1數(shù)學(xué)數(shù)理方程建立講解

數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)2015年3月

數(shù)學(xué)物理方程通常是從物理問題導(dǎo)出的函數(shù)方程，主要是偏微分或積分方程。它描述了許多自然界的物理現(xiàn)象，并能解決生產(chǎn)及科學(xué)技術(shù)上的重要問題。其處理問題的大致步驟是：1、將物理問題根據(jù)有關(guān)定律建立數(shù)學(xué)模型，即定解問題（泛定方程+定解條件）2、解定解問題3、對(duì)所得解通過數(shù)學(xué)的論證和客觀實(shí)踐的檢驗(yàn)鑒定其正確性，并解釋解得物理意義。

1、波動(dòng)方程

2、輸運(yùn)方程3、穩(wěn)定場(chǎng)方程

除這些典型方程外，由于研究對(duì)象和目的不同，還有其他形式。數(shù)學(xué)物理方程按照所代表的物理過程一般分為三類：第一章典型方程與定解條件一、弦的微小橫振動(dòng)方程的建立

本節(jié)以弦振動(dòng)為例，討論如何把物理規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)物理方程，要求掌握這種方法.

數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出步驟為：

1、確定研究的物理量u.2、從研究的系統(tǒng)中任取一部分，根據(jù)物理規(guī)律分析鄰近部分和這小部分的相互作用，并略去不重要的因素.3、將相互作用在短時(shí)間內(nèi)如何影響物理量u，用算式表達(dá)出來(lái).

4、化簡(jiǎn)整理得數(shù)學(xué)物理方程.

設(shè)弦的長(zhǎng)度為，密度為，把它繃緊固定在上，在不振動(dòng)時(shí)是一條直線，取直線的方向?yàn)閤軸，如圖所示，當(dāng)它在平衡位置附近作垂直于x

軸的微小振動(dòng)時(shí)，研究弦上各點(diǎn)的位移u與坐標(biāo)x及時(shí)間t的關(guān)系即

(2)其中是橫向加速度，對(duì)于小振動(dòng)，

令時(shí)，則有其中：令

當(dāng)無(wú)外力作用：說(shuō)明：設(shè)弦是完全柔軟的彈性體無(wú)彎曲剛度，所以張力總是沿著弦線振動(dòng)的切線方向.

即便設(shè)在振動(dòng)時(shí)弦的截面的變化可忽略不計(jì)，弦的線密度滿足下式：

均勻桿縱振動(dòng)方程建立設(shè)桿的截面積為S,楊氏模量為E，用表示在X位置在t時(shí)刻桿的縱向位移。桿的應(yīng)變（相對(duì)伸長(zhǎng)）為：桿的軸向應(yīng)力與軸向應(yīng)變：設(shè)桿的橫截面在振動(dòng)過程中始終保持為平面，即每一截面內(nèi)諸質(zhì)點(diǎn)僅沿桿的軸線運(yùn)動(dòng)。實(shí)際上，由于縱向伸長(zhǎng)或壓縮橫向是有變形的，但假設(shè)縱波的波長(zhǎng)比桿的橫截面積大，橫向位移對(duì)縱向運(yùn)動(dòng)影響可以忽略。根據(jù)牛頓第二定律：膜的橫振動(dòng)方程設(shè)膜是均勻的；膜是柔軟的彈性體，其張力總是在膜的切平面內(nèi)；膜的重量與張力相比忽略；膜作微小振動(dòng)，即膜的偏移與直徑相比小得多；振動(dòng)時(shí)膜上任意點(diǎn)沿任一方向的斜率小于1；只作橫振動(dòng)?？紤]膜上任意微元，采用隔離法受力分析設(shè)表示膜相對(duì)于平銜位置(在xy平面內(nèi))的垂立方向的位移?？梢酝耆抡障业臋M振動(dòng)方程的建立過程中的推導(dǎo)研究微元質(zhì)量T為單位長(zhǎng)度張力，則在X方向受到的切向張力

的橫向（垂直）分量為：

在Y方向受到的切向張力的橫向（垂直）分量

電報(bào)方程

在非常長(zhǎng)的兩條平行傳輸線(或同軸電纜)的輸入端加上交變電源時(shí)，線間電壓和線間電流的分布可由圖所示的等效電路求得，因中L、R、C、G分別為往返線路每單位長(zhǎng)度的電感、電阻、靜電電容和漏電導(dǎo)的值。若設(shè)傳傳輸線(或電纜)是均勻的，則這些值可視作常數(shù)。例如通信電纜在20℃時(shí)R=56Ω/km，L=0.7mL/km，C=0.36PF/km，G=o.6S/km。由于輸入端交變電源(或交變訊號(hào))，所以電壓及電流將沿著傳輸線的長(zhǎng)度X變化，通常還是時(shí)間T的函數(shù)。下面我們來(lái)確立分布于傳輸線上的電壓與電流所滿足的數(shù)理方程。用由于存在線間漏電，在研究微元左端與右端電流不相等，由于導(dǎo)線電阻和電感，電壓也發(fā)生變化。由于高頻作用（不考慮超高頻）討論：

(1)無(wú)損耗線如果R和G很小，我們可以忽略損耗，這種傳輸線稱為無(wú)損耗線。在高頻情況下，若也可視作無(wú)損耗線，即。這時(shí)電報(bào)方程將簡(jiǎn)化為:(2)無(wú)失真線當(dāng)信號(hào)無(wú)失真線傳播時(shí)，不會(huì)發(fā)生畸變(失真)現(xiàn)象，因此也是一種理想的長(zhǎng)傳輸線。無(wú)失真的條件為RC＝LG，這時(shí)電報(bào)方程簡(jiǎn)化為:(3)無(wú)漏導(dǎo)．無(wú)電感線如果傳輸線的G和L都可忽略不計(jì)，即G=L=0(同軸電纜情況可這樣認(rèn)為）則有均勻梁的橫振動(dòng)方程建立：幾個(gè)名詞：一般說(shuō)當(dāng)梁受垂直于軸線的外力．或在其軸線平面內(nèi)有外力偶作時(shí)．梁的軸線將由直線變?yōu)榍€。以軸線變彎為主要特征的變形形式，稱為彎曲。作用在梁上的外力，包括載荷與支反力，最常見的載荷個(gè)以下三種。(1)集中載荷通過微小梁段作用在梁上的橫向力。例如作用在火車輪袖上的外力P。(2）集中力偶通過微小梁段作用在梁軸平面內(nèi)的外力偶(3)分布載荷沿梁全長(zhǎng)或部分長(zhǎng)度連續(xù)分布的橫向力。分布載荷的大小用載荷集度友示。設(shè)梁段Δx上的分布載荷為Δp,載荷集度

梁彎曲時(shí)橫截面上必然同時(shí)存在兩種內(nèi)力分量：剪力Q與彎矩M。凡企圖使微段沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的剪力為正；使微段彎曲呈凹形的彎矩為正。

剪力、彎矩與裁荷集度間的微分關(guān)系上述關(guān)系式表明：剪力圖某點(diǎn)處的切線率等于相應(yīng)截面處的載荷集度；彎矩圖某點(diǎn)處的切線斜率，等于相應(yīng)截面處的剪力；而彎矩圖某點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，則等于相應(yīng)截面處的載荷度。

彎構(gòu)變形的結(jié)果如圖，橫截面mn和pq彼此相對(duì)地繞垂直于xy平面的軸線旋轉(zhuǎn)，因面在梁的凸側(cè)上的縱向纖維伸長(zhǎng)，而凹側(cè)的縱向纖維縮短．因此，梁的上部的纖維受壓，而底部的纖維受拉．

變形之后，兩個(gè)相鄰橫截面mn和pq平面交于O點(diǎn)處，該點(diǎn)為梁的縱軸的曲率中心。這兩平面之間的夾角用表示，曲率半徑用表示則：由材料力學(xué)知識(shí)有：其中M稱為灣矩，E為楊氏模量，I為慣性矩，Q為剪力

當(dāng)梁發(fā)生微小振動(dòng)時(shí)，繞度很小，撓度曲線將是很平坦的。其角和曲線的斜度均為很小的量，假設(shè)由如果梁的橫振動(dòng)振幅較大，則撓度曲線斜度較大利用材料力學(xué)公式：真空中的電磁波方程真空中麥克斯韋方程微分形式第二節(jié)熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程一、熱傳導(dǎo)方程在三維空間中，考慮均勻的、各向同性的物質(zhì)。假定它的內(nèi)部有熱源或匯，并且與周圍的介質(zhì)有熱交換，研究物體內(nèi)部溫度的分布規(guī)律。物理模型：均勻物體：物體的質(zhì)量密度為常數(shù)，設(shè)為各向同性：物體的比熱和熱傳導(dǎo)系數(shù)均為常數(shù)設(shè)為

由于溫度不均勻，熱量從溫度高的地方向溫度低的地方轉(zhuǎn)移，這種現(xiàn)象叫作熱傳導(dǎo).熱傳導(dǎo)的強(qiáng)弱可用“單位時(shí)間里通過單位橫截面積的熱量”表示，這叫做熱流強(qiáng)度，記作熱傳導(dǎo)的起源是溫度的不均勻，溫度不均勻可用溫度梯度表示．根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，熱傳導(dǎo)定律是

k—熱傳導(dǎo)系數(shù)數(shù)學(xué)模型的建立設(shè)：u(x,y,z,t)表示物體于時(shí)刻t在位置

x,y,z處的溫度C

表示是比熱

(焦耳/度·千克)f0(x,y,z,t)表示熱源強(qiáng)度(焦耳/千克·秒)

表示密度

(千克/米3)，k

表示導(dǎo)熱系數(shù)數(shù)學(xué)模型二維的情形：一維的情形：其中：a2=k/C，f(x,y,z,t)=f0/C，

當(dāng)研究對(duì)象內(nèi)部沒有熱源，即

其熱傳導(dǎo)方程為：二、擴(kuò)散方程的建立由于濃度(單位體積內(nèi)的分子數(shù)或質(zhì)量)的不均勻，物質(zhì)從濃度大的地方向濃度小的地方轉(zhuǎn)移，這種現(xiàn)象叫做擴(kuò)散。擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱可用“單位時(shí)間里通過單位橫截面積的原子或分子數(shù)”表示，這叫做擴(kuò)散強(qiáng)度，記作.擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的起源是濃度不均勻，濃度不均勻的程度可用濃度梯度表示，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，擴(kuò)散定律為：

(負(fù)號(hào)表示擴(kuò)散轉(zhuǎn)移的方向?yàn)闈舛葴p少的方向)，D為擴(kuò)散系數(shù)．在擴(kuò)散問題中研究的是濃度在空間中的分布及在時(shí)間中的變化，仿照熱傳導(dǎo)問題，可導(dǎo)出擴(kuò)散方程物理模型考慮三維空間中一均勻的、各向同性的物體，假定它的內(nèi)部有擴(kuò)散源，來(lái)研究物體內(nèi)部分子的濃度在時(shí)刻t的分布規(guī)律。數(shù)學(xué)模型其中：u(x,y,z,t)表示于時(shí)刻t在(x,y,z)

處的物質(zhì)濃度f(wàn)(x,y,z,t)表示單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的物質(zhì)量D為擴(kuò)散系數(shù)描述擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)有兩個(gè)基本定律：

1、質(zhì)量守恒定律；2、菲克定律將菲克定律表達(dá)式代入：若三維空間中各向均勻、同性物體，則D為常數(shù)非飽和土壤水運(yùn)動(dòng)方程建立1、非飽和土壤水流動(dòng)的達(dá)西定律q為單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積土壤的水量

式中，z前的正負(fù)號(hào)，視z坐標(biāo)的方向而定，z坐標(biāo)向上為正時(shí)取正號(hào)，z坐標(biāo)向下為正時(shí)取負(fù)號(hào)．在直角坐標(biāo)系中，達(dá)西定律沿三個(gè)方向的表達(dá)式為：根據(jù)物質(zhì)量守恒：將q代人得到：由于導(dǎo)水率一般是含水率的函數(shù)，因此方程是比較復(fù)雜的，求解一般是困難的。一般采用數(shù)值求解。方程的幾種形式：1、以基質(zhì)勢(shì)為因變量的基本方程非飽和土壤導(dǎo)水率k和比水容量C均可表示為土壤含水