2.平面體系的幾何組成分析解析

第2章平面體系的幾何組成分析概述平面體系的計(jì)算自由度幾何不變體系的基本組成規(guī)則瞬變體系機(jī)動分析示例幾何構(gòu)造與靜定性的關(guān)系2024-08-16基本要求

領(lǐng)會幾何不變體系、幾何可變體系、瞬變體系和剛片、約束、自由度等概念。

熟練掌握平面體系的幾何組成規(guī)則與分析方法。

了解平面體系在靜力學(xué)解答方面的特征。第2章平面體系的幾何組成分析2024-08-16桿系結(jié)構(gòu)是由許多桿件組成，而許多桿件組成的體系并不一定是結(jié)構(gòu)。桿件組成結(jié)構(gòu)應(yīng)該滿足一定的構(gòu)造要求。定義：按幾何學(xué)原理對體系發(fā)生運(yùn)動的可能性進(jìn)行分析，稱為體系的機(jī)動分析（或幾何構(gòu)造分析）。§2-1概述一.幾何不變體系和幾何可變體系體系受到任意荷載作用，在不考慮材料應(yīng)變的前提下，體系若能保證幾何形狀、位置不變，稱為幾何不變體系FP幾何不變體系(geometricallystablesystem)組成幾何不變體系的條件：具有必要的約束數(shù)；約束布置方式合理?！?-1概述2024-08-16體系受到某種荷載作用，在不考慮材料應(yīng)變的前提下，體系若不能保證幾何形狀、位置不變，稱為幾何可變體系。FPFP幾何可變體系(geometricallyunstablesystem)§2-1概述2024-08-16（1）幾何常變體系(frequentationunstablesystem)發(fā)生較大位移二.幾何可變體系分類特點(diǎn)：任意荷載作用下一般不能維持平衡，即平衡條件不成立，無靜力學(xué)解答。§2-1概述發(fā)生微小位移（2）幾何瞬變體系(instantaneouslyunstablesystem)特點(diǎn)：在一般荷載作用下，原位置不能維持平衡，在變形后的位置上可以平衡，但內(nèi)力為無限大。從微小運(yùn)動角度看，這是一個(gè)可變體系；微小運(yùn)動后即成不變體系?！?-1概述體系受到任意荷載作用，在不考慮材料應(yīng)變的前提下，體系產(chǎn)生瞬時(shí)變形后，變?yōu)閹缀尾蛔凅w系，則稱幾何瞬變體系。FPFPO§2-1概述

一般工程結(jié)構(gòu)都必須是幾何不變體系，而不能采用幾何可變體系，否則將不能承受任意荷載而維持平衡?！?-2平面體系的計(jì)算自由度剛片：凡本身尺寸和形狀都不變的平面剛體，均視為剛片。在平面桿件體系中，一根直桿、折桿或曲桿都可以視為剛片，并且由這些構(gòu)件組成的幾何不變體系也可視為剛片。一.自由度(degreesoffreedom)

1剛片=3自由度1動點(diǎn)=2自由度xyABA'B'DxDyD

y0x體系運(yùn)動時(shí)，可以獨(dú)立改變的幾何參數(shù)的數(shù)目，即確定體系位置所需要獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。2024-08-16二.約束/聯(lián)系(restraint)約束

：能限制體系運(yùn)動、減少自由度的裝置。內(nèi)部約束：鉸結(jié)點(diǎn)、剛結(jié)點(diǎn)、鏈桿（體系內(nèi)各桿之間或結(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系）外部約束：支座（體系與基礎(chǔ)之間的聯(lián)系)§2-2平面體系的計(jì)算自由度單鏈桿1個(gè)單鏈桿=1個(gè)約束。鏈桿可以是曲的、折的桿，只要保持兩鉸間距不變，起到兩鉸連線方向約束作用即可1.單約束僅連接兩個(gè)剛片的約束.常見約束裝置§2-2平面體系的計(jì)算自由度III單約束、復(fù)約束：根據(jù)連接剛片的數(shù)目劃分。單鉸1個(gè)單鉸=2個(gè)約束=2個(gè)的單鏈桿。虛鉸——在運(yùn)動中虛鉸的位置不定，這是虛鉸和實(shí)鉸的區(qū)別。通常我們研究的是指定位置處的瞬時(shí)運(yùn)動，因此，虛鉸和實(shí)鉸所起的作用是相同的都是相對轉(zhuǎn)動中心?！?-2平面體系的計(jì)算自由度單剛結(jié)點(diǎn)1個(gè)單剛結(jié)點(diǎn)=3個(gè)約束III復(fù)鉸一個(gè)連接n個(gè)剛片的復(fù)鉸相當(dāng)于(n-1)個(gè)單鉸，相當(dāng)于2(n-1)個(gè)約束。2.復(fù)約束連接兩個(gè)以上剛片的約束?！?-2平面體系的計(jì)算自由度一個(gè)連接n個(gè)剛片的復(fù)剛結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于（n-1）個(gè)單剛結(jié)點(diǎn)，相當(dāng)3(n-1)個(gè)約束?！?-2平面體系的計(jì)算自由度復(fù)剛3.必要約束、多余約束多余約束

(

redundentrestraints)：體系中增加一個(gè)或減少一個(gè)該約束并不改變體系的自由度數(shù)。結(jié)論：只有必要約束才能對體系自由度有影響。必要約束

(

necessaryrestraints)：體系中增加一個(gè)或減少一個(gè)該約束，將改變體系的自由度數(shù)。必要約束多余約束注意：多余約束將影響結(jié)構(gòu)的受力與變形?！?-2平面體系的計(jì)算自由度3.必要約束、多余約束§2-2平面體系的計(jì)算自由度2個(gè)多余約束，其中第1個(gè)鏈桿是必要約束，不能由其他約束來代替。

三.平面體系的計(jì)算自由度S=a-ca----自由度總和c----非多余約束(必要約束)數(shù)取決于：體系中所包含的所有部件的自由度數(shù)、約束及構(gòu)造狀況?！?-2平面體系的計(jì)算自由度體系自由度

S

就等于體系各組成部分互不連接時(shí)總的自由度數(shù)減去體系中的必要約束數(shù)。S=（各部件自由度總數(shù)）－（必要約束數(shù)）體系自由度數(shù)S

等于零是體系幾何不變的充分條件。注：復(fù)雜體系的必要約束往往不易直觀判定。計(jì)算自由度W：

體系各組成部分互不連接時(shí)總的自由度數(shù)減去體系中總的約束數(shù)。W=（各部件自由度總數(shù)）－（全部約束總數(shù)）

d----全部約束數(shù)目S=a-da----自由度總和§2-2平面體系的計(jì)算自由度S=（各部件自由度總數(shù)）－（非多余約束數(shù)）

=（各部件自由度總數(shù)）－（全部約束數(shù)－多余約束數(shù)）

=（各部件自由度總數(shù)）－（全部約束數(shù)）+（多余約束數(shù)）由此可見：只有當(dāng)體系上沒有多余約束時(shí)(n=0)，計(jì)算自由度才是體系的實(shí)際自由度！所以：S=W+n實(shí)際自由度S、計(jì)算自由度W和多余約束n之間的關(guān)系：§2-2平面體系的計(jì)算自由度1個(gè)單鏈桿

=1個(gè)約束1個(gè)單鉸=2個(gè)約束=2個(gè)單鏈桿1個(gè)單剛結(jié)點(diǎn)=3個(gè)約束單約束復(fù)約束一個(gè)連接n個(gè)剛片的復(fù)鉸相當(dāng)于(n-1)個(gè)單鉸，相當(dāng)于2(n-1)個(gè)約束一個(gè)連接n個(gè)剛片的復(fù)剛相當(dāng)3(n-1)個(gè)約束連接n個(gè)結(jié)點(diǎn)的復(fù)鏈桿相當(dāng)于2n-3個(gè)單鏈桿§2-2平面體系的計(jì)算自由度W=3m-(3g+2h+r)m----剛片數(shù)（不含地基）g----單剛結(jié)點(diǎn)數(shù)h----單鉸結(jié)點(diǎn)數(shù)r----支座鏈桿數(shù)計(jì)算自由度算法介紹§2-2平面體系的計(jì)算自由度簡化形式(單剛合并到剛片中）：W=3m-(2h+r)W=a-d

算法1——平面剛片系W=2j-(b+r)j----鉸結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)b----鏈桿數(shù)§2-2平面體系的計(jì)算自由度r----支桿數(shù)

算法2——鉸結(jié)鏈桿系注意：式中所指的剛片均為無多余約束；體系中局部的無多余約束的幾何不變體可作為一個(gè)剛片處理?！?-2平面體系的計(jì)算自由度例1:計(jì)算圖示體系的自由度j=8,b=12,r=4例2：計(jì)算圖示體系的自由度解:§2-2平面體系的計(jì)算自由度解:j=9,b=15,r=3例3：計(jì)算圖示體系的自由度§2-2平面體系的計(jì)算自由度例:計(jì)算圖示體系的自由度W=3

×9-(2×12+3)=0按剛片計(jì)算3321129根桿,9個(gè)剛片有幾個(gè)單鉸？3根單鏈桿§2-2平面體系的計(jì)算自由度W=3m-(2h+r)另一種解法W=2

×6-（9+3）=0按鉸結(jié)計(jì)算6個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)9根鏈桿,3根支桿§2-2平面體系的計(jì)算自由度W=0,體系是否一定幾何不變呢？討論W=3

×9-(2×12+3)=0體系W等于多少？可變嗎？322113有幾個(gè)單鉸？§2-2平面體系的計(jì)算自由度除去約束后，體系的自由度將增加，這類約束稱為必要約束。因?yàn)槌D中任意一根桿，體系都將有一個(gè)自由度，所以圖中所有的桿都是必要的約束?！?-2平面體系的計(jì)算自由度

除去約束后，體系的自由度并不改變，這類約束稱為多余約束。

下部正方形中任意一根桿，除去都不增加自由度，都可看作多余的約束。

圖中上部四根桿和三根支座桿都是必要的約束。

§2-2平面體系的計(jì)算自由度W=3

×9-(2×12+3)=0W=2

×6-12=0要記住S-W=n§2-2平面體系的計(jì)算自由度計(jì)算自由度=體系真實(shí)的自由度？？W=0,但布置不當(dāng)幾何可變。上部有多余約束，下部缺少約束。思考W=2

×6-13=-1<0例：計(jì)算圖示體系的自由度W<0,體系是否一定幾何不變呢？W=3

×10-(2×14+3)=-1<0§2-2平面體系的計(jì)算自由度W<0，n>0有多余約束。自由度的討論⑵W=0,具有成為幾何不變所需的最少聯(lián)系

幾何可變/幾何不變⑴W>0,幾何可變§2-2平面體系的計(jì)算自由度(3)W<0幾何不變(4)W<0幾何可變§2-2平面體系的計(jì)算自由度自由度的討論W>0表明體系存在自由度，肯定是幾何可變體系。W=0表明體系的約束數(shù)正好等于部件總自由度數(shù)，是體系不變的必要條件，而非充分條件，如無多余約束，體系是靜定結(jié)構(gòu)。W<0表明體系的約束數(shù)多于部件總自由度數(shù)，必有多余約束，如為幾何不變體系，則體系是超靜定結(jié)構(gòu)。

定性結(jié)論§2-2平面體系的計(jì)算自由度總之，體系為不變體系除滿足約束個(gè)數(shù)，尚須約束的合理布置。W>0體系幾何可變W≤0體系幾何不變注意：W并不一定代表體系的實(shí)際自由度，僅說明了體系必須的約束數(shù)夠不夠。W≤0只是保證體系為幾何不變的必要條件,而不是充分條件§2-2平面體系的計(jì)算自由度解法1：將AB、BC、CD、DE、FG、GH、HI、IJ、GB、HC、ID看作剛片，m＝11B、C、D、G、H、I是連接三個(gè)剛片的復(fù)剛結(jié)點(diǎn)，因此每個(gè)結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于2個(gè)單剛結(jié)點(diǎn)，g＝12F、J是固定鉸支座，各相當(dāng)于2個(gè)約束（聯(lián)系），再加上A、E支座的三個(gè)約束，共7個(gè)約束。在m=11的情況下，剛片間沒有鉸結(jié)點(diǎn)，h=0W＝3×11－（3×12＋7）＝－10例題計(jì)算圖示體系的自由度§2-2平面體系的計(jì)算自由度解法2：將ABCDEGHI、FGHIJ看作剛片，m＝2G、H、I是連接兩個(gè)剛片的單剛結(jié)點(diǎn)，g＝3F、J是固定鉸支座，各相當(dāng)于2個(gè)約束（聯(lián)系），再加上A、E支座的三個(gè)約束，共7個(gè)約束。在m=2的情況下，剛片間沒有鉸結(jié)點(diǎn)，h=0W＝3×2－（3×3＋7）＝－10由此可得什么結(jié)論？§2-2平面體系的計(jì)算自由度例:計(jì)算圖示體系的自由度GW=3×8-(2×10+4)=0ACCDBCEEFCFDFDGFG32311有幾個(gè)剛片？有幾個(gè)單鉸？§2-2平面體系的計(jì)算自由度§2-3幾何不變體系的簡單組成規(guī)則三邊在兩邊之和大于第三邊時(shí),能唯一地組成一個(gè)三角形

——基本出發(fā)點(diǎn).規(guī)則一：三剛片規(guī)則

三個(gè)剛片用不全在一條直線上的三個(gè)單鉸（可以是虛鉸）兩兩相連，組成無多余約束的幾何不變體系?！?-3

幾何不變體系的簡單組成規(guī)則1.剛片通過支座鏈桿與地基相聯(lián)，地基可視為一剛片。（以后分析經(jīng)常用到）說明：

2.三剛片用位于同一直線上的三個(gè)鉸相聯(lián)，組成瞬變體系。(幾何可變)

不符合三剛片規(guī)則ABCC’§2-3

幾何不變體系的簡單組成規(guī)則規(guī)則二：兩剛片規(guī)則兩剛片用一鉸和一不過該鉸的鏈桿連接，所得體系幾何不變，且多余約束總數(shù)不變。BA§2-3幾何不變體系的簡單組成規(guī)則兩剛片用三不共點(diǎn)（包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)）鏈桿連接，所得體系幾何不變，且多余約束總數(shù)不變。規(guī)則三：二元體規(guī)則在體系上用兩個(gè)不共線鏈桿或剛片鉸接生成的一個(gè)新結(jié)點(diǎn)的裝置稱為二元體。（“兩桿一鉸”

）二元體特性：在體系上加上或拆去一個(gè)二元體，不改變體系原有的自由度數(shù)。在剛片上添加（或減少）二元體，所得體系幾何不變，且多余約束數(shù)不變?！鐾普摚?/p>

添加或去掉二元體，不改變體系的幾何性質(zhì)及多余約束數(shù)。AB結(jié)論：§2-3

幾何不變體系的簡單組成規(guī)則減二元體簡化分析加二元體組成結(jié)構(gòu)§2-3

幾何不變體系的簡單組成規(guī)則如何減二元體？§2-3

幾何不變體系的簡單組成規(guī)則每個(gè)規(guī)律條件是必須的，否則將成為可變體系！有限交點(diǎn)無限交點(diǎn)瞬變體系常變體系§2-3

幾何不變體系的簡單組成規(guī)則三個(gè)規(guī)律只是相互之間變相，歸結(jié)為三角形穩(wěn)定性?！?-3

幾何不變體系的簡單組成規(guī)則二元體規(guī)則二剛片規(guī)則三剛片規(guī)則二剛片規(guī)則

每個(gè)規(guī)律條件是必須的，否則將成為可變體系瞬變體系(instantaneouslyunstablesystem)--原為幾何可變，經(jīng)微小位移后即轉(zhuǎn)化為幾何不變的體系。ABCPC1微小位移后，不能繼續(xù)位移不能平衡鉸結(jié)三角形規(guī)則——條件：三鉸不共線§2-4瞬變體系A(chǔ)PANNPNNPAPΔ是微量ββ∑Y=0，N=0.5P/sinβ→∞

由于瞬變體系能產(chǎn)生很大的內(nèi)力，故幾何常變體系和幾何瞬變體系不能作為建筑結(jié)構(gòu)使用.

只有幾何不變體系才能作為建筑結(jié)構(gòu)使用?。“l(fā)生微量位移§2-4瞬變體系瞬變體系

——小荷載引起巨大內(nèi)力（圖1）

——工程結(jié)構(gòu)不能用瞬變體系例：（書圖2-17）二剛片三鏈桿相聯(lián)情況

（a）三鏈桿交于一點(diǎn)；（b）三鏈桿完全平行（不等長）；（c）三鏈桿完全平行（在剛片異側(cè)）；

（d）三鏈桿完全平行（等長）幾何可變體系:

瞬變體系

,常變體系§2-4瞬變體系兩剛片用三鏈桿相聯(lián)組成幾何不變體系時(shí)，三桿必須是不全平行也不交于同一點(diǎn)。一個(gè)虛鉸在無窮遠(yuǎn)

關(guān)于無窮遠(yuǎn)的虛鉸：三桿不平行

不變平行且等長

常變平行不等長

瞬變一個(gè)虛鉸在無窮遠(yuǎn)：若組成此虛鉸的二桿與另兩鉸的連線不平行則幾何不變；否則幾何可變；

§2-4瞬變體系兩個(gè)虛鉸在無窮遠(yuǎn)四桿不平行

不變平行且等長

常變平行不等長

瞬變兩個(gè)虛鉸在無窮遠(yuǎn)：若組成此兩虛鉸的兩對鏈不平行則幾何不變；否則幾何可變；§2-4瞬變體系三個(gè)虛鉸在無窮遠(yuǎn)彼此等長

常變彼此不等長

瞬變?nèi)齻€(gè)虛鉸在無窮遠(yuǎn)：體系為可變（三點(diǎn)交在無窮遠(yuǎn)的一條直線上）§2-4瞬變體系結(jié)構(gòu)裝配方式

從基礎(chǔ)出發(fā)，由近及遠(yuǎn)，由小到大（方法一）固定一點(diǎn)§2-5機(jī)動分析示例固定兩剛片

從剛片出發(fā)，由內(nèi)及外，內(nèi)外聯(lián)合形成整體體系。（方法二）若上部體系和基礎(chǔ)由不交于一點(diǎn)的三桿相連，可去掉基礎(chǔ)只分析上部體系§2-5機(jī)動分析示例

從規(guī)律出發(fā)，由內(nèi)及外，內(nèi)外聯(lián)合形成整體體系。（方法三）利用虛鉸§2-5機(jī)動分析示例解題方法3.將幾何不變部分作一個(gè)大剛片；復(fù)雜形狀的鏈桿可看成直鏈桿；連接兩個(gè)剛片的鏈桿用虛鉸代替（代替法，見方法三）1.先找出體系中一個(gè)或幾個(gè)不變部分，再逐步組裝擴(kuò)大形成整體（組裝法，見方法一）2.對于不影響幾何不變的部分逐步排除，使分析對象簡化（排除法，見方法二）§2-5機(jī)動分析示例例1

對圖示體系作幾何組成分析。（書P17）

從基礎(chǔ)出發(fā)：結(jié)論:

無多余聯(lián)系的幾何不變體.擴(kuò)大剛片;反復(fù)利用兩剛片規(guī)則;利用兩剛片規(guī)則;§2-5機(jī)動分析示例例題例2

對圖示體系作幾何組成分析。（書P18例2-2）1.去支座后再分析體系本身，為什么可以這樣？2.有二元體嗎？有。順序拆除二元體。二元體的兩桿在一條直線上，故為瞬變體系。瞬變體系§2-5機(jī)動分析示例找出三個(gè)剛片無多余聯(lián)系的幾何不變體例3

對圖示體系作幾何組成分析。（書P18.例2-4）

§2-5機(jī)動分析示例行嗎？它可變嗎？瞬變體系找剛片、找虛鉸例4

對圖示體系作幾何組成分析。（書P19

）ⅠⅡⅢ行嗎？無窮§2-5機(jī)動分析示例例5：對圖示體系作幾何組成分析解:將大地視為剛片III，三剛片三鉸相連,三鉸不共線,所以該體系為無多余約束的幾何不變體系。IIIIII

§2-5機(jī)動分析示例例6：對圖示體系作幾何組成分析III解:三剛片三鉸相連,三鉸不共線,所以該體系為無多余約束的幾何不變體系.（與基礎(chǔ)三鏈桿相連，可以不考慮基礎(chǔ)，只分析體系本身）III

§2-5機(jī)動分析示例例7：對圖示體系作幾何組成分析解：兩個(gè)剛片用一個(gè)鉸和一個(gè)鏈桿相連，是無多余約束的幾何不變體系。§2-5機(jī)動分析示例例8：對圖示體系作幾何組成分析§2-5機(jī)動分析示例解:該體系為瞬變體系.方法

:將只有兩個(gè)鉸與其它部分相連的剛片看成鏈桿.(AB、CD簡化為鏈桿，兩剛片規(guī)則）例9：對圖示體系作幾何組成分析§2-5機(jī)動分析示例解:該體系為常變體系.方法:去掉二元體.例10:對圖示體系作幾何組成分析解:該體系為有一個(gè)多余約束幾何不變體系.§2-5機(jī)動分析示例靜定結(jié)構(gòu)FFBFAyFAx無多余聯(lián)系幾何不變。如何求支座反力?§2-7幾何構(gòu)造與靜定性的關(guān)系FFBFAyFA