0時，F(xiàn)(t)=P(T≤t)=1－P(T＞t)=1－P(N=0)=1－e－λt，所以F(t)=即T～E(λ)．知識點解析：暫無解析13、求設(shè)備在無故障工作8小時下，再無故障工作8小時的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：所求概率為p=P(T≥16|T≥8)=e－8λ知識點解析：暫無解析14、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，證明：Y=1－e－2X在區(qū)間(0，1)上服從均勻分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，所以其分布函數(shù)為FX(x)Y的分布函數(shù)為FY(y)=P(Y≤y)=P(1－e－2X≤y)，當(dāng)y≤0時，F(xiàn)Y(y)=P(X≤0)=0；當(dāng)y≥1時，F(xiàn)Y(y)=P(－∞＜X＜+∞)=1；當(dāng)0＜y＜1時，F(xiàn)Y(y)=P(1－e－2X≤y)=P(X≤－1／2ln(1－y)1=FX[－1／2ln(1－y)]=y即FY(y)所以Y=1－e－2X在區(qū)間(0，1)上服從均勻分布．知識點解析：暫無解析15、設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨立，且又設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，求α1+α2，α2+Xα3，Yα1線性相關(guān)的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：令k1(α1+α2)+k2(α2+Xα3)+k3Yα1=0，整理得(k1+Yk3)α1+(k1+k2)α2+Xk2α3=0．因為α1，α2，α3線性無關(guān)，所以有又α1+α2，α2+Xα3，Yα1線性相關(guān)的充分必要條件是上述方程組有非零解，即=0，從而XY=0，即α1+α2，α2+Xα3，Yα1線性相關(guān)的充分必要條件是XY=0．注意到X，Y相互獨立，所以α1+α2，α2+Xα3，Yα1線性相關(guān)的概率為P(XY=0)=p(X=0，Y=－1／2)+P(X=1，Y=0)+P(X=0，Y=0)=P(X=0)P(Y=－1／2)+P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=0)=1／2知識點解析：暫無解析設(shè)D={(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜1}，且變量(X，Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，令Z=16、令U=X+Z，求U的分布函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合密度為f(x，y)U的分布函數(shù)為F(x)=P(U≤x)，當(dāng)x＜0時，F(xiàn)(x)=0；當(dāng)x≥2時，F(xiàn)(x)=1；當(dāng)0≤x＜1時，F(xiàn)(x)=P(X+Z≤x)=P(Z=0，X≤x)=P(X＜Y，X≤x)=∫0xdx∫x1dy=∫0x(1－x)dx=x－當(dāng)1≤x＜2時，F(xiàn)(x)=P(Z=0，X≤x)+P(Z=1，X≤x－1)=P(X＜Y，X≤1)+P(X≥Y，X≤x－1)故U的分布函數(shù)為F(x)知識點解析：暫無解析17、判斷X，Z是否獨立．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)(X，Z)的分布函數(shù)為F(x，z)，F(xiàn)(1／2，0)=P{X≤1／2，Z≤0)=P{X≤1／2，Z=0}=P{X≤1／2，X＜Y}=∫01／2dx∫x1dy=∫01／2(1－x)dx=3／8；FX(1／2)=P{X≤1／2}=1／2，F(xiàn)Z(0)=P{Z≤0)=P{Z=0)=P{X＜Y)=1／2，因為F(1／2，0)≠FX(1／2)FZ(0)，所以X，Z不相互獨立．知識點解析：暫無解析18、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)在區(qū)域D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}上服從均勻分布，令(1)求(U，V)的聯(lián)合分布；(2)求ρUV．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)P(X≤Y)=1／4，P(X＞2Y)=1／2，P(Y＜X≤2Y)=1／4，(U，V)的可能取值為(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)．P(U=0，V=1)=P(X≤Y，X＞2Y)=0；P(U=1，V=0)=P(X＞Y，X≤2Y)=P(Y＜X≤2Y)=1／4；P(U=0，V=0)=P(X≤Y，X≤2Y)=P(X≤Y)=1／4；P(U=1，V=1)(U，V)的聯(lián)合分布律為(2)由(1)得E(U)=3／4，D(U)=3／16，E(V)=1／2，D(V)=1／4，E(UV)=1／2，Cov(U，V)－E(UV)－E(U)E(V)=1／8知識點解析：暫無解析設(shè)X1，X2，…，Xn(n＞2)相互獨立且都服從．N(0，1)，Yi=Xi－(i=1，2，…，n)．求：19、D(Yi)(i=1，2，…，n)；標(biāo)準(zhǔn)答案：D(Yi)=Cov(Yi，Yi)=D(Xi)+D()－2Cov(Xi，)知識點解析：暫無解析20、Cov(Y1，Yn)；標(biāo)準(zhǔn)答案：Cov(Y1，Yn)=Cov(X1－)=－1／n知識點解析：暫無解析21、P(Y1+Yn≤0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：Y1+Yn=X1+Xn－因為X1，X2，…，Xn獨立且都服從正態(tài)分布，所以Y1+Yn服從正態(tài)分布，E(Y1+Yn)=0P(Y1+Yn≤0)=1／2．知識點解析：暫無解析22、電信公司將n個人的電話資費單寄給n個人，但信封上各收信人的地址隨機(jī)填寫，用隨機(jī)變量X表示收到自己電話資費單的人的個數(shù)，求E(X)及D(X)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)i={第i個人收到自己的電話資費單)，i=1，2，…，n，Xii=1，2，…，n，則X=X1+X2+…+Xn．P(Xi=0)=(n－1)／n，P(Xi=1)=1／nE(Xi)=E(Xi2)=1／n，D(Xi)=(n－1)／n2(i=1，2，…，n)E(X)=E(Xi)=1；當(dāng)i≠j時，P(Xi=1，Xj=1)=P(AiAj)=P(Ai)P(Aj|Ai)=Cov(Xi，Xj)=E(XiXj)－E(Xi)E(Xj)知識點解析：暫無解析23、設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，已知E(Xk)=ak(k=1，2，3，4)．證明：當(dāng)n充分大時，隨機(jī)變量Zn=1／nXi2近似服從正態(tài)分布，并指出其分布參數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因為X1，X2，…，Xn獨立同分布，所以X12，X22，…，Xn2也獨立同分布且E(Xi2)=α2，D(Xi2)=α4－α22，當(dāng)n充分大時，由中心極限定理得近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故Zn近似服從正態(tài)分布，兩個參數(shù)為μ=α2，σ2=(α4－α22)／n．知識點解析：暫無解析24、設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)(σ＞0)．從該總體中抽取簡單隨機(jī)樣本X1，X2，…，X2n(n＞2)．令Xi，求統(tǒng)計量U=的數(shù)學(xué)期望．標(biāo)準(zhǔn)答案：令Yi=Xi+Xn+i(i=1，2，…，n)，則Y1，Y2，???，Yn為正態(tài)總體N(2μ，2σ2)的簡單隨機(jī)樣本，=(n－1)S2，其中S2為樣本Y1，Y2，…，Yn的方差，而E(S2)=2σ2，所以統(tǒng)計量U=的數(shù)學(xué)期望為E(U)=E[(n－1)S2]=2(n－1)σ2．知識點解析：暫無解析25、設(shè)總體X～F(x，θ)=，樣本值為1，1，3．2，1，2，3，3，求θ的矩估計和最大似然估計．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為E(X)=3－3θ．(2)L(1，1，3，2，1，2．3，3；θ)=P(X=1)P(X=1)…P(X=3)=θ3×θ2×(1－2θ)3，lnL(θ)=5lnθ+3ln(1－2θ)，令得θ的最大似然估計值為=5／16．知識點解析：暫無解析26、某種食品防腐劑含量X服從N(μ，σ2)分布，從總體中任取20件產(chǎn)品，測得其防腐劑平均含量為=10．2，標(biāo)準(zhǔn)差為s=0．5099，問可否認(rèn)為該f生產(chǎn)的產(chǎn)品防腐劑含量顯著大于10(其中顯著性水平為α=0．05)?標(biāo)準(zhǔn)答案：令H0：μ≤10，H1：μ＞10．選統(tǒng)計量查表得臨界點為tα(n－1)=t0．05(19)=1．7291，而拒絕H0，即可以認(rèn)為該f產(chǎn)品防腐劑顯著大于10毫克．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（概率統(tǒng)計）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)A，B為兩個隨機(jī)事件，其中0＜P(A)＜1，P(B)＞0且P(B｜A)=，下列結(jié)論正確的是()．A、P(A｜B)=B、P(A｜B)≠C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(AB)≠P(A)P(B)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由P(B｜A)=，再由，整理得P(AB)=P(A)P(B)，正確答案為(C)．2、設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(｜X一μ｜＜2σ)()．A、與μ及σ2都無關(guān)B、與μ有關(guān)，與σ2無關(guān)C、與μ無關(guān)，與σ2有關(guān)D、與μ及σ2都有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為P(｜X—μ｜＜2σ)=P(－2σ＜X一μ＜2σ)=P(-2＜＜2)=φ(2)一φ(一2)為常數(shù)，所以應(yīng)該選(A)．3、設(shè)隨機(jī)變量Xi～(i=1，2)，且滿足P(X1X2=0)=1，則P(X1=X2)等于()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由題意得P(X1=一1，X2=一1)=P(X1=一1，X2=1)=P(X1=1，X2=一1)=P(X1=1，X2=1)=0，P(X1=一1，X2=0)=P(X1=一1)=，P(X1=1，X2=0)=P(X1=1)=，P(X1=0，X2=一1)=P(X2=一1)=，P(X1=0，X2=1)=P(X2=1)=，故P(X1=0，X2=0)=0，于是P(X1=X2)=P(X1=一1，X2=一1)+P(X1=0，X2=0)+P(X1=1，X2=1)=0，選(A)．4、設(shè)(X，Y)服從二維正態(tài)分布，則下列說法不正確的是()．A、X，Y一定相互獨立B、X，Y的任意線性組合l1X+l2Y(l1，l2不全為零)服從正態(tài)分布C、X，Y都服從正態(tài)分布D、ρ=0時X，Y相互獨立標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為(X，Y)服從二維正態(tài)分布，所以(B)，(C)，(D)都是正確的，只有當(dāng)ρ=0時，X，Y才相互獨立，選(A)．5、設(shè)X，Y為隨機(jī)變量，若E(XY)=E(X)E(Y)，則()．A、X，Y獨立B、X，Y不獨立C、X，Y相關(guān)D、X，Y不相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因為Cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)，所以若E(XY)=E(X)E(Y)，則有Cov(X，y)=0，于是X，Y不相關(guān)，選(D)．6、設(shè)隨機(jī)變量X～F(m，n)，令p=P(X≤1)，q=P(X≥1)，則()．A、p＜qB、p＞qC、p=qD、p，q的大小與自由度m有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為X～F(m，m)，所以～F(m，m)，于是q=P(X≥1)=P(≤1)，故p=q，選(C)．二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)7、設(shè)P(A)=0．6，P(B)=0．5，P(A—B)=0．4，則P(B—A)=__________，P(A+B)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．3，0．9；知識點解析：因為P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(AB)=0．2，于是P(B—A)=P(B)一P(AB)=0．5—0．2=0．3，P(A＋B)=P(A)+P(B)一P(AB)=0．6＋0．5—0．2=0．9．8、有16件產(chǎn)品，12個一等品，4個二等品，從中任取3個，至少有一個是一等品的概率為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：設(shè)A=｛抽取3個產(chǎn)品，其中至少有一個是一等品｝，則P(A)=1一．9、設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，且方程x2+4x+X=0無實根的概率為，則μ=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識點解析：因為方程x2+4x+X=0無實根，所以16—4X＜0，即X＞4，由X～N(μ，σ2)且P(X＞4)=，得μ=4．10、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X～，則Y=X2+2的分布律為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：Y～知識點解析：Y的可能取值為2，3，6，P(Y=2)=P(X=0)=，P(Y=3)=P(X=－1)=，P(Y=6)=P(X=一2)+P(X=2)=．則Y的分布律為Y～．11、隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=，則D(X)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：E(X)=∫－∞＋∞xf(x)dx=∫－10x(1＋x)dx＋∫01x(1－x)dx=0，E(X2)=∫－11x2(1－｜x｜)dx=2∫01x2(1－x)dx=，則D(X)=E(X2)－[E(X)]2=．12、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，X3相互獨立，且X1～U[0，6]，X2～N(0，22)，X3～P(3)，記Y=X1—2X2+3X3，則D(Y)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：46知識點解析：由D(X1)==3，D(X2)=4，D(X3)=3得D(Y)=D(X1—2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+16+27=46．13、設(shè)X，Y為兩個隨機(jī)變量，D(X)=4，D(Y)=9，相關(guān)系數(shù)為，則D(3X一2Y)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：36知識點解析：Cov(X，Y)==3，D(3X一2Y)=9D(X)+4D(Y)一12Cov(X，Y)=36．14、設(shè)隨機(jī)變量X方差為2，則根據(jù)切比雪夫不等式有估計P｛｜X—E(X)｜≥2｝≤_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：P{｜X—E(X)｜≥2}≤．15、設(shè)X為總體，E(X)=μ，D(X)=σ2，X1，X2，…，xn為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，S2=，則E(S2)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：σ2知識點解析：由+μ2，得E[(n一1)S2]==n(μ2+σ2)－n(+μ2)=(n一1)σ2則E(S2)=σ2．16、設(shè)U～N(μ，1)，V～χ2(n)，且U，V相互獨立，則T=服從_________分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由U～N(μ，1)，得=U一μ～N(0，1)，又U，V相互獨立，則=T～t(n)．17、設(shè)正態(tài)總體X的方差為1，根據(jù)來自總體X的容量為100的簡單隨機(jī)樣本測得樣本的均值為5，則總體X的數(shù)學(xué)期望的置信度近似等于0．95的置信區(qū)間為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：X～N(μ，1)，取統(tǒng)計量～N(0，1)，則μ的置信度為0．95的置信區(qū)間為=(4．804，5．196)．三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)袋中有12只球，其中紅球4個，白球8個，從中一次抽取兩個球，求下列事件發(fā)生的概率：18、兩個球中一個是紅球一個是白球；標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)={抽取的兩個球中一個是紅球一個是白球}，則P(A)=．知識點解析：暫無解析19、兩個球顏色相同．標(biāo)準(zhǔn)答案：令B=｛抽取的兩個球顏色相同｝，則P(B)=．知識點解析：暫無解析20、設(shè)某個系統(tǒng)由六個相同的元件先經(jīng)過兩兩串聯(lián)再并聯(lián)而成，且各元件工作狀態(tài)相互獨立，每個元件正常工作時間服從E(λ)(λ＞0)分布，求系統(tǒng)正常工作時間T的概率分布．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Ti={第i個元件的正常工作時間}，Ti～E(λ)，i=1，2，…，6．F(t)=P｛T≤t｝，注意｛T≤t｝表示系統(tǒng)在[0，t]內(nèi)一定正常工作．則{T≤t}=(｛T1≤t｝+｛T2≤t｝)(｛T3≤t｝+｛T4≤t｝)(｛T5≤t｝+｛T6≤t｝)，又T1，T2，…，T6相互獨立同分布，所以有F(t)=P｛T≤t｝=[P(｛T1≤t｝＋｛T2≤t｝)]3而P(｛T1≤t｝+｛T2≤t｝)=1一P｛T1＞t，T2＞t｝=1一P｛T1＞t｝P｛T2＞t｝=1一[1一FT1(T)]2所以T的分布函數(shù)為F(t)=．知識點解析：暫無解析21、設(shè)X～N(μ，σ2)，其分布函數(shù)為F(x)，對任意實數(shù)a，討論F(一a)＋F(a)與1的大小關(guān)系．標(biāo)準(zhǔn)答案：F(a)+F(一a)=，則當(dāng)μ＞0時，F(xiàn)(a)+F(一a)＜1；當(dāng)μ=0時，F(xiàn)(a)+F(一a)=1；當(dāng)μ＜0時，F(xiàn)(a)+F(一a)＞1．知識點解析：暫無解析隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x，y)=．22、求常數(shù)A；標(biāo)準(zhǔn)答案：由1=∫－∞＋∞dx∫－∞＋∞f(x，y)dy=．知識點解析：暫無解析23、求(X，Y)落在區(qū)域x2+y1≤內(nèi)的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：令區(qū)域D：x2+y2≤，(X，Y)落在區(qū)域D內(nèi)的概率為p=．知識點解析：暫無解析設(shè)隨機(jī)變量X，Y同分布，X的密度為f(x)=．設(shè)A=｛X＞a｝與B={Y＞a}相互獨立，且P(A+B)=．求：24、a；標(biāo)準(zhǔn)答案：因為P(A)=P(B)且P(AB)=P(A)P(B)，所以令P(A)=p，于是2p—p2=，，即P(A)=P(X＞a)=，而P(X＞a)=∫a2．知識點解析：暫無解析25、E()．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析26、游客乘電梯從底層到頂層觀光，電梯于每個整點的5分、25分、55分從底層上行，設(shè)一游客早上8點X分到達(dá)底層，且X在[0，60]上服從均勻